黑龙江高职高专数学复习资料与习题2016
(2) 右导数 如果极限0
lim
x ?→()()
00f x x f x x
+?-?存在，该极限值称为函数()f x 在0x 处的右导数，记作
()
'0f x +。
3. 左、右导数与导数间的关系
函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数()'0f x -和右导数()'
0f x +都存在且相等，即
()'0f x 存在?()()''00f x f x +-=。
这个结论常用于判断函数在点0x 处，特别是分段函数在分段点0x 处
的可导性。 4. 区间可导性
（1）如果()f x 在开区间(),a b 内每一点都可导，那么()f x 称在开区间(),a b 内可导；
（2）如果()f x 在开区间(),a b 内可导， 且()'f a +、()'f b -都存在，那么称()f x 在闭区间[],a b 上可导。5. 导数的几何意义
函数()y f x =在点0x 处的导数()'0f x ，就是曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线的斜率。 6. 可导与连续的关系
如果()y f x =在点0x 处可导，则()f x 必在点0x 处连续，反之则不一定成立，即连续式可导的必要条件，但不是充分条件。 （二）导数的计算
1. 常数和基本初等函数的导数公式 （1） ()'
0C =
（2） ()'
1
x
x
μμμ-=（μ为实数）
（3）
()
()'
'
ln ,x
x x x
a a a e e ==
（4） ()()'
'
11log ,ln ln a x x x a x =
=
（5）
()'
sin cos x x = （6） ()'
c o s s i n
x x =- （7） ()'2
tan sec x x = （8） ()'
c o t
s i n x x =-
（9） ()'
sec sec tan x x x =
（10） ()c s c 'c s c c o t
x x x =-
（11） ()'
21
arcsin 1x x =- （12） ()'
21
arccos 1x x =-
-
（13）
()
'
21arctan 1x x =
+ （14） ()
'
21arccot 1x x =-+
2. 函数的和、差、积、商的求导法则
设是()x μμ=，()x νν=可导函数，C 是常数，则
(1) ()'
''μνμν±=±
(2) ()()'
'
'''
,C C μνμνμνμμ=+=
(3) ()()()()()()'
'
''
'
2210,0x x x x μμμνμννμννμμ??-??=≠=-≠ ? ? ?????
3. 复合函数的求导法则
设()y f μ=，()x μ?=都是可导函数，则复合函数()()
y f x ?=的导函数为
dy dy d dx d dx
μ
μ= 或()()
'''y f x μ?=
4. 反函数的求导法则
设()y f x =是的()x y ?=反函数，则
()()
()()'''1
0f x y y ??=
≠，或
10dy dx
dx dx dy dy ??=≠ ???
5. 隐函数求导法则
如果函数()y y x =，满足方程(),0F x y =，则称()y y x =是由方程(),0F x y =确定的隐函数，将函数()y y x =代入(),0F x y =，得()()
,0F x y x =，利用复合函数求导法则，将方程()()
,0F x y x =的两边同时对x 求导，即
()(),0d F x y x dx =，从中解出dy
dx
。
6. 参数方程的求导法则
如果函数是()y y x =由参数方程()(),
,
x t y t ?μ=???
=??
()t αβ<<
所确定的，其中()t ?，()t ψ都在区间(),αβ内可导，且()'
0t ?≠，则()()
'
't dy dx t ψ?=。 7. 对数求导法
对数求导法是利用对数的运算性质来简化求导运算的一种方法，常用于以下两种情况：
（1） 幂指函数的导数 如果()
()
x y x νμ=，()0x μ>，先取对数，得()()
ln ln y x x νμ=
两端再同时z 对求导，于是有
()()()
()()
'
''
ln x y x x x y x μνμνμ=+，故 ()
()
()()()()()''
'ln x x y x x x x x νμμνμνμ??
=+???
?。
（2）含有若干个因式的乘、除、乘方、开方形的函数的导数。 （三）高阶导数 1.二阶导数
如果函数()y f x =的导数()'
'
y f
x =仍是x 的可导函数，那么称()'f x 的导数为()f x 的二阶导数，即
()()()''
'0lim
x f x x f x f x x ?→+?-=?二阶导数记为'y ，()"
f x ，22d y dx 或22
d f dx 。 2. n 阶导数 如果()1
n f
x -在含有x 的某领域内存在，且()()
110lim n n x f x x f x x
--?
→+?-?存在，那么称该极限值为函数()f x 在x 处的n 阶导数，记作()
n y
，()
()n f
x ，n n d y dx 或n n d f dx
。
二阶或二阶以上的导数，称为高阶导数。 3. 常用高阶导数公式
（1）()
()
()()11!0m n n m
m m m n x m n
x
m m n m n -?--+>?==??
（2）()
()
()()
()
ln 0,1,n n x
x n x x
a
a a a a e e =>≠=
（3）()
()
sin sin 2n n n kx k kx π??=+
??
?
（4）()
()
cos cos 2n n n kx k kx π?
?=+ ?
?
?
（5）()
()()()()111!11!,1111n
n n
n n n n x x x x ++-????== ?
?--??
??--
（6）()
()()()1
11ln n n n
n x x ---=
（7）()x μ，()x ν都n 阶可导，则()()
()(
)
n n
n μνμν±=±
（8）求隐函数()y f x =的二阶导数的常用的简便方法是：将方程(),0F x y =两端同时对x 分别求一阶、
二阶导数，并将所得两式联立消去()'y x ，并解出()"
y x ，便得隐函数()y y x =的二阶导数。
（四）微分 1. 微分的定义
设函数()y f x =在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，()00x x U x +?∈，如果相应的函数的增量
()()00y f x x f x ?=+?-可以表示为()y A x o x ?=?+?，其中A 是不依赖于x ?的常数，()o x ?是比x
?高阶的无穷小（0x ?→时），那么称函数()y f x =在点0x 是可微的，A x ?称为A x ?在点0x 处相应于自变量增量x ?的微分，记为0
x x dy =，即0
x x dy
A x ==?。
2. 可导与可微的关系
函数()y f x =在点0x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点0x 处可导，并且()'
0f
x A =，从而
()'0dy f x x =?。
说明 （1）对固定的0x ，()'
0dy f
x x =?是x ?的函数；
（2）当x 是自变量时，则x dx ?=，从而 ()'dy f x dx =；（3）由于()'dy f x dx =，故求导运算与微分运算实质上是一样的。
3. 复合函数的微分法则 设()y f
μ=，则复合函数()()y f x ?=的导数为
()()()''dy
f x x dx
??=所以复合函数的微分为()()()''dy f x x dx ??=。
由于()()()'
'
f
x f ?μ=，()'
x dx d ?μ=，所以上式也可以写成()'
dy f d μμ=由此可见，无论μ是自变
量，还是另一自变量的函数，微分形式()'
dy f d μμ=保持不变，这一性质称为（一阶）微分形式不变性。
一阶微分形式不变性主要应用有： （1） 求复合函数的微分与导数；
（2） 凑微分：用于积分与微分方程计算等。 4. 微分运算法则 （1）微分公式
()0
d C =
()1d x x dx
μμμ-=
()()ln ,x x x x d a a adx d e e dx
==
()()log ,ln ln a dx dx
d x d x x a x =
=
()cos d sinx xdx
= ()cos sin d x xdx
=- ()2tan sec d x xdx =
()2cot csc d x xdx
=-
()sec sec tan d x x xdx =-
()2csc csc cot d x x xdx =-
()2arcsin 1dx
d x x =
- ()2arccos 1dx
d x x =
-
()2arctan 1dx d x x =- ()
2arccot 1dx
d x x =-
（2）函数和、差、积、商的微分法则
()d d d μνμν
±=±
()d d d μννμμν
=±
()2
0d d d μνμμνννν-??=≠ ??? ()210d d μμμμ??=≠ ???
5. 微分的几何意义
函数()y f x =在点0x 处的微分()'00
dy f x dx x x ==，就是曲线()y f x =在点()00,M x y 处的切线的
纵坐标的增量PQ （图3-1）。 6. 微分在近似计算中的应用
当x ?很小时，常用的近似公式有
()'0y dy f x x
?≈=?
()()()'000f x x f x f x x
+?≈+?
取x x ?=，00x =时
()()()'00f x f f x
+ 。
（五） 中值定理
了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及他们的几何意义，会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。 罗尔定理：
1. 罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：（1）在闭区间[],a b 上连续，（2）在开区间(),a b 内可导，（3）
()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0f ξ=。
2. 罗尔定理的几何意义
如果一条连续曲线()()y f x a x b =≤≤，除了两个端点之外处处有不垂直于
x 轴的切线，并且连接两个端点()(),a f a 与()(),b f b 的弦是水平的，那么在曲线上至少有一点()(),f ξξ，
曲线在该点的切线也是水平的，即平行x 轴，如图2.1（a ）。
拉格朗日中值定理
1. 定理：如果函数()y f x =满足条件：（1）在闭区间[],a b 上连续 （2）在开区间(),a b 内可导，则在(),a b 内至少有一点ξ，使得()()()
'f b f a f b a
ξ-=
-或者()()()()'f b f a f b a ξ=+-。
2. 定理的几何意义：连续曲线()()y f x a x b =≤≤的两个端点()(),A a f a 和()()
,B b f b ，则弦AB 的斜率()()
AB f b f a K
b a
-=
-，在(),a b 内至少有一点ξ，使得曲线()y f x =上有点()(),C f ξξ处的切线平行
于弦AB 。如图2.1（b ）
3. 两个推论
（1）如果函数()y f x =在(),a b 内，恒有()'
0f
x =，则()f x 在(),a b 内恒等于一个常数。即
()f x C =。
（2）如果()f x ，()g x 在(),a b 内，()()''
f x
g x =，则()f x ，()g x 在(),a b 内只相差一个常数，即
()()f x g x C =+。
二、典型题指导
例2.1 设函数()f x 在点0x 处可导，求下列极限
（1） ()()
0002lim
x f x x f x x ?→-?-?
（2） ()()
000
lim 2h f x h f x h h →+--
例2.2 设函数()f x 在的某0x =邻域内可导，()00f =，()'1
02f =，求()02lim
x f x x →
例2.3 根据定义求导数
（1）()0,1
f x x x =
=
（2)()sin f x x
=
例2.4 判断函数的连续性和可导性
（1）()1f x x =-，在0x =处 （2）()3
f x x =
，在0x =处
例2.5 若函数()20
10sin x x f x x ax b ≤?+=?>+?
在0x =可导，试确定a ，b 的值及()f x 表达式。
例2.6 求下列函数的导数
（1）
3
32sin log 2y x x =++
（2）cos ln y x x x =
（3）tan x y x =
（4）tan arc x
y x =
例2.7 求下列函数的导数 （1）1sin 2
x
y = （2）2
1ln sin y x =+ （3）arcsin cos x
y e
=
（4）(
)2
2arctan y x =
例2.8 设()sin f x x =，求()()()()'
'
'
'
,,2,2f a f a f x f x ????????
例2.9 求下列函数的导数
（1）cos x
y x = （2）3
3311x y x +=-
例2.10 函数()y y x =是由方程22arctan ln y x y x
=+所确定的隐函数，求'
y 。
例2.11 求曲线1
y x
=-与直线2y x =平行的切线方程。
例2.12 求函数()2
1sin ,00,
0x x f x x
x ?≠?
=??=?的导数。 例2.13 求下列函数导数
（1）()21,131,1x x f x x x ?+<=?-≥? （2）()sin cos 5,0
3,0x x x x f x e x -+≤?=?
+>? 例2.14 函数()232,0
0,0sin ,0x x x f x x ax b x ?-
==??+>?
是(),-∞+∞上的可导函数，求的()f x 表达式。
例2.15 设一质点作直线运动，运动规律为()2sin t
S e t ω?-=+，其中,ω?为常数，试求1
2
t =
在时，质点的运动速度。 例2.16 求曲线cos cos x a t y b t
=??
=?（02,0t a b π≤≤>>为常数）在4t π
=时的切线方程及法线方程。
例2.17 在区间()(),0L L L ->上函数()y f x =是可导的奇函数，试证()'
f x 是(),L L -内的偶函数。
例2.18 求下列函数的n 阶导数
（1）2x y = （2）x
y xe =
（3）1ln
1x
y x +=-
（4）()y f ax b =- 例2.19 求下列函数的n 阶导数 （1）1
01n n
y a x a x
a -=+++
（2）1
y ax b =
+
例2.20 （1）已知：()()
()22sin sin 2n n x x π--??=+????
，求()n y 。
（2）已知：()
()221arctan n y
x x -=+，求()n y 。
例2.21 求下列函数的二阶导数，()f x 二阶可导。 （1）()x
y f e = （2) ()ln y f x =
例2.22 求下列函数的微分
（1）ln sin 2y x = （2）21y x =- 例2.23 求下列函数的微分
（1）2ln 3x
y x x =-+ （2）1arctan
1x
y x +=-
例2.24 求函数3cos x
y x e x =的微分。
例2.25 判断下列函数在[]1,1-上哪个满足罗尔定理的条件 （1）()21
f x x =
（2）()f x x
= （3）()2
1f x x
=-
（4）()2
21
f x x x =--
例2.26 验证函数()f x x =在区间[]1,4上满足拉格朗日定理，并求出定理结论中ξ的值。
例2.27 应用拉格朗日定理证明()sin sin ,a b a b a b R -≤-∈。 例2.28 设0,1a b n <<>。证明不等式()()1
1n n n n na
b a b a nb b a ---<-<-。
例2.29 证明：当0x >时，恒有()ln 1x x >+。
例2.30 设三次方程()32
01230f x a x a x a x a =+++=有三个不等的实根，试确定方程()'
0f
x =全部实
根。
例2.31 求下列极限 （1）20
sin lim
sin x x x
x x →-
（2) 设()f x 二阶可导，求()()()
2
2lim x f a h f a f a h h
→+-+-。 例2.32 求下列极限 （1）2
tan lim
tan 3x x x
π
→
（2）ln lim
x x x →+∞
例2.33 求下列极限 （1）11lim 1ln x x
x x →??-
?-?? （2）()2
lim sec tan x x x π→
-
例2.34 求下列极限 （1）()lim tan
2x x x π
π→- （2）2
0lim sin ln x x x
+→
例2.35 求下列极限
（1）()
1sin 0
lim 13x
x x →+
（2）()
ln 1
lim 1x
x x →-
（3）()
22
lim tan x x x π
π
-→
例2.36 设()2
1,00,0x e x f x x x -?-?≠=??=?
，求()'
f x 。
例2.37 判断下列函数在其定义域内单调性 （1）()arctan f x x x
=-
（2）(
)2
ln 1y x =-
例2.38 求下列函数单调区间及极值 （1）()3
2
391
f x x x x =--+
（2）()()32
1f x x x =-
例2.39 （1）证明：当0x >时，有()2
ln 12
x x x +>-。
（2）证明：当02
x π
<<
时，有3
1tan 3
x x x >+
。 例2.40 设()32
f x x ax bx =++，且()13f =-，试确定a 和b 的值，使得1x =是()f x 的驻点，并判
断1x =是否为极值点。
例2.41 求函数()4
2
25f x x x =-+在[]2,2-上的最大值和最小值。
例2.42 求函数()x
f x xe -=的最大值和最小值。
例2.43 要造一圆柱形油桶，体积为V ，问如何设计底半径R 和高h ，才能使用料最省？此时，底直径与高的比是多少？
例2.44 将边为a 的正三角形铁皮的三只角剪掉（如图2.2所示的三个全等四边形）之后，将边折起做成一
个无盖正三棱柱盒子，问当x 取何值试该盒子的容积最大？
例2.45 某物理实验，测得n 个实验数据12,n x x x 问如何选取x 使误差平方和最小？
例2.46 判断函数()()351f x x x =-的凹凸性及拐点。
例2.47 已知曲线在3
2
y ax bx cx d =+++点()2,44-处有水平切线，点()1,10-为拐点，试写出曲线方程。
例2.48 求下列函数的水平渐近线及垂直渐近线。
（1）1x y x =-
（2）ln x y x = （3）1
1x y e =+ （4） arctan y x =
例2.49 作函数()
2
211x
y x =+
-的图形。
例2.50 作函数x
y xe -=的图形。 三、练习题 （一） 选择题 1. 设()00=f ，且()'
0f 存在，则()lim
→x 0
f x x
= （ ）
A. ()'
f
x B.()'0f C.()0f D.
()1
02f
2. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数则()
lim x f x x →=
（ ） A.()'
f
x B.()()'a b f x + C.()()'a b f x - D.
()'
2a b f x +
3. 函数在点0x 处可导是在该点连续的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.设曲线2
2y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 （ ） A. (0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1)
5.方程 sin 0y y xe +=所确定的曲线 ()y y x =在（0,0）点处的切线斜率为 （ ）
A.-1
B.1
C.
12 D.1
2-
6.若(),0
,0x e x f x a bx x ?<=?-≥?
在(),-∞+∞上可导，则,a b 的值为 （ ）
A.1,1a b =-=-
B.1,1a b =-=
C.1,1a b ==-
D.1,1a b ==
7.
()
ln d x d x
= （ ）
A.
2x B.2x C.2x x D.
1
2x x
8. 设()f x 可微，则()
(
)f x d e = （ ）
A.()'f x dx
B.()
f x e
dx C.()()'f x f x e dx
D.()()
'f x f x de
9. 求下列函数在所给区间满足罗尔定理的条件是 （ ）
A.()[]
2
31,121
f x x =
-+
B.()[]
0,1x
f x xe =
C.()[]0,1f x x =
D.()25
1
5x x f x x +
≥?
10. 函数()1
f x x
=满足拉格朗日中值定理条件区间是 （ ） A.[]
2,2- B.[]
1,2
C.[]
2,0-
D.[]
0,1
11. 函数()3
2f x x x =+在[]0,1上满足拉格朗日中值定理的ξ= （ ） A.13±
B.13
C.1
3-
D.3
12.若()()()()234f x x x x x =---，则方程()'
0f x =实根个数是 （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
13下列极限中能使用洛必达法则的是 （ ）
A.sin lim x x x →∞
B.sin lim sin x x x x x →∞-+
C.2
tan 5lim
sin 3x x x π→
D.()ln 1lim x x e x
→∞
+
14.如果在()f x 在(),a b 内有()'
0f x =实根个数是 （ ）
A.单调减少，曲线是凸的
B.单调减少，曲线是凹的
C.单调增加，曲线是凸的
D.单调增加，曲线是凹的
15.函数2
y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则 （ ）
A.0a <且0c =
B.0a >且c 是任意实数
C.0a <且0c ≠
D.0a <且c 是任意实数
16. 曲线x
y xe -=的拐点是 （ ） A.(
)2
2,2e - B.()0,0 C.()1
1,e - D.()2
2,e
17. 曲线ln y x = （ ） A.仅有垂直渐近线 B.仅有水平渐近线 C.既有水平渐近线又有垂直渐近线 D.没有渐近线
18.过曲线ln y x =上点M 处的切线，平行于直线210y y -+=，则点M 坐标为 （ ） A.()
1,0
B.1,ln 22??-
??? C.()2,ln 2 D.(),1e 19.设()3
2
2
1
f x x x
x =-
，则()'
1f = （ ）
A.16-
B.76
C.76-
D.
16
（二）填空题
1. 设()f x 在0x 处可导，则()001lim n f x f x n →∞
???
?+
- ????
???
= 。 2. 若()1sin ,0
0a
x x f x x
x ?≠?=??=?在0x =处连续但不可导，则a 。 3. 设()()()f x x a x =-?，其中()x ?在x a =处可导，则()'
f a = 。
4. 若()10
1y x =+，则()
10y
= 。
5.若函数()f x 在0x 可微且()()00y f x x f x ?=+?-则y dy ?-= 。
6. 将适当的函数填入下列空内
（1）cos 2xdx = 。 （2）
2
1
4dx x
=+ 。 （3）ln x dx x = 。 （4）2
cos 1sin x dx x
=+ 。 7. 极限lim n n
m m
x a x a x a →-=- 。（,m n 为常数，0a >）
8. 若()arctan arccot f x x x =+，则()'
f
x = 。
9. 设函数()f x px q =+，(),a b ξ∈满足[],a b 的拉格朗日中值定理则ξ= 。 10. 若点()()
00,x f x 是曲线()y f x =的拐点，且()"
f
x 连续，则()"0f x 必为 。
11. 若函数()y f x =在点0x 处可导，则它所对应的曲线在点()()
00,x f x 处的切线方程是 。
12. 设arccos 2x
y =，则'y = 。
13. 设()10
1y x =+，则10
y
= 。
14. 设sin x
y e x =，则()10n
y = 。
（三）解答题
1. 用导数定义求()()ln 0f x x x =>在任意点x 处的导数。
2. 若函数()f x 有()()1f x af x +=，且()'
0f b =，,a b 为非零函数，求()'1f 的值。
3. ()12sin ln
1x
x f x x x
-=++，求()'
f x 4. 设1
arctan
ln y x x x
=+，求"y 。 5. 设()sin ln cosln 2
x
y x x =-，求221d y x dx =。
6. 设y
x
x y =，求
dy
dx
。 7. 设()f x 为偶函数，且在0x =处相等，求()f x 。
8. 求曲线sin cos 26x t t y t =?π??
=? ?=???
处的切线方程及法线方程。
9. 求与曲线2
2
49818590x y x y +-+-=相切，且与直线320x y -=垂直的直线方程。 10. 求()
arctan x y e =的微分。 11. 应用拉格朗日中值定理证明不等式。 （1）arctan arctan a b a b -≤-
()a b <
（2）当0a b <<证明ln b a b b a
b a a --<<
12. 求下列极限。
（1）22
60sin lim x x x x →-
（2）()1lim
ln *ln 1x x x -→- 13. 设函数()f x 有连续导数且()()'001f f ==，求()()
sin 1
lim
ln x f x f x →-。
14. 设()'
f
x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，对a c b <<有()()()f a f b f c ==，证明：存在一点
(),a b ξ∈，使得()"0f ξ=。
15. 求下列函数的单调区间
（1）()221
1x f x x +=- （2）()2,0arctan ,0x x f x x x x ?-<=?
≥?
16. 利用极值证明不等式21x
e x >-。
17. 已知函数()2
ln f x a x bx x =++，在1x =，2x =处有极值，试求常数,a b 之值。
18. 已知点()1,3是曲线3
2
y ax bx =+的拐点，试求常数,a b 的值。
19. 求曲线方程()2210x y y y +=≠确定的隐函数()y y x =的极值、极值点。
20. 证明方程5
10x x +-=只有一个小于1的正根。
21. 从一块半径为R 的圆形铁片上挖出一个扇形做成一个漏斗（图2.6）问留下的扇形中心角取?多大
时，做成的漏斗的容积最大？
22. 求下列函数的凹凸区间及拐点。
（1）x
y xe -= （2）()
2ln 1
y x =+ 23. 求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线。
（1）1
sin
y x x = （2）2
11x y e -=-
四、能力拓展
1. 求2
y x =在点（3,9）处的切线方程。
2. 曲线2y x =上哪一点的切线平行于直线121y x =-？哪一点的法线垂直于直线310x y --=？
3. 求下列函数cos x
y xe x =的导数。 4. 求下列函数的导数 （1）()223(1)
y x x =++
（2）()4
3
35(54)y x x =-+ （3）()2
211y x x
=--
（4）(
)
2
2
2315y x
x =++
5. 利用对数求下列函数的导数 （1）()
sin cos x
y x =
（2）11x y x
x -=+
（3）()
()
5
2321x x y x +-=
+
（4）()
2
2
513x x
y x
x -=
-+
6. 求下列函数的高阶导数。 （1）()
2ln 1y x =-，求"
y 。 （2）()
21arctan y x x =+，求"
y 。 （3）3
ln y x x =，求()
4y
。
7. 求下列方程确定的隐函数的导数 （1）22
arctan
ln y x y x =+
（2）1x y
e xy +-=，求0dy x dx =。 8. 求由参数方程()2
ln 1arctan x t y t t
?=+??=-??所确定的函数导数dy dx 。
9. 求下列函数微分 （1）(
)
2
x
e y e e
-=+
（2）(
)22
tan 12y x =+
（3）21x
y x =
+
（4）1
arcsin y x x
=
+
10. 设某产品的需求量Q 对价格p 的函数关系为2
75Q p =-。 （1）求当4p =时的边际需求，并说明其经济意义。 （2）求当4p =时的需求弹性，并说明其经济意义。
11. 证明函数2
y px qx r =++在[],a b 上应用拉格朗日中值定理时所求得的点2
a b
+ξ=
。 12. 利用洛必达法则求极限：
（1）24
sin cos lim
1tan x x x
x π→
--
（2）0cos 1
lim
sin 2x x e x x →-
（3）0ln tan 7lim
ln tan 2x x x →
（4）()1lim 1tan 2x x x
→π
- 13. 求极限，并说明为什么不能用洛必达法则求下列极限：
（1）20
1
sin
lim
sin x x x
x →
（2）sin lim
sin x x x x x →∞-+
14. 求下列函数的单调区间 （1）100x y x =
+
（2）()()24
21y x x =+- （3）()ln 1y x x =-+ （4）2
1x y x =
+
15. 证明函数 ()
2ln 1y x x =-+单调增加。
16. 求下列函数的极值
（1） 2
283y x x =-+
（2）()ln 1y x x =-+
17. 如果函数 ()1
sin sin 33f x a x x =+在3
x π
=
取得极值，求a 的值，他是极大值还是极小值？ 18. 从长为12cm ，宽为8cm 的矩形铁皮的四个角上剪去一个大盖的盒子，折起来一个大盖的盒子，要使盒子的容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？
19. 把长为24cm 的铁丝剪成两段，一段做成圆，另一段做成正方形，应如何剪法才能使圆和正方形面积之和最小？
20. 求下列函数的凹凸区间与拐点
（1）x
y xe -= （2）()5
3
2y x =-
21. 试确定,,a b c ，使曲线32y ax bx cx =++在一拐点()1,2且在该点切线斜率为-1。 自测题 一、选择题
1. 设()f x 在点0x x =处可导，若()'
f
x = ，则()()0
001
lim
24
x x f x x f x →=
--
（ ） A. 4 B.-4 C.-2 D. 2
2. 设 (),0
,0
x e x f x a bx x ?<=?-≥? 在点0x =可导，则a 、b 的值分别为 （ ）
A.1,1a b ==
B.1,1a b ==-
C.1,1a b =-=
D.1,1a b =-=- 3. 函数(),0
,0x
x x f x xe x
≥?
在0x =处 （ ） A. 连续 B. 不连续 C. 不可导 D. 连续但不可导
4. 函数()f x 在点0x 处取极大值，则必有 （ ） A. ()'
00f x = B.()"00f x < C.
()'
00f
x =且()"00f x < D.
()'00f x =或()'0f x 不存在
5. 函数(
)2
ln 1y x x =-+ （ ）
A. 有极大值
B. 有极小值
C. 有极大值也有极小值
D. 无极值
6. 函数()4
2
246f x x x x =-+的上凸区间是 （ ）
A. ()
,0-∞
B.()
2,2-
C.()
0,+∞
D.()
,-∞+∞
7. 函数()3
3
6f x x x x
=++
，在1x =处有 （ ） A. 极小值 B. 极大值 C. 拐点 D. 既无极值又无拐点
8. 曲线上凹与下凹的分界点是曲线的 （ ） A. 驻点 B.拐点 C. 极值点 D.
9. 曲线 2
21x x -
（ ）
A. 只有垂直渐近线
B. 只有水平渐近线
C. 没有渐近线
D. 有水平渐近线也有垂直渐近线 10. 已知ln y x x =，则()
10y
= （ ）
A. 9
1x -
B. 91x
C. 98!x
D. 98!
x - 11. 若函数()f x 可导，则()'
f x e ????
= （ ） A. ()
f x e
B. ()
'f x e
C. ()()
f x f x e
D. ()()
'f x f x e
12. 若()3y f x =-，则'
y = （ ）
A. ()'3f x
B. ()'
3f
x -- C.
()
'3f x -
D. ()'
33f
x --
13. 设 ()22x
f x x e = ，则 ()"
0f
= （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 14. 用微分近似计算公式求得0.05
e
的近似值为 （ ）
A. 0.05
B. 1.05
C. 0.95
D. 1 15. 设x 为自变量，当1,0.1x x =?=时()
3d x =
（ ）
A. 0.3
B. 0
C. 0.01
D. 0.03
16. 将半径为R 的球体加热，如果球半径增加R ?，则球体积的增量V ?≈ （ ） A.
3
43
R π B. 24R R π? C.24R π D.4R R π? 17. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有 （ ）
A. []2
56,2,3y x x =-+ B. ()
[]
2
3
1
,0,21y x =
-
C. []
,0,1x
y xe -= D. []15
,0,51
5x x y x +
≥?
18. 若两个函数()(),f x g x 在区间(),a b 内个点的导数相等，则该两函数在区间(),a b 内 （ ） A. 不相等 B. 相等 C. 仅差一个常数 D. 均为常数 19.若函数()f x 和()g x 在区间(),a b 上每一点都有()()'
'f
x g x =，则区间(),a b 内必有 （ ）