2009-2010学年秋季学期微积分试卷答案
一、1、1
23lim 21x x x x +→∞
+??
?+??
、2、3
tan sin lim
sin x x x x
→-、3
、0
lim
x +
→解:1、2(1)
2121
1
2
232lim lim 12121x x x x x x x e x x ++++→∞
→∞?
?
+????
?
?=+=??
? ?++??
??????
2、()
3
3
2
2
sin sec 1tan sin 1cos 1cos 1lim
lim
lim
lim
sin sin cos 2
x x x x x x x x x x
x
x
x x
x
→→→→----====
3
、()
00ln cos lim
lim exp exp lim tan 1x x x x x x +
++
→→→??
==-= ???
二、1、已知ln tan cos lntan 2x y x x ??
=-????
?,求dy ?
2、()ln x y x =,求dy ?
3、2
21t x y t
?=
???=-?
,求2
2
d y dx ? 解:1 tan
2ln
tan cos lntan ln tan cos cos ln tan 2tan
2
x
d x dy d x x xd x xd x x ?
???=-?=-- ??????
? 2
22
sec
sec tan sec 22ln tan sin cos sin ln tan cos 2tan 2tan tan tan 22x
x
x d x x x d x xdx x d x x x dx x x x x ?? ?=+-=+- ? ???
sin ln tan x xdx =
2、两边取对数得,ln ln ln y x x =,分别关于x 求导,即得 ()ln '
'1ln ln ln ln ln ln x y x x
x y
x
x
=+=+
,从而()1'ln ln ln ln x
y x x x ?
?
=+
??
?
。 3、1,dy dy dt dx dx t
dt -==2
23
21'1'2dy d dy dx d d y dx t dt dx dx dx t t dt ?? ?-?????? ? ?????====?? ???
。
三、求曲线sin y x =
在点,32π??
? ???
处的切线和法线方程 (10分)?
解:3
3
1'cos 2
x x y x
ππ
==
==
,故过该点的切线为12
23y x π??
-
=
- ???
,整理
12
2
6
y x π
-
=
-
,过该点的法线方程为223y x π?
?-
=-- ???,
整理得222
3
y x π+=
+
。
四、指出下列函数的间断点及类型(2×5分)。 1、()1
1
1x
f x e =
+、2、()()ln 12,0,2cos ,0
x x f x x
x x +?>?
=??≤?
解:1、在0x ≠处,函数是初等函数,故连续,而1
1
lim
01x x e +
→=+,1
1
lim 11x x
e -
→=+,
从而0x =为函数的跳跃间断点。
2、在0x ≠处,函数是初等函数,故连续,而()
ln 12lim
2,lim 2cos 2,x x x x x
+
-→→+==从而0
x =不是函数的间断点。
五、证明:sin x x =只有一个实数根 (10分)。
解:令()sin f x x x =-,则显然()0f x =,故函数在区间(),-∞+∞上至少有一个零点,但是'()1cos 0f x x =-≥,故函数()sin f x x x =-在(),-∞+∞单调递增,故之多只有一个零点。
六、讨论()2
1cos 000
x x f x x
x ?≠?
=??=?
在0x =处的连续性,可导性(10分)
解:()2
1lim cos
0,x x f x
→
=故函数在0x =处连续,
而()()
2
1cos 0lim lim
00
x x x f
x f x x x
→→-==-,
故函数在0x =可导。 七、证明不等式
()ln 1,01x x x x x
<+<>+ (10分)。
证明:取函数()()ln 1f x x =+,在区间[]0,x 上函数满足拉格朗日定理的条件,从而存在
一点()0,x ?∈使得()()()()0ln 1'1x f x f x f x ??
-=+==
+,因为
11x x x x
?
<
<++,即
()ln 11x x x x
<+<+,整理后即得所要的结论。
八、求函数432164228y x x x x =-+-的凹凸区间和拐点(10分)。
解:显然,322'4488428,"129684,y x x x y x x =-+-=-+ 易得1,7x x ==是二阶导数的两个零点。列表可得,
九、要做一个圆锥形漏斗,其母线长30厘米,要使其体积最大,问其高应为多少(10分)?
解:可令圆锥的高为h ,则底面圆的半径为r =,从而可得圆锥的体积为
()
2
2
30
,
0303
h V h
h π=
-≤≤,则()'
2
2
3033
V h
π
=
-,解得有唯一解h =
,因为
这个最大值一定存在,故高为h =时体积最大。