中考数学模拟试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
1.计算(-)0=( )
A. B. - C. 1 D. -
2.如图是某个几何体的平面展开图,这个几何体是( )
A. 长方体
B. 三棱柱
C. 三棱锥
D. 圆柱
3.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,则
∠BCF度数为( )
A. 15°
B. 18°
C. 25°
D. 30°
4.计算(-5a3)2的结果是( )
A. -25a5
B. 25a6
C. 10a6
D. -10a5
5.在直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是( )
A. M(2,-3),N(-4,6)
B. M(-2,3),N(4,6)
C. M(-2,-3),N(4,-6)
D. M(2,3),N(-4,6)
6.如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心,∠A=60°,BD:CD=2
:1,BD=4,则△DBC的面积为( )
A. 3
B. 2
C. 2
D. 3
7.若一次函数y=2x-3的图象平移后经过点(3,1),则下列叙述正确的是( )
A. 沿x轴向右平移3个单位长度
B. 沿x轴向右平移1个单位长度
C. 沿x轴向左平移3个单位长度
D. 沿x轴向左平移1个单位长度
8.如图,在菱形ABCD中,CE⊥AD于点E,sin D=,AE=2,则AC的长为( )
A. 8
B. 2
C. 2
D. 2
9.如图,已知在⊙A中,B、C、D三个点在圆上,且满足∠CBD=2∠BDC
.若∠BAC=44°,则∠CAD的度数为( )
A. 68°
B. 88°
C. 90°
D. 112°
10.若将二次函数y=x2-4x+3的图象绕着点(-1,0)旋转180°,得到新的二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0),那么c的值为( )
A. -15
B. 15
C. 17
D. -17
二、填空题(本大题共4小题,共12.0分)
11.在1,-2,0,-,π这五个数中,最小的数是______.
12.边长为2的正六边形的边心距为______.
13.如图,已知点A、B分别在反比例函数y=(x>0),y=-(x<0)的图象上,且
OA⊥OB,则OA:OB的值为______.
14.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,AC与
BD交于点O,点N在AC上且AN=2,点M在BC
上且BM=BC,P为对角线BD上一点,则PM-PN
的最大值为______.
三、计算题(本大题共3小题,共19.0分)
15.解方程:-=1.
16.随着天气的逐渐炎热(如图1),遮阳伞在我们的日常生活中随处可见如图2所示
,遮阳伞立柱OA垂直于地面,当将遮阳伞撑开至OD位置时,测得∠ODB=45°,当将遮阳伞撑开至OE位置时,测得∠OEC=30°,且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为20cm,求若当遮阳伞撑开至OE位置时伞下阴凉面积最大,求此时伞下半径EC的长.(结果保留根号)
17.我国很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意识
,某市制定了每月用水8吨以内(包括8吨)和用水
8吨以上两种收费标准(收费标准:每吨水的价格),
某用户每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数
,其函数图象如图所示.
(1)求出自来水公司在这两个用水范围内的收费标
准;
(2)若芳芳家6月份共交水费28.1元,请写出用水量超过8吨时应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系,并求出芳芳家6月份的用水量.
四、解答题(本大题共8小题,共59.0分)
18.计算:×(-)-|2-3|+()-3.
19.如图,在△ABC内部有一点D,利用尺规过点D作一条直
线,使其平行于BC.(保留作图痕迹,不写作法)
20.如图.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC
上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长
线交AE于点F.BD与AE有什么样的位置关系?请
说明理由.
21.为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查,根据调查
结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是______;请补全条形统计图;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是______;
(3)若该市约有90万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
22.“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精
神为主要内容的优质平台.平台由PC端、手机客户端两大终端组成.手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、答题活动三种学习方式.
(1)王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习,恰好选中答题活动的概率是多少?
(2)王老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习,用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果,并求他们选中同一种学习方式的概率.
23.如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,
连接PA、PB、AB、OP,已知PB是⊙O的切线.
(1)求证:∠PBA=∠C;
(2)若OP∥BC,且OP=9,⊙O的半径为3,求BC的长.
24.已知抛物线L:y=x2++c经过点M(2,0),现将抛物线L沿x轴翻折,并向左
平移1个单位长度后得到抛物线L1.
(1)求抛物线L1的解析式.
(2)若抛物线L与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧),点E在抛物线L1对称轴上一点,O为坐标原点,则抛物线L上是否存在点P,使以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25.问题探究
(1)如图1.在△ABC中,BC=8,D为BC上一点,AD=6.则△ABC面积的最大值是______.
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=60°,AG为BC边上的高,⊙O为△ABC的外接圆,若AG=3,试判断BC是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决:
如图3,王老先生有一块矩形地ABCD,AB=6+12,BC=6+6,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN,且满足点E在CD上,AD=DE,点F在BC上,且CF=6,点M在AE上,点N在AB上,∠MFN=90°,这个四边形AMFN的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:(-)0=1.
故选:C.
直接利用零指数幂的性质计算得出答案.
此题主要考查了零指数幂的性质,正确掌握相关性质是解题关键.
2.【答案】B
【解析】解:观察图形可知,这个几何体是三棱柱.
故选:B.
侧面为三个长方形,底边为三角形,故原几何体为三棱柱.
本题考查的是三棱柱的展开图,考法较新颖,需要对三棱柱有充分的理解.
3.【答案】D
【解析】解:由题意可得:∠ABC=30°,
∵AB∥CF,
∴∠BCF=∠ABC=30°,
故选:D.
直接利用三角板的特点,结合平行线的性质即可得出∠BCF度数.
此题主要考查了平行线的性质,根据题意得出∠ABC的度数是解题关键.
4.【答案】B
【解析】解:(-5a3)2=25a6.
故选B.
根据积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.(ab)n=a n b n(n是正整数)计算即可.
考查了积的乘方,注意:①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果.
5.【答案】A
【解析】解:设正比例函数的解析式为y=kx,
A、-3=2k,解得:k=-,
-4×(-)=6,6=6,
∴点N在正比例函数y=-x的图象上;
B、3=-2k,解得:k=-,
4×(-)=-6,-6≠6,
∴点N不在正比例函数y=-x的图象上;
C、-3=-2k,解得:k=,
4×=6,6≠-6,
∴点N不在正比例函数y=x的图象上;
D、3=2k,解得:k=,
-4×=-6,-6≠6,
∴点N不在正比例函数y=x的图象上.
故选:A.
设正比例函数的解析式为y=kx,根据4个选项中的点M的坐标求出k的值,再代入N 点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上,由此即可得出结论.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式,解题的关键是验证4个选项中点M、N是否在同一个正比例函数图象上.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据给定的一点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式,再代入另一点坐标去验证该点是否在该正比例函数图象上.
6.【答案】C
【解析】解:过点B作BH⊥CD于点H.
∵点D为△ABC的内心,∠A=60°,
∴∠BDC=90°+∠A=90°+=120°,
则∠BDH=60°,
∵BD=4,BD:CD=2:1
∴DH=2,BH=2,CD=2,
∴△DBC的面积为==2,
故选:C.
过点B作BH⊥CD于点H.由点D为△ABC的内心,∠A=60°,得∠BDC=120°,则
∠BDH=60°,由BD=4,BD:CD=2:1得BH=2,CD=2,于是求出△DBC的面积.本题考查了三角形内心的相关计算,熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.
7.【答案】B
【解析】解:设平移后的函数表达式为y=2x+b,将(3,1)代入,解得b=-5.
∴函数解析式为y=2x-5,
∵y=2(x-1)-3,
∴一次函数y=2x-3的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到y=2x-5,
故选:B.
设平移后的函数表达式为y=2x+b,把(3,1)代入求出b的值即可得出结论.
本题要注意利用一次函数的特点,求出未知数的值从而求得其解析式,求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变.
8.【答案】D
【解析】解:∵sin D=,
设EC=4x,CD=5x,
由勾股定理可得:ED=,
∵菱形ABCD,
∴AD=CD,
即AE+ED=CD,
可得:2+3x=5x,
解得:x=1,
∴AD=DC=5,
∴EC=4,
由勾股定理可得:AC=,
故选:D.
根据三角函数和菱形的性质解答即可.
此题考查菱形的性质,关键是根据勾股定理得出边的长度解答.
9.【答案】B
【解析】解:∵∠CBD=2∠BDC,∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,
∴∠CAD=2∠BAC,而∠BAC=44°,
∴∠CAD=88°,
故选:B.
首先运用圆周角定理证明∠CAD=2∠CBD,∠BAC=2∠BDC,结合已知条件∠CBD=2∠BDC ,得到∠CAD=2∠BAC,即可解决问题
本题考查圆周角定理,解题的关键是证明∠CAD=2∠BAC.
10.【答案】A
【解析】解:∵抛物线y=x2-4x+3=(x-2)2-1的顶点坐标为(2,-1),
∴绕(-1,0)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(-4,1),
∴所得到的图象的解析式为y=-(x+4)2+1=-x2-8x-15.
∴c的值为-15.
故选A.
由于图象绕定点旋转180°,得到顶点坐标改变,而抛物线开口方向相反,然后根据顶点式写出解析式.
本题考查了二次函数变换的知识点,应根据开口方向,开口度,对称轴,与y轴交点3方面进行考虑.
11.【答案】-2
【解析】解:-2<-<0<1<π,
∴最小的数是-2,
故答案为:-2.
先比较数的大小,即可得出选项.
本题考查了有理数的大小比较,能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键,正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,其绝对值大的反而小.
12.【答案】
【解析】解:连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,
∵正六边形ABCDEF,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF,
∴∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2,
∵OM⊥AB,
∴AM=BM=1,
在△OAM中,由勾股定理得:OM==.
故答案为:.
连接OA、OB,根据正六边形的性质求出∠AOB,得出等边三角形OAB,求出OA、AM 的长,根据勾股定理求出即可.
本题主要考查对正多边形与圆,勾股定理,等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能求出OA、AM的长是解此题的关键.
13.【答案】
【解析】解:过点A作AE⊥x轴于点A,过点B
作BF⊥x轴于点B,如图所示.
∵∠FOB+∠AOB+∠AOE=180°,∠AOB=90°,
∠FOB+∠OBF=90°,
∴∠AOE=∠OBF.
又∵∠AEO=∠OFB=90°,
∴△AOE∽△OBF,
∴()2===,
∴OA:OB的值为.
故答案为:.
过点A作AE⊥x轴于点A,过点B作BF⊥x轴于点B,则△AOE∽△OBF,根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,即可得出结论.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义找出()2===是解题的关键.14.【答案】2
【解析】解:如图所示,作以BD为对称轴作N的对称
点N',连接PN',MN',
根据轴对称性质可知,PN=PN',
∴PM-PN=PM-PN'≤MN',
当P,M,N'三点共线时,取“=”,
∵在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60°,
∴AC=6,
∵O为AC中点,
∴AO=OC=3,
∵AN=2,
∴ON'=1,CN'=2,
∴AN'=4,
∵BMBM=BC=×6=4,
∴CM=AB-BM=6-4=2,
∴==,
∴PM∥AB∥CD,∠CMN'=60°,
∵∠N'CM=60°,
∴△N'CM为等边三角形,
∴CM=MN'=2,
即PM-PN的最大值为2,
故答案为:2.
作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN',依据PM-PN=PM-PN'≤MN',可得当P,M,N'三点共线时,取“=”,再根据△N'CM为等边三角形,即可得到CM=MN'=2.
本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.15.【答案】解:两边都乘以x(x+3),得:x2-(x+3)=x(x+3),
解得:x=-,
检验:当x=-时,x(x+3)=-≠0,
所以分式方程的解为x=-.
【解析】方程两边都乘以x(x+3)得出方程x-1+2x=2,求出方程的解,再代入x(x+3)进行检验即可.
本题考查了解分式方程的应用,解此题的关键是把分式方程转化成整式方程,注意:解分式方程一定要进行检验.
16.【答案】解:由题意可得:OE=OD,
在Rt△OEC中,∠BOE=60°,∠OCE=90°,
∴OC=OE,
在Rt△OBD中,∠DOB=45°,∠OBD=90°,
∴OB=OD=OE,
∵BC=OB-OC,
即,OE-OE=20
解得:OE=40(+1)cm,
∴EC=×20(+1)=20(+)cm.
【解析】根据题意可得OE=OD,由三角函数得出OC=OE,OB=,再利用BC=OB-OC
解答即可.
此题主要考查了解直角三角形的应用,关键是由三角函数得出OC和OE,OB和OD的
17.【答案】解:(1)8吨以内收费标准:17.6÷8=2.2元,
8吨以上收费标准:(31.6-17.6)÷(12-8)=3.5元;
(2)由题意可知:
y=3.5(x-8)+2.2×8
即:y=3.5x-10.4
当y=28.1时,有:3.5x-10.4=28.1
∴x=11
答:芳芳家6月份用水量为11吨.
【解析】(1)根据在不同范围内的函数的解析式可知,在0-8吨范围内,每吨2.2元,当x>8时,每吨水3.5元;
(2)根据已知条件可知:该用户的交水费范围属于x>8的范围,代入解析式即可得到答案.
本题主要考查了一次函数的实际应用,解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义,属于中档题.
18.
【答案】解:原式=-+2-3+8
=-4+2-3+8
=1+2.
【解析】根据负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算.
本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍
19.【答案】解:如图,
MN即为过点D平行于BC的直线.
【解析】根据平行线的判定方法即可过点D作一条直线,使其平行于BC.
本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定,解决本题的关键是掌握作平行线的方法.20.【答案】解:BD⊥AE,理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC,BD=AE,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD=∠CAE.
又∴∠CAE+∠E=90°.
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.
【解析】先利用“HL”证明△BDC≌△AEC得出∠CBD=∠CAE,从而得出∠BFE=90°,即BF⊥AE.
主要考查全等三角形的判定方法与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.21.【答案】(1)1000;补全图形如下:
(2)54°
(3)估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为90×=59.4(万人),
答:将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为59.4万人.
【解析】解:(1)这次接受调查的市民总人数是260÷26%=1000(人),
则“报纸”的人数为1000×10%=100(人)
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是360°×15%=54°,
故答案为:54°.
(3)见答案.
【分析】
(1)用电脑上网的人数除以电脑上网所占的百分比,可得样本容量,用总人数乘以“报纸”对应的百分比求得其人数,据此补全图形;
(2)根据电视所占的百分比乘以圆周角,可得答案;
(3)根据样本估计总体,可得答案.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体.
22.【答案】解:(1)王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习,恰好选中专题考试的概率是;
(2)记阅读文章、观看视频、专题考试分别为A,B,C,
列表如下:
A B C
A(A,A)(B,A)(C,A)
B(A,B)(B,B)(C,B)
C(A,C)(B,C)(C,C)
由表可知共有9种等可能的结果,其中他们选中同一种学习方式的有3种情况,
所以他们选中同一种学习方式的概率.
【解析】(1)直接利用概率公式计算可得;
(2)列表得出所有等可能结果,从表格中得出他们选中同一种学习方式的结果数,利用概率公式求解可得.
此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.【答案】(1)证明:连接OB,
∵PB是⊙O的切线,
∴PB⊥OB,
∴∠PBA+∠OBA=90°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,∠C+∠BAC=90°,
∵OA=OB,OC=OB,
∴∠OBA=∠BAO,∠C=∠OBC,
∴∠PBA+∠OBA=∠C+∠OBA,
∴∠PBA=∠C;
(2)解:∵⊙O的半径是3,
∴OB=3,AC=6,
∵OP∥BC,
∴∠BOP=∠OBC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠BOP=∠C,
∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO,
∴=,
∴=,
∴BC=4.
【解析】(1)连接OB,根据切线的性质和圆周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°,即可求出答案;
(2)求出△ABC∽△PBO,得出比例式,代入求出即可.
本题考查了平行线的性质,切线的性质,相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.
24.【答案】解:(1)∵抛物线L:y=x2++c经过点M(2,0),
∴0=1+3+c,
∴c=-4,
∴抛物线L的解析式为:y=x2+-4=(x+3)2-,
∵抛物线L沿x轴翻折,并向左平移1个单位长度后得到抛物线L1.
∴抛物线L1的解析式为:y=(x+4)2+;
(2)∵抛物线L与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧),
∴0=x2+-4,
∴x=-8,x=2,
∴点A(-8,0),点B(2,0),
∵点E在抛物线L1对称轴上一点,
∴点E的横坐标为-4,
若AO为边,则AO=EP=8,AO∥EP,
∴点P的横坐标为:-12或4,
当x=-12时,y=36-18-4=14,
∴点P(-12,14),
当x=4时,y=4+6-4=6,
∴点P(4,6);
若AO为对角线,
∴AO的中点坐标为(-4,0)
∴点P的横坐标为-4,
∴y=4-6-4=-6,
∴点P(-4,-6),
综上所述:当点P坐标为(4,6)或(-12,14)或(-4,-6)时,以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形.
【解析】(1)将点M坐标代入解析式可求抛物线L的解析式,由轴对称和平移的性质可求解;
(2)分别以AO为边或AO为对角线两种情况讨论,由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解.
本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,二次函数的性质,平行四边形的性质,中点坐标公式等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.
25.【答案】24
【解析】解:(1)当AD⊥BC时,△ABC面积的最大,
则△ABC面积的最大值是BC?AD==24,
故答案为:24;
(2)如图2中,连接OA,OB,OC,作OE⊥BC于E.设OA=OC=2x,
∵∠COB=2∠CAB=120°,OC=OB,OE⊥CB,
∴CE=EB,∠COE=∠BOE=60°,
∴OE=OB=x,BE=x,
∵OC+OE≥AG,
∴3x≥3,
∴x≥1,
∴x的最小值为1,
∵BC=2x,
∴BC的最小值为2;
(3)如图3中,连接AF,EF,延长BC交AE的延长线于G,
∵∠D=90°,AD=DE=6+6,
∴∠DAE=∠AED=45°,
∵CD=AB=6+12,
∴CE=CF=6,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴∠AEF=90°,
∴EF=6=BF,
将△EFM顺时针旋转得到△FBH,作
△FHB的外接圆⊙O交BC于N,
连接ON,
∵∠AEF=∠ABF=90°,AF=AF,EF=BF,
∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL),
∴S△AEF=S△ABF,
∵∠EFG=45°,
∵∠FEG=90°,∠EFG=45°,
∴EF=EG=6,
∴FG=EF=12,
由(2)可知,当△FHN的外接圆的圆
心O在线段BF上时,△FNH的面积最小,此时四边形ANFE的面积最大,
设OF=ON=r,则OB=BN=r,
∴r+r=6,
∴r=6(2-),
∴NH=r=12(2-),
∴四边形ANFM的面积的最大值=2××(12+6)×6-×12(2-)×6=144.
(1)根据三角形的面积公式即可得到结论;
(2)如图2中,连接OA,OB,OC,作OE⊥BC于E.设OB=OC=2x.求出x的最小值即可解决问题;
(3)如图3中,连接AF,延长BC交AE的延长线于G,将△EFM顺时针旋转得到△FBH ,作△FNH的外接圆⊙O.由(2)可知,当△FNH的外接圆的圆心O在线段BF上时,△FNH的面积最小,此时四边形ANFM的面积最大.
本题属于圆综合题,考查了三角形的外接圆,解直角三角形,最值问题等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.