二次函数模型

函数模型一

二次函数模型

一价格竞争

[问题提出]：甲乙两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈。一天，甲站推出“降价销售”吸引顾客，结果造成乙站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利。我们知道，利润是受销售价和销售量的影响及控制的，乙站为挽回损失，必须采取降价销售这一对策来争取顾客。那么，乙站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润呢？

[分析]：在这场“价格战”中，我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策，因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况，从而得到乙站的销售利润。

[引入参数]：为描述汽油价格和销售量间的关系，引入指标：

1）价格战前，甲、乙两站汽油的正常销售价格为P（元/升）；

2）降价前乙站的销售量均为L(升)；

3）汽油的成本价格为W（元/升）；

4）降价后乙站的销售价格为x(元/升)，这是变量；

5）降价后甲站的销售价格为y(元/升)。

[模型假设]：影响乙站汽油销售量的因素，主要有以下几个：

1)甲站汽油降价的幅度；2)乙站汽油降价的幅度；3)甲乙两站之间汽油销售价格之差（x-y）。

我们知道，随着甲站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之减小；而随着乙站汽油降价幅度的增加，乙站汽油销售量随之增大；同时，随着两站之间汽油销售价格之差（x-y）的增加，乙站汽油销售量也随之减小。

假设1：在这场价格战中，假设汽油的正常销售价格保持不变；

假设2：以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为a,b,c（均为正常数）。

[建立模型]：由假设2，乙站的汽油销售量为

L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)，所以，

乙站的利润函数R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]。

[模型求解]：当y确定时，利润函数

R(x,y)=(x-W)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)]是关于x的二次函数。

求出R(x,y)的最大值点为x*=[L+(a+c)y-P(a-b)+W(b+c)]/2(b+c)。

也就是说，当甲站把汽油的价格降到y元时，乙站把它的汽油价格定为x*时，可以使得乙站获得最高利润。

[数值分析]：令L=2000，P=4，W=3，y分别取3.7、3.8、3.9。

这里参数a、b、c的数值难以给出。因为经济学的现象是难以通过试验来实现的。我们无法要求任何一个加油站频繁调整它的销售价格来统计不同价格下的销售量。因此下面的a、b、c的取值只是虚拟的数值，取a=b=1000,c=4000。当然这里参数a、b、c的数量级是可以由前面的数据估算出来，一般来说，其数量级与L的数量级一样，且a,b的值应该相同。

表1列出了甲站降价0.1、0.2、0.3元时，乙站的最优销售价格。注意到价格竞争前的利润是（4—3）2000=2000。这表明上述模型，双方的价格下降也可能会使乙站的利润提高，

但随着甲站降价幅度的增大（即y变小），甲乙双方的利润都会有较大幅度的下降。这就是说，降价销售往往会导致“两败俱伤”。

[思考]：1）该模型中为什么三个参数a,b,c都取数量级O(1000)?

2）价格差对销售量的线性影响的假设是否恰当？可以修正吗？

二、有关交通的数学模型

[问题背景]：温州七中高一段学生到人民路的城开天桥下的十字路口，希望通过对十字路口红绿灯开设的时间及车流辆的调查，来粗略研究一下有关交通的数学模型。

为此，先让学生分组去观察，把得到的数据取平均，得到了一组数据：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为39秒，所以红绿灯变换的一个周期时间为88秒。在红绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平均30辆，南北方向平均24辆。那么，这组数据说明了什么问题呢？

（一）交通信号灯的管理

在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东西方向到达十字路口的车辆数为H辆，从南北方向到达十字路口的车辆数为V辆，问如何确定十字路口的某个方向红灯与绿灯开的时间更合理?

[分析]：这里所谓的合理，就是从整体看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间最少。

[模型假设]：

1．黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况；

2．车流量均匀；

3．一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯时间相等；东西向与南北向周期相同。

[建立模型]：

设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯时间）为(T-t)秒；设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒。

根据假设，一个周期内车辆在此路口的滞留总时间y分成两部分，一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间y1，另一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间y2。

下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间y1。

在一个周期中，从南北方向到达路口的车辆数为V，该周期中南北方向开红灯的比率是t/T，需停车等待的车辆数是V·t/T。这些车辆等待时间最短为0（刚停下，红灯就转换为绿灯），最长为t（到达路口时，绿灯刚转换为红灯），由假设2“车流量均匀”，可知它们的平均等待时间是t/2。由此可知，南北方向车辆在此路口滞留的时间y1=V·t/T·t/2=V/2T·t2。

同理，东西方向车辆在此路口滞留的时间y2=H/2T·(T-t)2。

所以y=y1+y2= V/2T·t2+H/2T·(T-t)2。

[模型求解]：函数y=V/2T·t2+H/2T·(T-t)2是关于t的二次函数，容易求得，当t=TH/(H+V)时，y取得最小值。

[数值模拟]：

取问题背景中调查的数据来看，即T=88,H=30,V=24，则

y=24/(2×88)t2+(30/2×88)(88-t)2=(3/22)t2+(15/88)(882-176t+t2)

=(3/22)t2+15×88-30t+(15/88)t2

=(27/88)(t-15×88/27)2-(27/88)(152×882/272)+15×88，

当t=88×30/(30+24)≈48.8889（秒）时，y min=587秒。

由此可见，我们计算所得的结果和同学们实际测到的数据是比较接近的。这也说明此路口红灯与绿灯设置的时间比较合理。

[评注]：

由上述结果可知，两个方向绿灯时间之比恰好等于两个方向车流量之比时，车辆在此路口的滞留总时间最少。这也是比较符合实际情况的。

[思考]：上面这个模型涉及的变量只有一个（车流量），若再将停车后汽车延迟发动达到正常车速所用的时间考虑在内，又该如何求解呢？

（二）交通路口的红绿灯模型

在一个有红绿灯的十字路口，如果绿灯亮t秒（如t=15秒），问最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口？试建立数学模型予以说明。

[分析]：由于交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们行驶的速度和方向。为此在一定的假设之下把问题简化。

[模型假设]：

1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞。

2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆。

3）在红灯下等待的车辆足够长，且所有的车辆长度相同，设为L米。

4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，设为D米。

5）前一辆车启动后，下一辆车延迟启动时间相等，设为T秒。

6）所有车辆都是从静止状态匀加速启动，且加速度相同，设为a米/秒2。

7）城市道路上行驶的汽车有最高速度的限制，设为v*米/秒。

8）汽车启动后，将匀加速到最高速度v*米/秒，然后以这个速度匀速向前行驶。

[建立模型]：

用X轴表示车辆行驶的道路。原点O表示交通灯的位置，X轴的正向是汽车行驶的方向。以绿灯亮为起始时刻。

用S n(t)来表示第n辆车在绿灯亮了t秒后在X轴上的位置（坐标）。那么，对于灯后的第n辆车，有三种状态：

1）当0≤t<(n-1)T时，车处于静止状态，

此时S n(t)=-(n-1)(L+D)；

2）当(n-1)T≤t

此时S n(t)=-(n-1)(L+D)+a[t-(n-1)T]2/2；

3）当t≥v*/a+(n-1)T时，车处于匀速状态，

此时S n(t)=-(n-1)(L+D)+v*2/2a+v*[t-v*/a-(n-1)T]。

由此，车的位置构成了按时间t的分段函数。

[模型求解]：当已知t时，由S n(t)>0，解出相应的n，就可知最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口。

另外，对于给定的n,也可由S n(t)>0，求出这一路口绿灯至少应该亮的时间t。

[数据模拟]：取一组模型的参数值：L=5米，D=2米，T=1秒，v*=11米/秒，a=2米/秒

2，于是可得v

*/a=5.5秒。代入得：

1)当0≤t

2)当n-1

当t>n+4.5时，3)S n(t)=-7(n-1)+112/4+11(t-n-4.5)=11t-18n-12.25。

当t=15时，将n从1开始逐个代入，求出S n(t)的值，即表2。

这说明当t=15秒时，第八辆汽车已通过这个交叉路口，而第九辆车还距交通灯9.1米，不能通过。

从表3-3看出，由于汽车加速到最高限速v*的时间比较短（5.5秒），因此绿灯亮了t秒与最多通过的汽车数n辆基本上呈线性关系，这一点也是比较符合实际的。

二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式 中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18） （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，

二次函数与直线常见模型

二次函数与直线成角度常见模型 一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形 模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，AB ⊥AC ，若有如下三个条件：①抛物线已知 ②AB 过定点，③BC 过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个 此题的方法主要是通过相似列出A,B,C 三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线BC 的解析式以及根与系数关系，来求解 已知抛物线解析式：2y ax bx c =++， 请同学们完成以下化简： c A y y -= c A c A y y x x -=- A B A B B A A B x x x x y y y y --=--- 例1（2014年武汉中考第25题第三问）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝2 1 x 2交于A 、B 两点．若在抛物 线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离． 例2（2016年武汉四调第24题第2问）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：52 1 2+-=x y 经过点C (2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A 、B 两点，∠ACB ＝90°， ② 猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为 ．请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想； 练习1：已知抛物线2 12 y x = .点P (-2，4)关于y 轴的对称点'P ，过'P 作直线EF 交抛物线于E 、F ，点H 在抛物线上一定点，且∠EHF =90°，求'P HO S ?.. 2.已知抛物线y ＝x 2－1,抛物线交x 轴正半轴于A 点，M 、N 在抛物线上，MA ⊥NA ，试说明MN 恒过－定点，并求此定点的坐标． 3. （2016三寄宿中考模拟）已知抛物线21y ax =+与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线22y x =+仅有一个公共点． （1）求A 、B 两点的坐标 （2）如图，作∠MBN=90°,交抛物线于M.N 两点，则直线MN 必过定点Q,求点Q 的坐标． 二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于x 轴的水平直线上 模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，若有如下：①A 定点（坐标已知） ②抛物线已知，③BC 直线k 已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个 抛物线解析式：2 y ax bx c =++ 直线BC ：y kx n =+ C A y y -= A B A B y y x x -=- C A C A A C C A y y y y x x x x --=--- 例1（2014四调第25题第2问）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c 1：y ＝ax 2－4a ＋4 (a ＜0)经过第一象限内的定点P ． （1）直接点P 的坐标 ； （2）（2）直线y ＝2x ＋b 与抛物线c 1在相交于A 、B 两点，如图1所示，直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、C 两点，当PD ＝PC 时，求a 的值； x y

二次函数模型的巧用

二次函数模型的巧用 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解．进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习． 一、“二次”的应用 函数、方程、不等式三者，在一定条件下可以相互联系. 函数是研究ｙ与x之间的对应关系，而方程则是求x取何值时，函数值恰好为零；不等式就是考察x的值在什么范围变化时，函数值为正或负. 当a ≠ 0时，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c 0的解集． （３）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. （４）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 答案（１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 2.（４）k < 2. 例２（２００８年安徽省）如图为二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图像，在下列说法中： ①ａｃ＜０； ②方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根是 ｘ１＝－１，ｘ２＝３

③ａ＋ｂ＋ｃ＞０ ④当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而增大. 正确的说法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正确的答案的序号都填在横线上） 答案正确的说法有：①②④. ２. 在解方程组的应用 例３（２００７甘肃陇南）如图，抛物线y = ■x2 + mx + n 交x轴于ａ，ｂ两点，交y轴于点ｃ，点ｐ是它的顶点，点ａ的横坐标是-３，点ｂ的横坐标是１． （１）求m，n的值； （２）求直线ｐｃ的解析式； 解（１）由已知条件可知：抛物线y = ■x2 + mx + n经过ａ（－３，０）、ｂ（１，０）两点． ∴０＝■－３ｍ＋ｎ，０＝■＋ｍ＋ｎ．，解得ｍ＝１，ｎ＝ -■． （２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ｐ（－１，－２），ｃ０，－■． 设直线ｐｃ的解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则－２＝－ｋ＋ｂ，ｂ＝－■． 解得ｋ＝■，ｂ＝－■． ∴直线ｐｃ的解析式是y = ■x - ■． 从以上解题可以看出，求两个图像的交点坐标，一般方法是把两

2019-2020年九年级数学下册 21 建立二次函数模型教案 湘教版

2019-2020年九年级数学下册 21 建立二次函数模型教案湘教版教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： （1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)

（一） 教师组织合作学习活动： 1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = xx(1+x)2 = xx0x 2+40000x+xx0 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2 +58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y=ax 2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) (2) (3) （4） （5）)1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） （2） （3） 3、若函数为二次函数，则m 的值为 。 三、例题示范，了解规律 例1、已知二次函数 当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二次函数的解析式。

二次函数常见模型

中考数学二次函数压轴题基本题型 在平面直角坐标系中，二次函数2 2y ax bx =++的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于 点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；长度型：（2）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 当点M 的坐标为多少时，线段MN 有最大值，并求出其最大值； （3）点M 为直线AC 上方抛物线上一动点，过M 点作MN ∥y 轴交直线AC 于点N , 作ME ⊥AC 于点E ，当点M 的坐标为多少时，△MEN 的周长有最大值，并求出其最大值； 面积型：（4）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由 变式：点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，使△ACP 的面积为整数的点P 有几个，并说明理由； （5）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使10ACQ S =？若存在，求出点Q 的坐标；若 不存在，说明理由 （6）点Q 是直线AC 下方的抛物线上一动点，是否存在点Q ，使32ACQ ACO S S =？若存在，求出点Q 的坐 标；若不存在，说明理由 变式：抛物线上是否存在点P ，使OPC OPA S S =，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由 特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由

（8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使△BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线） （9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，说明理由 （11 由； （12）若D为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P、Q两点的坐标为多少时四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值；

浙教版九年级下册考点专题训练-【学案】建立二次函数模型解决商品经济问题

浙教版九年级下册考点专题训练 建立二次函数模型解决商品经济问题 一、明确学习目标 1、能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识. 2、经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 3、通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感. 二、自主预习 1、求下列函数的最大值或最小值. （1）5322--=x x y （2）432+--=x x y 2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？ 学生展示，师生互评. 商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？ 三、合作探究 活动1 1、阅读教材第49页问题及探究1和探究2并思考： （1）涨价的情况； （2）如何确定函数关系式？ （3）变量x 有范围要求吗？ 2、教师分层引导： （1）销售额为多少？ （2）进货额为多少？ （3）利润y 与每件涨价x 元的函数关系式是什么？ （4）变量x 的范围如何确定？ （5）如何求最值？ 3、解决问题：

活动2 例某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？ 教师点拨：此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内. 四、当堂检测 1、如图所示，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？ 2、如图所示，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

九年级数学下册 2.1建立二次函数模型教案 湘教版【教案】

2.1建立二次函数模型 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： （1）面积y (cm2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)

（一） 教师组织合作学习活动： 1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2 +58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y=ax 2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21x y - = (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。 三、例题示范，了解规律

二次函数的建模运用

二次函数的应用 1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正确水位时，桥下水深6米，为保证 过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利 航行（ ） A ．2.76米 B ．6.76米 C ．6米 D ．7米 考点：二次函数的应用． 专题：应用题；压轴题． 分析：根据已知，假设解析式为y=ax 2，把（10，-4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x=9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答． 解答：解：设该抛物线的解析式为y=ax 2，在正常水位下x=10，代入解析式 可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为： 因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9 时可得： 此时水深6+4-3.24=6.76米 即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过． 故选B ． 点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．难度中上，首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解． 2.林书豪身高1.91m ，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=?51 -x 2+3.5的一部分（如 图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（ ） A ．3.2m B ．4m C ．4.5m D ． 考点：二次函数的应用． 专题：数形结合． 分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x 的值， 加上2.5即为所求的数值． 2 251 -y x =25 1 -a =米 24.381251-y -=?=

高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．． 归纳及应用 一． 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+ 3 π )=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) 解析；令y=2sin(x+3π ), y=a 画出函数y=2sin(x+3 π )，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点， 由图象知( 3,2)，选D 二． 一次函数y=kx+b (k ≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归 为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x 2 +1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ） A ．-2≤x ≤2 B. 4 31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤ 4 71+ D. 4 71-≤x ≤ 4 1 3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2 +1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需? ? ?≥-≥0)2(0 )2(f f ，解之可得答案D 三． 二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x 的方程x 2 +ax+a 2 -1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2 +ax+a 2 -1由题意得f(0)= a 2 -1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

21.4 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题2

O x y -1 3 -3 21.4 二次函数的应用 第2课时 建立二次函数模型解决实际问题 教学思路 （纠错栏） 教学目标：通过建立数学模型，用二次函数的知识解决有关实际问题． 教学重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度 转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实际问题。 预设难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次函数解析 式。 ☆ 预习导航 ☆ 链接： （1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为_________ ____________；当x=1时，y=___________. （2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛物线的解析式为 ___． （3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可用公式h=-5t 2 +150t+10来表示，则当 t=_____s 时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m. ☆ 合作探究 ☆ 1、如图，某学生推铅球，铅球出手（点A 处）的高度是3 5 m ，出手后的铅球沿 一段抛物线运行，当运行到最高3 y m 时，水平距离 4m ． （1）试求铅球运行高度y 与水平距离x 之间的函数关系式； （2）铅球落地点为C ，求此次铅球被推出的距离OC ． 2、某单行隧道横断面由抛物线与矩形ABCD 的三边组成，尺寸如图所示． （1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； （2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由． ☆ 归纳反 1 A B C D

教学思路 （纠错栏） 思 ☆ 实际问题 建立二次函数模型 求出函数解析式 解决问题 ☆ 达标检测 ☆ 1、某桥的拱桥是抛物线形，建立如图1所示的坐标系，其函数解析式为 2 25 1x y - =，当水位在AB 位置时，水面宽AB 为30m ，这时水面离桥顶的高度h 是（ ） A ．5m B ．6m C ．8m D ．9m 2、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.35 12 +- =x y 的一部分（如图2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 3、一抛物线形桥的拱肋ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB 为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF 的长度为42米．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的一半？请说明理由． y x A B E F C O 图1 图2 h 2.5 3.05 l

九年级数学：建立二次函数模型解决实际问题练习题

2 九年级数学：建立二次函数模型解决实际问题 1.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x （月份）与市场售价p （元/千克）的关系如下表： 上市时间x （月份） 1 2 3 4 5 6 市场售价p （元／千 克） 10.5 9 7.5 6 4.5 3 ,这个函数的图象是抛物线的一段（如图）． （1）写出上表中表示的市场售价p （元/千克）关于上市时间x （月份）的函数关系式； （2）若图中抛物线过A B C ，，点,写出抛物线对应的函数关系式； （3）由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本） 2．明珠大剧场座落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合 功能,全国独一无二,如图1．舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度1.15米,台口高度13.5米,台口宽度29米,如图2．以ED 所在直线为x 轴,过拱顶A 点且垂直于ED 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系． （1）求拱形抛物线的函数关系式； （2）舞台大幕悬挂在长度为20米的横梁MN 上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度（精确到0.01米）． y A N C D x O 29米 1.15米 13.5米 B M 图2 E 图1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 x y O A B C

2 3．如图,在OAB △中,90B ∠=,30BOA ∠=,4OA =,将OAB △绕点O 按逆时针方向旋转至 OA B ''△,C 点的坐标为（0,4）． （1）求A '点的坐标； （2）求过C ,A ',A 三点的抛物线2y ax bx c =++的解析式； （3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ,使以O A P ，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在,求出所有点P 的坐标；若不存在,请说明理由．

二次函数常见题型

二次函数常见题型 1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ） 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3 5=x ，求这条抛物线的解析式。 4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴 交点的纵坐标是－32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

建立二次函数模型1

2.1 建立二次函数模型 一、教学目的 1． 使学生理解二次函数的概念。 2． 学生会根据实际问题列出二次函数解析式，并能根据实际情况确定自变量的取值范围。 3. 使学生初步会用待定系数法求二次函数解析式，掌握解三元一次方程组的一般步骤。 二、教学重点、难点 重点：二次函数概念。 难点：象例2那样用待定系数法求二次函数解析式。 三、教学过程 （一）引入新课 1．什么叫函数？它有几种表示方法？ 2．什么叫一次函数？自变量、函数、常量分别是什么？ 3.实例：函数是研究两个变量在某一变化过程中的相互关系。我们已学过正比例函数、反比例函数和一次函数。请看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系？（投影） （1） 正方形的边长是xcm，面积y与边长x之间的函数关系式如何表示？ 解：函数关系式是 （2） 某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，与平均年增长率x之间的函数关系式是怎样的？ 解：函数关系式是，即 由以上两例，启发学生归纳出以上两例中函数关系式的两个特征： 1 函数解析式均是整式（这与一次函数相同）； 2 自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。 以上函数是不同于我们所学过的正比例函数，反比例函数和一次函数的一种新的函数，我们称它为二次函数。 （二）新课教学 1. 定义：形如的函数叫做二次函数。 由师生共同讨论： （1） 在中自变量x在一般情况下可取什么数？在实际问题 中，又该如何处理？ （2） 。若a=0，就不是关于x的二次函数了； （3） b和c是否可以为零？可以。 若b=0，则；若c=0，则；若b=c=0，则，以上均为二次函数的特殊形式，而是二次函数的饿一般形式。

二次函数的实际问题应用(分类讲解变式)

二次函数的应用 【今日目标】 1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、最值相结合）； 2、能在限制条件下求出符合题意的最值。 【精彩知识】 【引例】求下列二次函数的最值： （1）求函数223 x y x x的最值．（2）求函数223 y x x的最值．(03) ★方法归纳： 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值）． 如果自变量的取值范围是 x x x，分两种情况： 12 a为例，最大值是；最小值是顶点在自变量的取值范围内时，以0 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 专题一应用之利润最值问题 【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少? ●变式练习： 某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上 涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为x的取值范围为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y （万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本) （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 专题二应用之面积最值问题 【例3】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚 度忽略不计）。 （1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的 长方形盒子。 ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的 边长；如果没有，说明理由。 （2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边 上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。 专题三实际应用问题 【例4】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方 2 m的A处发出，把球看

二次函数解决实际问题归纳.doc

二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们 的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性； 2、基本步骤： 审题→建模 (建立二次函数模型 ) →解模 (求解 ) →回答 (用生活语言回答，即问什么 答什么 )。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 叙述 具体方法 代数问题 在日常生活、生产中，常遇到求什么情况 根据题意或几何图形特 下时间最少、费用最低、效率最高等，其 点求出二次函数表达式， 中一些问题可归结为求二次函数的最大 再通过配方配成顶点式 值（或最小值） 或利用顶点坐标公式求 几何问题 何时面积最大、周长最长等几何问题，可 出二次函数的顶点坐标， 借助二次函数求最大（小） 其纵标即为函数的最大 值或最小值 牢记 b 4ac b 2 2 2 （1）二次函数 y=ax +bx+c (a ≠0) 可化为 y= a(x+ 2a ) + ， 4a 当 x=- b 2a 时， y 有最大值或最小值，即 y 最大（小）值 = 4ac b 2 ； 4a （2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内，就不能用抛物线的顶点坐标求出图形的最 大值或最小值，应根据实际情况进行确定；（3）求函数的最值时不要忽视了自变量的取值范 围； （4）关于营销方面的几个公式：①销售额 =销售单价×销售量；②利润 =销售额 - 成本 =单件利润×销售量；③单件利润 =销售单价 - 成本单 价 实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点； 抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最 值出。 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点： ①设未知数在“当某某为何值时， 什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或 最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕 总利润 =单件利润×销售总量， 设未知数时，总利润必然是因变量 y ，而自变量有两 种情况：①自变量 x 是所涨价多少或降价多少；②自变量 x 是最终销售价格。 例：商场销售 M 型服装时，标价 75 元 / 件，按 8 折销售仍可获利 50%，现搞促销活动，每件在 8 折 的基础上再降价 x 元，已知每天销售数量 y （件）与降价 x （元）之间的函数关系式为 y=20+4x(x ﹥ 0) ①求 M 型服装的进价 ②求促销期间每天销售 M 型服装所获得的利润 W 的最大值。 （ 2）利用二次函数解决面积最 值精心整理

二次函数 十大模型 综合题型 (非常好 分类全面)

教学主题 二次函数综合题型 教学目标 掌握二次函数综合题型 重要知识点1.二次函数综合 2. 3. 教学过程 如图所示，已知二次函数y=a(x +1)(x -3)的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B 的左侧） ，与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为-4，求： 1、求点A、B、C的坐标及而二次函数解析式a=1

2、在对称轴上是否存在点P，使得△ACP 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(1,-2) 3、（1）在对称轴上是否存在点 Q，使△ACQ 是等腰三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(1,0)（1，根6）（1，-根6）（1，-1） （2）若点Q在对称轴上，点Q1在坐标平面内，那么以A、C、Q、Q1为顶点的菱形共多少个？4个

4、讨论在坐标平面内是否存在点D，使△ACD 是以A C 为斜边的等腰直角三角形，试求出点D 的坐标. （1，-1）（-2，-2） 5、在对称轴上是否存在点R，使得 ∠ARC，若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说 = 45 明理由.（对称轴上是否存在点R使ARC ∠=30o?） 45：（1，根5 -1）（1，-1-根5）

6、点D为线段B C 上异于B、C 的动点，过点D作D E⊥x 轴交于点E，交抛物线于点F，当△CDF 为直角三角形时，求点D的坐标. （△CEF能为直角三角形吗？能求出此时点D的坐标吗？）(2分之3，-2分之3) 1.C=90，y=-x-3 y=x2-2x-3交于（1，-4） D（1，-2） 2. D=90 ,y=-3,x=2 D(2.-1) 7、在直线B C 下方的抛物线上是否存在点E，使BCE 面积最大？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. E（2分之3，-4分之15）S=8分之27

二次函数的建模运用

二次函数的应用 1、有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下面宽度为20米,拱顶距离水平面4米,如图建立直角坐标系,若正确水位时,桥下水深6米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于18米,则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行( ) A.2、76米 B.6、76米 C.6米 D.7米 考点:二次函数的应用. 专题:应用题;压轴题. 分析:根据已知,假设解析式为y=ax 2,把(10,-4)代入求出解析式.假设在水面宽度18米时,能顺利通过,即可把x=9代入解析式,求出此时水面距拱顶的高度,然后与正常水位相比较即可解答. 解答:解:设该抛物线的解析式为y=ax 2,在正常水位下x=10,代入解析式 可得-4=a×102 ∴ 故此抛物线的解析式为: 因为桥下水面宽度不得小于18米,所以令x=9时 可得: 此时 水深6+4-3、24=6、76米 即桥下水深6、76米时正好通过,所以超过6、76米时则不能通过. 故选B. 点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题.难度中上,首先要知道水面宽度与水位上升高度的关系才能求解. 2、林书豪身高1、91m,在某次投篮中,球的运动路线就是抛物线y=?5 1-x 2 +3、5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则她与篮底的距离约为( ) A.3、2m B.4m C.4、5m D.4 考点:二次函数的应用. 专题:数形结合. 分析:把y=3、05代入所给二次函数解析式,求得相应的x 的值,加上2、5即为所求的数值. 解答:解:由题意得:3、05=?5 1-x 2 +3、5, x 2=2、25, ∵篮圈中心在第一象限, ∴x=1、5, 2 25 1-y x =25 1- a =米24.38125 1 -y -=?=

湘教版数学九下建立二次函数模型

九年级数学下册建立二次函数模型教案三湘教版 教学目标： 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。 2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。 重点难点： 会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y ＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。 正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。 2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 二、分析问题，解决问题 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较) 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2…18 8 2 0 2 8 18 …

建立二次函数模型

建立二次函数模型 1、复习引入 1、一次函数的一般式是，正比例函数的一般式 是反比例函数的一般式是。 2、增长率问题的公式是，降价率问题的公式是， 3、完全平方公式是，平方差公式是。 4、菱形的面积公式是。 二、新知讲解 课本第21页“动脑筋1” 学校准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形植物园，现备足可以砌100米长的墙的材料，大家来讨论对应于不同的砌法，植物园的面积会发生什么变化？ 分析：假设与围墙相邻的一面墙的长度为X米， 则与围墙相对（平行）的一面墙的长度为米 于是矩形植物园的面积S= ，0＜X＜50 化简得：S= ，0＜X＜50。 “动脑筋2”电脑的价格 一种型号的电脑两年前的销售价为600元，现在的售价为Y元。如果每年的平均降价率为X，那么降价率变化时，电脑售价怎样变化呢？ 分析：降价率问题的公式： 列出函数关系 0＜X＜1 化简 0＜X＜1。 二次函数的定义：如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般式是，（） 自变量的取值范围是所有实数，但实际问题会有限制。 三、巩固新知： 例1，写出下列函数的解析式，并指出它们哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是一次函数。 1、正方形的面积S关于它的边长X的函数。 2、圆的面积S关于它的半径R的函数 3、圆的周长C关于它的半径R的函数 4、当菱形面积S一定时，它的一条对角线的长度Y关于另一条对角线的长度X的函数

例2：已知函数是关于X的二次函数，求函数的解析式。 四、练习巩固 1、下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数。 （1）y=3x+1 (2) (3) (4) (5) (6) 二次函数，一次函数，反比例函数。 2*迁移提升题。下列函数是否是二次函数 （1）（2） （3）（4） （5） 3*将一根长40厘米的铁丝折成一个矩形，试求矩形面积S（平方厘米）与矩形边长X（厘米）之间的函数关系式。 五、课堂小结 1、二次函数的定义，一般式，自变量的取值范围 2、判断函数时要注意什么，含字母的函数要注意什么。 六、课后作业 1、“动脑筋1”。设与墙平行的一面的长度为X，列函数关系式并化简。 2、判断函数 （1）y=-x+1 （2） (3)y=-x (4)y=-2x (5) (6) 3*迁移提升题：对于下面函数 （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？