数学建模期末试卷A及答案

2009《数学建模》期末试卷A

考试形式：开卷 考试时间：120分钟

姓名： 学号： 成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。 2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。 在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤） 边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不 生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。设每次生产开工

费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。 3．（10分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（Logistic ）模型 中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。

4．（25分）已知8个城市v 0，v 1，…,v 7之间有一个公路网（如图所示），

每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．

（1）设你处在城市v 0，那么从v 0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短

（2）求出该图的一棵最小生成树。 5．（15分）求解如下非线性规划: 6．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x 与合金的膨胀系数y 之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：

的模型。 7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。

《数学建模》模拟试卷（三）参考解答

1.

数学模型是对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的,作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模方法

一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。 机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。

测试分析是将研究对象看作一个"黑箱"(意即内部机理看不清楚)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。 数学建模的一般步骤

(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。 (2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。

(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。 (6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。 2.

单位时间总费用

k T r k r c T c T c 2)()(21-+=

，使)(T c 达到最小的最优周期

)(2T 21*r k r c k c -＝

。当k r <<时，r c c 21*2T ＝

，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。 3.

t ——时刻；

)(t x ——t 时刻的人口数量； r ——人口的固有增长率；

m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；

0x ——初始时刻的人口数量

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。 且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(x r 是人口数量)(t x 的的减函数。

假设)(x r 为)(t x 的线性函数：

)

0,0()(>>-=s r sx r x r ，

其中，r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0=x ）的增长率。 当

m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入有

m x r

s =

，从而有

?

???

?

?-=m x x r x r 1)(， 根据Malthus 人口模型，有

4. (1)0v 到其它各点的最短路如下图： 各点的父点如下：

v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3

各点的最短路径及最短路长分别为：

v0: 0 v0→v1: 1

v0→v2: 2 v0→v2→v3: 3 v0→v2→v3→v4: 6

v0→v5: 4 v0→v5→v6: 6 v0→v2→→v3→v7: 9

(2)最小生成树如下图：

5．最优解

)1,5(),(*2*1=x x ，最优目标值0*=z 6．

画出散点图(图2?11), 从散点图上看出, 这13已知的数据点大致在一条抛物线的周围,

假定回归函数为

y = ??0 + ? 1x + ??2x 2 .

作变换x 1 = x , x 2 = x 2, 用多元线性回归分析方法得到

y = (3.40, 3.00, … , 2.90)T ,

31300.18490.43125.14065.37100.13690.371???????? ??=

X ,

???= (??0 , ??1 , ??2 )T .

X T X =????? ?

?337170858374605.208458374605.208450.5205.208450.5200.13, X T y =?

???? ??3.482499.120732.30, ( X T X )?1 =????? ?

?----00795.06362.06958.126362.09166.505.10166958.125.10161.20304，??= (X T X )?1X T y =?

???? ??-1660.03866.136231.271. 又

Q = ( y ??X ???)T ( y ??X ???) = 0.2523,

y = 2.3323,

∑=-=n

i i yy y y S 1

2

)(= 4.2212, U = S yy ??Q = 3.9689.

在显着性水平??= 0.01下, 用F 检验法检验H 0：??1 = ??2 = 0.

因为统计量F =10/2523.02

/9689.3= 78.6601＞F 0.01 (2 ??1, 13 ??2 ??1 ) = 7.5594, 所以拒绝H 0,

即Y 与2个变量x 1, x 2之间存在特别显着的线性相关关系.

再用t 检验法检验假设H 1：?i = 0，i=1,2，可知变量x 1， x 2对y 的影响显着. 故x 与y 之间的经验公式为 y = 271.6231????????x +0.1660x 2 . 7．

先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边:

（1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；

（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的, 再称1与2即可；若125轻349重,则坏的是5。