高考理科数学压轴题
(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点
的距离的最大值为 3,最小值为 1.
(I) 求椭圆 C 的标准方程 ;
(II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭
圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 .
(22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0.
1
(I) 当 b
时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ;
2
(II)求函数 f (x)的极值点 ;
1 1 1
(III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 .
n n n
22
xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0)
ab
2
a c 3,a c 1,a 2,c 1,
b 2 3 22
x 2
y 2 1.
43
Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD
1,
y
kx m
(II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2
x
2 y
得
1
4
3
2 2 2
(3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2
3)
2 2 2 64m 2 k 2 16(
3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk
2 ,x 1 x 2
2 4(m 2 3)
3 4k 2
y 1 y 2
2
(kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2)
m 2
3(m 2 4k 2) 3 4k 2
y 1 y 2 x 1 2 x 2
1, y 1y 2 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4 0,
3 4k 2 7m 2
16mk m 1 2k,m 2 当m 2k 时,
当
m 2k
时
7
综上可知,直
线 (22)
解: (I) 函数 f f '(x) 2x 22
3(m 2
4k 2) 4(m 2 3) 16mk 4
3 4k 2 3 4k 2 4
4k 2 0 ,解得
2k
,且满足 3 4k 2
0,
0.
l : y k(x 2) ,直线过定点
l : y k(x 2
) ,直线过定点
2 l 过定点,定点坐标为 ( ,0). (x) 2 x 2 bln(x 1)的定义域为 (2,0), 与已知矛盾;
2
(7
,0).
1,
令 g(x) g(x)min
b x1 2x 2 2x g( 1
12) 1 当 b 1 时,
2 g(x)min g(x) 2x 2
2x b f (x) 0, 2x 2
2x b , x1 b , 则 g(x) 在
b . 12 b
0 在 1, 0
,
上恒成立 .
1 即当 b 时,函数 f (x) 在定义域
2 分以下几种情形
讨
论: 1 I )知当 b 时函数 f (x) 无极值点 . 2
II )
1) 上递增,在
1, 上单调递增。
2)
1
b 时, f '(x) 2
2(x 12
)2
x1 1, 21
时, f '(x)
0,
1
1, 上递减,
2
1,
2,
时,f '(x) 0,
1
2时,函数f(x) 在1, 上无极值点。
3) 当b 12
时,解f (x) 0 得两个不同解x1
1 1 2b
2 x2
1 1 2b
2
当b 0
时,x1
1 1 2b
2 1 ,x2
1 2b1 ,
2 1 ,
x1 1, ,x2 1,
此时 f (x) 在1, 上有唯一的极小值
点x2
1 1 2b
2
当0 b 12时,x1,x2
2 1 2
1
,
f ' (x) 在1,x1, x2, 都大于0 ,f '(x)在(x1,x2)上小于0 ,
此时f (x) 有一个极大值点x1 1 1 2b 和一个极小值点x2 1 2b
2
综上可知,b0时,f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b
;
;
0 b 1时,
2 f (x) 有一个极大值点x1
1 1 2b和一个极小值点
2 x2
1 1 2b
;
2;
b 1时,函数
2 f (x) 在1, 上无极值
点。
III )当b 1时,f(x) 2
x2 ln(x 1). 令h(x) x3 f(x) x3 x2ln(x 1),则
h(x)
32
3x3 (x 1)2在0, x1 上恒
正,
h(x) 在0, 上单调递
增,
0, 时,恒有h(x) h(0) 0. 即当x 0, 时,有x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 3 x,
11
对任意正整数n,取x 得ln( 1)
nn 1
23 nn
21 )(本小题满分12 分)
1
已知函数f(x)n aln(x 1),其中n∈N*, a为常数. (1 x)n (Ⅰ)当n=2 时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1 时,证明:对任意的正整数n, 当x≥2 时,有f (x)≤x-1.
(22)(本小题满分14 分)
如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M 为直线y= -2p 上任意
一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A, B. (Ⅰ)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M 点的坐标为(2,-2p)时,AB 4 10 ,
求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在uuur uuur uuur 抛物线x2 2py ( p>0)上,其中,点C满足OC OA OB (O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由
21)
Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1} ,
当n=2 时,f (x) 1 2 aln(x 1),
(1 x)
a(x x1)(x x2 ) 此时f (x) a(x(1x1)x()x3 x2).
1
,
x1)时,f (x) 0, f (x)单调递减;
当x∈( x1+∞)时,f (x) 0, f (x) 单调递增.
所以 f (x)
2 a(1 x)2
(1 x)3
1)当a>0 时,由f (x) 0 得
2)当 a ≤0 时, f (x) 0 恒成立,所以 f(x) 无极值 .
综上所述, n=2 时,
当a ≤0时,f(x)无极值 .
当 n 为偶数时,
所以 f(x)≤x-1 成立 . 当 n 为奇数时,
1
要证 f(x) ≤x-1,由于 n < 0,所以只需证 ln( x-1) ≤ x-1,
(1 x)n
令 h(x)=x-1-ln( x-1),
1 x 2
则 h (x) 1
≥0(x ≥2) ,
x 1 x 1
所以 当 x ∈[2,+∞]时, h(x) x 1 ln(x 1)单调递增,又 h(2)=1>0, 所以当 x ≥ 2时,恒有 h(x) >0,即 ln ( x-1)< x-1 命题成立 . 综上所述,结论成立 .
1
:当 a=1时, f (x) n ln(x 1).
(1 x)
1 当 x ≥2,时,对任意的正整数 n ,恒有
n ≤ 1, (1 x) 故只需证明 1+ln( x-1) ≤ x-1.
令 h(x) x 1 (1 ln(x 1)) x 2 ln(x 1),x 2,
当 a >0时,f(x)在 x 1
2
处取得极小值,极小值为
f (1
a 2) a 2(1 ln 2a ).
Ⅱ)证法一:因为 a=1,所以
f (x)
1 (1 x)n
ln(x 1).
令 g(x) x
1 (1 x)n ln(x 1),
则 g (x) n n1
(x 1)
1 x1
x2 x1
n n1
(x 1)
0,(x 2) .
所以当
x ∈ 又
[2,+∞]时, g(x)单调递增,
因此 g(x) x 1
1 (x 1)n
ln(x 1) ≥g(2)=0 恒成立,
证法
0,
h (x) ≥ 0,故 h(x)在 2, 上单调递增, 因此 当 x ≥ 2时, h(x)≥h(2)=0 ,即 1+ln( x-1) ≤x-1成
立 .
B 三点的横坐标成等差数列 x 0=2 时, 将其代入①、②并整理得:
22
则 h(x) 1
当 x ≥ 2 时, 故 当 x ≥ 2 时, 有
(1
1
x)n
ln(x 1) ≤ x-1.
即 f (x )≤ x-1.
(22)
2 x 1
Ⅰ)证明:由题意设 A(x 1, 1 ), B( x 2 , 1 2p 2
2
x 2
2 ),x 1 2p 1 2 0 2 由 x 2py 得 y x 2 , 2p , 所以 k MA 1 p x 2 因此直线 MA 的方程为 2p x 1 (x p x 0), 直线 MB 的方程为 2p x p 2(x x 0). 2 所以 x 1 2p 2p x 1 (x 1 p x 0), 2 x 2 2p 2p x 2 (x 2 p x 0). 由①、②得 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 0, 因此 x 0 x 1 x 2 2 ,即 2x 0 2 x 1 x 2. 所以 A 、 M 、 Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x1 4x1 4p 22 x22 4x2 4p2 0, 0, 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解: (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1,a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1, y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2), 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0, 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点; (ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:. 6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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