利用RHIC-PHENIX寻找临界行为
31 12 2007 12
HIGH ENERGY PHYSICS AND NUCLEAR PHYSICS
Vol.31,No.12
Dec.,2007
Search for Critical Behaviors by RHIC-PHENIX
K.Homma1)(for the PHENIX Collaboration)
(Graduate School of Science,Hiroshima University,Higashi-Hiroshima,Japan)
Abstract Integrated two particle correlation functions have been extracted from charge particle multiplicity density?uctuations in pseudorapidity space by analyzing Au+Au collision events at√
s NN=200GeV have been analyzed and the present results are summarized by focusing on whether critical behaviors of the phase transition exist or not as a function of the number of partici-pants N p which re?ects the system energy density[2].
2Density?uctuation and phase tran-sition
In order to relate the density?uctuations with the phase transition in the simplest form,Ginzburg-Landau(GL)[3]theory with the Ornstein-Zernike picture[4]for a scalar order parameter is brie?y re-viewed.The?rst attempt to apply the free energy discussion to nucleus-nucleus collisions can be found in Ref.[5].GL describes the relation between a free energy density f and an order parameterφas a func-tion of system temperature T.By adding a spatially inhomogeneous term(?φ)2and an external?eld h, the general form is described as follows;
f(T,φ,h)=f0(T)+
1
2
a(T)φ2+
1
Received25June2007
1)E-mail:homma@hepl.hiroshima-u.ac.jp
1145—1148
1146 (HEP&NP) 31 Y
(f?f0)d y=1
Y
1
2Y2A(T)
ξ(T)e?|y|/ξ(T),(8)
where a correlation lengthξ(T)is introduced,which
is de?ned as
ξ(T)2=A(T)
σinel
dσ=ρ1(η)dη,
1
n 2=
δηρ2(η1,η2)dη1dη2
(δη)2
δηC2(η1,η2)
δη
δηρ1(η)dη.(13)
The two particle correlation function C2can be
parametrized based on the one dimensional function
form obtained in Eq.(8).However,one has to bear
in mind that the damping behavior in Eq.(8)is origi-
nated only from the spatial inhomogeneity of the sys-
tem in a?xed temperature.In many experimental
conditions,the initial system temperature can not be
speci?ed as a point.For instance,corresponding tem-
perature is indirectly discussed by relating it with the
collision centrality.The centrality bin has a?nite size
and it causes?uctuations originating from the?nite
temperature bin size.In principle this kind of?uctua-
12 K.Homma Search for Critical Behaviors by RHIC-PHENIX1147
ˉρ12
=αe?δη/ξ+β,(14)
whereˉρ1is proportional to the mean multiplicity in
each centrality.
Instead of F2itself,we will use an indirect param-
eter k of the Negative Binomial Distribution(NBD)
in the following analysis which is de?ned as
P k,μ(n)=Γ(n+k)
1+μ/k 1
δη2
+β.(17)
4Analysis result
Figure1shows corrected NBD k parameters as a function of pseudo-rapidity interval sizes for central-ity classes indicated inside the?gure.The upper and lower two panels correspond to10%and5%central-ity bin width cases,respectively.The vertical error bars show the statistical errors and boxes show the systematic errors which come from correction factors on k due to the possible variation of dead or inef-?cient areas in the tracking detector.The solid line indicates the?t result by using Eq.(17)with errors of quadratic sum of the statistical and systematic errors. The?t was performed from0.02to0.7in pseudo-rapidity.The lowest centrality bin was determined as55%—65%.The?ts are remarkably well resulting reducedχ2of0.44at the worst which corresponds to above99%con?dence level.This guarantees that the parametrization is actually
reasonable.
Fig.1.k vsδηin each centrality class.
Figure2(a),(b)and(c)show obtained?t pa-rametersα,βandξas a function of the number
of
Fig.2.α,βandξas a function of N p.
1148 (HEP&NP) 31
s NN=200GeV are found to be well described by the negative binomial distribu-tion.The two point correlation lengths have been extracted based on the function form by relat-ing pseudo-rapidity density?uctuations and the Ginzburg-Landau theory up to the second order term in the free energy with the scalar order parameter. The function form can?t k vs.δηin all centralities remarkably well.The correlation lengths as a func-tion of the number of participants N p indicate a non monotonic increase at around N p=100and the corre-sponding energy density based on the Bjorken picture is Bjτ～2.5GeV·fm?2which has been measured by PHENIX[2].It is interesting to note that the energy density coincides with the one where the?rst drop of J/ψsuppression from the normal nuclear absorption was observed at SPS[10].
微积分-求极限的方法
求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
临界温度和临界压力
临界温度和临界压力 因为任何气体在一点温度和压力下都可以液化，温度越高，液化所需要的压力也越高，但是当温度超过某一数值时，即使在增加多大的压力也不能液化，这个温度叫临界温度，在这一温度下最低的压力就叫做临界压力，例如：水的临界温度为374.15℃，临界压力为225.65kgf/cm2;,氨的临界温度为132.4℃，临界压力为115.2kgf/cm2;。 通常我们所见到的物质常以三种形态存在，即固体、液体和气体。形态是物质的一种属性，不同物质的形态有所不同，如铁是固体，水是液体，空气是气体等。一种物质所具有的形态与其所存在的客观条件有关，并非永恒不变。例如，在一般情况下二氧化碳是气体，但在一定的低温和一定压力下也可以是液体或固体（俗称干冰）。其它物质的形态也同样随着外界条件的变化而改变。 气体变成液体的过程叫做气体的液化。对气体能否变成液体的问题是有个认识过程的。早在19世纪以前，曾认为气体本质上就是气体，不能使之改变。只是在19世纪20年代，人们才成功地用加大压力的办法做氨气、氯气、二氧化碳及其它一些气体变成液体。但是还有许多其它气体（如组成空气的主要成分——氮气和氧气），虽然作了很大努力，也不能使之液化。因此，人们曾错误地认为当时还不能液化的这些气体是“永久气体”，这种形而上学的观点，阻碍了人们进一步研究如何使空气液化的工作。随着科学的不断发展，人们逐渐认识到：组成物质的分子间都存在相互吸引和相互排斥的两种作用力，当分子间相互排斥力＞分子间相互吸引力时，物质的气体；当分子间的相互吸引力＞分子间的相互排斥
力或至少等于排斥力的时候，气体才有可能转变为液体。分子间的相互吸引作用，实际上可以认为不依赖于温度；相反，由分子的相互撞击而引起互相排斥作用则强烈地依赖于温度，所以只有当气体的温度降低到一定程度时，才有可能使分子间的吸引作用≥分子间的排斥作用。即才有可能使气体变为液体。这种使分子间的吸引作用等于分子间的排斥作用时，所许可存在的最高温度叫做该气体的临界温度。当高于临界温度时无论外加多大的压力，都不能使气体液化。在临界温度下使气体液化所需的最低压力，叫做临界压力。 不同的气体，它们的临界温度和临界压力也不相同，临界温度较高的气体，如氨、氯气、二氧化碳，二氧化硫和乙炔等气体，在常温下（低于它们的临界温度）加压就能液化，临界温度较低的气体，如氧气、一氧化碳等，需经压缩并冷却到一定温度以下才能液化；临界温度很低的气体如氢和氦等，需经压缩并冷却到接近绝对零度(-273.16℃)的低温才能液化。氦的临界温度最低，它是最后一个转变成液体的气体。 随着生产的发展，液化气体有着广泛的应用。将气体变成液体后体积大为减小，便于贮存运输和使用。例如我们常见的液氨、液氯和液化石油气（主要成分是丙烷、丁烷、丙烯、丁烯）等。气体的液化也常用于混合气体的分离，如空气液化后，可用来分离出氮气、氧气及其它稀有气体等，此外，气体的液化对现代科学技术的发展也具有重要的意义，例如液氧可用于制造液氧炸药和高能燃料的助燃剂。液氢可用作高能燃料；液氦可用来获得绝对零度(-273.16℃)的低温等。
资料.低维材料与相变现象简介(数字)
低维材料与相变现象简介 (一) 低维材料： 某些特殊材料的晶体结构含有异向性一维的线性链或二维的平面，这种材料即俗称为低维度材料 (low - dimensional materials) 。由於这些材料晶体结构的特异性，故而造成许多低维度材料展现非常奇特的物理现象。例如，这些材料中的电子被限制在一维的线性链或二维的平面上做传输，故他们的导电性会在某一(或二)晶格方向特别好，而在其他方向导电性明显较差。那麼立刻可能的问题是我们平时常见的铜线或金泊，是不是他们的导电性就只会在铜线线的方向或金泊平面的方向较好呢?答案是否定的。因为在微小电子的世界，铜线或金泊仍然是三维的，电子的传输方向仍然是遵循古典的统计法则而四面八方都有可能。除非铜线的直径或金泊的厚度小於电子的平均自由程(mean-free-path)，那麼量子的效应才会显现出来。低维度材料中，一维(或準一维)材料由於其特殊不对称的晶体结构，因而多种此类材料会随著温度的变化展现出各式各样有趣的相变(phase transition)现象。 (二) 相变与临界现象： 相变是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现。相互作用是有序的起因，热运动是无序的来源，而系统永远趋向於最大乱度与最低能量。在缓慢降温的过程中，每当一种相互作用的特徵能量足以和热运动能量kBT 相比时，物质宏观状态可能发生变化。换句话说，每当温度低到一种程度，以致热运动不再能破坏某种特定相互作用造成的秩序时，就可能出现一个新的相(phase)。多种多样的相互作用，导致形形色色的相变现象。愈是走向低温，更为精细的相互作用就得以表现出来。而新相总是突然出现的，同时伴随著许多物理性质急剧变化。譬如说，水(液态)在一大气压下於摄氏零度就会发生一相变现象而变成了冰(固态)，或於摄氏一百度变成了水蒸气(气态)。对於水来说摄氏零度(或一百度)这一特殊温度我们称为临界温度(critical temperature)，而在临界温度时物质因相变而產生物理状态变化的现象称为临界现象(critical phenomena) 。 相变一般可以分为『连续相变』(continuous phase transition) 或『不连续相变』(discontinuous phase transition)。(不)连续相变就是在相变点上不仅热力学函数(不)连续，而且这些热力学函数对温度的导数也(不)连续的相变。连续相变的典型例子为超导相变(superconducting transition) ，而不连续相变的典型例子为物质的三态变化。 相变和临界现象是物理学中充满难题和意外发现的领域之一。1911年，荷兰物理学家昂内斯(Onnes)在成功液化氦气三年后意外的发现：汞的电阻在绝对温标4.2 度左右(相当於摄氏负269 度)的低温度时急剧下降，以致完全消失（即零电阻），这即是人类第一次发现了超导相变。早期的超导体研究中，大多数的超导体(superconductor) 是金属或是合金的材质，这类型超导体是由美国物理学家巴丁、库伯和施裡弗於1957 年首先提出的BCS (Bardeen - Cooper - Schrieffer)理论来解释超导发生的机制。当材料在其超导态，电子会籍由晶格振盪(phonons)吸引另一带相反自旋与动量的电子而形成配对，称之为库伯对(Cooper pair)。因此整体似乎凝结成电性的超流体，而具有低於非超导态的能量。在1987 年朱经武等人发现的临界温度高达92K 的釔钡铜氧超导体之后，将超导体的临界温度大幅提升，但是却无法使用BCS 理论来有效解释这种新超导体形成的机制，因而带给物理学界极大的困难与挑战。但实验证据显示此类氧化铜超导材料的超导性和其低维度的二维氧化铜平面结构息息相关。除了超导相变之外，电荷密度波(charge-density-wave) ，自旋密度波(spin-density-wave) ，有序-无序 (order-disorder)及磁性(magnetic) 等，也是於低维度材料中常见的相变现象。当此类材料发生相变后，材料之物理性质会產生巨大的改变，故人们可以利用材料物性的改变，设计出各种功能的元件应用於不同之装置中。例如，超导相变 (superconducting transition) 可应用於电力载送，磁性相变(magnetic transition) 可应用於资料储存。 (三) 电荷密度波：
什么是临界温度和临界压力
什么是临界温度和临界压力 简单地说，临界温度就是某种气体能压缩成液体地最高温度，高于这个温度，无论多大压力都不能使它液化。这个温度对应地压力就是临界压力。 1869年Andrews首先发现临界现象.任何一种物质都存在三种相态----气相、液相、固相。三相呈平衡态共存的点叫三相点。液、气两相呈平衡状态的点叫临界点。在临界点时的温度和压力称为临界温度和临界压力。不同的物质其临界点所要求的压力和温度各不相同。 超临界流体(SCF)是指在临界温度和临界压力以上的流体。高于临界温度和临界压力而接近临界点的状态称为超临界状态。处于超临界状态时，气液两相性质非常接近，以至于无法分辨，故称之为SCF.自从1869年Andrews首先发现临界现象以来，各种研究工作陆续开展起来，其中包括1879年Hannay和Hogarth测量了固体在超临界流体中的溶解度，1937年Michels等人准确地测量了CO2近临界点的状态等等。在纯物质相图上，一般流体的气－液平衡线有一个终点——临界点，此处对应的温度和压力即是临界温度（Tc）和临界压力（Pc）。当流体的温度和压力处于Tc和Pc之上时，那么流体就处于超临界状态（supercritical状态，简称SC 状态）。超临界流体的许多物理化学性质介于气体和液体之间，并具有两者的优点，如具有与液体相近的溶解能力和传热系数，具有与气体相近的黏度系数和扩散系数。同时它也具有区别于气态和液态的明显特点： （1）可以得到处于气态和液态之间的任一密度； （2）在临界点附近，压力的微小变化可导致密度的巨大变化。 由于黏度、介电常数、扩散系数和溶解能力都与密度有关，因此可以方便地通过调节压力来控制超临界流体的物理化学性质。与常用的有机溶剂相比，超临界流体特别是SC CO2、SC H2O 还是一种环境友好的溶剂。正是这些优点，使得超临界流体具有广泛的应用潜力，超临界流体萃取分离技术已得到了广泛的医药方面应用。 超临界流体萃取(Supercritical Fluid extrac-ion，SPE)是一项新型提取技术，超临界流体萃取技术就是利用超临界条件下的气体作萃取剂，从液体或固体中萃取出某些成分并进行分离的技术。 超临界条件下的气体，也称为超临界流体(SF)，是处于临界温度（Tc）和临界压力（Pc）以上，以流体形式存在的物质。通常有二氧化碳（CO2）、氮气（N2）、氧化二氮（N2O）、乙烯（C2H4、三氟甲烷（CHF3）等。 超临界流体萃取的基本原理：当气体处于超临界状态时，成为性质介于液体和气体之间的单一相态，具有和液体相近的密度，粘度虽高于气体但明显低于液体，扩散系数为液体的10～100倍，因此对物料有较好的渗透性和较强的溶解能力，能够将物料中某些成分提取出来。并且超临界流体的密度和介电常数随着密闭体系压力的增加而增加，极性增大，利用程序升压可将不同极性的成分进行分部提取。提取完成后，改变体系温度或压力，使超临界流体变成普通气体逸散出去，物料中已提取的成分就可以完全或基本上完全析出，达到提取和分离的目的。 物质的四种状态(固态、液态、气态和超临界状态)随着它的温度和压力而改变。以CO2为例，CO2在三相点(T)上,固、液、气三相共存的温度T(tr)为-56.4℃(217K)，压力P(tr)为5.2×105Pa。CO2的蒸气压线终止于临界点C(Tc=31.3℃，Pc=73.8×105Pa，ρc=0.47 g/cm3)。超过临界点以上，液气两相的界面消失，成为超临界流体(SF)[2]。SF的扩散系数(～10-4cm2/s)比一般液体的扩散系数(～10-5cm2/s)高一个数量级，而它的粘度(～10-4N s/m2)要低于一般液体(～10-3Ns/m2)一个数量级。与液-液萃取系统相比，SF系统具有较快的质量传递和萃取速度。
专题利用定积分定义求极限
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。 举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑
力学中临界问题分析
力学中临界问题分析 一、在共点力动态平衡中与临界极值相关问题 物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最 小”，那个绳先断等问题。 1、三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一 重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。若逐渐增加C 端所挂物体的 质量，则最先断的绳（ ） A 、必定是OA B 、必定是OB C 、必定是OC D 、可能是OB ，也可能是OC 解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C 端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先达到临界值是关键。OC 下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC 绳的拉 力产生两个效果，使OB 在O 点受到向左的作用力F 1，使OA 在O 点受到斜向下沿 绳长方向的作用力F 2，F 1、F 2是G 的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如 下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪根绳子承受的拉力最大则最先断.从图 中可知：表示F 2的有向线段最长,F 2分力最大，故OA 绳子最先断. 2、 如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙 上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉 力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。 【解析】作出A 受力图如图所示，由平衡条件有： F.cos θ-F 2-F 1cos θ=0, Fsin θ+F 1sin θ-mg=0 要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 340320≤≤ 。 3、如图所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体 与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使 物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？ 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面 的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动 与不动的临界状态。此时是θ最大。 【解析】依题意可知，当 mgsinθ=μmgcosθ 物体处于临界状态，即 tan θ=μ 则 θ≤arc o tμ 讨论：tan θ=μ是一重要临界条件。其意义是：tan θ<μ时，重力沿斜面向下的 分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tan θ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。 【思维总结】对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置 于斜面上，如tan θ≤μ，则物体保持静止；如tan θ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan <μ，则物体减速，最后静止；如tan θ=μ，则物体保持匀速运动；如tan θ>μ，则物体做加速运动。因此，tan θ=μ这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。 C G F 2 F 1 F x y θ θ
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 欧阳学文 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的
关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即 .否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理
人教版二年级下册数学《平移现象》说课稿
《平移》说课稿 一、教材分析： 平移是人教版二年级数学下册第三单元的内容，平移是学生在日常生活中经常看到的现象。课程标准不要求对这个概念进行定义，更不需要学生去背诵结论性语句，只要求学生紧密联系生活实际去感知这些现象。从数学的意义上讲，平移是一种基本的图形变换。图形的平移对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大的作用。物体或图形在直线方向上移动，而本身没有发生方向上的改变，就可以近似的看作是平移现象。教材在介绍这种现象时，注意结合学生的生活经验，使学生初步感知平移。 二、学情分析： 二年级学生在生活中见到很多平移的运动现象，在他们的头脑中已有比较感性的平移意识，受生活经验的限制，对于好多现象的判断还有些模糊，更无法想象，不能透过现象用数学的眼光来抓住运动方式的本质。 三、说教学目标： 根据教学内容和学生年纪特点制订了一下教学目标。 知识与技能： 1、学生结合实例，初步感知平移现象。
2、通过教学，提高学生的观察能力和动手操作能力。 过程与方法： 通过学生的观察、动手操作、探究等学习活动，让学生经历感知平移的过程，初步体验平移的思想方法。 情感、态度与价值观： 在学习过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点 教学重点：让学生感知生活中的平移现象。 教学难点：使学生能在生活中认识平移现象。 五、教学用具 教学用具：多媒体课件。 学具：学生学习环境中的书、文具盒。 六、说教法和学法。 教法： 1、实践操作法二年级的学生还处于形象思维阶段，小学生学习数学是一个主动建构知识的过程，学生学习数学的过程不是被动地吸收课本上的现成结论，而是一个亲自参与的充满丰富而生动的思维活动。因此，本节课设计了让学生看
专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1 ---- 利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ①是n 时的极限 n ②极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间 b a 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） n lim0 f(a .b a、b a i )- n n 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 n lim f (a n i 1 baba i )- n n b f (x) dx , a 而不是 （定积分的定义中是任意分割区间［a,b］， （即定义中的x），这n个小区间分别为 r b a、「b a b a n r [a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ], n n [a (n n _ b a 2 ,a n b a 3山],…, n 1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n 致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中 左端点时i） x i就变为 f (a i- a) b a n n ，那么lim n n f(a i 1 b a f （X）dX。 n lim f (a n i 1 (i baba b 忖匚a?) 注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割 ,当分割方式为均等分割时，n 就 f (x)dx。
临界现象和临界指数
临界现象和临界指数 临界现象指物质在连续相变临界点邻域的热力学行为。我们首先介绍液—气流体系统和铁磁系统在其临界点邻域的行为，引入几个临界指数。先介绍液—气流体系统。图以体积和压强为坐标画出了流体系统的等温线。改以密度和压强为坐标，画出的等温线将如图所示。c ρ表示物质在临界点的密度，两侧的虚线分别表示两相平衡下气体相和液相的密度κρ和1ρ，以C C T T T t -= 表示温度与临界温度的对比值。人们发现，在临界点的邻域存在如下的几个实验规律： （1）在0-→t 时,1ρ与κρ之差随t -的变化遵从如下的规律 0,)(1-→-∝-t t βκρρ （3.8.1） β称为临界指数。β的实验值约为。如前所述，在临界温度以上，物质处在液，气不分的状态，g ρρ-1为零。 （2）在0±→t 时，物质的等温压缩系数T T H p p v v )(1)(1??=??-=ρρκ是发散的。这意味着在临界点的邻域，偶然的压强涨落将导致显着的密度涨落。H κ随t 的变化规律为 0,)(+→∝-t t H γκ 0,)(-→-∝' -t t H λκ （3.8.2） 式中在0>t 时沿临界等容线c ρρ=趋于临界点，在0 专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1 lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞ =--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的 概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、 单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理 化，变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式 子1 lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞ ”的形式的典型求极 限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解 题，如 11 1 lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发） （3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法： ①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 （4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11 lim 1 m n x x x →-- 旋转与平移现象 教学目标 1、学生结合生活实际，初步感知平移与旋转现象并能区别两者得运动特点。 ２、通过对物体运动现象得初步感知，培养学生空间想象能力，发展空间概念。 3、感受平移与旋转在生活中得运用，感受数学与生活得密切联系，激发学生学习数学得兴趣。 学情分析 在学习本课之前，学生已在生活中或多或少地接触过“平移与旋转”现象,她们通过玩各种游戏项目,对一些简单得物体运动形态已有了一些体验，但这些体验积累往往就是非正规得、不系统、甚至就是相当模糊得,但就是都为她们学习平移与旋转这一数学知识奠定了必要得基础。所以本节课得教学过程就是对学生生活中数学现象得一种“升华".因此,力求激活学生已有得生活经验，唤起她们对已有得生活经验得回忆，让她们充分地回忆、观察、操作、实验、探索思考，进而分析与认识这两种运动方式及特点,这样孩子们就会感到亲切、真实、有趣。重点难点 １、生活中平移与旋转得运动现象,及平移与旋转得特征. ２、生活中平移与旋转现象可以同时存在(有些运动既有平移又有旋转现象)。教学过程 1、创设情境,激趣引入 师:孩子们，您们去游乐场玩过吗？今天老师要带大家去参观游乐场。请同学们注意在播放游乐场动画录像时,仔细观察,认真思考,瞧瞧画面上都有哪些物体在运动，她们就是如何运动得?您能用手势比划比划吗？（课件播放游乐场动画视频)。 生:有弹跳塔、缆车、旋转飞椅、旋转木马、转转杯(边说边用手比划它们得运动方式）。 师：孩子们,这么多得游乐项目都在运动，我得眼睛都瞧花了,她们得运动方式一样吗？咱们能不能按运动方式给它们分分类呢？先独立思考，再与同桌商量商量,并说说分类得理由.（小组活动,师参与到小组活动中） 生：缆车、弹跳塔就是一类得，因为它们都就是直直得、平平得运动;旋转飞椅、旋转木马、转转杯都就是转圈,所以就是一类。 师：刚才同学们根据这些游乐项目得运动方式进行了分类,那您能给它们取一个名字吗？像旋转飞椅、旋转木马、转转杯这样绕着一个点或一个轴转圈得运动现象,都就是旋转现象。(板书:旋转)像缆车、弹跳塔这样从某一方向做直直得、平平得运动现象，都就是平移现象.(板书：平移）今天这节课我们就一起来认识“旋转与平移现象”。(板书课题) 生:齐读课题《旋转与平移现象》. 2、联系实际，理解概念 师：孩子们,“旋转乐园”到了,想进去瞧瞧吗？（课件出示例１教学图）在这美丽得旋转乐园中，哪些就是旋转现象呢？那么，什么样得现象才就是旋转现象呢？ 操作:图中这两个小朋友在玩（风车），老师手上也有风车，老师一吹,风车就会转动,这就就是旋转现象。(师边说边演示)风车就是怎么旋转得呢?请同学们仔细观察.现在，谁能告诉大家风车就是怎么旋转得？（生答，师适时板书:围绕一点) 思考:刚刚孩子们还说了开关水龙头也就是旋转现象,那么开关水龙头时也会围绕一点转动吗?（生答）围绕哪一点呢?（生答，师课件指示) 发现：通过刚才得操作与思考，孩子们发现什么样得转动现象就是旋转现象呢？(板书：发现）同意得请举手。好，我们知道了:物体围绕一个中心点转动得现象就就是旋转现 象. （师开关教室门)孩子们，开关教室门这也就是旋转现象，请孩子们观察,门在围绕什么转动?(师引导认识：物体围绕一条轴转动得现象也就是旋转现象.板书:或一条轴）师：其实生活中像这样旋转得现象还有很多很多,现在请孩子们轻轻地闭上您得眼睛，回想一下在您得生活中,您曾经做过、玩过、瞧过得哪些物体得运动现象属于旋转?瞧谁就是生活中得有心人！(大约３0秒)好，睁开眼睛,谁来说一说,可以边说边用动作表示出来。(注意：对现象描述得准确性与语言表达得完整性) 专题 1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是 n 时的极限 n ② 极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中， 我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间 （定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] ， 我们当然可以平均分割） ，那么每个小区间的长度为 b a （即定义中的 x i ），这 n 个小区间分别为 n [ a, a b a ] ， [ a b a , a 2 b a ] ， [ a 2 b a , a 3 b a ] ， ， n n n n n [ a (n 2) b a , a (n 1) b a ] ，[ a ( n 1) b a , b] ，在定义中每个小区间上任意取的 i 我们 n n n 一致取为每个小区间的右端点 i a i b a （也可以取左端点 i a (i 1) b a ），那么定义中 n n n f ( i ) x i n f (a i b a ) b a ，那么 lim n i b a ) b a f (x)dx 。（ 取 b i 1 i 1 n n n i 1 n n a n 1) b a ) b a b 左端点时 lim f (a (i f ( x)dx ） n 1 n n a i 注意：定积分的定义中 0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间 （ n 也表示把区间分割 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用 n 来表示把区间分割成无数个小区间，这 里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） ，当分割方式为均等分割时， n 就 n b a b a b 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 limf (a i ) f ( x) dx ，而不是 n n n a i 1 lim n i b a ) b a f ( x)dx 。 b 0 i 1 n n a 1 f ( x) dx lim 1 如 f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为 n n n i 1 运用定积分求极限 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00 ”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入n-1个分点将[],a b 分成n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=） ,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称为积分元),把这些乘积相加得到和式 1()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设{}max :1i x i n λ=?≤≤,若01 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx ?,即01 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解. 临界问题 1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态． 2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件． 3．临界问题的常见类型及临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体间的弹力恰好为零． (2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力． (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是张力为零． (4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值． 例1.如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球(重力加速度为g )， (1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？ (3)当滑块以2g 的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？ 答案 (1)g (2)g (3)5mg 例2. 一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g ，试求： (1)当车以加速度a 1＝12 g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小； (2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小． 答案 (1) 52mg 0 (2)322mg 22mg专题1——利用定积分定义求极限 (1)
微积分求极限的方法(完整版)
旋转与平移现象
专题1——利用定积分定义求极限.doc
运用定积分求极限
临界问题