第2讲质数与完全平方数教师讲义

八年级数学竞赛第二讲 质数和完全平方数

一．质数与合数

一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数（素数），如果能被1和本身 以外的自然数整除，就叫做合数.特别注意1即不是质数也不是合数，叫做单位数.

有时候质数的相反数也叫质数，合数的相反数也叫合数，不过，在本讲中，如没有特别说明，都是指正的质数和正的合数.

例1. 求出符合以下条件的所有质数：这样的质数既是两个质数的和，又是两个质数的差. 分析：设所求质数为p ，因为p 是两个质数的和，所以p 必是奇数，于是必有

s p +=2，s 是奇质数；又因为p 是两个质数的差，所以必有2-=q p ，q 是奇质 数，由此看来，2,,2+-p p p 是三个差为2的连续奇（质）数，其中必有一个是3 的倍数，而3是最小的奇质数，故5=p .

例2. （1996年希望杯初二赛题）三个质数c b a ,,的乘积等于这三个质数和的5倍，则

_____222=++c b a .

分析：()c b a abc ++=5，所以有一个质数是5，不妨设5=a ，于是有

25555++=c b bc ，得出()()611=--c b ，又61326?=?=，不妨设

???=-=-3121c b ① 或???=-=-6

111c b ② .由①得4,3==c b ，不合题意.由②得 7,2==c b ，符合题意.故所求的三个质数是5，2，7.于是78222=++c b a .

例3. 质数中无最大数，也就是说，不存在最大的质数.试证之.

分析：可以用反证法.若有最大的质数，设为p ，观察从2到p 的所有质数乘积 加1的和式1532+????=p n ，因为质数2，3，5，…，p 中没有一个是 n 的因数，若n 是一个合数，它肯定有质因数，但不在2，3，5，…，p 中，故 n 的质因数比p 还要大，与假设矛盾；若n 是一个质数，易知n 大于p ，也与

假设矛盾.

例4. 求证：若正整数p 使得12-p 是一个质数，则p 一定是质数.

分析：利用公式()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a

二．质因数的分解

我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因 数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：

算数基本定理 任意一个大于1的整数N 都可以分解为质因数的乘积.如果不考 虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：

在上式中，n p p p ,,,21 都是质数且互不相同，n ααα,,,21 都是正整数.这种分解式称为 正整数N 的标准分解式.例如540的标准分解式是5325402

2??=.

推论1 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 共有 正约数()()()11121+++n ααα 个，这些约数包括1和N 本身.

推论2 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 是一 个完全平方数的充要条件是n ααα,,,21 都是偶数，即N 的正约数个数是奇数.

质数有如下整除性质：

（1）p 是质数，b a ,都是整数，如果ab p ，则a p 或b p ，特别地2a p 时，a p ；

（2）n p p p ,,,21 是不同的质数，a 是整数，如果a p 1，a p 2，a p n , ，则a p p p n 21.

例5. 不大于200的正整数中，有哪些数恰好有15个不同的正约数（包括1和本身）. 分析：由推论1，考虑这个约数个数是怎么算来的.5315115?=?=,因此有两种

形式：14p N =或42q p N =，q p ,均为质数且q p ≠.对于第一个知不成立，第二个取,2=q 则p 可取3，取,3=q 则p 取任何质数都将超过200.

例6. 求473360?和361172?这两个积的最大公约数和最小公倍数.

分析：先对两个数进行质因数分解.

例7. 证明在无限整数序列 ,0011000100010,100010001,10001

中没有质数. 分析：要证明一个数为合数，即证明它有除了1和本身以外的因数，

只需证明它能表示成两个大于1的整数的乘积即可，

以前的专题曾经涉及到一些特别的数，比如：.7313710001?=

序列 ,0011000100010,100010001,10001

可以改写成 ,10101,1018

44+++根据例题4所用的公式知其通项为

n n p

p p N ααα 2121=()*

1

1011044--=n n a ， ,3,2=n 2=n 时即10001已经不需再证，因此只需证明3≥n 的情况.

当n 为偶数时，令k n 2=， ,3,2=k ，则1

101101101101101104888482--?--=--=k k k

a ，根 据公式是两个大于1的整数相乘，故为合数.

当n 为奇数时，令12+=k n ， ,2,1=k 则 ()()()1

101101101101101102122212241241

2++?--=--=++++k k k k a .同样地根据公式知是两个整数的乘积. 例8. 求所有的质数p ，使得142+p 和162+p 也都是质数.

分析：对此无从下手，可以先从最小的质数验算，寻找灵感.

经验算，5是满足条件的一个质数.因此估计只有5是所求，从而可以将整数按照 模5来分类：

当k p 5=时，要使其为质数，只能1=k ，而5=p 满足条件；

当15+=k p 时，()

1452+p ； 当25+=k p 时，()1652+p ； 当35+=k p 时，()1652+p ； 当45+=k p 时，()

1452+p ；故本题只有一解5=p .

例9. 在100到200之间有3个连续的自然数，其中最小的数是3的倍数，中间的数是5

的倍数，最大的数是7的倍数.试求这三个数中的最大数.

分析：在100到200之间能被7整除的数依次是：105，112，119，126，133，140，

147，154，161，168，175，182，189，196.其中只有1601161=-能被5整除，而 159也能被3整除，故所求的三个数是159，160，161，最大的是161.

三．完全平方数

如果N 是整数，且M N =2，则称整数M 为完全平方数（简称平方数），平方数M 有 以下常用性质：

（1） 若M 是整数，则平方数2M 与()2

1+M 之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；

（2） 平方数M 的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；

（3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；

（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；

（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数；

（6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；

除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.

例10. 证明：4个连续正整数之积不可能是完全平方数.

分析： ()()()()()

N N N N N N N N S 323321222+++=+++=. 则 ()()2

222133++<<+N N S N N ，两个连续的完全平方数之间不存在第三个平方数.

例11. 将七个连续奇数1，3，5，7，11，13，17任意排成一列，得到一个十位数.试问在

这些自然数里有平方数吗？若有，请找出一个.若没有，请说明理由.

分析：任意一个数都是3的倍数，但不是9的倍数，故没有.

例12. [1985年上海市初三数学竞赛题]已知直角ABC ?的两条直角边的长b a ,均为整数，

且a 是质数，若斜边长也是整数，求证：()12++b a 是完全平方数.

证明：设斜边长为c ，()()b c b c b c a -+=-=222 ，a 是质数，b c b c ->+，

所以???=-=+1

2

b c a b c ，消去c 可得122-=a b ，于是有

()()

()22211221222212+=++=+-+=++=++a a a a a b a b a . 由此命题得证.

习题（二）

1． 在不大于50的正整数中，求出恰有5个正约数的自然数.

分析略.

2． 在三个连续的正整数中，其中最小的数能被3整除，中间的数能被5整除，最大的数能

被7整除，求出符合以上条件的最小的三个连续的自然数.试问：有这样三个最大的连续自然数吗？

分析：如例题9，只需再到不大于100的正整数中去找即可，54，55，56为所求.

又[]1057,5,3=，所以56105,55105,54105+++k k k 都满足前面的要求，但k 可以取 任意的正整数，故没有最大的.

3． [原苏联竞赛题]分别很久的两位老朋友相遇了，其中第一个人说，他有3个孩子，他们

的年龄乘积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在的房子的窗户数，第二个人说，他还是不能确定这些孩子的年龄，于是第一个人又补充说，他的岁数最大的孩子是黑色头发，之后第二个人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄是多少岁？

分析：先把36分解成3个正整数的乘积，按照从小到大找，

43363292266194112311821361136??=??=??=??=??=??=??=??=已知有8种情况，每一种情况都对应一个和，由于屋子里的窗户数是他们知道的，但是第二个人还不能确定孩子的年龄，那么肯定是因为这时年龄的和有一样的（窗户数是13时），即 2，2，9；1，6，6.最后由于知道了有最大的孩子，那么1，6，6可以排除，剩下2，2，9.

4．[1992年上海市初中数学竞赛题]已知正整数n m ,满足2

222222991n m =++++，则 ._________

=n 分析：()()167=+-m n m n ，再把167分解成两个正整数的乘积，结果发现167是质数.

5．[1990年湖北黄冈地区初中数学竞赛题]已知n m ,都是质数，方程02=+-n mx x 有两个

正整数根t k ,，求k l m n t k n m +++的值.

分析：由韦达定理知n kt =，由于n 是质数，不妨设n t k ==,1，于是m n t k =+=+1， 可见1,+=n m n 是两个连续的质数，所以3,2==m n . 6．[35届美国中学生数学竞赛题]满足方程组?

??=+=+2344bc ac bc ab 的正整数组()c b a ,,的组数___. 分析：()23=+b a c ，知23,1=+=b a c ，于是方程组化为()()??

?=++=+241441b a b a ，

解之?

??==+2221b a 或???==+2221b a ，于是方程共两组解：（1，22，1）和（21，2，1）. 7．证明：如果2,+p p 都是大于3的素数，那么6是1+p 的因数.

分析：把p 按照模6分类即可.

8．已知5

13-n 是一个质数，求正整数n 的值. 分析：()()5

115123++-=-n n n n 是一个整数，故有k n 51=-或k n n 512=++， 当k n 51=-时，()()()

151151223++=++-=-n n k n n n n ，要使其为质数，只能取

1=k ，从而6=n ，这时435

13=-n 为质数.同样分析另一种情况知不合题意. 9．[2004年全国初中数学联赛题]已知q p ,均为质数，且满足59352=+q p ，则以3+p ， q p +-1，42-+q p 为边长的三角形是 （ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

答案是直角三角形，分析略

10．[2001年全国初中数学竞赛题]一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全

平方数，则这个正整数为___________.

分析：填156.设这个数为x ，则22168,100n x m x =+=+.其中n m x ,,皆为正整数.

两式相减得682

2=-m n ，即()()1722??=+-m n m n .因为m n m n +<-，且二 者奇偶性相同，故必有34,2=+=-m n m n .

11．[1998年湖南省高中理科实验班招生题]已知正整数y x ,都是质数，并且y x +7与

11+xy 也都是质数，试求()()

y x x y y x u ++=22的值.

解：由11+xy 是质数知，11+xy 必为奇数，故y x ,至少有一个数是2.

若2==y x ，则1511=+xy 不是质数,从而y x ,又且只有一个等于2；

若2=x ，即y +14，112+y 均为质数，此时如果y 被3除余1，则y +14

被3整除，如果y 被3除余2，则112+y 被3整除，这与y +14与112+y

都是质数不符，于是3=y ，经检验，2=x ，3=y 符合要求.

若2=y ，即27+x ，112+x 均为质数，此时如果x 被3除余1，则27+x

被3整除，如果x 被3除余2，则112+x 被3整除，这与27+x 与112+x

都是质数不符，于是3=x ，经检验，3=x ，2=y 符合要求.

综上，不论2=x ，3=y 还是3=x ，2=y 都有221=u .

全国中学生数学冬令营简介

全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。1985年，由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后又改名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad,简称CMO）。目前都是由中国数学会、《中学生数理化》编辑部与一个具体承办单位共同举办。冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，人数100多人，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

CMO考试完全模拟IMO进行，每天３道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。题目难度接近IMO，颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的前20至30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。

从1990年开始，冬令营设立了陈省身杯团体赛。从1991年起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克，它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛。

质数和合数评课稿

质数和合数评课稿 白峪店子小学李伟乐 质数和合数是在约数和倍数以及能被2、3、5整除的数的特征的基础上进行教学的。同时，质数和合数是求最大公约数和最小公倍数以及约分、通分的基础。因此这部份内容的教学不仅要使学生掌握质数、合数的概念，而且要能较快地看出常见数是质数还是合数。 安新颖老师执教的《质数和合数》一课，体现了新的课程理念，教学目标明确，重、难点突出，教学内容安排合理，方法恰当，教学语言简洁、清楚、流畅。教学主线清晰。具有以下特点： 一、教学准备到位 这节课中，我们看出，安老师课前做了大量的准备。他根据教材内容制定了明确的目标。为达到这一目标，设计了可行的教学方法。课前的引进激发学生的兴趣，以最少的时间得到最佳的效果。 二、教学思路的设计符合教学内容和学生实际 安老师在教学中从找出一个数约数的个数推出根据约数个数判断质数和合数，最后利用学号这个资源，采用游戏的方式，来让学生正确判断一个数是质数还是合数来巩固本节课的重点内容。 三、注意知识的内在联系，利用已有的知识推动新知识的学习 安老师先复习约数的定义，然后让学生找出18和19的所有约数，再根据约数的个数进行分类，其目的是要从约数的个数推出质数和合数的概念。 四、确立学生的主体地位，注重让学生利用合作探究的学习方式，从中获得对质数和合数的理解以及质数和合数的判断方法 安老师教学质数和合数的概念时，组织学生先进行讨论，让学生先从已找出约数个数的数出发，小组合作，讨论出根据约数的个数，以上数可以分为几种情况，是哪几种？接下来再讨论，只有1和它本身两个约数的数该叫什么数？含有两个以上约数个数的又叫什么数？最后剩“1”只有它本身唯一一个约数，它该是什么数？通过讨论、汇报、论证，总结出质数和合数的概念。既使学生理解了质数和合数，也了解了质数和合数的判断方法，达到了本节课的教学目的。并且在整个过程中老师起到了组织者、引导者和合作者的角色。 五、课堂活动性强 在课堂教学中，注意把理解与运用相结合，促进学生对质数与合数的理解和判断。在本节课教学中，老师在学生对质数和合数的判断方法了解后，让学生进行练习判断。并引出可以用100以内的质数表进行验证。最后巩固练习部分，让学生说理判断，这样循序渐进，层层深入，取得了较好的效果。在这节课中，学生的思维比较活跃，但是思维的活跃与课堂表面的热闹是有区别的。本课过份追求课堂表面的热闹而影响到部分同学的思维，长此以往不利于大面积提高教学质量。篇二：质数和合数评课 《质数和合数》评课 老师们：下午好！ 首先，向今天 质数和合数是人教版六年制小学数学第十册的内容, 要求学生理解质数和合数的意义,并能根据它们的意义判断哪些是质数,哪些是合数. 作为一节典型的概念教学课，它是小学数学教材中比较抽象，与学生的生活有一定距离，学生在学习中感觉比较“枯燥”的内容。因此，如何激发学生的学习兴趣，让他们在主动探索中学好这部分知识，并在学习中培养和发展创新能力就成为本节教学中的一个难点。按照传统的教法思路,让学生先写出1～12各数的约数,然后再根据约数的个数进行分类,最后在分类的基础上概括出质数和合数的意义.这样教,从表面上看,有的学生学得主动,质数和合数的意义是学生自己归纳、概括的.但实际上,

完全平方公式变形的应用

乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

《质数和合数》教学反思

《质数和合数》教学反思 《质数和合数》这部分内容是在因数和倍数以及能被2、3、5整除的数的特征的基础上进行教学的。作为一节典型的概念教学课, 学生必须牢固掌握这部分知识。本节课的教学内容相对来说比较抽象，与学生的生活有一定的距离。对于《质数和合数》的教学,我把重点放在让学生自主探究、观察、比较,自己去发现。 回顾教学一节课教学，感觉整节课学生都处于一种非常愉悦的学习状态，大部分学生都认真倾听、积极动脑筋，踊跃发言。同学们整节课都用渴望得到知识的眼神在盯着我、注视着我。反思这节课，我自感这是一节体现学生主动挖掘、主动探索、乐于攀登的一节数学课。 在教学新知这一环节，我首先让学生独立写出1-20这20个数的因数，再根据因数多少进行分类，然后以小组为单位交流，学生通过交流，知道可以分为几种情况，并感悟到，自然数按照因数的个数可以分为质数、合数、0和1。这时教师出示一组数据，让学生判断，下面各数哪些数是质数？那些数是合数？最后再次讨论，探究什么是质数？什么是合数？整个过程都是学生在动手操作、交流讨论、归纳概括，而教师只是在关键之处适当点拔，引导学生质疑、释疑、归纳，最大限度地把时间和空间都留给学生，使每个学生都参与仔细观察，认真思考，充分激发学生思维的主动性和积极性。学生在小组合作、讨论、交流中培养了合作意识，学生在合作中相互启发，互动发展。 在课堂中，我大胆放手，把学习的主动权交给学生；“你观察数的因数情况，有什么发现与想法可以与同学交流”。丝毫没有把学生生硬拉到分析因数的个数上来的痕迹，由于学生的思维的差异和观察角度的不同，果然产生不同的认识，甚至是错误的（偶数的因数比奇数的因数多），但错误却可以成为一种其资源，让学生大胆的说，成了我面对学生在发现交流中出现问题时的良策，我没有回避和越俎代庖，而是让学生发表意见，还使得学生在整个学习过程中能够不断遇到挑战，并不断在这些挑战中体验成功所带来的学习乐趣，包括让学生展开辩论，学生在倾听——辨析——归纳中进一步发现了因数个数的三种情况，教师在旁适当引导，让学生对自然数因数个数的特点达成共识，对概念的总结归纳水到渠成，成功地帮助学生完成了数学知识的建构。 课后，我抽查了几个学困生，他们对《质数和合数》的知识掌握的情况并没有我想象的那么好，一部分学生对质数和合数的认识还是一知半解，从中可以看出教师在教学设计上应注重考虑学生现有的教学起点，如何找准教学的起点？教学的切入口在哪里？是否可以在课堂上充分呈现学生已有的知识基础上展开教学，让每一位学生都参与到数学的学习兴趣来。放手让优秀学生带动中下游学生展开学习？并能使自己更加提升。这些问题仍然在困扰我。

小学奥数教程-完全平方数及应用(一)

1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一）

微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

第一讲 函数、极限、连续 一、极限 （一）极限基本概念 1、极限的定义 （1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当 )(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞ →lim 或 )(∞→→n A a n 。 （2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意 0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为 极限，记为A x f x =∞ →)(lim 或)()(∞→→x A x f 。 （3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意 0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以 A 为极限，记为A x f a x =→)(lim 或)()(a x A x f →→。 （4）左右极限：)(lim )0(0 x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0 x f a f a x def -→=-，分别称) 0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f a x →存在?)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。 问题： （1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？ （2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？ （3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？

质数和合数教学反思

质数和合数的教学反思 在教学质数和合数一课时，我运用了自主、合作、探究的教学方法，使学生在参与中产生求知欲望，调动学习积极性。首先让学生独立写出1-20这20个数的因数，再根据因数多少进行分类，然后以小组为单位交流，学生通过交流，知道可以分为几种情况，并感悟到，自然数按照因数的个数可以分为质数、合数、0和1。这时教师出示一组数据，让学生判断，下面各数哪些数是质数？那些数是合数？最后再次讨论，探究什么是质数？什么是合数？在教学中教师努力放手，让学生从自己的思维实际出发，给学生以充分的思考时间，对问题进行独立探索、尝试、讨论、交流，学生充分展示自己的思维过程。在合作交流中互相启发、互相激励、共同发展。学生经历和感受了合作、交流、成功、愉悦的情感体验。“请学号是质数的同学站起来；”“请学号是合数的同学站起来；”“谁一次也没有站起来？为什么？”“谁的学号是最小的质数?”“谁的学号是最小的合数？”通过这样的练习，学生知道了数学无处不有，数学就在我们身边。进一步感知和理解所学的内容。《质数和合数》的概念教学，我觉得概念教学的重点应该放在让学生自主探究概念的本质属性上，即让学生动用多种感官，对提供的实例进行观察、比较，自己去发现，去揭示。这样不仅着眼于让学生经过自主探究，能够主动地建构概念，同时也有利于培养学生的思维能力和探究精神。在课中，我尊重学生，信任学生，敢干放手让学生自己去学习。整个教学过程让学生通过分类、讨论、质疑、释疑、归纳、验证，经历了知识的发现和探究过程。 1、学生参与面广，学习兴趣浓。 托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”能使学生有愉悦的气氛中学习，唤起学生强烈的求知欲望，是教学成功的关键。教学中根据儿童好动的天性，学生在理解了质数和合数的意义之后，我设计了一个游戏。利用学号这个资源，采用游戏的方式，来让学生正确判断一个数是质数还是合数。目的在于把学生生活世界和数学世界紧密联系起来。让学生既感受学习数学的意义所在，又感觉到学号这个数，会包含着许多的数学知识。不仅如此，学生必须运用所学的知识来完成游戏。以“操作”代替教师讲解，激发了学生的学习兴趣和求知欲，使全班同学都参与到“活动”中来，课堂气氛愉快热烈，学生学得轻松、学得牢固，从而大大提高了课堂教学效率。 2、学生学会分类和归纳的思想。 课堂上学生是“主角”，教师只是一个“配角”，最大限度地把时间和空间都留给学生，使每个学生都参仔细观察，认真思考，充分激发学生思维的主动性和积极性。在课中，我呈现一组数据，要求学生自己按照一定的标准进行分类，分完后先小组内交流。说说你是按什么来分的？分成了哪几类？由于采用分的标准也必定不同，然后在让学生说标准的过程中，感悟到质数和合数的各自特征，一点点的提炼归纳出质数和合数的意义。培养学生的分类、观察、分析、归纳和交流的数学能力，建立正确的分类思想。整个过程都是学生在动手操作、交流讨

小学奥数25完全平方数

2.7完全平方数 2.7.1相关概念 完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。 2.7.2性质推论 例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。 此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数 性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。 证明奇数必为下列五种形式之一： 10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9 分别平方后，得 (10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 证明已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。 则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6 或10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6 即k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴k为奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；

完全平方公式变形的应用练习题_2

（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

小学五年级奥数完全平方数

第八讲 完全平方数 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，…… 判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。 阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示： 分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现： 1a ＝1＝21 2a ＝1＋3＝4＝22 3a ＝1＋3＋5＝9＝23 4a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24 ……… n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2 )1(1n n ?-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方） 【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1） 一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？

【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？ 练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？ 练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。 【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？ 一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？ 【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

小学五年级奥数 完全平方数(二)

本讲主线 1. 完全平方数的约数个数 2. 平方差公式的应用. 完全平方数(二) 版块一∶完全平方数的约数个数 【例1】(★★) 不大于100的非零自然数中, 因数个数是奇数的有多少 个？ 【知识要点屋】1、约数个数: ⑴分解质因数到指数形式. ⑵约个等于指数＋1连乘. 2、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) ，. 【例2】(★★) 10000以内的自然数中, 有且仅有3个因数的自然数有多少 个？ 【例3】(★★★) 一个房间中有100盏灯, 用自然数1, 2, …, 100编号, 每盏灯各有一个开关. 开始时, 所有的灯都不亮. 有100个人依次进入房间, 第1个人进入房间 后, 将编号为1的倍数的灯的开关按一下, 然后离开；第2个人进入房间后, , , 个人进入房间, 将编号为100的倍数的灯的开关按一下, 然后离开. 问： 第100个人离开房间后, 房间里哪些灯还亮着？【拓展】(★★★)(迎春杯初赛五年级) 200名同学编为1至200号面向南站成一排. 第1次全体同学向右转(转后所 有的同学面朝西)；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号 为3 的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右 转； , ___ . 1

【例4】(★★★) 学而思运动会上, 五年级的女生们准备出一个团体操的节目. 现在的人 数刚好排成一个方阵(每一行人数和每一列人数相等). 后来又加入了23 个女生, 恰好还可以组成一个方阵. 那么你能算出加入23人之前, 方阵共【例5】(★★★)知识大总结 1、A＝a2, 质因数成对出现. 2、完全平方数, 约数个数一定奇数个. 3、平方差公式: a 2 b 2 (a b)(a b) 性质：完全平方数除以5只能余0、1、4. 完全平方数除以3只能余0、1. 完全平方数除以4只能余0、1. 能否找到这么一个数, 它加上24, 和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【今日讲题】 例2, 例3, 例5 【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________. 【家长评价】 ____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________. 2

数分选讲讲稿

讲授内容第三十四讲 § 6.4隐函数存在定理 对方程F(x,y) 0而言，隐函数存在定理是：F(x,y)满足 10F(x o, y o) 0, F y(x o, y o) 0 ； 20F (x, y)及F y(x, y)在(x。, y。)的某邻域内连续， 则方程F(x, y) 0在(x o,y。)的邻域里确定了唯一的隐函数. 具体来说，即o, o，及函数y y(x)，满足： i) y o y(x o)； ii) F x, y(x) o, |y(x) y°| , x U(x o,) 其中U (x o, ) x||x-x o | ； iii) 满足条件i)、ii)的函数y(x)是唯一的； iv) y y(x)在U(x o,)内连续. 若附加条件：F x(x,y)在(x o,y o)的邻域内连续， 则y (x)存在，且y (x) dy F x(x, y). dx F y(x,y) 例1给定方程x2y sin (xy) o (A) 1) 说明在点(o,o)的充分小的邻域内，此方程确定唯一 的、连续的函数y y(x)，使得y(o)o ； 2) 讨论函数y(x)在x o附近的可微性； 3) 讨论函数y(x)在x o附近的升降性(单调性)； 4) 在点(o,o)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一 的单值函数x x(y)，使得x(o)o ?为什么？ 解1) F(x, y) x2y sin(xy) 0, y y; j 3学时 ［注：定理的条件|只是充分条件，!而不是要条件. |偏导数是两个特- i殊方向的方向导 |数 - i梯度方向是函数I变化最剧烈的方I - i向，或个方向导 1数的最大值就是i - i梯度的模 ；书P ioo E x5 i i外法线方向 ［对一元函数 ■ ! i 若f (x) 0, x I j 则f (x) C, x I I |注：本结论可推: I广到E n中.

人教版小学数学教案《质数和合数》

质数和合数 教学内容：质数和合数P23、24，例1 教学目标： 1.通过找20以内数的因数和分类，认识质数和合数的意义，并能正确判断一个数是质数还是合数。 2.在讨论和动手操作的过程中，学会用筛选法找出100以内的质数并加以记忆。 3.在研究质数和合数的相关知识的过程中，培养学生大胆质疑、富于探究的精神和数学素养。 教学重点：理解质数和合数的意义，会判断一个数是质数还是合数。 教学难点：正确判断一个数是质数还是合数。 教学准备：多媒体课件、表格 教学过程： 一、创设情境，导入新课 1．想一想，判一判（教师先介绍题意，然后学生以四人小组为单位完成） 用同样的小正方形拼长方形，能拼几种。 2．师：现在，我们把这些数分成了两类。一类是2、5；一类是4、6、12。这两类数我们分别给他们新的名称：质数，合数。（在相应的数下面板书）那么叫质数？什么叫合数？这节课我们一起来研究。 二、自主探究，合作交流 1．讨论：6个小正方形能拼成几种长方形？你是怎样想的？（板书：1×6；2×3） 12个小正方形能拼成几种长方形？你是怎样想的？（板书：1×12；2×6；3×4） 2．师：请你观察，这些数与6、12有什么关系？（是它们的因数）

3．想一想：2、5的因数有什么特征？4、6、12的因数有什么特征？ （引导学生得出：2、5只有2个因数，是1和它本身；4、6、12除了1和它本身，还有其他因数，就是有3个或以上的因数） 4．你能用自己的话说说：什么是质数？什么是合数？ 5．教师小结，齐读P23的结论。 6．讨论：最小的质数是几？最小的合数是几？1（既不是质数，也不是合数）为什么？ 三、巩固练习 1．P23做一做。 2.自学P24例1，学习方法制作质数表。（以四人小组为单位） 3．重点熟记20以内的质数，背一背。 4．判断，自己的学号是质数还是合数，小组中说说理由。 5．在下面的括号里填上合适的质数 10=（）+（） 15=（）+（）=（）-（） 四、课堂小结 谈谈本节课的收获 五、课堂作业 《课堂作业本》第8面 第4题先组织学生一起讨论。

数学分析选讲

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案 一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ） A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数 B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积 C 、若()f x 在[,]a b 上有界，则()f x 在[,]a b 上可积 D 、若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ B ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 3、若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非负偶函数 D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分

C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非负偶函数 D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设arctan (),x f x x = 则0x =是()f x 的（ B ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 7、设+N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim .则正确的选 项是( A ) A 、 B A ≥ B 、B A ≠ C 、B A > D 、A 和B 的大小关系不定. 8、函数f(x,y) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B 充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限=+-∞→3 3 21 213lim x x x ( D ) A 、 3 23 B 、3 23- C 、3 23± D 、不存在. 10、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞ =1 n n u 收敛的( C )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要

学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版

1 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 小人物与大人物 满分晋级 漫画释义 6 因式分解的高端 方法及恒等变形 代数式11级 因式分解的高端方法及 恒等变形 代数式10级 因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法

2 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时， 应用换元法能够起到简化计算的作用． 【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=， 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++ ∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++ 典题精练 思路导航 例题精讲 知识互联网 题型一：换元法

3 初二秋季·第6讲·提高班·教师版 【例1】 分解因式： ⑴()() 22353x x x x -----； ⑵()()2 2 1212x x x x ++++-； ⑶()()()()135715x x x x +++++． 【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则 原式()()113y y =-+- ()()22y y =-+ ()()2262x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =-- 223y y =-- ()()13y y =+- ()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+-； ⑵令21x x y ++=，则 原式()112y y =+- 212y y =+- ()()34y y =-+ ()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++． 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++???????? ()()228781515x x x x =+++++， 设2 87x x y ++=，则 原式()815y y =++ ()()281535y y y y =++=++ ()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++． 【例2】 分解因式： ⑴()()()()461413119x x x x x ----+

小学数学奥数测试题完全平方数_人教版

第 1 页 2019年小学奥数数论专题——完全平方数 1．1234567654321(1234567654321)?++++++++++++是 的平方． 2． 112123123412345123456+?+??+???+????+?????，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 6． 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________． 7．已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。 8．已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。 9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ． 10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ． 14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 17．A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为 ． 18．已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 22．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？ 24．记(123)(43)S n k =????++L ，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方． 25．称能表示成123k ++++L 的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ． 26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？ 27．A 是由2019个“4”组成的多位数，即20024 4444L 14243个，A 是不是某个自然数B 的平方？如

数分选讲讲稿第讲

第十九讲 3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式 例15证明：当x 0时， 证已知cosx 1，( x 0，只有x 2n时，等号成立) 在此式两端同时取［0, x］上的积分，得 i X2 再次取［0, x］上的积分，得 1 cosx 一x 0 2 : i 一X3 第二次取［0, x］上的积分，得x sinx —x 0 | 3 所以x —sin x 6 2 上式再在［0, x］上的积分，得——1 cosx x 0 ' 2 24 2 4 I 即cosx 1 —一 2 24 3 5 |再在［0, x ］上的积分，得si nx x - + -^ x 0. 6 120 i : 例16设f (x)是［a,b］上连续的凸函数.试证： 人公2 ［a,b］,人X2，有 ! 证令t X1 (X2 xj (0,1)，贝U 同理，令t X2 (X2 xj, (0,1)，贝U i 从而 注意到 X1 (X2 X1)与X2 (X2 X1)关于中点凶一X1对称，f (X)又! 2 为凸函数，所以 另一方面，由(1)式及f (X)的凸性 I 例17设函数g(x)在［a,b］上递增.试证：x (a,b) X 函数f (x) ° g(t)dt为凸函数.3学时 几何解释：方法III可推广. Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz 不第二项积分值大于零.

证 Q g(x)在［a, b ］上递增， x 1, x 2, x 3 (a,b),为 x 2 x 3 所以，f(x)为凸函数. b 例 18 设 f (x) , p(x)在［a,b ］上连续，p(x) 0, p(x)dx 0 a 且m f(x) M , (x)在［m,M ］上有定义，并且有二阶导数， I (利用积分和)将区间［a,b ］ n 等分，记 在［a,b ］上取积分 其中 (x) 0.试证: (x) 0， (x)为凸函数. 由詹禁定理，取 P i n P j j 1 (j 1,2,L , n)， i II r b a P i f i —— i 1 n n b a P i i 1 n n P i (f i ) i 1 ~n P i b a n b a n (利用Taylor 公式) X 。 b p(x) f (x)dx a b a P(x)dx (y) (X 。) (X o )(y X 。) ()(y X 。)2. 注意 (y) (x o ) (x °)(y x °). 在上式中，令 f(x)，然后两边乘以 b P(X) ，得 a P(x)dx b a P(x) b a P(x)dx f(x) dx ---------- (X o ) (X 。) b a P(X) f(x) X o dx a b a P(x)dx § 4.5 不等式