2018年湖北省武汉六中上智中学中考数学四模试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
1.4的平方根是()
A. 2
B. ±2
C. ?2
D. 4
2.若分式1
在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是()
x+2
A. x>?2
B. x2
C. x=?2
D. x≠?2
3.下列运算正确的是()
A. a+2a=2a2
B. (?2ab2)2=4a2b4
C. a6÷a3=a2
D. (a?3)2=a2?9
4.下列事件是必然事件的是()
A. 通常加热100℃时,水沸腾
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中
C. 任意画一个三角形,其内角和为360°
D. 经过信号灯时,遇到红灯
5.下列计算结果等于x2-9的是()
A. (3?x)(3+x)
B. (x?3)2
C. (x+3)(x?3)
D. (x+3)2
6.已知点A的坐标为(-2,3),则点A关于x轴对称点坐标为()
A. (?2,?3)
B. (2,3)
C. (2,?3)
D. (?2,3)
7.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体是()
A. 正方体
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 三棱锥
8.如图是某中学九(1)班50名学生的捐款情况统计,则他们捐款金额的众数和中位
数分别是()
A. 20、10
B. 10、20
C. 16、15
D. 15、16
9.已知点B(1,1+√3)、点C(3,1-√3),在坐标轴上再找一点A,使△ABC是直
角三角形,则这样的点A有()个.
A. 2个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
10.(2016秋?江岸区期中)如图,△ABC内接于⊙O,AB是的
直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交于E,交AB于点D.连
接AE,则S△CDB:S△ADE的值等于()
A. 3:2
B. √3:1
C. 2:1
D. √2:1
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分) 11. 计算:-3+6的结果为______. 12. 计算6
x?1-1
x?1的结果为______.
13. 在一个不透明的布袋中有1个红色和2个黑色小球,从中随机摸出2个小球,其中
恰好为一个红色,一个黑色的概率为______.
14. 如图,在?ABCD 中,BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ,若
∠1=20°,则∠2的度数为______.
15. 若点A (m ,y 1)、点B (m -1,y 2)是函数y =2|x |+3图
象上的两点,当y 1>y 2时,m 的取值范围是______. 16. 如图,四边形ABCD 中,BD 与AC 相交于E 点,
AE =CE ,BC =AC =DC ,则tan ∠ABD ?tan ∠ADB =______.
三、计算题(本大题共1小题,共8.0分) 17. 解方程:3(x -5)=7x -1.
四、解答题(本大题共7小题,共64.0分)
18. 如图.点B ,F ,C ,E 在同一条直线上,点A ,D 在直
线BE 的两侧,AB ∥DE ,AC ∥DF ,BF =CE . 求证:AC =DF .
19.为积极响应市委政府“加快建设美丽江城”的号召,我市某街道决定从备选的五种
树中选购一种进行栽种.为了更好地了解社情民意,工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民,进行“我最喜欢的一种树”的调查活动(每人限选其中一种树),并将调查结果整理后,绘制成如图两个不完整的统计图:
请根据所给信息解答以下问题:
(1)这次参与调查的居民人数为______
(2)请将条形统计图补充完整,扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为______
(3)已知该街道辖区内现有居民8万人,请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人?
20.某校准备组织师生共60人,从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动,动车票价格
运行区间成人票价(元/张)学生票价(元/张)出发站终点站一等座二等座二等座
南靖厦门262216
若师生均购买二等座票,则共需元.
(1)参加活动的教师有______人,学生有______人;
(2)由于部分教师需提早前往做准备工作,这部分教师均购买一等座票,而后续前往的教师和学生均购买二等座票.设提早前往的教师有x人,购买一、二等座票全部费用为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元,则提早前往的教师最多只能多少
人?
21.如图,已知AB为⊙O直径,AC是⊙O的弦,∠BAC的平
分线AD交⊙O于D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线
于点E,OE交AD于点F,cos∠BAC=3
5
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AF=8,求DF的长.
(x>0)的图象上,过点A 22.如图1,点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数y=m
x
作AC⊥x轴于C,过点B作BD⊥y轴于D.
(1)求m的值和直线AB的函数关系式;
(2)动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线OD-DB向B点运动,同时动点Q从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动,当动点P运动到B时,点Q也停止运动,设运动的时间为t秒.
①设△OPQ的面积为S,写出S与t的函数关系式;
②如图2,当点P在线段OD上运动时,如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形
△O′PQ,是否存在某时刻t,使得点O′恰好落在反比例函数的图象上?若存在,求O′的坐标和t的值;若不存在,请说明理由.
23.如图,已知△ABC中,D、G分别是边BC、AC上的点,
连AD、BC相交于点E,BE=BD.过点C作AD的平行
线与BG的延长线于点F,CD
BD =1
2
,DE
EA
=2
3
.
(1)求FG
BG
的值;
(2)若BC=√3FC,求证:AB=BF;
(3)若AB=AD,直接写出CF
BC
=______.
24.已知抛物线y=2x2+bx+c与x轴的交点为A、B,顶点
为D.
(1)若点A、点B的坐标分别为A(-1,0)、B(3,0),求抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上是否存在点P使△BCP为直角三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若抛物线y=2x2+bx+c与直线y=x+h交于E、F
两点,点M在EF之间的抛物线上运动,MN∥y轴,
交直线y=x+h于点N,MN
EN?NF
是否为定值,并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解:4的平方根是±2.
故选:B.
根据平方根的定义解答即可.
本题考查了平方根的应用,关键是注意:一个正数有两个平方根,它们互为相
反数.
2.【答案】D
【解析】
解:∵代数式在实数范围内有意义,
∴x+2≠0,
解得:x≠-2.
故选:D.
直接利用分式有意义的条件分析得出答案.
此题主要考查了分式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.
3.【答案】B
【解析】
解:A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故A错误;
B、积的乘方等于乘方的积,故B正确;
C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故C错误;
D、差的平方等于平方和减积的二倍,故D错误;
故选:B.
根据合并同类项系数相加字母及指数不变,积的乘方等于乘方的积,同底数幂的除法底数不变指数相减,差的平方等余平方和减积的二倍,可得答案.本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
4.【答案】A
【解析】
解:A、通常加热100℃时,水沸腾,是必然事件;
B、篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中,是随机事件;
C、任意画一个三角形,其内角和为360°,是不可能事件;
D、经过信号灯时,遇到红灯,是随机事件;
故选:A.
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
本题考查了必然事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机
事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在
一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
5.【答案】C
【解析】
解:x2-9=(x+3)(x-3).
故选:C.
根据平方差的计算公式进行解答.
本题考查了平方差公式和完全平方公式.运用平方差公式计算时,关键要找
相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.
6.【答案】A
【解析】
解:∵关于横轴的对称点,横坐标不变,纵坐标变成相反数,
∴点A关于x轴对称点坐标为(-2,-3);
故选:A.
平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于x轴的对称点的坐标是(x,-y),记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆,另一种记忆方法是记住:关于横
轴的对称点,横坐标不变,纵坐标变成相反数.
本题比较容易,考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系.是需要识记的内容.
7.【答案】B
【解析】
解:根据主视图和左视图为矩形是柱体,根据俯视图是正方形可判断出这个几何体应该是长方体.
故选:B.
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.本题考查由三视图判断几何体,由三视图想象几何体的形状,首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.
8.【答案】B
【解析】
解:∵10出现了16次,出现的次数最多,
∴他们捐款金额的众数是10;
∵共有50个数,
∴中位数是第25、26个数的平均数,
∴中位数是(20+20)÷2=20;
故选:B.
根据众数和中位数的定义求解即可,中位数是将一组数据从小到大重新排列后,找出最中间两个数的平均数,众数是一组数据中出现次数最多的数.
本题考查了众数与中位数,正确理解众数与中位数是解题的关键.
9.【答案】C
【解析】
解:①过B作BC的垂线交x轴
和y轴于A1、A2,此时
∠CBA=90°;
②过C作BC的垂线交y轴于
A3,此时∠BCA=90°;
③以BC为直径画圆,交x轴、y
轴于A4、A5、A6、A7;
则△ABC是直角三角形,这样的点A有7个,
故选:C.
分情况讨论,分别以C、B为直角顶点,再以CB为直径画圆可得A的位置.此题主要考查了直角三角形的判定,关键是要分情况讨论,分别以C、B为直角顶点,再以CB为直径画圆可得A的位置.
10.【答案】A
【解析】
解:连接EB,
设AC=x,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠AEB=90°,
∵∠B=30°,
∴AB=2AC=2x,
由勾股定理得,BC==x,
∵CE平分∠ACB,
∴=,
∴EA=EB=AB=x,
∵∠EAD=∠BCD,∠ADE=∠CDB,
∴△ADE∽△CDB,
∴S△CDB:S△ADE=()2=,
故选:A.
连接EB,设AC=x,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据直角三角形的性质用x表示出AB、BC,证明△ADE∽△CDB,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案.
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
11.【答案】3
【解析】
解:-3+6=3,
故答案为:3.
根据有理数的加法法则计算可得.
本题主要考查有理数的加法,解题的关键是掌握有理数的加法法则.
12.【答案】5
x?1
【解析】
解:原式==,
故答案为:.
根据分式的加减运算法则计算可得.
本题主要考查分式的加减法,解题的关键是掌握分式加减运算法则.
13.【答案】2
3
【解析】
红黑黑
红红黑红黑
黑黑红黑黑
黑黑红黑黑
由表知共有6种等可能结果,其中恰好为一个红色,一个黑色的有4种结果,所以恰好为一个红色,一个黑色的概率为=,
故答案为:.
先画列表展示所有6种等可能的情况,再找出一个红色,一个黑色的情况数,然后根据概率公式计算.
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意此题是不放回实验.
14.【答案】110°
【解析】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠1=20°,
∵BE⊥AB,
∴∠ABE=90°,
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°.
故答案为:110°.
首先由在?ABCD中,∠1=20°,求得∠BAE的度数,然后由BE⊥AB,利用三角形外角的性质,求得∠2的度数.
此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质.注意平行四边形的对边互相平行.
15.【答案】m>1
2
【解析】
解:将A(m,y1)、点B(m-1,y2)代入y=2|x|+3
∴y1=2|m|+3,y2=2|m-1|+3,
∵y1>y2
∴2|m|+3>2|m-1|+3
∴|m|>|m-1|
∴m2>(m-1)2
∴m2>m2-2m+1
解得:m>
故答案为:m>
将两点的坐标代入后,解出关于m不等式即可.
本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是熟练运用不等式的性质,本题属于中等题型.
16.【答案】1
3
【解析】
解:∵BC=AC=DC,
∴点A、B、D在以C为圆心的圆上,
如图所示,延长AC交⊙C于点F,连接DF、BF、
则∠ADF=∠ABF=90°,∠ABD=∠AFD、∠ADB=∠AFB,
∵∠AEB=∠DEF、∠AED=∠BEF,
∴△ABE∽△DFE,△ADE∽△BFE,
∴=、=,
则tan∠ABD?tan∠ADB=tan∠AFD?tan∠AFB
=?
=?
=?
=,
设AE=CE=x,则AC=CF=2x,
∴AF=4x,
∴EF=AF-AE=3x,
则tan∠ABD?tan∠ADB==,
故答案为:.
由BC=AC=DC知A、B、D在以C为圆心的圆上,延长AC交⊙C于点F,连接DF、BF,由圆周角定理知∠ADF=∠ABF=90°,∠ABD=∠AFD、
∠ADB=∠AFB,证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得=、=,从而由tan∠ABD?tan∠ADB=tan∠AFD?tan∠AFB=?=?=?=可得答案.
本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义,根据圆周角定理证得两对三角形相似是解题的关键.
17.【答案】解:去括号得:3x-15=7x-1,
移项合并得:-4x=14,
解得:x=-3.5.
【解析】
方程去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.此题考查了解一元一次方程,解方程移项时注意要变号.18.【答案】证明:∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∵BF+FC=EC+CF,BF=CE,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中
{∠ABC=∠DEF BC=EF
∠ACB=∠DFE
,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AC=DF.
【解析】
因为AB∥DE,AC∥DF,BF=CE,易证△ABC≌△DEF,则AC=DF.
本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
19.【答案】1000 36°
【解析】
解:(1)这次参与调查的居民人数为125÷12.5%=1000(人),
故答案为:1000;
(2)喜欢樟树的有:
1000-250-375-125-100=150(人).
条形图补充如右:
扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆
心角度数为360°×=36°,
故答案为:36°;
(3)8×=2(万人),
答:估计这8万人中最喜欢玉兰树的有2万人.
(1)用桂花树的人数除以其占总人数的百分比可得;
(2)用360度乘以样本中枫树所占比例即可得;
(3)用总人数乘以样本中玉兰树所占比例即可得.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
20.【答案】10 50
【解析】
解:(1)设参加活动的教师有a人,学生有b人,依题意有
,
解得.
故参加活动的教师有10人,学生有50人;
(2)①依题意有:y=26x+22(10-x)+16×50=4x+1020.
故y关于x的函数关系式是y=4x+1020(0<x<10);
②依题意有
4x+1020≤1032,
解得x≤3.
故提早前往的教师最多只能3人.
故答案为:10,50.
(1)设参加活动的教师有a人,学生有b人,根据等量关系:师生共60人;若师生均购买二等座票,则共需1020元;列出方程组,求出方程组的解即可;(2)①根据购买一、二等座票全部费用=购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生购买二等座票钱数,依此可得解析式;
②根据不等关系:购买一、二等座票全部费用不多于1032元,列出方程求解即可.
本题主要考查对一次函数,二元一次方程组,一元一次不等式等知识点的理解和掌握,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.
21.【答案】(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵AE⊥DE,
∴OD⊥DE,
∵OD为半径,
∴DE是⊙O切线;
(2)解:过D作DH⊥AB于H,连接BD、OD,
则∠CAB=∠DOH,
∵cos∠DOH=cos∠CAB=AC
AB =3 5,
设OD=5x,则AB =10x,OH=3x,DH=4x.
在Rt△ADH中,由勾股定理得:AD2=(4x)2+(5x+3x)2=80x2,∵DE⊥AC,AB是⊙O直径,
∴∠AED=∠ADB=90°,
∵∠EAD=∠BAD(角平分线定义),
∴△EAD∽△DAB,
∴AE AD =AD
AB
,
∴AD2=AE?AB=AE?10x,∴AE=8x,
∵OD∥AE,
∴△ODF∽△EAF,
∴AF DF =AE
OD
=8x
5x
=8
5
,
∵AF=8,
∴DF=5.
【解析】
(1)连接OD,推出OD∥AE,推出OD⊥DE,根据切线判定推出即可;
(2)连接BD,过D作DH⊥AB于H,根据cos∠DOH=cos∠CAB==,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,DH=4x.由勾股定理得:AD2=80x2,证
△EAD∽△DAB求出AD2=AE?AB=AE?10x,得出AE=8x,根据△ODF∽△EAF 即可得到结论.
本题考查了平行线判定和性质,切线判定,相似三角形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点的应用,主要考查学生的推理和计算能力. 22.【答案】解:(1)∵点A (8,1)、B (n ,8)都在反比例函数y =m
x 的图象上,
∴m =8×1=8, ∴y =8
x , ∴8=8n ,即n =1,
设AB 的解析式为y =kx +b ,
把(8,1)、B (1,8)代入上式得: {k +b =88k+b=1, 解得:{b =9k=?1
.
∴直线AB 的解析式为y =-x +9;
(2)①由题意知:OP =2t ,OQ =t , 当P 在OD 上运动时,
S =1
2OP ?OQ =12×t ×2t =t 2(0<t ≤4), 当P 在DB 上运动时,
S =1
2
OQ ?OD =1
2
t ×8=4t (4<t ≤4.5);
②存在,
当O ′在反比例函数的图象上时,
作PE ⊥y 轴,O ′F ⊥x 轴于F ,交PE 于E , 则∠E =90°,PO ′=PO =2t ,QO ′=QO =t , 由题意知:∠PO ′Q =∠POQ ,
∠QO ′F =90°
-∠PO ′E , ∠EPO ′=90′-∠PO ′E , ∴△PEO ′∽△O ′FQ , ∴PE
O′F =EO′QF =PO′
QO′,
设QF =b ,O ′F =a ,
则PE =OF =t +b ,O ′E =2t -a , ∴
t+b a =
2t?a b =2,
解得:a =4
5t ,b =3
5t , ∴O ′(8
5t ,4
5t ),
当O ′在反比例函数的图象上时,
8t 5
?
4t 5
=8,
解得:t=±5
,
2
∵反比例函数的图形在第一象限,
∴t>0,
∴t=5
.∴O′(4,2).
2
秒时,O′恰好落在反比例函数的图象上.
当t=5
2
【解析】
(1)由于点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数y=的图象上,根据反比例函数的意义求出m,n,再由待定系数法求出直线AB的解析式;
(2)①由题意知:OP=2t,OQ=t,由三角形的面积公式可求出解析式;
②通过三角形相似,用t的代数式表示出O′的坐标,根据反比例函数的意义可求出t值.
本题主要考查了反比例函数的意义,利用图象和待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定和性质,熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键.
23.【答案】√10
5
【解析】
(1)解:∵DE∥CF,
∴△BDE∽△BCF,
∴==,
∵BD=2CD,
∴===,
设DE=2a,则CF=3a,
∵=.
∴EA=3a,
∵AE∥CF,
∴====1,
∴BE=2EF=4GF,
∴==;
(2)证明:作BH⊥DE,如图,
∵BD=BE,
∴DH=EH=a,
∵DE∥CF,
∴BC=BF=CF=3a,
∴BE=2a,
∵==,==,
∴∵=,
而∠BEH=∠AEG,
∴△BEH∽△AEG,
∴∠BHE=∠AGE=90°,
由(1)得AG=CG,
∴BG垂直平分AC,
∴BA=BC,
∴AB=BF;
(3)解:∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵BD=BE,
∴∠BED=∠BDE,
∴∠BED=∠ABD,
而∠BDE=∠ADB,
∴△DBE∽△DAB,
∴BD:DA=DE:BD,即BD:5a=2a:BD,
∴BD=a,
∴BC=a,
∴==.
故答案为.
(1)利用DE∥CF可证明△BDE∽△BCF,利用相似比得到==,设DE=2a,则CF=3a,所以EA=3a,再利用AE∥CF得到===1,加上BE=2EF=4GF,于是得到=;
(2)作BH⊥DE,如图,根据等腰三角形的性质得到DH=EH=a,利用DE∥CF得到BC=BF=CF=3a,所以BE=2a,再证明△BEH∽△AEG得到
∠BHE=∠AGE=90°,则BG垂直平分AC,所以BA=BC,于是得到AB=BF;(3)证明△DBE∽△DAB,利用相似比BD=a,则BC=a,然后计算
的值.
本题考查了相似综合题:熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质;构建相似三角形是解决(2)小题的关键;会应用代数式表示线段之间的关系.
24.【答案】解:(1)由交点式抛物线表达式得:y =2(x +1)(x -3)=2x 2-4x -6;
(2)存在,理由:
设点P 坐标为(1,m ),
则直线BC 表达式中的k 1值为:2, ①当∠BCP =90°时,如图所示,
直线BC ⊥CP ,则其表达式中的k 值为-1
2, 直线BC 的表达式为:y =-1
2x -6, 当x =1时,y =-13
2,故:P (1,-13
2); ②当∠CBP (P ′)=90°时, 同理可得:P (1,1) ③当∠CP (P ″)B =90°时, 直线BP 表达式中的k 2值为:-m
2, 直线PC 表达式中的k 3值为:m +6, 则:-m
2(m +6)=-1,解得:m =-3±√11, P (1,-3-√11)或(1,-3+√11);
故点P 的坐标为(1,-13
2)或(1,1)或(1,-3-√11)或(1,-3+√11); (3)设E (x 1,y 1)、F (x 2,y 2),
联立{y =2x 2?4x ?6y=x+k
,整理得2x 2-5x -6-h =0, ∴x 1+x 2=5
2,x 1x 2=-k+62
,