矩阵理论(新)
2011学年 (A)
学号姓名成绩
考试科目：《矩阵理论》（A）考试日期：2011年 1 月10 日
注意事项：1、考试7个题目共7页
2、考试时间120分钟
题目：一（本题35分）
二（本题18分）
三（本题14分）
四（本题08分）
五（本题07分）
六（本题09分）
七（本题09分）
(注: I表示单位矩阵；H
A表示H转置；det(A)代表行列式)
姓名： 学号： A
一. 填空(35分) ( 任意选择填写其中35个空即可 )
(1)1113A ??= ?-??
，则2(2)A I -= ，A 的Jordan 形A J = (2)若3阶阵2≠A I ，且2440-+=A A I ，则Jordan 形A J =
(3) I 是单位矩阵，则范数1||I||||I||∞== ；cos 0n n ?=
(4)Hermite 阵的特征根全为 , 斜(反)Hermite 阵的特征根必为纯虚数或
(5)秩 ()()()r A B r A r B ?-= ； ()A B A B +++?-?= ；；
()T T T A B A B ?-?= ；()H H H A B A B ?-?=
(6) 若2320++=A A I ，则A 一定相似于 (7)d dt tA
e = ，d dt
tA e -= ，dsin(At)dt = (8)2()A A += ；00A B +??= ??? ； (, 0)0A A ++??- ???
= (9)设A 的各列互相正交且模长为1，则 H A A +-=
(10)(),ij A a =则 22
,,()()H H ij ij i j i j A A a AA a -=-=∑∑tr ||tr ||
(11) 若 ()0H A A =tr 则A =
(12) (正规阵无偏性)若A 是上三角形正规阵，则A 一定是
(13) 若0n n
n n B D C ???? ???
为正规阵， 则D = (14)021, ,103a A B b ????== ? ?????
则A B ?的特征根为 (15) 0.20.30.210.50.20.310.30.40.21A x ???? ???== ??? ??????
?, , 则谱半径(最大特征根) ()A ρ范围是 ；且A x ∞= ；||A||∞=
(16)01,10A -??= ???
则 ()=A H A e e
(17)111?? ???
1A=11A x ??= ???则的极小二数解是 ; +A = .. (18)设矩阵A 中各列都可用B 的列线性表示，则有矩阵P 使A=
(19)ｎ阶阵A 的谱半径()A ρ与矩阵范数||||A 的关系是 ．
(20)A 是方阵(k 是自然数),则矩阵范数||||,||||k k
A A 的关系为 且()()]k k A A ρρ-= [
(21)??
?= ? ???1 1 2A 1 1 2 2 2 4的满秩分解为 (22)如果AC , BD 有意义,则()()()()A B C D AC BD ??-?=
(23)ABC 有意义，则有拉直公式：()T ABC A C B -?=
(24)已知方阵A ,B , 则AX
XB C -=有唯一解??A 和B 没有公共
二.(18分)计算下列各题
1.设1123
121211
212A i ?? ? ? ???=，100x ?? ? ? ???=, (1)求行范数||||A ∞，向量范数||||Ax ∞．
(2)画出A 的盖尔园 ，判断A 是否可逆
2. (1)0.50 ,1
0.4A ??= ???设判定收敛性并计算：0
()k k I A A ∞=-∑
(2)I 为单位矩阵，用Taylor 公式验证tI t e e I =且0n n e I ?=
三.(14分)1已知52525252222132t t t
t tA t t t t e e e e e e e e e ??
+-= ?-+??用导数求矩阵A (4分)
2.若已知sin()()At B t =, 如何用导数公式求A （写一个公式）(3分)
3.设,A ??
?= ? ???
210
020002(1)求A 极小式； (2) 计算cos(2)A π (7分)
四.(8分)已知矩阵A 的最小式为2(2)(1)λλ--），可知有以下公式(广谱公式) ：
12()(1)(2)(2)f A f P f P f P '=++，()f x 为任意解析式.
用选取()f x 的方法求出11,,P P P 的表达式, 并求cos(2)A π
五.(7分) 设
11111
(1,1,1,1)
22211
B
????
===
? ?
????
T
, D, b,
45
B
A
?
??
= ?
??
D
.
求A+与Ax=b的极小范数解或最佳极小二乘解
六.(9分)求
10
01
20
A
??
?
?
?
??
=的正奇异值与简化奇异值分解，写出A+的简化奇异分解
七. 1设3214A ??= ???，求tA
e 的谱分解与谱半径()A ρ (5分)
2设110011001A ??
?= ? ???
，求一个矩阵B (具有正的特征根)，使10
B A = (5分)
附加题：简证下题(任选1题) (3分)
(1)m n A ?∈证明 ()()H A A ⊥R N ; (2)A n n ?∈可逆, 则1||||||||1A A -∞∞≥