第4点 纵谈单摆的衍变
单摆的周期公式T =2π
l
g
,在一些情况中会有一些变化,l 为悬点到质心的距离,g 有时不是重力加速度,而是在某些情景中的等效重力加速度g ′. 1.等效加速度g ′的变化引起单摆衍变 等效加速度通常有以下两种情况:
(1)在其他星球表面g ′=GM r
2,M 、r 分别为该星球的质量和半径.
(2)单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g ′=g +a ,g ′=g -a .
在其他复杂物理环境中也可以这样计算:g ′等于单摆静止时摆线的张力除以摆球的质量. 2.摆长l 的变化引起单摆的衍变
l 为等效摆长:摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离.
(1)球的半径为r ,双线摆的摆长l =r +L cos α
,如图1所示.
图1
(2)如图2所示,球在半径为R 的光滑圆弧槽靠近最低点A 振动(球的半径r ?R ):
l =R .
图2
3.摆动过程的不对称引起单摆的衍变
如图3所示,有一单摆绳长为L ,在悬点正下方L
2
处有一个能挡住摆线的钉子,则此单摆摆
动的周期为T =1
2
(2π
L
g
+2πL
2
g
)=(2+1)π
L 2g
.
图3
对点例题如图4所示,倾角为θ的光滑斜面上,将单摆上端固定在O点,平衡位置在O′点做简谐运动时,周期为________.
图4
解题指导摆球静止在平衡位置O′时,绳上的张力为F=mg sin θ,所以g′=F
m
=g sin θ,
故周期为T=2π
l
g sin θ
.
答案2π
l g sin θ
规律总结等效重力加速度g′在任何复杂的情况下都满足:g′等于单摆静止时摆线上的张力除以摆球的质量.
1.如图5所示为演示简谐振动的沙摆,已知摆长为l,沙筒的质量为m,沙子的质量为M,M?m,沙子逐渐下漏的过程中,摆的周期为( )
图5
A.周期不变
B.先变大后变小
C.先变小后变大
D.逐渐变大
答案 B
解析在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中,摆的重心逐渐下降,即摆长逐渐变大,当沙子
流到一定程度后,摆的重心又重新上移,即摆长变小,由周期公式可知,沙摆的周期先变大后变小,故答案选B.
2.如图6,甲、乙、丙、丁四个单摆的摆长均为l ,四个小球质量均为m ,单摆甲放在空气中,周期为T 甲;单摆乙放在以加速度a 向下加速运动的电梯中,周期为T 乙;单摆丙带正电,放在磁感应强度为B 的匀强磁场中,周期为T 丙;单摆丁带正电,放在电场强度为E 的匀强电场中,周期为T 丁,则( )
图6
A .T 甲>T 乙>T 丙>T 丁
B .T 甲=T 丙>T 乙>T 丁
C .T 乙>T 甲=T 丙>T 丁
D .T 丁>T 乙>T 甲=T 丙 答案 C
解析 由题意知T 甲=2π
l
g
;乙处在加速下降的电梯中,T 乙=2πl
g -a
;丙处在匀强
磁场中,所受洛伦兹力始终沿绳方向,对单摆周期无影响,T 丙=2πl
g
;丁处在电场中,等效重力加速度g ′=
mg +qE
m
,所以T 丁=2π l g +
qE m
.综上所述有T 乙>T 甲=T 丙>T 丁.