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09-10年秋季学期期中考试答案

2009-2010学年秋季学期微积分试卷答案

一、1、1

23lim 21x x x x +→∞

+??

?+??

、2、3

tan sin lim

sin x x x x

→-、3

、0

lim

x +

→解:1、2(1)

2121

1

2

232lim lim 12121x x x x x x x e x x ++++→∞

→∞?

?

+????

?

?=+=??

? ?++??

??????

2、()

3

3

2

2

sin sec 1tan sin 1cos 1cos 1lim

lim

lim

lim

sin sin cos 2

x x x x x x x x x x

x

x

x x

x

→→→→----====

3

、()

00ln cos lim

lim exp exp lim tan 1x x x x x x +

++

→→→??

==-= ???

二、1、已知ln tan cos lntan 2x y x x ??

=-????

?,求dy ?

2、()ln x y x =,求dy ?

3、2

21t x y t

?=

???=-?

,求2

2

d y dx ? 解:1 tan

2ln

tan cos lntan ln tan cos cos ln tan 2tan

2

x

d x dy d x x xd x xd x x ?

???=-?=-- ??????

? 2

22

sec

sec tan sec 22ln tan sin cos sin ln tan cos 2tan 2tan tan tan 22x

x

x d x x x d x xdx x d x x x dx x x x x ?? ?=+-=+- ? ???

sin ln tan x xdx =

2、两边取对数得,ln ln ln y x x =,分别关于x 求导,即得 ()ln '

'1ln ln ln ln ln ln x y x x

x y

x

x

=+=+

,从而()1'ln ln ln ln x

y x x x ?

?

=+

??

?

。 3、1,dy dy dt dx dx t

dt -==2

23

21'1'2dy d dy dx d d y dx t dt dx dx dx t t dt ?? ?-?????? ? ?????====?? ???

三、求曲线sin y x =

在点,32π??

? ???

处的切线和法线方程 (10分)?

解:3

3

1'cos 2

x x y x

ππ

==

==

,故过该点的切线为12

23y x π??

-

=

- ???

,整理

12

2

6

y x π

-

=

-

,过该点的法线方程为223y x π?

?-

=-- ???,

整理得222

3

y x π+=

+

四、指出下列函数的间断点及类型(2×5分)。 1、()1

1

1x

f x e =

+、2、()()ln 12,0,2cos ,0

x x f x x

x x +?>?

=??≤?

解:1、在0x ≠处,函数是初等函数,故连续,而1

1

lim

01x x e +

→=+,1

1

lim 11x x

e -

→=+,

从而0x =为函数的跳跃间断点。

2、在0x ≠处,函数是初等函数,故连续,而()

ln 12lim

2,lim 2cos 2,x x x x x

+

-→→+==从而0

x =不是函数的间断点。

五、证明:sin x x =只有一个实数根 (10分)。

解:令()sin f x x x =-,则显然()0f x =,故函数在区间(),-∞+∞上至少有一个零点,但是'()1cos 0f x x =-≥,故函数()sin f x x x =-在(),-∞+∞单调递增,故之多只有一个零点。

六、讨论()2

1cos 000

x x f x x

x ?≠?

=??=?

在0x =处的连续性,可导性(10分)

解:()2

1lim cos

0,x x f x

=故函数在0x =处连续,

而()()

2

1cos 0lim lim

00

x x x f

x f x x x

→→-==-,

故函数在0x =可导。 七、证明不等式

()ln 1,01x x x x x

<+<>+ (10分)。

证明:取函数()()ln 1f x x =+,在区间[]0,x 上函数满足拉格朗日定理的条件,从而存在

一点()0,x ?∈使得()()()()0ln 1'1x f x f x f x ??

-=+==

+,因为

11x x x x

?

<

<++,即

()ln 11x x x x

<+<+,整理后即得所要的结论。

八、求函数432164228y x x x x =-+-的凹凸区间和拐点(10分)。

解:显然,322'4488428,"129684,y x x x y x x =-+-=-+ 易得1,7x x ==是二阶导数的两个零点。列表可得,

九、要做一个圆锥形漏斗,其母线长30厘米,要使其体积最大,问其高应为多少(10分)?

解:可令圆锥的高为h ,则底面圆的半径为r =,从而可得圆锥的体积为

()

2

2

30

,

0303

h V h

h π=

-≤≤,则()'

2

2

3033

V h

π

=

-,解得有唯一解h =

,因为

这个最大值一定存在,故高为h =时体积最大。

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