三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质
1．三角函数中的值域及最值问题
a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题
(1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π
2上的最小值为( ) A ．－1
B ．－
22
C.22
D ．0
答案：B
解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π
4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2
2， f (0) 2 ，故选B. 变式思考： (经典题，5分)函数f (x )＝－sin ????2x －π4在区间????0，7π 24上的值域为________． 答案：? ?? ? － 32， 22 解析：∵x ∈????0，7π24，∴－π4≤2x －π4≤π 3，∴函数y ＝sin ????2x －π4在区间????0，7π24上单调递增，∴函数f (x )＝－sin ????2x －π4在区间????0，7π24上单调递减．∵f (0)＝－sin ????－π4＝2 2，f ????7π24＝－sin π3＝－32，∴函数f (x )＝－sin ????2x －π4在区间????0，7π24上的值域为??? ?－32，2 2 . (2)(经典题，5分)函数y ＝tan ????π2－x ??－π4≤x ≤ ??π 4且x ≠0的值域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．[－1，＋∞) 答案：B 解析：∵y ＝tan ????π2－x ＝1tan x ，且定义域关于原点对称，∴该函数为奇函数．当0 tan x ≤ －1，∴函数y ＝tan (π 2－x )????－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B. b ．利用换元法解决最值问题 (3)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π 2])的最大值是________． 答案：1 解析： f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋ 1 4，设t ＝ cos x ，∵x ∈????0，π2，∴cos x ∈[0，1]，则t ∈[0，1]，∴f (t )＝－t 2＋3t ＋14＝－????t －322＋1，t ∈[0，1]，∴当t ＝ 32时，函数f (t )取得最大值1.故当cos x ＝32，即x ＝π 6 时，函数f (x )取得最大值1. (4)(2018河北张家口月考，5分)已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ，若?t ∈R ，x ∈R ，a sin t +3a +1≥f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B.?? ? ?22，＋∞ C.?? ? ?24，＋∞ D ．[2，＋∞) 答案：B 解析：令m ＝sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π 4，则|m |≤2，2sin x cos x ＝m 2－1，∴sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＝m ＋m 2－1，设g (m )＝m 2＋m －1，|m |≤2，则g (m )＝m 2＋m －1＝(m ＋12)2－5 4，∴ 函数g (m )在????－2，－12内单调递减，在????－1 2，2内单调递增，且g (－2)＝1－2，g (2)=1+2，∴g (m )max ＝1＋ 2.∵?t ∈R ，x ∈R ，a sin t ＋3a ＋1≥f (x )恒成立，∴a sin t ＋3a ＋1≥1+ 2.又∵－1≤sin t ≤1，∴3＋sin t >0，∴a ≥23＋sin t 恒成立，∴a ≥? ????23＋sin t max .∵当sin t = －1时，23＋sin t 取得最大值22，∴a ≥22.故选B. c ．利用化一法解决最值问题 (5)(2017全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________. 答案：5 解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5?? ? ?255cos x ＋55sin x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ 2.∵-1≤sin(x +φ)≤1，∴－5≤5sin(x ＋φ)≤5，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. (6)(2018四川联考，5分)函数f (x )＝2sin 2????x ＋π4＋2sin(π 4－x )cos ????π4－x 在区间????π2，3π4上的最小值是( ) A ．1－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 解析： f (x )＝2sin 2????x ＋π4＋2sin(π4－x )cos(π 4－x )＝1－cos ????2x ＋π2＋sin ????π2－2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ? ???2x ＋π 4＋1. 当π2≤x ≤3π4时，5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以函数f (x )在区间????π2，3π4上先减后增，当2x ＋π4＝3π 2时， f (x )取得最小值，最小值为1－ 2. d ．利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题 (7)(2018山东期末，5分)函数y ＝2＋cos x 2－cos x 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．不存在 答案：C 解析：(法一)将原式变形得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即(y ＋1)cos x ＝2y －2，当y ＝－1时， 等式不成立，∴y ≠－1，∴cos x ＝2y －2y ＋1.∵|cos x |≤1，∴??????2y －2y ＋1≤1，即|2y －2|≤|y ＋1|，即 4y 2－8y ＋4≤y 2＋2y ＋1，解得1 3≤y ≤3，∴函数y ＝2＋cos x 2－cos x 的最大值为3，故选C. (法二)y ＝2＋cos x 2－cos x ＝－2＋cos x ＋42－cos x ＝－1＋4 2－cos x .∵－1≤cos x ≤1，∴1≤2－cos x ≤3，∴ 43≤42－cos x ≤4，即1 3≤y ≤3，∴函数y ＝2＋cos x 2－cos x 的最大值为3，故选C. e ．与值域有关的参数问题 (8)(2018安徽模拟，5分)若函数y ＝2sin ωx (ω>0)在[－π3，π 4]上的最小值是－2，但最大值 不是2，则ω的取值范围是________． 答案：???? 32，2 解析：当x ∈????－π3，π4时，∵ω>0，∴ωx ∈??－ωπ3， ??ωπ4，且－ωπ3<0<ωπ 4.∵函数y ＝2sin ωx (ω>0)在????－π3，π 4上的最小值是－2，但最大值不是2，∴根据函数y ＝2sin x 的图像，如图所示， 可得? ??－ 3π2<－ωπ3≤－π2，0<ωπ4<π 2 ，解得3 2≤ω<2，∴ω的取值范围是????32，2. 2．三角函数的周期性、对称性、奇偶性 (9)(经典题，5分)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ????2x ＋π2 B ．y ＝cos ????2x ＋π 2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 答案：B 解析：选项A 中，y ＝sin ????2x ＋π2＝cos2x ，函数的最小正周期为T ＝2π 2 ＝π，但函数为偶 函数，故A 不满足条件；选项B 中，y ＝cos ????2x ＋π2＝－sin2x ，函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，且函数为奇函数，故B 满足条件；选项C 中，y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ????2x ＋π 4，函数的最小正周期为T ＝2π 2＝π，但函数不具有奇偶性，故C 不满足条件；选项D 中，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π 4，函数的最小正周期为T ＝2π，且函数不具有奇偶性，故D 不满足条件．故选B. 变式思考： (Ⅰ)(经典题，5分)函数y ＝??? ?sin ????x ＋π3＋1 2 的最小正周期为_____； (Ⅱ)(2019改编，10分)(ⅰ)函数f (x )＝2sin2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x 的最小正周期为_____； (ⅱ)函数f (x )＝sin x ＋2sin 2x 1＋2sin x 为________(填“奇函数”或“偶函数”或“非奇非偶函数”)． 答案：(Ⅰ)2π (Ⅱ)(ⅰ)π (ⅱ)非奇非偶函数 解析：(Ⅰ)画出函数y ＝??? ?sin ????x ＋π3＋1 2 的图像，如图所示，则函数的最小正周期为T ＝2π. (Ⅱ)(ⅰ)函数f (x )的定义域为???? ??x |x ≠π 2＋k π，k ∈Z ， f (x ) ＝2sin2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝ 2sin2x ·cos2x =sin4x ，画出函数图像，如图所示，由图可知函数的最小正周期为T ＝π. (ⅱ)易知1＋2sin x ≠0，则sin x ≠－12，∴x ≠－π6＋2k π(k ∈Z )且x ≠7π 6＋2k π(k ∈Z )．∵函数 f (x )的定义域不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数． (10)(2018江苏，5分)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)????－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π 3对称，则φ的值是________． 答案：－π 6 解析：因为函数y =sin(2x ＋φ)????－π2<φ<π2的图像关于直线x =π3对称，所以2π3+φ=k π+π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )．因为－π2<φ<π2，所以－π2 3 .因为k ∈Z ，所以k ＝ 0，即φ的值是－π 6 . (11)(经典题，5分)如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，那么a ＝( ) A.2 B ．－2 C ．1 D ．－1 答案：D 解析：(法一)∵函数y ＝f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，∴f (0)＝f ????－π4，即0＋a ＝sin ????－π2＋a cos(－π 2 )，即a ＝－1.故选D. (法二)∵y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，tan φ＝a ，∴该三角函数的最小正周期T=π， T 4＝π4，∴函数在x ＝－π8＋π 4处的函数值为0，∴sin2????－π8＋π4＋a cos2????－π8＋π4＝0，解得a ＝－1.故选D. (法三)y ＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，tan φ＝a .∵函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关 于直线x =－π8对称，∴当x =－π8 时，y =sin2x +a cos2x 取得最大值或最小值，∴sin ????2×????－π8＋ a cos ????2×????－π8＝1＋a 2或sin ????2×????－π8＋a cos ??? ?2×????－π8＝－1＋a 2，解得a ＝－1.故选D. 3．三角函数的单调性 a ．已知函数解析式求函数的单调区间 (12)(2018江西期中，6分)已知函数f (x )＝2sin ????2x ＋π 6－4cos 2x ＋2，求函数f (x )的单调递减区间． 答案：????π3＋k π，5π 6＋k π， k ∈Z 解： f (x )＝2sin ????2x ＋π 6－4cos 2x ＋2 ＝2? ?? ? sin2x · 32＋cos2x ·12－2cos2x ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ? ???2x －π 6.(3分) 令π2＋2k π≤2x －π6≤3π 2＋2k π，k ∈Z ， 解得x ∈??? ?π3＋k π，5π 6＋k π， k ∈Z ， 故f (x )的单调递减区间为????π 3＋k π，5π6＋k π， k ∈Z .(6分) 变式思考： (Ⅰ)(经典题，5分)函数y ＝sin ????π4－2x 的单调递减区间为__ __. 答案：? ???k π－π8，k π＋3π 8，k ∈Z 解析：∵y ＝sin ????π4－2x ＝－sin ????2x －π4，∴y ＝sin ????π 4－2x 的单调递减区间为函数y ＝sin ????2x －π4的单调递增区间．令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π 8，k ∈Z ，∴函数y ＝sin ????π4－2x 的单调递减区间为[k π－π8，k π＋3π 8 ]，k ∈Z . (Ⅱ)(2018江苏模拟，5分)设f (x )＝sin 2x －3cos x cos ????x ＋π2，则f (x )在????0，π 2上的单调增区间为_______． 答案：??? ?0，π 3 解析：∵f (x )＝sin 2x －3cos x cos ????x ＋π2＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos2x )＋3 2sin2x ＝sin(2x －π6)＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π 3，k ∈Z .当k ＝0时， －π6≤x ≤π3.又∵x ∈????0，π2，∴0≤x ≤π 3 ，即函数f (x )在????0，π2上的单调递增区间为????0，π3. b ．已知函数的单调区间求参数 (13)(2018北京海淀模拟，5分)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π 3)在????π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.???? 13，56 B.????13，76 C.???? 14，56 D.???? 14，76 答案：B 解析：根据题意知函数f (x )＝sin ????ωx ＋π3的最小正周期T ≥2????π－π2＝π，∴T ＝2π ω≥π，∴0<ω≤2.由2k π＋π2≤ωx ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋π6≤ωx ≤2k π＋7π6，k ∈Z ，∴2k π ω＋ π6ω≤x ≤2k πω＋7π6ω，k ∈Z ，∴f (x )＝sin ????ωx ＋ π3的单调递减区间为[2k πω＋π6ω，2k πω＋7π 6ω]，k ∈Z . ∵函数f (x )在???? π2，π上单调递减，∴??? 2k πω＋π6ω≤π 2 ，2k πω＋7π6ω≥π， k ∈Z ，∴4k ＋13≤ω≤2k ＋7 6 ，k ∈Z .又 ∵0<ω≤2，∴k ＝0，∴13≤ω≤7 6，故选B. (14)(2018福建期中，5分)将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像向左平移φ????0<φ<π 2个单位长度后得到f (x )的图像，若f (x )在? ???π，5π 4上单调递减，则φ的取值范围为( ) A.????π8，3π8 B.????π4，π2 C.????π8，3π8 D.????π4，π 2 答案：C 解析：y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ? ???2x ＋π 4. 将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图像向左平移φ(0<φ<π 2)个单位长度后得到f (x )的图像，则 f (x )＝2sin ????2（x ＋φ）＋π4＝2sin(2x ＋2φ＋π 4). 由2k π＋π2≤2x ＋2φ＋π4≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 得k π＋π8－φ≤x ≤k π＋5π 8－φ，k ∈Z . 若f (x )在? ???π，5π 4上单调递减， 则???k π＋5π8－φ≥5π4，k π＋π8－φ≤π，解得???φ≤k π－5π 8， φ≥k π－7π8， 即k π－7π8≤φ≤k π－5π 8，k ∈Z . 又∵0<φ<π2，∴k ＝1，∴π8≤φ≤3π 8， 即φ的取值范围为???? π8，3π8.故选C. (15)(2019改编，5分)函数f (x )＝2cos ????2x －π3在区间????0，a 3和????2a ，7π 6上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.???? π3，π2 B.???? π6，π2 C.???? π6，π3 D.???? π4，3π8 答案：A 解析：∵函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，∴令－π＋2k π≤2x － π3≤2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，－π3≤x ≤π6；当k ＝1时，2π3≤x ≤7π6. ∵－π3<0<π 6 ，∴要使函数f (x )＝2cos ????2x －π3在区间????0，a 3和????2a ，7π6上单调递增，需使???0 6， 2π3≤2a <7π6， 解得π3≤a ≤π2 ，故选A. 4．三角函数的性质的综合应用 (16)(经典题，5分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π 3 时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2) B ．f (0) C ．f (－2) D ．f (2) 答案：A 解析：依题意得22T ωω π = =π∴=,.又∵A >0，且当x ＝2π 3时，函数f (x )取得最小值， ∴2π3×2＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z .又∵φ>0，∴可取φ＝π 6，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝A sin ????2x ＋π6，∴f (2)＝A sin ????4＋π6，f (0)＝A sin π 6＝A sin ????－7π6， f (－2)＝A sin ????－4＋π6.∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且函数y ＝A sin x 在(－7π 6，－π)上为减函数，∴0＝A sin(－π) 6，即0 (17)(经典题，5分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，若f (x )在区间????π6，π2上具有单调性，且f ????π2＝f ????2π3＝－f ??? ?π 6，则f (x )的最小正周期为______． 答案：π 解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，∵f (x )在区间????π6，π2上具有单调性，∴π2－π6＝π3≤T 2， 即T ≥2π3.∵f ????π2＝－f ????π6，∴函数f (x )图像的一个对称中心为????π3，0.∵f ????π2＝f ????2π3，且2π3－π2＝π6<π3，∴函数f (x )图像的一条对称轴方程为x ＝12(2π3＋π2)＝7π12.∵（2k ＋1）4T ＝7π12－π3＝π 4，k ∈N ，∴T ＝π2k ＋1 ，k ∈N ，又∵T ≥2π3，∴令k ＝0，得T ＝π，∴函数f (x )的最小正周期为π. (18)(2016全国Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π 4为f (x )的零点， x ＝π 4 为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在????π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 答案：B 解析：(法一)设函数f (x )的最小正周期为T .∵x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π 4为y ＝f (x )图像的 对称轴，∴ （2k ＋1）T 4＝π4－????－π4＝π2，k ∈N ，即（2k ＋1）π2ω＝π 2 ，k ∈N ，解得ω＝2k ＋ 1(k ∈N )．∵f (x )在????π18，5π36上单调，∴5π36－π18＝π12≤T 2，即2π2ω≥π 12，解得0<ω≤12.当ω＝11时，∵x ＝－π4为f (x )的零点，∴－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝11π4＋k π，k ∈Z .又∵|φ|≤π 2， ∴φ＝－π4，∴f (x )＝sin ????11x －π4.∵π18×11－π4<π2<5π36×11－π4，∴此时f (x )在????π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，∵x ＝－π4为f (x )的零点，∴－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝9π 4＋k π， k ∈Z .又∵|φ|≤π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin ????9x ＋π4.∵π2<π18×9＋π4<5π36×9＋π4＝3π 2 ，∴此时f (x )在??? ?π18，5π36上单调，满足题意，∴ω的最大值为9，故选B. (法二)依题意，有???ω·????－π 4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2，(m ，n ∈Z )解得???? ?ω＝2（n －m ）＋1，φ＝2（m ＋n ）＋14π.(m ，n ∈Z ) 又|φ|≤π2，∴m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1.∵f (x )在????π18，5π36上单调，∴5π36－π18＝π12≤T 2， 即2π2ω≥π 12，解得0<ω≤12.当m ＋n ＝0时，有?????ω＝4n ＋1，φ＝π4，(n ∈Z )取n ＝2，则ω＝9, f (x )＝sin ????9x ＋π4，当x ∈????π18，5π36时，9x ＋π4∈???? 3π4，3π2，函数f (x )单调，符合题意；当m ＋n ＝－1时，有 ? ????ω＝4n ＋3，φ＝－π4，(n ∈Z )取n ＝2，则ω＝11, f (x )＝sin ????11x －π4，当x ∈????π18，5π36时，11x －π 4∈???? 13π36，23π18，函数f (x )不单调，不符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 随堂普查练16 1．(2018山东临沂期末，12分)已知x ∈????－π6，5π 6. (Ⅰ)求函数y ＝sin x 的值域； (Ⅱ)求函数y ＝－3cos 2x －4sin x ＋4的最大值和最小值． 答案： (Ⅰ)??? ?－1 2，1 (Ⅱ)函数的最大值为154，最小值为－1 3 解：(Ⅰ)当x ∈????－π6，5π6时，函数y ＝sin x 在????－π6，π2上单调递增，在????π2，5π 6上单调递减．(2分) ∵当x ＝－π6时，y ＝sin ????－π6＝－12；当x ＝5π6时，y ＝sin 5π6＝1 2， ∴函数的最小值为－1 2 .(4分) ∵当x ＝π 2时，函数取得最大值1，(5分) ∴函数的值域为??? ?－1 2，1.(6分) (Ⅱ)y ＝－3cos 2x －4sin x ＋4＝3sin 2x －3－4sin x ＋4＝3sin 2x －4sin x ＋1.(7分) 设t ＝sin x ，由(Ⅰ)知t ∈????－1 2，1， ∴ f (t )＝3t 2－4t ＋1＝3 ????t －232 －13，t ∈??? ?－12，1，(9分) ∴当t ＝23时，函数取得最小值－1 3.(10分) ∵23－????－12>1－23 ， ∴当t ＝－12时，函数取得最大值15 4，(11分) ∴函数的最大值为154，最小值为－1 3.(12分) 2．(2016全国Ⅱ，5分)函数f (x )＝cos2x ＋6cos ???? π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：B 解析：f (x )＝cos2x ＋6cos ????π2－x ＝1－2sin 2 x ＋6sin x ，设sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，则g (t )＝ 1－2t 2＋6t ＝－2????t －322＋112，－1≤t ≤1.∵二次函数g (t )＝－2????t －322＋11 2图像的对称轴为 t ＝32，∴函数在[－1，1]上单调递增，∴当t ＝1，即x ＝π 2＋2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值5.故选B. 3．(经典题，5分)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 答案：[－1，1] 解析：令t ＝sin x －cos x ＝2sin ????x －π4，则(sin x －cos x )2＝t 2，∴sin x cos x ＝1－t 2 2.∵x ∈[0，π]，∴x －π4∈????－π4，3π4，∴－22≤sin ????x －π4≤1，∴－1≤t ≤2，∴g (t )＝t ＋ 1－t 22，t ∈[－1， 2]，即g (t )＝－t 22＋t ＋12＝－1 2(t －1)2＋1，t ∈[－1，2]，∴函数g (t )在[－1，1]上单调递增， 在[1，2]上单调递减．又∵g (1)＝1，g (－1)＝－1，g (2)＝－1 2＋2>－1，∴函数g (t )的值 域为[－1，1]． 4．(经典题，5分)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝______． 答案：±3 解析：∵f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a 4，∴函数f (x )的最大值为16＋a 2， ∴16＋a 2＝5，解得a ＝±3. 5．(2019改编，5分)已知函数f (x )＝a sin x cos x －sin 2x ＋12的一条对称轴为x ＝π 6， 则函数 f (x )的最小值为______． 答案：－1 解析：∵函数f (x )＝a sin x cos x －sin 2x ＋12的一条对称轴为x ＝π6，∴f (0)＝f ????π3，即1 2＝ a sin π3cos π3－sin 2π3＋12，即0＝34a －34，解得a ＝3，∴f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ＋12＝ 32sin2x ＋1 2cos2x ＝sin ????2x ＋π6，∴函数f (x )的最小值为－1. 6．(2018山东月考，5分)对于函数f (x )＝sin x ＋1 sin x (0 A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．既有最小值也有最大值 D ．既无最大值也无最小值 答案：B 解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1 sin x (0 ∴f (x )＝1＋1 sin x (0 7．(2018湖南一模，5分)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间????－π3，π 4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.? ???－∞，－9 2∪[)6，＋∞ B. ????－∞，－92∪????3 2，＋∞ C. (]－∞，－2∪[)6，＋∞ D. (]－∞，－2∪??? ?3 2，＋∞ 答案：D 解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω.∵－π3ω<0<π 4ω，∴要使函数f (x )＝2sin ωx 在区间????－π3，π4上的最小值为－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥32π，解得ω≥3 2；当ω<0时， f (x )＝2sin ωx ＝ －2sin(－ωx )，且π3ω≤－ωx ≤－π4ω.∵π3ω<0<－π 4 ω，∴要使函数f (x )＝－2sin(－ωx )在区间 ????－π3，π4上的最小值为－2，则－π4ω≥π2或π3ω≤－32 π，解得ω≤－2.综上，ω的取值范围为 (－∞，－2]∪????3 2，＋∞.故选D. 8．(2018哈尔滨模拟，5分)设a ＝sin 8π11，b ＝cos 3π11，c ＝tan 3π 11，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜b 答案：B 解析：a ＝sin 8π11＝sin 3π11＝sin 6π22，b ＝cos 3π11＝cos ????π2－5π22＝sin 5π 22.∵函数y ＝sin x 在????0，π2上单调递增，且sin x <1，∴b tan π 4＝1，∴b 9．(2017全国Ⅲ，5分)设函数f (x )＝cos ????x ＋π 3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π 3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π 6 D ．f (x )在???? π2，π单调递减 答案：D 解析：(法一)函数f (x )＝cos ????x ＋π 3的周期为2k π，k ∈Z 且k ≠0，当k ＝－1时，函数的周期为－2π，A 正确；将x ＝8π 3代入函数解析式，得f (x )＝cos ????8π3＋π3＝cos3π＝－1，为函数 f (x )的最小值，∴函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π 3对称，B 正确； f (x ＋π)＝cos ????x ＋π＋π3＝－cos ????x ＋π3，将x ＝π6代入该函数解析式，得f ????π6＋π＝－cos(π6＋π3)＝－cos π2＝0，即x ＝π 6是函数f (x ＋π)的一个零点，C 正确；当π2 3，∴此时函数f (x )不是单调 函数，D 错误． (法二)画出函数f (x )＝cos ??? ?x ＋π 3的图像，如图所示． 由图可知，选项A ，B 正确； f (x ＋π)的图像由f (x )的图像向左平移π个单位长度得到，由图知f (x )的一个零点为7π6，所以f (x ＋π)对应的零点为π 6，选项C 正确； f (x )在????π2，π上先单调递减后单调递增，D 选项错误．故选D. 10．(2018江苏模拟，5分)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π 2)的图像过点(0，3)，则函数 f (x )在[0，π]上的单调减区间是______． 答案：???? π12，7π12 解析：∵函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图像过点(0，3)，∴2sin φ＝3，∴φ＝π 3＋2k π或φ＝ 2π3＋2k π，k ∈Z .∵ 0<φ<π2，∴φ＝π3，故f (x )＝2sin ????2x ＋π3.令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π 2＋2k π，k ∈Z ，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π 12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为????k π＋π12，k π＋7π12，k ∈Z .又0≤x ≤π，∴令k ＝0，得π12≤x ≤7π12.故f (x )＝2sin ????2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间为[π12，7π 12]． 11．(经典题，5分)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间????－π4，π 4上单调，且在该区间上的最小值为－2，则ω的值为______． 答案：±2 解析：(法一)∵函数f (x )＝2sin ωx 在区间????－π4，π 4上单调，且在该区间上的最小值为－2，∴函数f (x )在x ＝－π4或x ＝π4处取得最小值－2.又∵f (x )＝2sin ωx ∈[－2，2]，∴x ＝－π4或x ＝π 4是 函数f (x )＝2sin ωx 的图像的一条对称轴．易知函数f (x )＝2sin ωx 为奇函数，∴函数f (x )＝2sin ωx 的图像关于原点对称，即原点是函数f (x )＝2sin ωx 的图像的一个对称中心，∴T ＝4???? π4－0＝π.又∵T ＝2π |ω| ，∴ω＝±2. (法二)当ω＞0时，由已知条件可知函数f (x )在区间[－π4，π 4 ]上单调递增，如图所示， ∴f (－π4)＝2sin(－ωπ4)＝－2，∴sin(－ωπ4)＝－1，∴－ωπ4＝－π 2＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝2－ 8k (k ∈Z )．∵函数f (x )在区间????－π4，π4上单调递增，∴T 2≥π4－(－π4)＝π2.又∵T ＝2π|ω|＝2π ω，∴0<ω≤2，∴ω＝2.同理，当ω<0时，可求得ω＝－2.综上可知，ω的值为±2. 12．(2019改编，5分)函数g (x )＝sin ????12x －π12在区间[0，a π 9]与[]2a π，4π上均单调递增，则实数a 的取值范围为_______． 答案：???? 1912，2 解析：当0≤x ≤a π9时，－π12≤12x －π12≤a π18－π 12，a >0.∵函数y ＝sin x 在????－π12，π2上单调递增，∴a π18－π12≤π2，∴0 12，∵函数y ＝ sin x 在????3π2，2π上单调递增，∴3π2≤a π－π12<2π－π12，解得19 12 ≤a <2.综上，a 的取值范围是??? ?1912，2. 13．(2019改编，12分)已知函数f (x )＝2a ·sin ????x －π 4＋a ＋b . (Ⅰ)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间； (Ⅱ)当a <0时， f (x )在[0，π]上的值域为[2，3]，求a ，b 的值． 答案：(Ⅰ)??? ?3π 4＋2k π，7π4＋2k π，k ∈Z (Ⅱ)a ＝1－2，b ＝3 解：(Ⅰ)当a ＝1时， f (x )＝2sin ????x －π4＋1＋b ，令π2＋2k π≤x －π4≤3π 2＋2k π，k ∈Z ，解得3π4＋2k π≤x ≤7π 4 ＋2k π，k ∈Z ，(3分) ∴函数f (x )的单调递减区间为??3π4＋ ? ?2k π，7π 4＋2k π，k ∈Z .(5分) (Ⅱ)当x ∈[0，π]时，x －π 4∈??? ?－π4，3π4，函数y ＝sin ????x －π4先增后减，(7分) 当x －π4＝－π4时，sin ????x －π4＝－22；当x －π4＝3π4时，sin ????x －π4＝22，∴－22≤ sin ??? ?x －π 4≤1，(8分) 又∵a <0，∴f (x )＝2a ·sin ????x －π4＋a ＋b 的最大值为－2 2·2a ＋a ＋b ＝b ，最小值为 2a ＋a ＋b ＝(2＋1)a ＋b .(9分) 又∵当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2，3]， ∴???b ＝3，（2＋1）a ＋b ＝2，解得???b ＝3，a ＝1－2， ∴a ，b 的值分别为1－2，3.(12分) 14．(2018四川绵阳中学月考，5分)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)????A ＞0，ω＞0，0＜φ≤π 2是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3) ＋…＋f (2017)的值为( ) A.32 B ．－32 C ．1 D ．－1 答案：B 解析：∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z .又∵0＜φ≤π2，∴φ＝π 2， ∴f (x )＝A cos ????ωx ＋π 2＝－A sin ωx .∵当x ＝3时， f (x )取得最小值－3，∴A ＝3，且3ω＝2k π＋ π2，k ∈Z ，∴ω＝π6＋2k π3，k ∈Z ，∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π 6x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π π6＝12.∵2017＝168×12＋1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2017)＝168×(f (1)＋f (2)＋ f (3)＋…＋f (12))＋f (1)．∵函数f (x )的图像关于点(6，0)对称，∴f (6－x )＋f (6＋x )＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＋f (12)＝0，又∵f (1)＝－3sin π6＝－3 2 ，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋ f (2017)＝f (1)＝－3 2 .故选B. 课后提分练16 三角函数的图像与性质 A 组(巩固提升) 1．(经典题，5分)设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案：C 解析：a ＝sin33°，b ＝cos55°＝cos(90°－35°)＝sin35°.∵函数y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin35°>sin33°，即b >a .∵c ＝tan35°＝ sin35°cos35°，0 cos35° >sin35°，即c >b ，∴c >b >a .故选C. 2．(经典题，5分)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π 2 ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当f (x )为奇函数时，φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π 2”的充分条 件；当φ＝π 2时，f (x )＝A cos ????ωx ＋π2＝－A sin ωx ，该函数为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是 “φ＝π2”的必要条件．综上所述，“f (x )是奇函数”是“φ＝π 2 ”的必要不充分条件．故选B. 3．(2018全国四省联考，5分)设函数f (x )＝sin ? ???2x ＋π 4，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为2π B ．f (x )的图像关于直线x ＝π 8对称 C ．f (x )的一个零点为x ＝－π 8 D ．f (x )在区间??? ?0，π 4上单调递减 答案：D 解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2π 2＝π，则函数f (x )的周期T ′＝k π(k 为非零整数)．取 k ＝2，可得函数f (x )的一个周期为2π，选项A 正确；函数f (x )的图像的对称轴满足2x ＋π 4＝ k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．取k ＝0，可得f (x )的图像关于直线x ＝π 8对称，选项B 正 确；函数f (x )的零点满足2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π 8(k ∈Z )．取k ＝0，可得f (x )的一个零 点为x ＝－π8，选项C 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，则π8＋k π≤x ≤5π 8＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递减区间为????π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得函数f (x )在区间????0，π 4上不单调，选项D 错误． 4．(2019改编，5分)已知x 0＝π 3是函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的一个极大值点，则函数f (x )的一 个单调递减区间是( ) A.????π6，2π3 B.???? π3，5π6 C.???? π2，π D.???? 2π3，π 答案：B 解析：∵x 0＝π3是函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的一个极大值点，且f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， ∴f (x )的单调递减区间为??π3＋k π，π3＋ ??π2＋k π，k ∈Z ，即??? ?π3＋k π，5π 6＋k π，k ∈Z ，故选B. 5．(经典题，5分)如果函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π4(||ω<3)的图像关于点????π 4，0成中心对称，那么函数f (x )的最小正周期是( ) A.π 2 B.2π 3 C ．π D ．2π 答案：D 解析：∵函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π4的图像关于点????π4，0成中心对称，∴2sin(π4ω＋π 4)＝0， ∴π4ω＋π 4＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－1＋4k ，k ∈Z .又∵|ω|<3，∴令k ＝0，得ω＝－1，∴函数f (x )的最小正周期是T ＝ 2π |ω| ＝2π，故选D. 6．(2018全国Ⅱ，5分)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π 2 C.3π4 D ．π 答案：A 解析：(法一)f (x )＝c o s x －s in x ＝2?? ? ?22cos x －22sin x ＝2????cos π4cos x －sin π4sin x ＝ cos ????x ＋π4，令2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π 4，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为[2k π－π4，2k π＋3π4]，k ∈Z .由已知可得[－a ，a ]?????－π4，3π4，所以－π 4≤ －a <0，即0 4 .答案为A. (法二)同方法一可得f (x )＝2cos ????x ＋π4，所以直线x ＝－π 4为函数f (x )图像的一条对称轴，画出函数图像如图：
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