2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测五函数及其表示
2019-2020年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时
达标检测五函数及其表示
1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的序号是________．
解析：①中的值域不对，②中的定义域错误，④不是函数的图象，由函数的定义可知③正确．
答案：③
2．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．
解析：要使函数有意义，应满足?
??
??
x ＋3≥0，6－x ＞0，
解得－3≤x ＜6.即函数f (x )的定义域为[－3,6)． 答案：[－3,6)
3．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________.
解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2
x ＋kb ＋b ＝x ＋2，
所以k 2
＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋1 4．若函数f (x )＝
2
x 2＋2ax －a
－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．
解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2
＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立， 即2 x 2
＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.
答案：[－1,0]
5．设函数f (x )＝?
????
3x －b ，x ＜1，
2x
，x ≥1.若f ? ??
??f ? ????56＝4，则b ＝________.
解析：f ? ????56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×? ????52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2＝4，解得b ＝1
2
.
答案：12
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．函数f (x )＝10＋9x －x
2
x －
的定义域为________．
解析：要使函数f (x )有意义，则x 须满足?
???
?
10＋9x －x 2
≥0，x －1＞0，
x －，即
????
?
x ＋x －，
x ＞1，x ≠2，
解得1＜x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)
∪(2,10]．
答案：(1,2)∪(2,10]
2．已知f (x )＝?
??
??
－cos πx ，x ＞0，
f x ＋＋1，x ≤0，则f ? ????43＋f ? ??
??－43的值等于________．
解析：f ? ????43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ? ????－43＝f ? ????－13＋1＝f ? ????23＋2＝－cos 2π3＋2
＝12＋2＝52.故f ? ????43＋f ? ??
??－43＝3.
答案：3
3．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2
，f (x 0)＝4， 即x 2
0＝4，解得x 0＝2.
当x ＜0时，f (x )＝－x 2
，f (x 0)＝4，即－x 2
0＝4，无解． 所以x 0＝2. 答案：2
4．(xx·盐城检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝?????
c
x ，x ＜a ，c
a ，x ≥a ，
(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第
a 件产品用时15分钟，那么a ＝________，c ＝________.
解析：因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以
c
a
＝15，① 所以必有4＜a ，且
c
4＝c
2
＝30.②
联立①②解得c ＝60，a ＝16. 答案：16 60
5．(xx·南京模拟)设函数f (x )＝???
??
－2x 2
＋1，x ≥1，
log 2
－x ，x ＜1，则f (f (4))＝________；
若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________________．
解析：f (4)＝－2×42
＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2
＞1，解得a ＞1；当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，
∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为? ??
??12，1∪(1，＋∞)． 答案：5 ? ??
??12，1∪(1，＋∞) 6．已知具有性质：f ? ??
??1x
＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1
x ；③y ＝?????
x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1
x ，x ＞1.
其中满足“倒负”变换的函数是________．
解析：对于①，f (x )＝x －1x
，f ? ????1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ? ??
?
?1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ? ??
??1x ＝?????
1
x ，0＜1
x ＜1，
0，1x ＝1，
－x ，1x ＞1，
即f ? ??
??1x ＝
?????
1
x
，x ＞1，
0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，
故f ? ??
??1x
＝－f (x )，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
答案：①③
7．已知实数a ≠0，函数f (x )＝???
?
?
2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，
若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝
________.
解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，
由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－3
2，不合题意；
当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，
由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－3
4.
答案：－3
4
8．若函数f (x )＝ax 2
＋2bx ＋3的定义域为[－1,3]，则函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2
)的定义域为________．
解析：因为函数f (x )的定义域为[－1,3]，所以ax 2
＋2bx ＋3≥0的解集为[－1,3]，所
以?????
a ＜0，
－1＋3＝－2b a ，
－1×3＝3
a
，解得?
??
??
a ＝－1，
b ＝1，所以g (x )＝ln(3－2x －x 2
)．
由3－2x －x 2
＞0得－3＜x ＜1，即函数g (x )＝ln(3＋2ax －bx 2
)的定义域为(－3,1)． 答案：(－3,1)
9．(xx·连云港中学模拟)已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ? ????12＋x ＋f ? ????12－x ＝2
成立，则f ? ????18＋f ? ????28＋…＋f ? ??
??78＝________. 解析：由f ? ????12＋x ＋f ? ????12－x ＝2，得f ? ????18＋f ? ????78＝2，f ? ????28＋f ? ????68＝2，f ? ????38＋f
? ????58＝2，又f ? ????48＝12??????f ? ????48＋f ? ????48＝12×2＝1，∴f ? ????18＋f ? ????28＋…＋f ? ??
??78＝2×3＋1＝7.
答案：7
10．定义函数f (x )＝????
?
1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0，则不等式(x ＋1)f (x )＞2的解集是
____________．
解析：①当x ＞0时，f (x )＝1，不等式的解集为{x |x ＞1}；②当x ＝0时，f (x )＝0，不等式无解；③当x ＜0时，f (x )＝－1，不等式的解集为{x |x ＜－3}．所以不等式(x ＋1)·f (x )＞2的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．
答案：{x |x ＜－3或x ＞1} 二、解答题
11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2
.
(1)求f (－1)，f (1.5)；
(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．
解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，
f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－1
2f (0.5)＝－12×14＝－18
.
(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2
；
当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2
；
当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2
；
当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2
]＝4(x ＋2)2
.
所以f (x )＝?????
x ＋
2
，x ∈[－2，－，
－x ＋2
，x ∈[－1，，
x 2
，x ∈[0，1]，
－12x －2
，x ∈，2].
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝
x 2
200
＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．
(1)求出y 关于x 的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得????
?
40
2
200
＋40m ＋n ＝8.4，60
2
200＋60m ＋n ＝18.6，
解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2
200＋x
100(x ≥0)．
(2)令
x 2200＋x
100
≤25.2，得－72≤x ≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．