矩阵相似的性质与应用的研究
矩阵相似的性质与应用的研究
1 引言
矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。
2 矩阵相似的定义与基本性质
2.1矩阵相似的定义
令n m C S ?∈为非奇异矩阵，考察矩阵n
m C A ?∈的线性变换 AS S B 1
-=
令线性变换B 的特征值为λ，对应的特征向量为y ，即 y By λ=
将式AS S B 1-=代入上式，即有y ASy S λ=-1
或)()(Sy Sy A λ=
令Sy x =或x S y 1-=，则式)()(Sy Sy A λ=可以写作
x Ax
λ= 比较y By λ=和x Ax
λ=两式可知，矩阵A 和AS S B 1
-=具有相同的特征值，并且矩阵B 的特征向量y 是矩阵A 的特征向量x 的线性变换，即x S y 1-=。由于矩阵
A 和AS
S B 1
-=的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩阵“相似”。于是：
设 A 、B 都是n 阶方阵，若有可逆方阵S ，使B
AS S =-1，则称B 是 A 的相似矩阵。或者说矩阵A 与B 相似。对A 进行运算 Ap p 1- 称为对A 进行相似变换。可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换阵。
2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：A A ~。 对称性：B A ~则A B ~。
传递性：B A ~及C B ~可得：C A ~。
如果n 阶矩阵A ,B 相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性：
1)相似矩阵有相同的秩。 2)相似矩阵的行列式相等。
3)相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。 4)B A ~则k k B A ~，N k ∈、T T B A ~、11~--B A （若A ，B 均可逆）、
B E A E -=-λλ从而A ，B 有相同的特征值。
3 相似对角矩阵的有关性质
3.1矩阵可相似对角化的引入与定义
设V 是复数域C 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换。又n e e e ,,,21 与
n εεε,,,21 是V 的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是P 。则线性变换
T 在这两组基下的矩阵A 与B 相似，即
AP P B 1-=
我们自然会问：矩阵A 可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基n εεε,,,21 ，使得线性变换T 在这组基下的矩阵B 是个对角矩阵呢？
我们逐步解决这个问题。
首先设想矩阵A 能相似与一个对角矩阵，即设
????
??
?
????????
?
???
?=-n AP P λλλ 211
(1) 因而有 ????
??
?
??
??????
?
???
?=n P AP λλλ 21 (2) 若把P 写成分块矩阵
),,,(21n X X X P =，
这里n X X X ,,,21 代表P 的n 个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证
),,,(21n AX AX AX AP =，
),,,(2121n n X X X P λλλλλλ =????
??
?
??
??????????
? 故由(2)式可得
),,2,1(n i X AX i i i ==λ (3) 或
),,2,1(0
)(n i X A E i i ==-λ。
这说明，若A 能够与对角矩阵相似，则可逆矩阵),,,(21n X X X P =的每个
列向量（非零向量）i X 都满足(3)式。简言之，对于n 阶矩阵A ，n 维列向量X ，并且存在n 个线性无关的特征向量n X X X ,,,21 相应的特征值分别为
n λλλ,,,21 即有),,2,1(n i X AX i i i ==λ取),,,(21n X X X P =最终可得到
?????????
??????
????
?=-n AP P λλλ
2
11
即A 与对角形矩阵相似。
3.2矩阵可相似对角化的性质
（1）如果两个矩阵A 和B 都可以相似同一个对角矩阵P ，那么B A ~。 （2）如果n 阶矩阵A 的每个i S 重特征根i λ，有i i S n A E -=-）秩（λ则A 与对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：
证明：设n 阶矩阵A 的互异特征根为i λλλ,,,21 ，其重数分别为i S S S ,,,21 ，则有 n S S S i =+++ 21（A 必有n 个特征根），
而由i i S n A E -=-）秩（λ式得到),,2,1()()(i i S S n n A E r n i i i ==--=--λ。 即齐次线性方程组0=-X A E i ）（λ的基础解系有i S 个解向量。
由),,2,1()()(i i S S n n A E r n i i i ==--=--λ式知道A 有n 个线性无关的特征向量，故可得到A 与对角矩阵相似。
（3）n 阶矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是A 具有n 个线性无关的特征向量。
（4）数域P 上的n 级矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是对每个特征值均有几个重数等于代数重数。
（5）数域P 上的n 级矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积。
定理：n 级矩阵A 可相似对角化的充分必要条件是：
n =+++n 12111V V V λλλ维维维 其中1λ，2λ,…，k λ是A 的所有互不相同的特征根。 证明：必要性
若A 可相似对角化，则i i r =i V λ维，又由n r r r k =+++ 21，故有
n =+++n 12111V V V λλλ维维维
充分性：若n =+++n 12111V V V λλλ维维维 ，则A 有n 个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。
3.3相似矩阵与若尔当标准形
虽然非单纯矩阵不能相似于对角阵，但它能够相似于一个形式上比对角矩阵稍微复杂的若尔当标准形J 。由于若尔当标准形的独特结构揭示了两个矩阵相似的本质关系，故在数值计算和理论推导中经常采用。利用它不仅容易求出矩阵A 的乘幂，还可以讨论矩阵函数和矩阵级数，求解矩阵微分方程。 定义：形如
1
1
1i i
i
i i i i m m J λλλλ????????
??
?=????
?????
? 的方阵称为i m 阶若尔当块。其中i λ可以是实数，也可以是复数。
定理：矩阵~A B 的充要条件是他们相应的特征矩阵I A I B λλ-- 。 每个n 阶复矩阵A 都与一个若尔当标准形J 相似，且这个若尔当标准形在不计其中若尔当块的排列次序时，完全有矩阵A 唯一决定。
复矩阵A 可对角化的充要条件是A 的特征矩阵的初等因子全为一次式。
4 矩阵相似的应用
4.1矩阵相似在代数方面的应用.
例 1.某实验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后
将6
1
熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及时间至年终考核有5
2
成为熟练工。设第n 年一月份统计的熟练工和
非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ，记成向量???
???n n y x 。
（1）求??????++11n n y x 与??????n n y x 的关系式并写成矩阵形式:??
?
???++11n n y x =A
??
?
???n n y x ; （2）验证???
???=141η，???
?????-=112η是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的
特征值；
（3）当?????
?
??????=??????212111y x 时，求??
?
???++11n n y x 。
解：（1）按题意有???
????
+=++=++)61(53)61(526511n n n n n
n n y x y y x x x
化简得???????
+=+=++n n n n
n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为
?
?????++11n n y x =?????
?
??????5310
1
5210
9??
?
???n n y x ，于是?????
?
??????=5310
1
52109
A （2）令???
?
?
?????-==1114),(21ηηP ，则由05≠=P 知，1η，2η线性无关。因
1114ηη=??
?
???=A 。故1η为A 的特征向量，且相应的特征值11=λ。
因222
12121ηη=????????????-=A ，故2η为A 的特征向量，且乡音的特征值为21
2=λ。
（3）由于有??????++11n n y x =A ??????n n y x =2A ?
?
????--11n n y x = =n A ??????11y x =n A ??????
??????2121。 由?????
??
??
?=-211
00λλ
AP P ，有1
2100-????
?
????
?=P P A λλ。 于是有12100-????
?
??
???=P P A n
n
λλ 又???
?
??????-=-41
11511
P ，故 ?????????
?-??
??????
????????????-=411
1)21(001111451n n A =?????
???????+--+n n n n )21(41)21(1)2
1(44)21(45
1。 因此有?
?
????++11n n y x =n A ????????????2121=?????
???????+-n n )21(32)21(38101 例2 著名的Fibonacci 数列0,1,1,2,3,5,8,13,…利用矩阵特征值、对角化相似解决这个问题，并求1
lim
+∞
→n n
n u u ． 解：这个数列的递推关系为
2,1,0,12=+=++k u u u k k k 其中 (1)
初始条件为1,010==u u ．令
,2,1,0,1=?
?
????=+k u u U k k k 因为k k k u u u +=++12，所以
??
?
????????
?????=??????+++k k k k u u u u 1120111 (2) 取 ???
?
?
?????=0111A ，则(2)式成为
k k AU U =+1
(3)
由(3)式得出
0U A U k k = (4)
于是，欲求Fibonacci 数列的通项公式，只要计算k A ，我们利用A 的相似简化来计算k A 。
A 的特征多项式为12--=-λλλA E ，它的两个根：)51(2
1
1+=
λ，)51(2
12-=λ，是A 的特征值．因此A 可对角化．解齐次线性方程组
0))51(2
1
(=-+X A E 得到它的一个基础解系
??????=???
?????+=11)51(2111λα．
同理可得0))51(2
1
(=--X A E 的一个基础解系是
??????=???
?????-=11)51(2122λα． 令 ???
?
?
??
??
?=1121
λλ
U ，则 ???
?
??????=-21100λλAU U
于是
?
?
??
??????--??????????=?
?????????--????????????????????=??????????=++-1
2211211122121
12111511151001100λλλλλλλλλλλλλλk k k k k k k
k U U A (5)
从(4)式及初始条件得???
???=??????+011k k k A u u (6)
比较(6)式两边的第2个分量得
??
?
???--+=
-=
k k k k
k u )251()251(
51)(5
121λλ (7) 这就是Fibonacci 数列的通项公式。那么接下来就容易算出：
2
1
5111lim
-=
=+∞
→λn n n u u
4.2相似矩阵与变系数线性方程间的关系
为求变系数方程组x t A x )(=。
的解，其中??
?
???=21x x x ，)(t A 是22?连续函数矩阵：
?
??
?
?
??
???=)()()()()(22211211
t a t a t a t a t A (1) 定义：设)(t A 是22?函数矩阵。若存在非奇异常数矩阵P ，使得
P t A P t B )()(1-=，则称)(t A 和)(t B 相似。当然在变换Py x =下，方程组（1）可以化为方程组
y t B y )(=。
（2）
其中???
???=21y y y ，P t A P t B )()(1-=。只要求出方程组（2）的解，即可求出方程组
（1）的解。反之亦然，即方程组（1）与方程组（2）等价的。
引理 设)(t A 、)(t B 均为22?函数矩阵，若)(t A 和)(t B 相似，则)
()(t A E t +?与)()(t B E t +?相似，其中E 为单位矩阵，)(t ?为t 的函数。
4.3相似矩阵与微分方程间的关系 对于一阶齐次线性微分方程组
1
1111221221122221122()()()()()()()()()
n n n n
n n n nn n dx a x t a x t a x t dt dx a x t a x t a x t dt
dx a x t a x t a x t dt
?=+++??
?=+++????
?=+++?? 其中()i i x x t =是自变量t 的函数，(,1,2,,)n n ij a C i j n ?∈= 。 设
111212122231323n n n a a a a a a A a a a ??????=?????????? ， 12()()()()n x t x t x t x t ??????=??????
则上述方程组写成矩阵形式为
dx
Ax dt
= 如果此矩阵A 可以与一个对角矩阵12
n λλλ??
???
??
?Λ=????????
相似，即~A Λ那么必然存在一个可逆矩阵P 使得
1P AP x Py
dx dy P
dt
dt -?
?=Λ?
=???=? 故可以得到 dx dy
P APy dt dt
== 即
1dy
P APy y dt
-==Λ 那么原来的齐次微分方程可以简化为如下形式：
1
11222()()
()
n n n dy y t dt dy y t dt
dy y t dt
λλλ?=???=????
?=?? 而现在求解问题就简单明了了。
定义：设A 是n 阶常系数矩阵，如果对任意的0t ，初值问题
.
12()(0)(0)(0)(0)n dx
A x t dt x x x x ?=??
???
???
??
?=???
???
???
的解()x t 满足lim ()0t x t →∞=则称微分方程组
()dx
Ax t dt
=的解是渐进稳定的。 对于任意的(0)x ，上述初值问题的解()x t 渐进稳定的充分必要条件是矩阵A 的相似对角矩阵的对角线元素值都有负实部。
现在我们举一个实际的例子对上面所研究的问题加以理解与应用。
例如：解线性微分方程组
1
122
123
13432dy y y dx dy y y dx dy y y dx ?=-+???=-+???=+??
解：方程组右边的系数矩阵为
110430102A ??-????=-??????
令????
?
?????=321y y y y ，则方程组改写为 Ay dx
dy =， 所以对于n 阶方阵A 的特征矩阵2)1)(2(2
1
3
4011
--=----+=
-λλλλλλA I
由此必然存在一个非奇异矩阵C 若尔当矩阵J ，使得??
??????
?????
???=100110
00
2~J A
现在求非奇异矩阵C ，设),,(321x x x C =。
由于21=λ，12=λ分别为单特征值和二重特征值，所以有
??
?
??-=-=-=-2321)(0)(0
)2(x
x A I x A I x A I 因此可知1x 和2x 为对应于两个相异特征值2和1的特征向量，切
??????????=1001x ， ????
?
?????-=1212x 而3x 是广义特征向量，????
?
?????-=1103x ，故非奇异矩阵C 为： ???????
?
?????
??
?--=11
1120
010C 现在我们可以得到 ??
??????
???????
?==-100110
00
2
1
J AC C
故可以做变换Cz y =，???
?
?
?????=321z z z z ，则由Ay dx
dy =可以得到
ACz dx
dCz
= 即 Jz dx dz = 那么上面的方程的坐标写法为
112z dx dz =， 322z z dx dz
+=， 33z dx
dz = 显然可以直接解得
x e k z 211=， x e k z 33= 那么也就可以得到 )()(23232
k x k e k dx e e k e z x x x x +=+=?-
在由Cz y =，即得 )(231k x k e y x +=
)22(3232k k x k e y x ++= )(323213k k x k e e k y x x ++-=
式中)3,2,1(=i k i 为任意常数。
4.4相似矩阵与控制系统的稳定性
关于动态系统稳定性的精确定义，最早是由李雅普若夫（Lyapunov ）提出的，现简述如下：
已知系统在自由运动时，齐次状态方程一般形式为
[]t t x F t x ),()(=。
系统处于平衡状态e x 时，0=。
e x 。若扰动使系统的平衡状态受到破坏，在0t t =时，产生初始状态00)(x t x =，则0t t >后，系统的运动会使状态)(t x 随时间变化。若果对应于无论多么小的包含e x 的圆或球域)(εS ，总存在一个包含e x 的圆或球域
)(δS ，在初始状态0x 不超出)(δS 的条件下，当0t t >时，)(t x 的运动轨迹始终在)(εS 的范围内，则称系统的平衡状态e x 是稳定的。用数学关系表示就是，若系
统满足
???∈<-?∈<->?>?))()(()())((0000
εεδδδεS t x x t x S x x x e e 即即，，
则系统的平衡状态e x 就是稳定的，其中
∑=-=-n
i ie i
e x x
x x 1
2)(
为欧几里的范数。
在保证稳定的前提下，当t 无限增长时，若还存在 0)(lim =-∞
→e t x t x
即系统状态最终将回到原有的平衡状态e x ，则称平衡状态e x 是渐进稳定的。
如果对于无论多么小的，，00>>δε在)(δS 范围内的初始状态0x ，当0
t t >后)(t x 的轨迹将最终超越)(εS 的范围之外。则称平衡状态e x 是不稳定的。
现在对于连续时间线性定常系统的齐次状态方程
)()(.
t Ax t x =。
设矩阵A 非齐异，系统的平衡状态为0=e x 。由于扰动产生初始状态)(0t x ，则系统的运动轨迹为
)()(0t x e t x At =，
如果对于任意初始状态)(0t x ，由它所引起的响应)(t x 满足 0)(lim )(lim 0==∞
→∞
→t x e t x At t t
则按照李雅普诺夫定义，称系统是渐进稳定的。
对于系统)()(.
t Ax t x =，如果采用由系数矩阵A 的特征向量构成的变换矩阵P 对系统做线性变换，即令
)()(~
t x P t x =，
则有
)()()(~
~~
1
~
t x A t x AP P t x ==-
由线性代数理论可知，~A 或者为对角线矩阵或者为若尔当标准型矩阵。其对角线元素为A 的特征值，即特征方程
0=-A sI 的根n 21λλλ，，， 。
现在我们可以得到一个结论：一个连续线性定常系统，渐进稳定的充分必要
条件是：它的系统矩阵A 特征值全部都具有负实部。 例如：判断系统
)(01)(2011)(t u t x t x ??????+????
?
??
??
?--=。
)(12
)(t x t y ??
???
?= 的稳定性。
解：由于特征方程为
0)2)(1(2
1
1
=++=+-+=
-s s s s A sI 系统的特征值为11-=s ，22-=s ，因此系统是渐进稳定的。又由于
1)()(--=B A sI C s G
??
????+-+??????=-012
1112
1
s s 1
2
)2)(1()2(2+=+++=
s s s s
传递函数)(s G 的极点1-=s ，因此系统是稳定的。
5 结束语
本文通过对矩阵相似性质与应用问题的深入探讨，我获益非浅，一方面对于矩阵相似的定义以及相关理论的熟练掌握。特别是将矩阵相似与可对角化矩阵这两个问题紧凑的联系在一起。将矩阵问题应用定义定理转化为与一个相似对角型矩阵或者是若尔当标准型进而使问题研究简化。
由于矩阵相似的性质特性决定其应用范围相当广泛。比如其在微分方程、自
动控制理论基础等领域的应用，使其与相似矩阵的概念和性质能够相互融会贯通起来。提高对相似矩阵深入的研究。
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矩阵的可对角化及其应用
附件： 分类号O15 商洛学院学士学位论文 矩阵的可对角化及其应用 作者单位数学与计算科学系 指导老师刘晓民 作者姓名陈毕 专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班 提交时间二0一一年五月
矩阵的可对角化及其应用 陈毕 （数学与计算科学系2007级1班） 指导老师刘晓民 摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵相似性质与应用研究报告
矩阵相似的性质与应用的研究 1引言 矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。 由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。 2矩阵相似的定义与基本性质 2.1矩阵相似的定义 令I二I为非奇异矩阵，考察矩阵 1^1的线性变换 令线性变换的特征值为，对应的特征向量为R，即 将式——1代入上式，即有 -------------- 1或 ---------- 1 令一或—：，则式------------------ 1 可以写作 比较― 和亠两式可知，矩阵A和一1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即二刃。由于 矩阵和—I的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这
两个矩阵“相似”。于是: 设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使______ I ，则称是的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算—称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。 2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：。 对称性：三则二。 传递性：3及丄可得：二11 如果阶矩阵，相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性： 1＞相似矩阵有相同的秩。 2＞相似矩阵的行列式相等。 3＞相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。 4＞y 贝y 亠，亠、?亠I 、亠I ＜若，均可逆）、 」从而，有相同的特征值。 3相似对角矩阵的有关性质 3.1矩阵可相似对角化的引入与定义 设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又―I 与______ 是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即 我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基__________________ ，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵
相似矩阵的性质及应用
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
可对角化矩阵的应用
可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂 例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。 解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ， 且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。 例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。 解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因
为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0， 所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。 若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则 例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。 解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。 取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=， 于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似
最新对角化矩阵的应用本科
对角化矩阵的应用本 科
XXX学校 毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用 学生姓名 学院 专业 班级 学号 指导教师 2015年 4 月 25 日
毕业论文（设计）承诺书 本人郑重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的. 3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果. 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负. 学生（签名）： 2015 年4月25日
对角化矩阵的应用 摘要 矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值. 【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换
Application of diagonalization matrix Abstract Matrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value. [Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation
矩阵相似的性质
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文 一.相似矩阵的定义 定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~. 二.相似矩阵的重要性质 性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系. 证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似. 2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似. 3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似. 〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式. 证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜. 从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理 引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是 秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.
现在来分别证明这两个不等式. 设A=??????? ??nm n n m m a a a a a a a a a 2 1 22221 11211，B=?? ? ? ? ? ? ??ms m m s s b b b b b b b b b 21222 21112 11 令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj m k ik b a ∑=1 ，因 而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）. 即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）. 同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知 i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）. 这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超 过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕> 引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由 A=1-P B, 又由 秩（A ）≤秩（B ）, 所以
矩阵对角化及应用论文
矩阵对角化及应用 理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云 摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定 所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量． （1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)
即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵 的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值． 设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 （ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都 是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-； 第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值； 第三步：对于 的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数） ． 设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;
一类矩阵的若干性质及其在考研数学中的应用(原创)
矩阵T αβ的若干性质及其在考研数学中的应用 设向量βα，均为n 维非零列向量，记T αβA =。通过对历年考研试题的研究发现，线性代数部分比较重视对矩阵A 性质的考查，而课本和相关考研辅导书对这些性质没有做系统的研究，从而导致考研学生在遇到相关题目时不知所措。本文将研究矩阵A 的性质，并借助考研数学真题来说明这些性质的应用，进而强调掌握好这些性质的重要性。 1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的性质 性质1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的秩为1。 证明：令()0αT ≠=n a a a ,,,21 ，()0βT ≠=n b b b ,,,21 ，不妨设0≠i a ，则 ????????? ???????→????????????????→????????????????=00000021212112111212112111 n n n n n n n n n n n n i i i n b b b b a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ????????????? ???→00 000000021 n b b b ，于是A 的秩为1。 性质2 A αβA n 1T )(-=n 。注意，αβT 就是A 的迹。 该性质利用矩阵乘法的结合律即可证明。由于秩为1的矩阵总可以表示为矩阵A 的形式[1] ，因此上述性质也可推广到以下结论： 推论1 秩为1的矩阵的n 次方等于该矩阵迹的n —1次方乘以这个矩阵本身。 性质3 当0≠=βα即T ααA =时，A 的全部特征值分别为0002，，，， α，其中唯一非零特征值对应的线性无关的特征向量为α。 证明：因为矩阵A 是实对称矩阵，所以它一定相似于一个对角阵 ????????????=n 21λλλ Λ 其中n λλ,,1 为A 的n 个特征值。由性质1，1)(=A r ，又因为相似矩阵有相同的秩，故
相似矩阵的性质及应用 论文
相似矩阵的性质及应用论文 相似矩阵的性质及应用 学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义 -1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A 和B相似，记为A~B 。 211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,, 211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,, 100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,, 所以A~B 二矩阵的相似关系具有的性质 -11 自反性 A~A 因为A=EAE 2对称性如果A~B，则B~A -1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P, -1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A 3传递性如果A~B，B~C,则A~C -1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN, -1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质 1.若A~B，则A与B的行列式相等 2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆 3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似 4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似
5. 若A~B，则r(A)= r(B) TT 例:证明若A~B，则A~B -1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CAC T-1TT 其中P= C ,于是A~B 四求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解故A的特征值为1(三重) 对于特征值1 由 T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量. (2); 解 故A的特征值为10 21 39 对于特征值10 由
矩阵相似的若干判别法及应用讲解
本科生毕业论文 矩阵相似的若干判别法及应用 学号： 2011562010 姓名：邵坷 年级： 2011级本科班 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师：由金玲 完成日期： 2015 年4月30日
承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期：年月日
目录 摘要 ..................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II 前言 (1) 第一章基本概念 (2) 1.1 矩阵 (2) 1.1.1 矩阵的概念 (2) 1.1.2 矩阵的性质 (2) 1.2 矩阵相似 (3) 1.2.1矩阵相似的概念 (3) 1.2.2 矩阵相似的性质 (4) 第二章矩阵相似的判别 (5) 2.1 特征值与特征向量法判定 (5) 2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 .................................. 错误！未定义书签。 2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5) 2.2用初等变法换判定 (8) 2.3 应用分块矩阵相似判定 (10) 第三章矩阵相似的应用 (13) 3.1 利用相似变换把方阵对角化 (13) 3.2 矩阵相似性质的简单应用 (13) 3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
矩阵的对角化的应用
矩阵的对角化的应用 摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对 象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似 一、概念 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似 定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。 定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换
定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数 和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。 定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。 二〃矩阵对角化条件 常用的充要条件 （1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量； （2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为； （3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的； （4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法 设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为： （1）求特征值； （2）求对应的特征向量； （3）将特征向量正交标准化； （4）写出及.
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角化解题方法
2017考研数学线性代数之矩阵相似对角 化解题方法 矩阵的相似对角化是考研的重要考点，该部分内容既可以出大题，也可以出小题。所以同学们必须学会如何判断一个矩阵可对角化，现把该部分的知识点总结如下: 一般方阵的相似对角化理论 这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。 1、判断方阵是否可相似对角化的条件： (1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量; (2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足1.jpg (3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化; (4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。 【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。 2、求方阵的特征值： (1)具体矩阵的特征值： 这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算; (2)抽象矩阵的特征值： 抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。 实对称矩阵的相似对角化理论 其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。 这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。 最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。 1、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (1)不同特征值的特征向量一定正交 (2)k重特征值一定满足1.jpg 【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。 2、会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵 【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵Q P ,，使B PAQ =，则A 与B 等价； 相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则A 与B 相似； 合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，则A 与B 合同. 一、相似矩阵的定义及性质 定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1 ，则称B 是A 的相似矩阵， 或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系. （1）反身性：A A ~. （2）对称性：若B A ~，则A B ~. （3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则 （1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =. 推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵??????? ? ?=Λn λλλ 21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值. 性质2 若1-=PBP A ，则A 的多项式1)()(-=P B P A φφ. 推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则 1211)()()()()(--?????? ? ??=Λ=P P P P A n λφλφλφφφ . 注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件 对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。 定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ?有n 个线性无关的特征向量。 推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯 一，称之为矩阵A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 三、实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T 1 定理2 实对称矩阵的特征值为实数。 定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 定理3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。 定理5：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。 定义2 若二次型Ax x f T =，则对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵，也把f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型f 的秩. 推理 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正. 定理3 对称矩阵A 正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即