人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
1.了解二元一次不等式(组)表示平面区域的概念.
2.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域.
3.会利用平面区域解决一些较简单的问题．
下列说法正确的有________．
(1) 一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间；
(2)有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标；
(3)二元一次不等式的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合；
(4)不等式x>2或y<0不能用平面直角坐标系中的点集表示．
答案(1)(2)(3)
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域：
(1)开半平面
直线Ax＋By＋C＝0把坐标平面分成两部分，每一部分叫做开半平面．
(2)闭半平面
开半平面与直线Ax＋By＋C＝0的并集叫做闭半平面．
(3)不等式表示的区域(也称不等式的图象)
以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合叫做不等式表示的区域(或不等式的图象)．(4)二元一次不等式组所表示的平面区域每一个不等式所表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的平面区域．
2．平面区域内的点
直线l：Ax＋By＋C＝0把在坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
要点一二元一次不等式表示的平面区域
例1画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
(1)x－2y＋4≥0；
(2)y>2x.
解(1)画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，包括边界．
(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，
因此所求为如图所示的区域，不包括边界．
规律方法应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C ＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．
跟踪演练1在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域：
(1)2x－3y＋6<0；(2)2x＋3y≥0；(3)y－2<0.
解(1)2x－3y＋6<0表示的平面区域如图(1)所示阴影部分(不包括边界)．
(2)2x＋3y≥0表示的平面区域如图(2)所示阴影部分(包括边界)．
(3)y －2<0表示直线y －2＝0下方的区域，如图(3)所示阴影部分(不包括边界)．
要点二 二元一次不等式组表示的平面区域 例2 画出下列不等式组所表示的平面区域： (1)?????
x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0；
(2)????
?
x －y <2，2x ＋y ≥1，
x ＋y <2.
解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0， 表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域； x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，
表示直线x ＋y －3＝0上及左下方区域； x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．
(2)x －y <2，即x －y －2<0，
表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，
表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方区域． 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．
规律方法 (1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示． 跟踪演练2 用平面区域表示下列不等式组． (1)????
?
x ≥y ，3x ＋4y －12<0；(2)?????
x －y ＋5≥0，x ＋y ＋1>0，x ≤3.
解 (1)不等式x ≥y ，即x －y ≥0， 表示直线y ＝x 上及其下方的区域． 不等式3x ＋4y －12<0，
表示直线3x ＋4y －12＝0左下方的区域．
它们的公共部分就是不等式组?????
x ≥y ，3x ＋4y －12<0
表示的平面区域(如图所示的阴影部分)．
(2)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0 上及右下方的点的集合，不等式x ＋y ＋1>0
表示直线x ＋y ＋1＝0右上方的点的集合(不含边界)， 不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．
所以不等式组表示上述平面区域的公共部分(如图所示的阴影部分)．
要点三 不等式组表示平面区域的应用 例3 (1)画出不等式组????
?
x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，
y ≤x ＋2
所表示的平面区域，并求其面积；
(2)求不等式组?
???
?
y ≤2，|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小．
解 (1)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．由?????
x －y ＋2＝0，
2x ＋y －5＝0，
得
A (1,3)．
同理得B (－1,1)，C (3，－1)．∴|AC |＝
22＋42＝25，
而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为d ＝|－2＋1－5|5＝6
5，
∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×6
5
＝6.
(2)可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①?????
x ≥0，
y ≥x ，
y ≤x ＋1，y ≤2
或②???
??
x ≤0，
y ≥－x ，
y ≤－x ＋1，y ≤2.
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S ＝12×4×
2
－1
2
×2×1＝3.
规律方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解． 跟踪演练3 画出不等式组????
?
x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
所表示的平面区域，并求平面区域的面积．
解 先画直线x －y ＋6＝0(画成实线)，不等式x －y ＋6≥0表示直线x －y ＋6＝0上及右下方的点的集合．
画直线x ＋y ＝0(画成实线)，不等式x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合． 画直线x ＝3(画成实线)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组???
x －y ＋6≥0，
x ＋y ≥0，
x ≤3
所表示的平面区域如图所示，因此其区域面积也就是
△ABC 的面积．
显然，△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，|AB |＝|AC |，B 点的坐标为(3，－3)．由点到直线的距离公式，
|AB |＝|3＋3＋6|2＝122，∴S △ABC ＝12×122
×122
＝36.
故不等式组???
x －y ＋6≥0，
x ＋y ≥0，
x ≤3
所表示的平面区域的面积等于36.
1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)
答案 D
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.
2．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.????
? y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.????
?
y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0
C.????
?
y ≥－23x －2y ＋6>0x ≤0
D.????
?
y >23x －2y ＋6<0x <0
答案 C
解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且包含直线y ＝－2，故可得不等式y ≥－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C.
3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6)
B ．(－6,1)
C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A