中考数学压轴题精选精析
(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为(3,
0),(0,1),点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重合),过点D 作直线y =-
12
x +b 交折线OAB 于点E .
(1)记△ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式; (2)当点E 在线段OA 上时,若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1,
试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
【分析】(1)要表示出△ODE 的面积,要分两种情况讨论,①如果点E 在OA 边上,只需求出这个三角形的底边OE 长(E 点横坐标)和高(D 点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E 在AB 边上,这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积;
(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化.
【答案】(1)由题意得B (3,1).
若直线经过点A (3,0)时,则b =32
若直线经过点B (3,1)时,则b =
52
若直线经过点C (0,1)时,则b =1
①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时,即1<b ≤
32
,如图25-a ,
此时E (2b ,0)
∴S =
12
OE ·CO =
12
32b 31=b
②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时,即32
<b <
52
,如图2
图1
D
E
x
y
C
B A
O
C D
B
A
E O
x
y
此时E (3,32
b -
),D (2b -2,1)
∴S =S 矩-(S △OCD +S △OAE +S △DBE )
= 3-[
12
(2b -1)×1+
12
×(5-2b )2(
52
b -)+
12
33(32
b -
)]=
2
52
b b -
∴2
312
535222
b b S b b b ?
<≤??=??-<<
??
(2)如图3,设O 1A 1与CB 相交于点M ,OA 与C 1B 1相交于点N ,则矩形OA 1B 1C 1与
矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!
由题意知,DM ∥NE ,DN ∥ME ,∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知,∠MED =∠NED
又∠MDE =∠NED ,∴∠MED =∠MDE ,∴MD =ME ,∴平行四边形DNEM 为菱形. 过点D 作DH ⊥OA ,垂足为H , 由题易知,tan ∠DEN =
12
,DH =1,∴HE =2,
设菱形DNEM 的边长为a ,
则在Rt △DHM 中,由勾股定理知:222
(2)1a a =-+,∴54
a =
∴S 四边形DNEM =NE 2DH =
54
∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为
54
.
【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.
【推荐指数】★★★★★
图3
H
N M
C 1
A 1
B 1
O 1
D
E
x
y C
B
A O
D
E
x
y
C B A
O 图2
(10浙江嘉兴)24.如图,已知抛物线y =-1
2
x 2
+x +4交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于
点B .
(1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设P (x ,y )(x >0)是直线y =x 上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF ,若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值.
(10重庆潼南)26.(12分)如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ,与x 轴
相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最
大时,求点D 的坐标;
(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,
若不存在,说明理由.
A
B
C
E
D
x
y o
题图26A
B
C
x
y o
备用图
(10重庆潼南)26. 解:(1)∵二次函数c bx x y ++=2
2
1的图像经过点A (2,0)C(0,-
1)
∴??
?-==++1
022c c b
解得: b =-2
1 c =-1-------------------2分
∴二次函数的解析式为12
1212
--
=
x x y --------3分
(2)设点D 的坐标为(m ,0) (0<m <2) ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得,OC
DE AO
AD = --------------4分
∴
1
2
2DE m
=-
∴DE=
2
2m ------------------------------------5分
∴△CDE 的面积=2
13
2
2m -3m
=2
42
m
m
+
-
=4
1)1(4
12
+--
m
当m =1时,△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为(1,0)--------------------------8分
(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为12
1
212--=x x y
设y=0则12
1
2102--=x x 解得:x 1=2 x 2=-1
∴点B 的坐标为(-1,0) C (0,-1) 设直线BC 的解析式为:y =kx +b
∴ ?
??-==+-10b b k 解得:k =-1 b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =-x -1
在Rt △AOC 中,∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得:AC=5
∵点B(-1,0) 点C (0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C 为顶点且PC=AC=5时, 设P(k, -k -1)
过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2
+k 2
=
()2
5 解得k 1
=
2
10, k 2=-
210 ∴P 1(
2
10,-
12
10-) P 2(-
2
10,
12
10-)---10分
②以A 为顶点,即AC=AP=5 设P(k , -k -1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G
AG=∣2-k ∣ GP=∣-k -1∣ 在Rt △APG 中 AG 2+PG 2=AP 2
(2-k )2+(-k -1)2
=5 解得:k 1=1,k 2=0(舍)
∴P 3(1, -2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点,PC=AP 设P(k , -k -1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知
CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=|-k -1| 在Rt △PLA 中
(2k)2=(k -2)2+(k +1)2 解得:k =
2
5∴P 4(2
5,-2
7) ------------------------12分
综上所述: 存在四个点:P 1(2
10,-
12
10-) P 2(-2
10,
12
10-) P 3(1, -2) P 4(2
5,-
2
7)
(10四川宜宾)24.(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P 是线段BC 上一动点,过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ,连接AP ,当 △APE 的面积最大时,求点P 的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ,使△AGC 的面积与(2)中△APE 的最 大面积相等?若存在,请求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.
y A
(10浙江宁波)26、如图1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,□ABCD 的顶点A 的坐标为(-2,0),点D 的坐标为(0,32),点B 在x 轴的正半轴上,点E 为线段AD 的中点,过点E 的直线l 与x 轴交于点F ,与射线DC 交于点G 。 (1)求DCB ∠的度数;
(2)连结OE ,以OE 所在直线为对称轴,△OEF 经轴对称变换后得到△F OE ',记直线F E '
与射线DC 的交点为H 。
①如图2,当点G 在点H 的左侧时,求证:△DEG∽△DHE;
②若△EHG 的面积为33,请直接写出点F 的坐标。
25、解:(1)?60
(2)(2,32) (3)①略
②过点E 作EM ⊥直线CD 于点M ∵CD ∥AB
∴?=∠=∠60DAB EDM ∴32
3260sin =?=??=DE Em ∵3332
12
1=?
?=
??=
?GH ME GH S EGH
∴6=GH
∵△DHE ∽△DEG ∴
DE
DH DG
DE =即DH DG DE
?=2
当点H 在点G 的右侧时,设x DG =,6+=x DH ∴)6(4+=x x 解:11321331-=
++-=x
∴点F 的坐标为(113+-,0)
当点H 在点G的左侧时,设x DG =,6-=x DH ∴)6(4-=x x
y x C D A O B E
G F (图1) x
C
D A O B
E G H
F F ' y (图2)
x
C
D
A
O B
E
y
(图3)
x C
D A
O B
E y (图3)
M
解:1331+=x ,1331-=x (舍) ∵△DEG≌△AEF ∴133+==DG AF
∵5132133+=++=+=AF AO OF
∴点F的坐标为(513--,0)
综上可知,点F的坐标有两个,分别是1F (113+-,0),2F (513--,0)
(10江苏南通)28.(本小题满分14分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-4,3)、B (2,0)两点,当x =3和x =-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C (0,-2)的直线l 与 x 轴平行,O 为坐标原点.
(1)求直线AB 和这条抛物线的解析式;
(2)以A 为圆心,AO 为半径的圆记为⊙A ,判断直线l 与⊙A 的位置关系,并说明理由; (3)设直线AB 上的点D 的横坐标为-1,P (m ,n )是抛物线y =ax 2
+bx +c 上的动点,
当
△PDO 的周长最小时,求四边形CODP 的面积.
(10浙江义乌)24.如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,
3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;
(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,
分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2).用含S 的代数式表示2x -1x ,并求出当S =36时点A 1的坐标;
(3)在图1中,设点D 坐标为(1,3),动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度
沿着线段BC 运动,动点Q 从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴...围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.
-1 y
x
O (第28题) 1 2 3
4
-2
-4
-3
3 -1 -2 -3 -
4 4 1 2
(10浙江义乌)24.解:(1)对称轴:直线1x =……………………………………………………..…
1分
解析式:2
1184
y x x =
-
或2
11(1)8
8
y x =--
……………………………….2分
顶点坐标:M (1,18
-)……….…………………………………………..3分
(2)由题意得 213y y -=
2
2
212211111184
8
4
y y x x x x -=
--
+=3……………………………………..1分
得:21211
1()[()]38
4
x x x x -+-
=①…………….………………….……2分
12122(11)3()62x x s x x -+-?3
=
=+-
得:1223
s x x +=
+ ②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得:2172x x s
-=
(S >0) (事实上,更确切为S >66)4
分
当36s =时,2121142x x x x +=??-=? 解得:126
8
x x =??=?(注:S >0或S >66不写
不扣
分) 把16x =代入抛物线解析式得13y = ∴点A 1(6,3) (5)
分
(3)存在………………………………………………………………….…..……1分
解法一:易知直线AB 的解析式为334
2
y x =
-
,可得直线AB 与对称轴的
交点E 的坐标为31,4??
- ??
?
∴BD =5,DE =
154
,DP =5-t ,DQ = t
当PQ ∥A B 时,D Q D P D E
D B
=
5155
4t t -= 得 157
t =
………2分
下面分两种情况讨论: 设直线PQ 与直线AB 、x 轴的交点分别为点F 、G
图2 O 1 A 1
O y x
B 1
C 1 D
M C B A O y x
图1
D
M C
B A O y x F
G
①当0<157
t <
时,如图1-1 ∵△FQE ∽△FAG ∴∠FGA =∠FEQ
∴∠DPQ =∠DEB 易得△DPQ ∽△DEB ∴D Q D P D B
D E
=
∴5155
4
t t -= 得201577t =>
∴20
7
t =(舍去)…………………………3分
② 当
157<18
t <3
时,如图1-2
∵△FQE ∽△FAG ∴∠FAG =∠FQE
∵∠DQP =∠FQE ∠FAG =∠EBD
∴∠DQP =∠DBE 易得△DPQ ∽△DEB
∴
D Q D P D B
D E
=
∴5155
4
t t -=, ∴20
7
t =
∴当207
t =
秒时,使直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、
直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
(注:未求出157
t =
能得到正确答案不扣分)
解法二:可将2
8
4
x
x y =
-
向左平移一个单位得到2
18
8
x
y =
-
,再用解法一
类似的方法可求得
2172x x S
''-= , 1(5,3)A ', 207t =
∴2172x x S
-= 1(6,3)A , 207
t =
.
(10安徽省卷)23.如图,已知△ABC ∽△111C B A ,相似比为k (1>k ),且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c (c b a >>),△111C B A 的三边长分别为1a 、1b 、1c 。 ⑴若1a c =,求证:kc a =;
⑵若1a c =,试给出符合条件的一对△ABC 和△111C B A ,使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 进都是正整数,并加以说明;
⑶若1a b =,1b c =,是否存在△ABC 和△111C B A 使得2=k ?请说明理由。
(10山东聊城)25.(本题满分12分)如图,已知抛
物线y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (—1,0)、B (0,—3)两点,与x 轴交于另一点B .
x
y
O x =1 第25题 A C B E N
M
D C B A O y
x
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,
并求出此时点M 的坐标;
(3)设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠PCB =90°的点P 的坐标.
(10四川眉山)26.如图,Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半
轴上,O 为坐标原点,A 、B 两点的坐标分别为(3-,0)、(0,4),抛物线2
23
y x bx c
=++经过B 点,且顶点在直线52
x =
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试判断点C
和点D 是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD
于点N .设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l .求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标.
26.解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为2
25()3
2
y x m =-
+ …(1分)
∴2
254()32m =
?-+
∴16
m =- ……………………………………………………………(3分)
∴所求函数关系式为:2
2
251210()4326
3
3
y x x x =
-
-
=
-
+ …………(4分)
(2)在Rt △ABO 中,OA =3,OB =4,
∴2
2
5AB O A O B =+=
∵四边形ABCD 是菱形
∴BC =CD =DA =AB =5 ……………………………………(5分)
E
N M
D
C
B
A
O
y
x
∴C 、D 两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). …………(6分) 当5x =时,2
21055443
3y =?-?+= 当2x =时,2210224033
y =
?-
?+=
∴点C 和点D 在所求抛物线上. …………………………(7分) (3)设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+,则
54
20k b k b +=??
+=?
解得:4
8,3
3
k b ==-
.
∴48
33
y x =
-
………(9分)
∵MN ∥y 轴,M 点的横坐标为t , ∴N 点的横坐标也为t . 则2
210433
M y t t =
-
+, 483
3
N y t =
-
,……………………(10分)
∴2224
8
210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ??
=-=
-
--+=-+-=--+ ???
∵203-<, ∴当72t =时,3
2
l =最大,
此时点M 的坐标为(72
,
1
2
). ………………………………(12分)
(10浙江杭州)24. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的解析式是y =
2
4
1x +1,
点C 的坐标为(–4,0),平行四边形OABC 的顶点A ,B 在抛物 线上,AB 与y 轴交于点M ,已知点Q (x ,y )在抛物线上,点
P (t ,0)在x 轴上.
(1) 写出点M 的坐标;
(2) 当四边形CMQP 是以MQ ,PC 为腰的梯形时.
① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围; ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1:2时,求t 的值.
24. (本小题满分12分)
(1) ∵OABC 是平行四边形,∴AB∥OC,且AB = OC = 4, ∵A,B 在抛物线上,y 轴是抛物线的对称轴, ∴ A,B 的横坐标分别是2和– 2,
(第24题)
(第24题)
代入y =2
4
1x +1得, A(2, 2 ),B(– 2,2),
∴M (0,2),
---2分
(2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴,设垂足为H , 则HQ = y ,HP = x –t , 由△HQP ∽△OMC ,得:4
2t x y -=, 即: t = x – 2y ,
∵ Q(x ,y ) 在y = 2
41x
+1上, ∴ t = –
2
2
1x
+ x –2.
---2分
当点P 与点C 重合时,梯形不存在,此时,t = – 4,解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时,四边形为平行四边形,此时,x = ± 2 ∴x 的取值范围是
x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数.
---2分
② 分两种情况讨论:
1)当CM > PQ 时,则点P 在线段OC 上, ∵ CM ∥PQ ,CM = 2PQ ,
∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍,即2 = 2(2
4
1x +1),解得x = 0 ,
∴t = –
2
2
1+ 0 –2 = –2 .
--- 2分
2)当CM < PQ 时,则点P 在OC 的延长线上, ∵CM ∥PQ ,CM =
2
1PQ ,
∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍,即
2
4
1x +1=2?2,解得: x = ±32.
---2分
当x = –32时,得t = –2
)32(2
1
–32–2 = –8 –32,
当x =32时, 得t =32–8.
---2分
(10浙江温州)24.(本题l4分)如图,在RtAABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B
作射线BBl ∥AC .动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动.过点D 作DH ⊥AB 于H ,过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ,G 是EF 中点,连结DG .设点D 运动的时间为t 秒. (1)当t 为何值时,AD=AB ,并求出此时DE 的长度; (2)当△DEG 与△AC B 相似时,求t 的值;
(3)以DH 所在直线为对称轴,线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′. ①当t>
5
3时,连结C ′C ,设四边形ACC ′A ′的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式;
②当线段A ′C ′与射线BB ,有公共点时,求t 的取值范围(写出答案即可).
(10重庆)26.已知:如图(1),在平面直角坐标xOy 中,边长为2的等边△OAB 的顶点
B 在第一象限,顶点A 在x 轴的正半轴上.另一等腰△OCA 的顶点
C 在第四象限,OC =AC ,∠C =120°.现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发,点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动,点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
(1)求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范围;
(2)在等边△OAB 的边上(点A 除外)存在点D ,使得△OCD 为等腰三角形,请直接写出
所有符合条件的点D 的坐标;
(3)如图(2),现有∠MCN =60°,其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ,连接MN .将∠
MCN 绕着C 点旋转(0°<旋转角<60°),使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
(10安徽芜湖)24.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ,其
顶点为A (0,1)、B (-33,1)、C (-33,0)、O (0,0).将此矩形沿着过E (-3,1)、F (-
43
3
,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为B ′、C ′. (1)求折痕所在直线EF 的解析式;
(2)一抛物线经过B 、E 、B ′三点,求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF 上求一点P ,使得△PBC 周长最小?如能,求出点P 的坐标;若不能,说明理由. 解:
(10甘肃兰州)28.(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合,AD 、
AB 分别在x 轴、y 轴上,且AD=2,AB=3;抛物线c bx x y ++-=2
经过坐标原点O 和x
轴上另一点E (4,0)
(1)当x 取何值时,该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平
行移动,同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒(0≤t ≤3),直线AB 与该抛物线的交点为N (如图2所示).
① 当
411
=
t 时,判断点P 是否在直线ME 上,并说明理由;
② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N 点的坐标;若无可能,请说明理由.
图1 第28题图 图2
28. (本题满分11分)
解:(1)因抛物线c bx x y ++-=2
经过坐标原点O (0,0)和点E (4,0)
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为x x y 42
+-=…………………………………………1分
由x x y 42
+-=()2
24
y x =--+
得当x =2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
(2)① 点P 不在直线ME 上.
已知M 点的坐标为(2,4),E 点的坐标为(4,0), 设直线ME 的关系式为y=kx +b .
于是得???=+=+4204b k b k ,解得???=-=82
b k
所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分
由已知条件易得,当
411
=
t 时,OA=AP=411
,)
411,411(
P …………………4分
∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.
∴ 当
411
=
t 时,点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A 在x 轴的非负半轴上,且N 在抛物线上, ∴ OA=AP=t .
∴ 点P ,N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) …………………………………6分
∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,
∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7分
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t =3时,以点P ,N ,C ,D 为顶点的多边形是三角形,此三角形
的高为AD ,∴ S=21
DC 2AD=21
3332=3.
(ⅱ)当PN ≠0时,以点P ,N ,C ,D 为顶点的多边形是四边形
∵ PN ∥CD ,AD ⊥CD ,
∴ S=21
(CD+PN )2AD=21
[3+(-t 2+3 t )]32=-t 2+3 t +3…………………8分 当-t 2
+3 t +3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内,故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述,当t=1、2时,以点P ,N ,C ,D 为顶点的多边形面积为5,
当t=1时,此时N 点的坐标(1,3)………………………………………10分
1 -
2 1 A
x
y O B P
M
C Q
E D 当t=2时,此时N 点的坐标(2,4)………………………………………11分
说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)
(10江苏盐城)28.(本题满分12分)已知:函数y =ax 2
+x +1的图象与x 轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次..函数y =ax 2
+x +1图象的顶点为B ,与y 轴的交点为A ,P 为图象上的一点,若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ,求P 点的坐标;
(3)在(2)中,若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ,试探索点M 是否在抛物
线y =ax 2+x +1上,若在抛物线上,求出M 点的坐标;若不在,请说明理由.
28.解:(1)当a = 0时,y = x +1,图象与x 轴只有一个公共点………(1分)
当a ≠0时,△=1- 4a =0,a = 1
4 ,此时,图象与x 轴只有一个公共点.
∴函数的解析式为:y =x +1 或`y =1
4
x 2+x +1……(3分)
(2)设P 为二次函数图象上的一点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C . ∵y =ax 2
+x +1 是二次函数,由(1)知该函数关系式为: y =1
4
x 2+x +1,则顶点为B (-2,0),图象与y 轴的交点 坐标为A (0,1)………(4分)
∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA
∴AO
BC OB
PC ,故PC =2BC ,……………………………………………………(5分)
设P 点的坐标为(x ,y ),∵∠ABO 是锐角,∠PBA 是直角,∴∠PBO 是钝角,∴x <-2 ∴BC =-2-x ,PC =-4-2x ,即y =-4-2x , P 点的坐标为(x ,-4-2x )
∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上,∴-4-2x =1
4
x 2+x +1…………………(6分)
解之得:x 1=-2,x 2=-10
∵x <-2 ∴x =-10,∴P 点的坐标为:(-10,16)…………………………………(7分)
(3)点M 不在抛物线y =ax 2
+x +1 上……………………………………………(8分) 由(2)知:C 为圆与x 轴的另一交点,连接CM ,CM 与直线PB 的交点为Q ,过点M 作
x 轴的垂线,垂足为D ,取CD 的中点E ,连接QE ,则CM ⊥PB ,且CQ =MQ
A
x y
O B
∴QE ∥MD ,QE =1
2
MD ,QE ⊥CE
∵CM ⊥PB ,QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB
∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1
2
CE =2QE =232BE =4BE ,又CB =8,故BE =85 ,QE =16
5
∴Q 点的坐标为(-185 ,16
5
)
可求得M 点的坐标为(145 ,32
5
)…………………………………………………(11分)
∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2
+x +1 上……………………(12分) (其它解法,仿此得分)
(10浙江台州)24.如图,Rt△ABC 中,∠C =90°,BC =6,AC =8.点P ,Q 都是斜边AB 上的动点,点P 从B 向A 运动(不与点B 重合),点Q 从A 向B 运动,BP=AQ .点D ,E 分别是点A ,B 以Q ,P 为对称中心的对称点, HQ ⊥AB 于Q ,交AC 于点H .当点E 到达顶点A 时,
P ,Q 同时停止运动.设BP 的长为x ,△HDE 的面积为y .
(1)求证:△DHQ ∽△ABC ;
(2)求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值; (3)当x 为何值时,△HDE 为等腰三角形?
24.(14分)(1)∵A 、D 关于点Q 成中心对称,HQ ⊥AB ,
∴C HQD ∠=∠=90°,HD =HA ,
∴A HDQ ∠=∠,…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ ∽△ABC . ……………………………………………………………………1分
(2)①如图1,当5.20≤ ED =x 410-,QH =x A AQ 4 3tan = ∠, 此时x x x x y 4 152 34 3)410(2 12 + -=? -=. …………………………………………3分 当4 5=x 时,最大值32 75=y . (第24题) D E Q B A C P H D H Q E B A C P (图1) H Q D E P B A C (图2) ②如图2,当55.2≤ ED =104-x ,QH =x A AQ 4 3tan = ∠, 此时x x x x y 4 152 343)104(2 12 - = ? -= . …………………………………………2分 当5=x 时,最大值4 75= y . ∴y 与x 之间的函数解析式为?????≤<-≤<+-=). 55.2(4152 3), 5.20(415 2322x x x x x x y y 的最大值是 4 75.……………………………………………………………………1分 (3)①如图1,当5.20≤ 若DE =DH ,∵DH =AH =x A QA 4 5cos =∠, DE =x 410-, ∴x 410-= x 45,21 40 = x . 显然ED =EH ,HD =HE 不可能; ……………………………………………………1分 ②如图2,当55.2≤ 若DE =DH ,104-x =x 45,11 40 =x ; …………………………………………1分 若HD =HE ,此时点D ,E 分别与点B ,A 重合,5=x ; ………………………1分 若ED =EH ,则△EDH ∽△HDA , ∴AD DH DH ED =,x x x x 2454 5104= -,103320=x . ……………………………………1分 ∴当x 的值为103 320 , 5,1140,2140时,△HDE 是等腰三角形. (其他解法相应给分) (10浙江金华)24. (本题12分) 如图,把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中,A ,B 两点坐标分别为 (3,0)和(0,33).动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动,点P 在AO ,OB , BA 上运动的速度分别为1, 3 ,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置 开 始以 3 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l ∥x 轴),且分别与OB , AB 交于E ,F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发,运动时间为t 秒,当点P 沿折线 AO -OB -BA 运动一周时,直线l 和动点P 同时停止运动. 请解答下列问题: (1)过A ,B 两点的直线解析式是 ▲ ; (2)当t ﹦4时,点P 的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P 与点E 重合; (3)① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F 为 菱形,则t 的值是多少? ② 当t ﹦2时,是否存在着点Q ,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的 坐标; 若不存在,请说明理由. 24.(本题12分) 解:(1)333+-=x y ;………4分 (2)(0,3),2 9= t ;……4分(各2分) (3)①当点P 在线段AO 上时,过F 作FG ⊥x 轴,G 为垂足(如图1 ) ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ,∴PG OP =﹒ 又∵t FG OE 33= =,∠=A 60°,∴t FG AG 3 160tan 0 = = 而t AP =,∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-= 由t t 3 23= -得 5 9= t ; (1) 分 当点P 在线段OB 上时,形成的是三角形,不存在菱形; 当点P 在线段BA 上时, 过P 作PH ⊥EF ,PM ⊥OB ,H 、M 分别为垂足(如图2) ∵t OE 33= ,∴t BE 3 333- =,∴3 360 tan 0 t BE EF - == ∴6 921t EF EH MP -= ==, 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中,MP BP =?060cos B F A P E O x y l (第24题图) B F A P E O x y G P ′ (图1) B F A P E O x y M P ′ H (图2) 即6 92 1)6(2t t -= ?-,解得7 45= t . (1) 分 ②存在﹒理由如下: ∵2=t ,∴3 3 2= OE ,2=AP ,1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°,得到 △EC B '(如图3) ∵OB ⊥EF ,∴点B '在直线EF 上, C 点坐标为( 3 3 2, 3 3 2-1) 过F 作FQ ∥C B ',交EC 于点Q , 则△FEQ ∽△EC B ' 由3 = ='=QE CE FE E B FE BE ,可得Q 的坐标为(-3 2 , 3 3) (1) 分 根据对称性可得,Q 关于直线EF 的对称点Q '(- 3 2,3)也符合条件. (1) 分 (10山东烟台)26、(本题满分14分) 如图,已知抛物线y=x 2 +bx-3a 过点A (1,0),B(0,-3),与x 轴交于另一点C 。 (1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P ,使△PBC 为以点B 为直角顶点的直角三角形,求点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q ,使以P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 (10江苏泰州)27.(12分) y B F A P E O x Q ′ B ′ Q C C 1 D 1 (图3) 中考数学压轴题1:新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲: 以现实生活问题为背景的应用问题,是中考的热点,这类问题取材新颖,立意巧妙,有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查,让考生在变化的情境中解题,既没有现成的模式可套用,也不可能靠知识的简单重复来实现,更多的是需要思考和分析,新情境应用问题有以下特点:(1)提供的背景材料新,提出的问题新;(2)注重考查阅读理解能力,许多中考试题中涉及的数学知识并不难,但是读懂和理解背景材料成了一道“关”;(3)注重考查问题的转化能力.解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题,这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型题 【1】(2005,宜宾)如图(8),在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处,并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60千米,且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张. (1)当台风中心移动4小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又台风中心移动t小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米. (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨 城市?请说明理.(参考数据,). 点拨:对于此类问题常常要构造直角三角形.利用三角函数知识来解 决,也可借助于方程. 【2】如图2-1-5所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里/时的速度向正东方向航行,为迅速实 施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和 航速的前提下,问: ⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向(精确到0.1°). 点拨:几何型应用题是近几年中考热点,解此类问题的关键是准确读图. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分) 如图,已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -, 、()43B -,两点. (1)求抛物线的解析式; (2 求tan ABO ∠的值; (3)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C ,点M 是抛物线上一点,直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ,如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的坐标. 24.解:(1)将A (0,-1)、B (4,-3)分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?, ………………………………………………………………(1分) 解,得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… (1分) (2)过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为C ,过点A 作AH ⊥OB ,垂足为点H ………(1分) 在Rt AOH ?中,OA =1,4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………(1分) ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ,∴322,55 OH BH OB OH ==-=, ………………(1分) 在Rt ABH ?中,4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………(1分) (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--, ……………………………………………(1分) 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --,点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-; …………………………(1分) ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………(1分) 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =; ………………………………………(1分) 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………(1分) 25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为等腰三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ; 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式; 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为腰时,分两类讨论: ①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型:已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或 抛物线的对称轴上),若ABP ?为直角三角形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为斜边时(即PA PB ⊥):点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ; 利用圆的一般方程列出M e 的方程,与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 (2)AB 为直角边时,分两类讨论: ①以A ∠为直角时(即AP AB ⊥): ②以B ∠为直角时(即BP BA ⊥): 利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出PA (或PB )的斜率 k ;进而求出PA (或PB )的解析式; 将PA (或PB )的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点: 一、 两点之间距离公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程: 点()y ,x P 在⊙M 上,⊙M 中的圆心M 为()b ,a ,半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22,得到方程☆:()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上,即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式: 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式: 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型:一、已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上, 或抛物线的对称轴上),若四边形ABPQ 为平行四边形,求点P 坐标。 分两大类进行讨论: (1)AB 为边时 (2)AB 为对角线时 二、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为距形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边互相垂直 (2)对角线相等 三、已知AB ,抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对 称轴上),若四边形ABPQ 为菱形,求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论: (1)邻边相等 (2)对角线互相垂直 中考数学压轴题汇编(1) 1、(安徽)按右图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求: (Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间; (Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。 (1)若y与x的关系是y=x+p(100-x),请说明:当p=1 2 时,这种变 换满足上述两个要求; (2)若按关系式y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程) 【解】(1)当P=1 2 时,y=x+() 1 100 2 x -,即y= 1 50 2 x+。 ∴y随着x的增大而增大,即P=1 2 时,满足条件(Ⅱ)……3分 又当x=20时,y=1 10050 2 ?+=100。而原数据都在20~100之间,所以新数据都在60~ 100之间,即满足条件(Ⅰ),综上可知,当P=1 2 时,这种变换满足要求;……6分 (2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若x=20,100时,y的对应值m,n能落在60~100之间,则这样的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()2 20 a x k -+,……8分 ∵a>0,∴当20≤x≤100时,y随着x的增大…10分 令x=20,y=60,得k=60 ① 令x=100,y=100,得a ×802 +k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=? , ∴()212060160y x = -+。………14分 2、(常州)已知(1)A m -, 与(2B m +,是反比例函数 k y x = 图象上的两个点. (1)求k 的值; (2)若点(10)C -, ,则在反比例函数k y x =图象上是否存在点 D ,使得以A B C D ,,,四点为顶点的四边形为梯形?若存在, 求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1 )由(1)2(m m -=+ ,得m =- k =. ····· 2分 (2)如图1,作BE x ⊥轴,E 为垂足,则3CE = ,BE = ,BC =,因此 30BC E = ∠. 由于点C 与点A 的横坐标相同,因此CA x ⊥轴,从而120AC B = ∠. 当AC 为底时,由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B , 故不符题意. ····························· 3分 当BC 为底时,过点A 作BC 的平行线,交双曲线于点D , 过点A D ,分别作x 轴,y 轴的平行线,交于点F . 由于30D A F = ∠,设11(0)D F m m => ,则1AF = ,12AD m =, 由点(1A --, ,得点11(1)D m -+-,. 2020年数学中考压轴题专项训练:圆的综合 1.如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,∠C=90°,以OA为半径的⊙O与BC交于点D,与AC交于点E,连接AD且AD平分∠BAC. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π) (1)证明:连接OD, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∵AO=DO, ∴∠BAD=∠ADO, ∴∠CAD=∠ADO, ∴AC∥OD, ∵∠ACD=90°, ∴OD⊥BC, ∴BC与⊙O相切; (2)解:连接OE,ED, ∵∠BAC=60°,OE=OA, ∴△OAE为等边三角形, ∴∠AOE=60°, ∴∠ADE=30°, 又∵∠OAD=∠BAC=30°, ∴∠ADE=∠OAD, ∴ED∥AO, ∴四边形OAED是菱形, ∴OE⊥AD,且AM=DM,EM=OM, ∴S△AED=S△AOD, ∴阴影部分的面积=S扇形ODE==π. 2.如图,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点E在⊙O外,连接CE,∠ACB的平分线交⊙O于点D. (1)若∠BCE=∠BAC,求证:CE是⊙O的切线; (2)若AD=4,BC=3,求弦AC的长. (1)证明:连接OC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠BCO=90°, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠BAC=∠BCE, ∴∠ACO=∠BCE, ∴∠BCE+∠BCO=90°, ∴∠OCE=90°, ∴CE是⊙O的切线; (2)解:连接BD, ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D, ∴∠ACD=∠BCD, ∴=, ∴AD=BD, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∴△ADB是等腰直角三角形, ∴AB=AD=4, ∵BC=3, ∴AC===. 3.如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)∠C=45°,⊙O的半径为2,求阴影部分面积. 21、直线y= -x+m 与直线y=3 3 x+2相交于y 轴上的点C ,与x 轴分别交于点A 、B 。 (1)求A 、B 、C 三点的坐标;(3分) (2)经过上述A 、B 、C 三点作⊙E ,求∠ABC 的度数,点E 的坐标和⊙E 的半径;(4分) (3)若点P 是第一象限内的一动点,且点P 与圆心E 在直线AC 的同一侧,直线PA 、PC 分别交⊙E 于点M 、N ,设∠APC=θ,试求点M 、N 的距离(可用含θ的三角函数式表示)。(5分) 21、已知△ABC 是边长为4的等边三角形,BC 在x 轴上,点D 为BC 的中点,点A 在第 一象限内,AB 与y 轴的正半轴相交于点E ,点B (-1,0),P 是AC 上的一个动点(P 与点A 、C 不重合) (1)(2分)求点A 、E 的坐标; (2)(2分)若y=c bx x 7 362 ++- 过点A 、E ,求抛物线的解析式。 (3)(5分)连结PB 、PD ,设L 为△PBD 的周长,当L 取最小值时,求点P 的坐标及 L 的最小值,并判断此时点P 是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由。 22、(9分)AB 是⊙O 的直径,点E 是半圆上一动点(点E 与点A 、B 都不重合),点C 是 BE 延长线上的一点,且CD ⊥AB ,垂足为D ,CD 与AE 交于点H ,点H 与点A 不重合。 (1)(5分)求证:△AHD ∽△CBD (2)(4分)连HO ,若CD=AB=2,求HD+HO 的值。 O D B H E C 2006年 21.(10分)如图9,抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长. (2)求该抛物线的函数关系式. (3)在x 轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想: 中考数学压轴题解题技巧及训练(完整版) 0=64a+8b 解得a=-12,b=4 ∴抛物线的解析式为:y=-12x 2+4x …………………3分 (2)①在Rt △APE 和Rt △ABC 中,tan ∠PAE= PE AP =BC AB ,即PE AP =48 ∴PE=1 2AP=12t .PB=8-t . ∴点E的坐标为(4+12t ,8-t ). ∴点G 的纵坐标为:-12(4+12t )2+4(4+12t )=-18t 2+8. …………………5分 ∴EG=-18t 2+8-(8-t) =-18t 2+t. ∵-18<0,∴当t=4时,线段EG 最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t 1= 16 3, t 2=4013,t 3. …………………11分 中考数学《三类押轴题》专题训练 第一类:选择题押轴题 1. (湖北襄阳3分)如果关于x 的一元二次方程2kx 10-+=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是【 】 A .k <12 B .k <12且k ≠0 C .﹣12≤k <12 D .﹣12 ≤k <12 且k ≠0 【题型】方程类代数计算。 【考点】 ; 【方法】 。 2. (武汉市3分)下列命题: ①若0a b c ++=,则240b ac -≥; ②若b a c >+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ③若23b a c =+,则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根; ④若240b ac ->,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是( ). A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D. 只有②③④. 【题型】方程、等式、不等式类代数变形或计算。 【考点】 ; 【方法】 。 3. (湖北宜昌3分)已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】 A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 【题型】代数类函数计算。 【考点】 ; 【方 2020中考数学压轴题100题精选 (附答案解析) 【001 】如图,已知抛物线2(1)y a x =-+(a ≠0)经过点 (2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结 BC . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 【002】如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B 时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t 秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S 与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C 成 为直角梯形?若能,求t (4)当DE经过点C 时,请直接 图16 【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; 2010/26.(本小题满分12分) 某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售 价格y (元/件)与月销量x (件)的函数关系式为y =100 1 - x +150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w 内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,10≤a ≤40),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费,设月利润为w 外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费). (1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出w 内,w 外与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围); (3)当x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同,求a 的值; (4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大? 参考公式:抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --. 2011/26.(本小题满分12分) 如图15,在平面直角坐标系中,点P 从原点O 出发,沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t (t >0) 秒,抛物线y =x 2 +bx +c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A (1,0)、B (1,-5)、D (4,0). ⑴求c 、b (用含t 的代数式表示); ⑵当4<t <5时,设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中,你认为∠AMP 的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP 的值; ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式,并求t 为何值时,S= 21 8 ; ③在矩形ABCD 的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接.. 写出t 的取值范围. 2012/26.(12分)如图1和2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos ∠ABC=. 探究:如图1,AH ⊥BC 于点H ,则AH= ,AC= ,△ABC 的面积S △ABC = ; 拓展:如图2,点D 在AC 上(可与点A ,C 重合),分别过点A 、C 作直线BD 的垂线,垂足为E ,F ,设BD=x ,AE=m ,CF=n (当点D 与点A 重合时,我们认为S △ABD =0) 2020中考数学压轴题特训详解 1、〔安徽〕按右图所示的流程,输入一个数据x ,依照y 与x 的关系式就输出一个数据y ,如此能够将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100〔含20和100〕之间的数据,变换成一组新数据后能满足以下两个要 求: 〔Ⅰ〕新数据都在60~100〔含60和100〕之间; 〔Ⅱ〕新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的 对应的新数据也较大。 〔1〕假设y 与x 的关系是y =x +p(100-x),请讲明:当p =1 2 时,这种 变 换满足上述两个要求; 〔2〕假设按关系式y=a(x -h)2 +k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。〔不要求对关系式符合题意作讲明,但要写出关系式得出的要紧过程〕 【解】〔1〕当P= 12时,y=x +()11002x -,即y=1 502 x +。 ∴y 随着x 的增大而增大,即P= 1 2 时,满足条件〔Ⅱ〕……3分 又当x=20时,y= 1 100502 ?+=100。而原数据都在20~100之间,因此新数据都在60~100之间,即满足条件〔Ⅰ〕,综上可知,当P=1 2 时,这种变换满足要求;……6分 〔2〕此题是开放性咨询题,答案不唯独。假设所给出的关系式满足:〔a 〕h ≤20;〔b 〕假设x=20,100时,y 的对应值m ,n 能落在60~100之间,那么如此的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()2 20a x k -+,……8分 ∵a >0,∴当20≤x ≤100时,y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60,得k=60 ① 令x=100,y=100,得a ×802 +k=100 ② 图9B C O y x A 代数几何综合(压轴) 201222/23 201123 201022/23 200922/23 200822 200722/23 200621/22 解析 压轴、 200621.如图9,抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解: (2)(3分)求该抛物线的函数关系式. 解: (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: 图10-1M G O D B E A C x y F 图10-2p B G C E M O D A x y 200622.(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy 中,点M 在x 轴的正半轴上, ⊙M 交x 轴于 A B 、两点,交y 轴于C D 、两点,且C 为AE 的中点,AE 交y 轴于G 点,若点A 的坐标为(-2,0),AE 8 (1)(3分)求点C 的坐标. 解: (2)(3分)连结MG BC 、,求证:MG ∥BC 证明: (3)(4分) 如图10-2,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PF OF 的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. 解: 200722.如图6,在平面直角坐标系中,正方形AOCB 的边长为1,点D 在x 轴的正半轴上,且OD OB =,BD 交OC 于点E . (1)求BEC ∠的度数. (2)求点E 的坐标. (3)求过B O D ,,三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考资料:把分母中的根号化去,叫分母有理化.例如:① 22525 5555 ==; ② 11(21)2121(21)(21)?+==+--+;③15353 235(53)(53) --== ++-等运算都是分母有理化) A B C 图6 O E D y x 做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日 三、解答题 23.(11分)如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1, 1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0 做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟 日 期:_____月_____日 三、解答题 23. (11分)如图,抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1,0),B (4,0)两点, 与y 轴交于点C ,与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ,点P 是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标. (2)点E 在x 轴上,若以A ,E ,D ,P 为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P 的坐标. (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q .若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q ′,是否存在点P ,使点Q ′恰好在x 轴上?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 做题时间:_______至_______ 家长签字:_____________ 共__________分钟日期:_____月_____日 三、解答题 23.(11分)如图,已知直线 1 1 2 y x =-+与坐标轴交于A,B两点,以线段AB 为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E. (1)请直接写出C,D两点的坐标,并求出抛物线的解析式; (2 个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落 在x轴上时停止,设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围; (3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积. 备用图 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 假如有一抛物线通过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,如今AD 与BC 相交于E ′点, 如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法,供参考〕 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 方法二:由D 〔1,0〕,A 〔-2,-6〕,得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B 〔-2,0〕,C 〔1,-3〕,得BC 直线方程:y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0,-2〕,即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2,-6〕,C 〔1,-3〕 E 〔0,-2〕三点,得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法,供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得:1E F E F AB DC ''+=得:E ′F =2 图① 一、中考数学压轴题 1.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s . (1)a =______cm ,b =______cm ; (2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分? (3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积等于6cm 2. 2.在平面直角坐标系中,抛物线2 4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且 :3:4??=ABC BCE S S . (1)求点A ,点B 的坐标; (2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式. 3.如图1,抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0). (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标. (3)如图3,点M 的坐标为( 3 2 ,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标. 压轴、 200621.如图9,抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C OCA ∽△OBC . (1)(3分)求线段OC 的长. 解: (2)(3分)求该抛物线的函数关系式. 解: (3)(4分)在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形若存在,求出所有符合 条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: 200622.(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A B 、两点,且C为AE的中点,AE交y轴于G 、两点,交y轴于C D 点,若点A的坐标为(-2,0),AE8 (1)(3分)求点C的坐标 解: 图10-1 (2)(3分)连结MG BC 、,求证:MG ∥BC 证明: (3)(4分) 如图10-2,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PF OF 化规律. 解: 200722.如图6,在平面直角坐标系中,正方形AOCB 的边长为1,点D 在x 轴的正半轴上,且OD OB ,BD 交OC 于点E . (1)求BEC ∠的度数. (2)求点E的坐标. (3)求过B O D ,,三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考 2525 5 55 = =; 1 ==; == 分母有理化) 200723.如图7,在平面直角坐标系中,抛物线2164y x =-与直线12 y x =相交于A B ,两点. (1)求线段AB 的长. (2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB 的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少 (3)如图8,线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ,两点,垂足为点M ,分别求出OM OC OD ,,的长,并验证等式 222 111 OC OD OM +=是否成立. (4)如图9,在Rt ABC △中,90ACB =∠,CD AB ⊥,垂足为D ,设BC a =,AC b =, AB c =.CD b =,试说明: 222111 +=. D 2011年全国各地中考数学压轴题专集:2一元二次方程 1.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边长为5. (1)当k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形; (2)当k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长. 2.已知△ABC的三边长为a、b、c,关于x的方程x2-2(a+b)x+c2+2ab=0有两个相等的实数根,又sin A、sin B是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个实数根. (1)求m的值; (2)若△ABC的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形的边长. 3.已知关于x的方程x2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)的两个实数根为α、β,且α≤β. (1)试用含有α、β的代数式表示m和n; (2)求证:α≤1≤β; (3)若点P(α,β)在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B(1 2 ,1),C (1,1),问是否存在点P,使m+n=5 4 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4.请阅读下列材料: 问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=y 2 . 把x=y 2 代入已知方程,得( y 2 )2+ y 2 -1=0. 化简,得y2+2y-4=0. 故所求方程为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式); (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为:___________________; (2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数. 一、中考数学压轴题 1.(1)如图1,A 是⊙O 上一动点,P 是⊙O 外一点,在图中作出PA 最小时的点A . (2)如图2,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6,Q 是⊙C 上一动点,在线段AB 上确定点P 的位置,使PQ 的长最小,并求出其最小值. (3)如图3,矩形ABCD 中,AB =6,BC =9,以D 为圆心,3为半径作⊙D ,E 为⊙D 上一动点,连接AE ,以AE 为直角边作Rt △AEF ,∠EAF =90°,tan ∠AEF = 1 3 ,试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值,如果有,请求出最大或最小值,否则,请说明理由. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点 C . (1)过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值: (2)如图2, 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连 接AE C E '、, 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?'', 是否存在点E , 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图1,正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转,连接AF ,点M 是AF 中点. (1)当点G 在BC 上时,如图2,连接BM 、MG ,求证:BM =MG ; (2)在旋转过程中,当点B 、G 、F 三点在同一直线上,若AB =5,CE =3,则MF = ; (3)在旋转过程中,当点G 在对角线AC 上时,连接DG 、MG ,请你画出图形,探究DG 、MG 的数量关系,并说明理由. 5.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”:2011年中考数学压轴题型
2020上海中考数学压轴题专项训练
2016年中考数学压轴题精选及详解
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