第13周高二理科数学测试题
2012—2013学年第二学期高二第13周周测试题
理科数学
班级： 姓名： 分数
一、选择题：本大题共6个小题；每小题5分，共30分
1．设集合}23|{<<-∈=m m M Z ，}31|{≤≤-∈=m n N Z ，则N M 等于
A ．}1,0{
B ．}1,0,1{-
C ．}2,1,0{
D ．}2,1,0,1{-
2．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为
A.2log y x =（0x >）
B.2log y x =（1x >）
C.log 2x y =（0x >）
D.log 2x y =（1x >）
3．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对
应的复数为
A ．53i +
B ．
15i + C ．15i -- D ．53i -- 4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为2，那么这个几何体的体积为
A ．1
B ．
21 C ．31 D ．6
1
5． 如图1所示的算法流程图中（注：“1A =”也可写成“:1A =”或
“1←A ”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是 A ．1 B. 32
C. 52
D.2
6．设函数ax x x f m +=)(的导数为12)(+='x x f ，则数列??
?
???)(1n f （*N ∈n ）的前n 项和是 A ．
1+n n B ．12++n n C ．1-n n D ．n
n 1
+
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分25分．
（一）必做题：第7、8、9、10题为必做题，每道试题考生都必须做答
正视图
俯视图
侧视图
第4题图
7．已知0t >，若()0
21d 6t
x x -=?，则t = ．
8．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收
入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．
9．6
1??
?
?
?-
x x 的展开式中的常数项是 （用数字作答）
． 10．函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图所示，则ω= ，?= ．
（二）选做题：第11、12题为选做题，考生只能选做一题．
11．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线1C ：3cos =θρ与2C ：θ=ρcos 4（其中0≥ρ，
2
0π
<
θ≤）交点的极坐标为 ． 12．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆O
的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若4=PA ，
5=PC ，3=CD ，则=∠CBD ．
三、解答题：本大题共3个小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝4sin 2(x ＋π
4)＋43sin 2x －(1＋23)，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心； (2)求函数f (x )在区间??????
π4，π2上的值域．
?
O
D
C
B
A
P
第15题图
(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
(2)求异面直线P A与BC所成角的余弦值；
(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.
15．(本小题满分15分)已知，椭圆C以过点A（1，3
2
），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
13周周测
一、选择题
二、填空题
7、3 8、 182 9、-20 10、 12 ，38
π
（2分，3分）
11、
12、 三、解答题
13．【解析】 依题意得f (x )＝4sin 2(x ＋π
4
)＋43sin 2x －(1＋23)
＝2[1－cos(2x ＋π2)]－23cos2x －1＝4sin(2x －π
3)＋1.
(1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π
2＝π.
由sin(2x －π3)＝0得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π
6
，
∴函数f (x )的图象的对称中心是(k π2＋π
6
，1)(其中k ∈Z )．
(2)当x ∈[π4，π2]时，2x －π3∈[π6，2π3]， sin(2x －π3)∈[12，1]，4sin(2x －π
3)＋1∈[3,5]，
故函数f (x )在区间[π4，π
2
]上的值域是[3,5]．
14【解析】 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz .
∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)，
由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角， ∴∠P AD ＝60°.
在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝23，∴P (0,0,23)．
(2)∵PA ＝(2,0，－23)，BC
＝(－2，－3,0)，
∴cos
＝－13
13，
所以P A 与BC 所成角的余弦值为13
13
(3)证明：∵M 为PB 的中点， ∴点M 的坐标为(1,2，3)，
)6
,32(π?30
∴ AM ＝(－1,2，3)， CM
＝(1,1，3)， PB ＝(2,4，－23)， ∵AM PB ? ＝(－1)×2＋2×4＋3×(－23)＝0，CM PB ?
＝1×2＋1×4＋3×(－23)＝0，
∴ AM ⊥ PB ， CM ⊥ PB ，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ?平面PBC ∴平面AMC ⊥平面PBC .
15、解：（Ⅰ）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为22
2
2114x y b b
+=+。
因为A 在椭圆上，所以
2219114b b +=+，解得2b ＝3，2
b ＝34
-（舍去）。 所以椭圆方程为 22143x y +=． ．．．．．．4分 （Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+，代入
22
143
x y +=得
2223
3+4+4(32)4()1202
k x k k x k -+--=（）
设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1，
3
2
）在椭圆上，所以 22
3
4()12
234E k x k --=+， 3
2
E E y kx k =+-。 ．．．．．．．8分
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得
22
3
4()12
234F k x k
+-=+，
3
2
F F y kx k =-++。
所以直线EF 的斜率()21
2F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++=
==--。
即直线EF 的斜率为定值，其值为
1
2
。