北师大版八年级下册第五章分式与分式方程讲义

八下数学第五章分式与分式方程

5.1认识分式

一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成

A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B

为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.

例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？

211

(1)

;;(3);(4);2242

b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变.

这一性质可以用式子表示为：

,(0)b b m b b m

m a a m a a m

?÷==≠?÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. 例2， 化简下列分式

2225(1);;20xy a ab x y b ab

++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.

5.2分式的乘除法

两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.

这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad

?=÷=?=

. 例3， 计算

222

2244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y

+-+÷÷---+ (2)

5.3分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

这一法则可以用式子表示为：

b c b c

a a a

±±=

. 例4，计算

222(1)

;(2);(3);22a b x y m n n n

a b b a x y y x n m n m n m

++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.

异分母分式的加减法法则是：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac

±±=±=

例5，计算

2

2111(1)

;(2);(3);423332a b a

a a x x a b

--+---+

5.4分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.

例7， 解方程

653121

(1)

;(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y

+--=+==-++---- 习题： 一、填空题 1. 下列代数式：①

y x y x +-；②1

32+x ；③x x 13-；④4xy ；⑤14.3b

a -，其中整式有____________，分

式有___________（只填序号）.

2. 分式392--x x 当x __________时分式的值为零.

3. 当x __________时分式x x

2121-+有意义.

4.

())0(,10 53≠=a axy xy a 5. 约分： =+--9

6922x x x __________ . 6. 计算b

b a 1

2?÷的值等于_______．

7. 若关于x 的分式方程3232

-=--x m x x 有增根，则增根为__________ . 8. 如果2a

b

=，则2222

a a

b b a b -++=__________. 9. 一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要___小时.

10. 某商品原售价为2200元，按此价的8折出售，仍获利10%，那么此商品进价为_ ___元. 二、选择题

11. 下列各式中，是分式的是（ ）

A.

2

-πx B.

3

1x 2

C.

3

1

2-+x x D.

2

1x 12. 下列判断中，正确的是（ ）

A 、分式的分子中一定含有字母

B 、当B=0时，分式B

A

无意义 C 、当A=0时，分式

B

A

的值为0（A 、B 为整式） D 、分数一定是分式 13. 下列各分式中，最简分式是 （ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2

2 C 、2

222xy y x y x ++ D 、()222y x y x +- 14.下列各式与x y x y -+相等的是（ ）A 、()5()5x y x y -+++ B 、22x y x y -+ C 、222()()x y x y x y -≠- D 、22

22

x y x y

-+ 15.计算：

y x x -22+x

y y

2-，结果为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2x +y D 、

x +y

16. 当a 为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是（ ）

A 、21a

a +

B 、1

1+a

C 、1

12++a a

D 、

1

1

2++a a 17. 若把分式

2x y

x y

+-中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍

18. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 、

221v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、2

1212v v v

v +千米 D 、无法确定 三.解答题

⑴ 2

2221106532x

y x y y x ÷? ⑵ m n n n m m m n n m -+-+--2

⑶ x x x x x x

42232-???

? ??+-- ⑷ 331+-+x x

20. 解下列分式方程 ⑴ 132+=x x ⑵ 1

4

112-=-+x x x +1

21.先化简代数式：221

21111x x x x x -??+÷ ?+--??

，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．

22.化简 2

1

2244632--

+-÷+++x x x x x x

23.请你先化简x x x x x x x x -÷

??? ?

?+----+444122

22，再从0，－2，2，1中选择一个你喜欢的数代入，求出这个代数式的值.（8分）

八年级数学下册分式的概念教案新人教版

河南省洛阳市下峪镇初级中学八年级数学下册《分式的概念》教案 主持人： 时间 参加人员 地点 主备人 课题 分式的概念 教学 目标 知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3．情感态度与价值观：。能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 重、难点 即考点 分析 重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 分析:分式的混合运算的关键是掌握异分母分式的通分以及因式分解的熟练程度 课时安排 1课时 教具使用 彩色粉笔 教 学 环 节 安 排 备 注 （一）复习与情境导入：填空 （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为 米。 （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为 米。 （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售 价是 元。 （4）根据一组数据的规律填空：1，16 1,91,41…… （用n 表示） 观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式。 先根据题意列代数式，并观察出它们的共性：分母中含字母的式子。 (二)实践与探索 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -.

例2、探究： 练习 讨论探索 当x 取什么数时，分式 2||24x x -- （1）有意义 （2）值为零？ 例3、已知分式 b ax a x +-2，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求a,b 的值。 可类比分数来解。 讨论探索 （四）小结与作业 分式的概念和分式有意义的条件。 作 业 布 置 本章复习B 组题

八年级下册数学《分式》分式方程知识点整理

八年级下册数学《分式》分式方程知识点 整理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

15.3分式方程 一、本节学习指导 解分式方程和我们前面学习的解方程有很多相似之处，期间会运用到很多分式的计算方式，就这一节来说并不难。做适当练习即能掌握。 二、知识要点 1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。 （1）、分式方程的解法： 解分式方程的基本思想方法是：分式方程 转化 去分母 整式方程. 解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质； ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； ②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！ （2）、解分式方程的步骤： (1)能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程；

(4) 验根． （3）、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0， 则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （4）、含有字母的分式方程的解法： 在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。 2、列分式方程解应用题 （1）列分式方程解应用题的步骤： ① 审：审清题意； ② 找: 找出相等关系； ③ 设：设未知数； ④ 列：列出分式方程； ⑤ 解：解这个分式方程； ⑥ 验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意； ⑦ 答：写出答案。 （2）应用题有几种类型；基本公式是什么？ 常见的有以下五种： ①行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． ②数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法． ③工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． ④顺水逆水问题 v v v v v v =+?=-顺水静水水逆水静水水 3、科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ?（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法． （1）、用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ?的形式,其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1； （2）、用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -?的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10.

(完整word版)苏教版八年级数学下册分式测试题

八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名： 班级： 学校： 一、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列判断中，正确的是（ ） A ．分式的分子中一定含有字母 B ．当B ＝0时，分式 B A 无意义 C ．当A ＝0时，分式 B A 的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式 3．下列各式正确的是（ ） A ．11++=++b a x b x a B ．22x y x y = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n --= 4．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-8534 B ．y x x y +-22 C ．222 2xy y x y x ++ D ．() 222y x y x +- 5．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6．若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）

A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 7．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆 流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x 8．已知230.5 x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.13 9．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.47 10．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2± 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．分式392--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x x 2121-+有意义． 12．利用分式的基本性质填空： （1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a 13．分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 ．

八年级数学下册分式测试题

八年级数学下册《分式》测试题 一、填空题：（每小题2分，共26分） 1、分式3 92--x x 当x __________时分式的值为零。 2、当≠x 时，分式 x -13有意义。当________________x 时，分式8x 32x +-无意义； 3、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 4、约分：①=b a a b 2205__________，②=+--96922x x x __________。 5、若分式231 --x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。 6、已知a+b=5， ab=3，则 =+b a 11_______。 7、一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要__________小时。 8、要使2415--x x 与的值相等，则x =__________。 9、若关于x 的分式方3 132--=-x m x x 无解，则m 的值为__________。 10、已知a ＋ a 1＝6，则（a －a 1）2 = 。 11．用科学记数法表示：－0.00002005＝ ． 12.已知311=-y x ，则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 ． 13. 计算： a b b b a a -+-＝ ． 二、选择题：（每小题3分，共30分）

1、下列各式y x +15、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、6 5xy ：其中分式共有（ ) 个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列判断中，正确的是（ ） A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、分式B A 的值为0,则A=0或 B ＝0即可 D 、分数一定是分式 3、下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2 2 C 、2222xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 5、关于x 的方程4 332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－3 6、小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mn n m + 7、若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 8、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 9、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 9448=+x D 94 96496=-++x x

八年级数学下册分式加减法教案

授课内容: 分式的加减法 教学目标： 1、掌握同分母分式的加减运算法则，会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念，能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则，会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点：通分 授课内容: 1、同分母分式的加减（这是重点） 法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用式子可以表示为： c b a c b c a ±=± 注意：同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免符号错误，分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分（这是重点、难点） 根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法： 先对分式的分母进行分解因式，如果分母中含有相同字母，则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式，如果只在一个分母中出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明： ab a 3,22 最简公分母：b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母： （x+4）（x －4） 3、异分母分式的加减（这是重点、难点） 法则： 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项； ④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式.

八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练(直接打印版)

八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？ 分析： 等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时） 例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度． 分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等． 解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得 x x 6828-=x 5.1828 ，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =， 即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ． 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义． 例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。 分析： 等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时） 例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？ 解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得： 603060

人教版数学八年级下册——分式练习题

第十六章分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

八年级上册数学-分式方程教案

2.5.1可化为一元一次方程的分式方程 一 教学目标: (一) 知识教育点 1. 理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法. 2. 了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法. (二) 能力训练点 1. 培养学生的分析能力. 2. 训练学生的运算技巧,提高解题能力. (三) 德育渗透点 转化的数学思想. (四) 美育渗透点. 通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 二 学法引导: 1. 教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 2. 学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤.. 三 重点 难点 疑点及解决办法: (一) 重点 分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透. (二) 难点 了解产生增根的原因,掌握验根的方法. (三) 疑点 分式方程产生增根的原因. (四) 解决办法 注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法. 四 课时安排: 一课时 五 教具准备: 投影仪 六 教学过程: (一) 课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程16 3242=--+x x 2．提出P53的问题 李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v 米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t 分钟. 问: (1) 写出t 的表达式; (2) 如果李老师想在7点50分到达学校,v 应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t 等于多少? 由此可以得出:

八年级(下册)分式专题(全部题型)

分式专题 题型一：分式的概念： 【例题1】 下列各式：5 .04 3,23,33,,22,22-++-+x x y x x xy x x x π，其中分式有______个. （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【练一练】 1. 下列式子中，属于分式的是 （ ） A 、 π1 B 、3x C 、11-x D 、5 2 2. 下列式子中，2a ，3x ，1m m +，2 3x +，5π，2a a ，23 -．哪些是整式？哪些是分式？ 整式有：________________________________；分式有：________________________________； 题型二：分式有意义，分式值为0： 【例题2】 下列各式中，（1） 2m m +；（2）1||2m -；（3）2 39 m m --．m 取何值时，分式有意义？

【练一练】 1. x 为任意实数，分式一定有意义的是 （ ） A 、 21x x - B 、112-+x x C 、112+-x x D 、11 +-x x 2. 若代数式 4 -x x 有意义，则实数x 的取值范围是________________. 3. (1)若分式 1 1 +x 有意义，则x 的取值范围是________________； (2)已知分式 a x x x +--53 2 ，当2=x 时，分式无意义，则=a _______________________. 4. 若不论x 取何实数，分式m x x x ++-63 22 总有意义，则m 的取值范围是______________________. 【例题3】 当x 为何值时，（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）22 4 x x +-．各式的值为0． 【练一练】 1. 已知分式 1 1 +-x x 的值是零，那么x 的值是 （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、1± 2. 若分式1 1 2--x x 的值是零，则x 的值为 （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、1±

【K12学习】八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版

八年级数学下册《分式》知识点归纳北 师大版 第三章分式 一、分式 1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零. 2、整式和分式统称为有理式,即有: 3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变. 4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二、分式的乘除法 1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 2、分式乘方,把分子、分母分别乘方. 逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三、分式的加减法 1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2、分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是: 异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是: 3、概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四、分式方程 1、解分式方程的一般步骤: ①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

初二下册数学分式计算题题目

一、分式方程计算： （1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ； （2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6） （7） （8） 三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++

2、若使 互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与

四、二元一次方程组 解方程组：

五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+

初二数学下册分式知识点-精选文档

初二数学下册分式知识点 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am+an)+(bm+bn)

人教版八年级上册分式方程练习及解析

第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1

解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

人教版八年级下册分式的运算

15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 式子表示为：a c a c b d b d ??=? 2、分式的除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 式子表示为：a c a d a d b d b b c c ?÷=?=? 3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n b a b a =?? ? ?? 例1．111a b c d b c d ÷? ÷?÷?等于（ ） A.a B.222a b c d C ．a d D ．222ab c d 例2．化简211m m m m --÷的结果是（ ） A ．m B ． 1m C ．m －1 D ．11m - 例3．化简的结果为． 例4．（1）4 11244222--?+-+-a a a a a a （2）m m m 7149122-÷- （3）) 4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-? （4）x x x x x x x --+?+÷+--3)2)(3()3(444622 15.2.2 分式的加减 1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：

bd bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要 随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 例1．化简 222624 x x x x x --+-的结果为（ ） A ．214x - B ．212x x + C ．12x - D ．62x x -- 例2．化简2933 m m m ---的结果是（ ） A ．m+3 B ．m ﹣3 C ． 33m m -+ D ．33 m m +- 例3．计算：+=． 例4．化简x x x -+-1112的结果是（ ） A ．1+x B ．11+x C ．1-x D ．1 -x x 例5．已知2 410x x --=，求代数式314x x x ---的值． 例6．（1） b a a b b a b a b a b a 22255523--+++ （2）m n m n m n m n n m -+---+22 （3） 96312-++a a （4）b a b a b a b a b a b a b a b a --++-----+-87546563

八年级下册数学分式练习题及答案

八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选（每小题3分，共24分） 1．计算223)3(a a ÷-的结果是（ ） （A ）49a - （B ）46a （C ）39a （D ）49a 2．下列算式结果是－3的是（ ） （A ）1)3(-- （B ）0)3(- （C ）)3(-- （D ）|3|-- 4．下列算式中，你认为正确的是( ) A ． 1-=---a b a b a b B 。11=?÷b a a b C ． D ． b a b a b a b a +=--?+1) (1222 5．计算??? ? ??-÷???? ??-?24382342y x y x y x 的结果是（ ） （A ）x 3- （B ）x 3 （C ）x 12- （D ）x 12 6．如果x ＞y ＞0，那么x y x y -++11的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）负数 （D ）不能确定 7．如果m 为整数，那么使分式 13++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 8．已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 二、细心填一填（每小题3分，共30分） 9．计算：－1 6-＝ ． 10．用科学记数法表示：－0.00002004＝ ． 11．如果32=b a ，那么=+b a a ____ ． 12．计算： a b b b a a -+-＝ ． 13．已知31=-a a ，那么221a a +＝ ． 14．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：1u ＋1v ＝1f . 若f ＝6厘米，v ＝8厘米，则物距u ＝ 厘米. 15．若54145=----x x x 有增根，则增根为___________．

八年级数学下册---分式知识点总结

第十六章 分式 1.分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （0≠C ) ３.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4．分式的运算: 分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 分式除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式,然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 ５. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1, 即)0(10 ≠=a a ；当ｎ为正整数时,n n a a 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数) （１)同底数的幂的乘法:m n m n a a a +?=; （２)幂的乘方：()m n mn a a =; (3)积的乘方：()n n n ab a b =; （4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( ａ≠0)； （5)商的乘方：()n n n a a b b =；(ｂ≠０） ７. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母),把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ： (1)能化简的先化简（2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;（3)解整式方程;(4)验根. 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为０，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为０,则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么? (1）审；（2）设；(3)列；(4）解；(5)答. ;a c ac a c a d ad b d bd b d b c bc ?=÷=?=()n n n a a b b =A A C B B C ?=?A A C B B C ÷=÷

八年级下册数学分式练习题+答案

初中数学 8 八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选（每小题 3 分，共 24 分） 1．计算 ( 3a 3 ) 2 a 2 的结果是（ ） （ A ） 9a 4 （ B ） 6a 4 （ C ） 9a 3 （ D ） 9a 4 2．下列算式结果是－ 3 的是（ ） （A ）( 3) 1 （B ） ( 3)0 （C ） ( 3) （D ） | 3| 4．下列算式中，你认为正确的是 ( ) A ． b a 1 B 。 1 b a 1 b b a a b a C ． D ． 1 a 2 b 2 1 (a b) 2 a b a b 5．计算 8x 2 y 4 3x x 2 y 的结果是（ ） 4 y 3 2 （ A ） 3x （ B ） 3x 6．如果 x ＞ y ＞ 0，那么 y 1 y x 1 x （ C ） 12x （ D ） 12 x 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）负数 （ D ）不能确定 7．如果 m 为整数，那么使分式 m 3 的值为整数的 m 的值有（ ） m 1 （A ）2 个 （B ）3 个 （C ）4 个 （D ）5 个 8．已知 3x 4 2 A B ，其中 A 、 B 为常数，则 4A － B 的值为（ ） x 2 x x 2 x 1 （A ）7 （B ）9 （ C ）13 （D ）5 二、细心填一填（每小题 3 分，共 30 分） 9．计算：－ 6 1 ＝ ． 10．用科学记数法表示：－ 0.00002004 ＝ ． a 2 a 11．如果 b 3 ，那么 a b ____ ． 12．计算： a b ＝ ． b b a a 13．已知 a 1 3 ，那么 a 2 1 ＝ ． a a 2 14．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式： 1 ＋ 1 ＝ 1 . 若 f ＝6 厘米， v ＝8 厘米，则物距 ＝ 厘米 . u v f u 15．若 x 5 4 1 5 有增根，则增根为 ___________． x 4 x

八年级上册数学分式方程应用题及答案

八年级上册数学分式方程应用题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

八年级数学下分式方程应用练习1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工 2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。 4、小兰的妈妈在供销大厦用元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶 5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 ⑴求这种纪念品4月份的销售价格。 ⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元 6、、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款万元，乙工程队款万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； 方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。 试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款请说明理由。7、一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。 8、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少 9、、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍。⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元 ⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元 10、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品 ⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品