概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结

概率知识点总结及题型汇总

一、确定事件：包括必然事件和不可能事件

1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。

2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。

3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0

二、随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。

三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？

①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；

②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；

④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．

解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②

三、概率

1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ．

（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性

都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = m

n

．

（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。

（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1

不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1

（6）可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．

3、求概率的步骤：

(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；

(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；

(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = m

n

．

5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件

等可能性事件的两种特征：

（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；

例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，

由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。

例2、下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？

（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是

（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是

（3）从分别写有1，3，5，7中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1，或3或5或7。是

6、古典概率模型

在一次实验中,可能出现的结果有限多个，每个基本事件出现的可能性相等。将具有以上两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。

例题：（1）从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．

（2）从标有数字1，2，2，3，4，5的6个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．

此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么

事件A的概率P（A）= m

n，解题时注意对概率意义的理解.

在（1）这次摸球实验中，共有5中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的一种结果，那么摸出号码是2的概率．为1/5.

在（2）这次摸球实验中，共有6中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的二种结果，那么摸出号码是2的概率．为2/6=1/3.

7、求概率的通用方法：

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法．列举法包括枚举法、列表法、树状图法

（1）枚举法（列举法）：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

四、频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m

n

会稳定在某个常数p附近，那

么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

五、概率公式中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。

在概率公式P(A) = m

n

中m、n取何值，m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。

0 ≤m≤n, m、n为自然数

∵0 ≤m

n

≤1, ∴0≤P(A) ≤1.

当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1，当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.

0≤P(A) ≤1 六、几何概率

1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 （1）几何概型的特点:

1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等. （2）在几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:

七、例题汇总

（一）确定三事件 例1 下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小

（1）抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上； （2）367人中有2人的出生日期相同； （3）1+3＞2； （4）太阳从西边升起．

解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．（1）抛掷一枚均匀的骰子，1，2，3，4，5，6点都有可能朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天，故367人中必然有2人的出生日期相同；（3）1+3肯定大于2；（4）太阳不可能从西边升起．由以上分析知：

（1）是不确定事件， （2）（3）是必然事件， （4）是不可能事件． （2）（3）（4）是确定事件

发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义．必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0和1之间． 例2、下列事件属于必然事件的是（ ） A.打开电视，正在播放新闻 B.我们班的同学将会有人成为航天员 C.实数a ＜0，则2a ＜0

D.新疆的冬天不下雪

解析：A 是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B 为随机事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D 是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会下雪．故选C 例3、（福建龙岩）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 B 解析：③④是确定事件 （二）概率意义的理解

例1、 某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？

（面积或体积）

面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成)

(构成事件A的区域长度P(A)

为什么？

解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%.

点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论．随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的．

例2、下列说法正确的是 （ ）

A.某市“明天降雨的概率是75％”，表示明天有75％的时间会降雨

B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上

C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是1

100”表示抽奖l00次就一定会中奖

D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交

解析：明天降雨的概率是75％是说明明天有75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为1

100

，指的是每抽奖一次都有

1

100

的可能性中奖；故A 、B 、C 都错，因而选D. （三） 利用简单枚举法求概率

例1 某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片．

（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？

（2）一次，小聪购买了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．

解析：（1）每次摸奖时，有5种情况，只有摸到号码是2的球才中奖，于是得到一张精美图片的概率是P=1

5；

（2）不同意，因为小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是1

5，所以他第5次不一定中奖． 点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）= m

n ，解题时注意对概率意义的理解.

例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 ．

解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有12种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于

3

1124= 2、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比．设每个方格的面积是1，则P （这粒豆子停在黑色方格）=

3

1

124=． 点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积．

例3 、掷两枚硬币，求下列事件的概率

（1）两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上 （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。

解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4种。并且这四个结果出现的可能性相等。

用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:

正

反

正 (正,正) (正,反) 反

(反,正)

(反,反)

（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A ）的结果只有一个，即“正正”所以P （A ）=1/4

（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B ）的结果只有一个，即“反反”所以P （B ）=1/4

（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C ）的结果共有2个，即“正反”“反正”所以P （C ）=2/4=1/2

例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm ，3cm ，4cm 和5cm 的细木棒，小明手中有一根长度为3cm 的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：

（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率； （2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率； （3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．

解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与3cm 长的线段构成三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）、（3，4，5）四种；构成直角三角形的有（3，4，5）一种；构成等腰三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）三种，所以有：

（1）P （构成三角形）=42

63=

； （2）P （构成直角三角形）=16；

（3）P （构成等腰三角形）=36=

12．

（四） 列表法求概率

当试验涉及两个因素(例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。

例1、如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.

解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:

1 2 3 1 （1，1）

（1, 2）

（1, 3） 2

（2, 1） （2, 2）

（2, 3）

总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为1/6.

例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。

解：列表 4 5 6 7 1 （1,4） （1,5） （1,6） （1,7） 2 （2,4） （2,5） （2,6） （2,7） 3

（3,4） （3,5） （3,6）

（3,7）

共有12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有【 6 】 种

1

2

3

甲

乙

1

2

3

4 5 6

7

∴P（数字和为偶数）=6/12=1/2

例3、例、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:

(1)两个骰子的点数相同

(2)两个骰子点数之和是9

(3)至少有一个骰子的点数为2

分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。

解: 两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有可能的结果：

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

(6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等。

（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6种，P(A)=6/36=1/6

(2) 满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种，P(B)=4/36=1/9

(3) 满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种，P(C)=11/36

思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗? 没有变化

（五）树形图法求概率

当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

1、现有一项“抖空竹”的表演．已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机

选用其中的一种空竹．求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率．

解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件M．塑料—A 木质—B 方法1：方法2：

A

A

A

B

A

B B

B

A

A

B

A

B B

AAA，AAB，ABA，ABB，

BAA，BAB，BBA，BBB.

2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A 和B ；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C 、D 和E ；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H 和I ；现要从3个盒中各随机取出一张卡片．求

（1）取出的3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？ （2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？ 解：根据题意，我们可以画出如下“树形图”：

由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12个，这些结果出现的可能性相等． （1）只有一个元音字母的结果有5个，所以()12

5一个元音=P ； 有两个元音字母的结果有4个，所以()31124个元音两==

P ； 全部为元音字母的结果有1个，所以()61122个元音三==

P ； （2）全是辅音字母的结果有2个，所以()6

1122音辅三个==

P ． 3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。 （1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。 （2）游戏者获胜的概率是多少？

解析：（1）所有可能出现的结果可用表1或图2表示。

()．M P 4

182==

()．M P 4

182==

A B

甲盒

C D E

乙盒

H I

丙盒

甲

乙 丙

A

C

H

I

D H

I E

H

I B

C

H

I

D H

I E

H

I

表1

B

A 黄

蓝

绿

红 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） 白

（白，黄）

（白，蓝）

（白，绿）

（2）所有可能出现的结果共有6种，配成紫色的结果只有1种，故游戏获胜的概率为6

1。 这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接下来仍然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程。

用图3所示的转盘进行“配紫色”游戏。

小颖制作了图4，并据此求出游戏者获胜的概率为2

1。

小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了表2，据此求出游戏者获胜的概率也是2

1。

红色 蓝色

红色1 （红1，红） （红1，蓝） 红色2 （红2，红） （红2，蓝） 蓝色

（蓝，红） （蓝，蓝）

你认为谁做得对？说说你的理由。

解析：因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方法。

4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座

位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？

解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为1，2，3。可以看出坐在2号位上，则为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。

从图中可以看出，不论小明第几个坐，所有的可能能是6种，而小明坐2号位置的情况有2种（记为事件A ），所以小明恰好坐在父母中间的概率是

P （A ）=

（六）概率与方程

1、（2011广西防城港 23，8分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A 、白B 、白C 表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋

子的概率为4

3

．（1）求纸盒中黑色棋子的个数；

（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方

法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．

解答：（1）∵3÷4

3

－3＝1 ∴黑色棋子有1个．

（2）∵

(黑，C ）

(黑，B ）

(C ，黑）

(B ，黑）(黑，A ）(C ，B ）

(C ，A ）

(B ，C ）

(B ，A ）(A ，黑）(A ，C ）(A ，B ）

结果

第二摸第一摸

黑

白A

白B

白C

白C

白B 白A 黑

∴共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为2

1． 另外，本题还可以用树状图解答如下：

开始

父亲 母亲

1 2 3

2 1 3

3

1

2 图5

小明 3 2 3 1 2 1 开始

母亲

父亲

1 2 3

2 1 3

3 1 2

图6 小明 3 2 3 1 2 1

2163

（黑，白C ）（黑，白B ）

（白C ，黑）（白C ，白A ）（黑，白A ）（白C ，白B ）（白B ，黑）

（白B ，白C ）（白B ，白A ）（白A ，黑）（白A ，白C ）（白A ，白B ）结果：

第二摸：第一摸：

开始

白C 白B 黑白B 黑白C 黑白A 白A 白A 白B 黑

白C 白C 白B 白A

因为由上面树状图可知：共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为

2

1

． 2、湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿

三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率

为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

解：遇到绿灯的概率为1-1/3-1/9=5/9

【点评】所有情况的概率之和为1，用1减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。

3、（2014?武威模拟）袋子里有10个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，

共摸100次，其中摸到红球次数是25次，则袋子里蓝球大约有（ ） A.20 B.30 C.40 D.50

【解析】∵共摸100次，其中摸到红球次数是25次，∴摸到红球的概率为

=，

∵袋子里有10个红球和若干个蓝球，∴设篮球有x 个，则=， 解得：x=30，故选B ． 4、（2010铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个.若每次只摸一球(摸出后放回)，摸出红球的概率是5

2，则

黄球有________个.

解析：设黄球有x 个，则摸出红球的概率为

5

2

344=++x ，解得x ＝3

5、（2010湖南衡阳）在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色

外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为2

1

.

⑴试求箱子里蓝色卡片的张数.

⑵第一次随机抽取一张卡片(不放回)，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率.

分析:（1）设箱子里蓝色卡片的张数为x 张，由21(=红色）P ,则x

++=122

21，解关于x 的方程即可求出箱子里

蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回.

解：（1）设箱子里有x 张蓝色卡片，则有2

1

122=++x ，解得：x=1.

（2）

从树状图图可知，一共有12种结果，两次抽到的都是红色的有两种．

∴Ｐ（两次抽到都是红色卡片）＝

6

1

122=． 6、（2010湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p 、q 分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于x 的方程02=++q px x 有实数解的概率. （2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.

分析:通过列表或画树状图，可以求出p 、q 的各种可能的取值；方程02=++q px x 有实数解的条

件是判别式q p 42-≥0；方程02=++q px x 有两个相同实数解的条件是判别式q p 42-＝0.

解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后p 、q 的取值共有36种等可能情况，其中满足

q p 42-≥0的有???==12q p 、???==13q p 、???==14q p 、???==15q p 、???==16q p 、???==23q p 、???==24q p 、???==25q p 、???==26q p 、?

??==34

q p 、??

?==35q p 、???==36q p 、???==44q p 、???==45q p 、???==46q p 、???==55q p 、???==56q p 、???==65q p 、???==66

q p 以上19种情况，∴方程02=++q px x 有实数解的概率为

3619

；其中满足q p 42-＝0的有???==12q p 、?

??==44q p 以上2种情况，∴方程

02=++q px x 有两个相同实数解的概率为18

1

362=.

7、（2010茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．

（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；

（2）假设向纸箱中再放进红色球x 个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求x 的值． 解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：50)3.02.01(100=--?（个） (2) 方法一：根据题意得：

5.010020=++x

x

，解得：60=x （个）．

方法二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得： x +20=30+50，解得：60=x （个）．

（七）几何概率

1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色 区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。

1红2红黄蓝2

红1红黄

蓝黄

蓝

1红2红蓝1红2红黄第一次抽卡片：

第二次抽卡片：

（1）求每转动一次转盘所获50元购物券的概率（2）求每转动一次转盘所获30元购物券的概率（3）求每转动一次转盘所获20元购物券的概率（4）求每转动一次转盘所获购物券的概率（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率（6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（7）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

解：(1)每转动一次转盘所获50元购物券的概率为：1/16

（2）每转动一次转盘所获30元购物券的概率为：2/16=1/8

（3）每转动一次转盘所获20元购物券的概率为：4/16=1/4

（4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16

（5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16(或者是空白区域除以16）

（6）50×+30×+20×=11.875（元）；（7）∵11.875元>10元，∴选择转转盘。

2、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图9所示），并规定：顾客每购买100元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数．获奖方法是：①指针两次都指向8时，顾客可以获得100元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券（如，获40元购物券）；④其余情况无奖．（1）试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；

（2）试求顾客可获得100元购物券的概率；（3）试求顾客无奖的概率．

解：（1）列表得：

2 4 6 8

2

（2，2）（2，4）（2，6）（2，8）

4

（4，2）（4，4）（4，6）（4，8）

6

（6，2）（6，4）（6，6）（6，8）

8

（8，2）（8，4）（8，6）（8，8）

（2）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中两次指针指向8的情况有一种，所以所求概率为1/16

（3）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中无奖的情况有6种，所以所求概率为6/16=3/8

3、公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。

分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度。

解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则P(A)=(3-1)/5=2/5

所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率为2/5

4、取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

解：记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。

5、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。

解：在AB上截取AC’=AC，于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）=AC’/AB=AC/AB=√2/2

则AM小于AC的概率为√2/2

6、取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

P(A)=圆的面积/正方形面积=πa2/4a2=π/4

7、在边长为a的正方形ABCD内随机取一点P，求：（1）∠APB ＞90°的概率．（2）∠APB ＜90°的概率

解：如图，以正方形的边AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，则有当点P在圆周上时,∠APB=90°，而点P在圆内时,∠APB＞90°，当点P在圆外时,∠APB＜90°

设AB=a,则正方形的面积为a2

所以，∠APB＞90°的概率p=(π*(a/2)2/2)÷a2=π/8

∠APB＜90°的概率为1-π/8

8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率．

解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分）

P（A）＝（30×20-26×16）÷30×20=0.31

9、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？

P(A)=（1/4π×12.22）÷（1/4π×1222）=0.01

10、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得

P(A)=10/60=1/6

（八）设计公平的游戏规则

例1有一个小正方体，正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字．现在有甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是6，甲是胜利者；如果朝上的数字不是6，乙是胜利者．你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？

解析：看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的获胜机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；可以改变已知条件，使游戏对双方获得的机会是均等的就可以了．（1）这个游戏不公平．因为正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，其中数字

6只有1个，也就是甲胜利的概率是1

6；不是6的数字有5个，也就是说乙胜利的概率是

5

6，双方的胜

30m

20m

2 m

利的机会不是均等的，所以说这个游戏不公平.

（2）可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是奇数（1，3，5），甲是胜利者；如果朝上的数字是偶数（2，4，6），乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平了．

点评：本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

（九）概率的实际应用

例1某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过15分钟的概率是（ ）

A .2

1 B .31 C .41 D .5

1

解析：电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处于两次报时之间．例如在13：00至14：00之间，而且取各点的可能性一样．要等待的时间不超过15分钟，只有当他打开收音机的时间处于13：45至14：00之间才有可能，因此相应的概率应是4

1

．本题选C ．

点评：对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它们自身决定的，并且是客观存在的，就如同一块土地有面积一样.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性．

误区点拨

一、基本概念的理解有误

例1 有下列说法：①随机事件A 发生的概率是频率的稳定值；②任意事件A 发生的概率P （A ）满足0＜P （A ）＜1；③若事件A 发生的概率为0.000 001，则事件A 是不可能事件．其中正确的有（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

错解：选D.

剖析：本题致错原因是不理解一些基本概念.频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．随机事件A 发生的概率是频率的稳定值，①正确；由于必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0小于1，所以任意事件A 发生的概率P （A ）满足0≤P （A ）≤1，②错误；若事件A 发生的概率为0.000 001，则事件A 发生的可能性很小，但也有可能发生，③错误.

正解：选B. 二、错误理解概率

例2 某同学掷一枚硬币，结果是一连9次都掷出正面朝上，请问他第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为（）

A．小于1

2B．大于

1

2C．

1

2D．不能确定

错解：选B.

剖析：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正面、反面，与第几次抛掷硬币无关，故第10

次掷出硬币时出现正面朝上的概率为1 2．

正解：选C．

三、求概率时没有注意等可能性

例3如图，把一个圆形转盘按1︰2︰3︰4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，求转盘停止后落在B区域的概率．

错解：1 4.

剖析：错解中没有注意各部分所占的比例，也就是说落到每一部分不是等可能性的，解题时首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．正解：由于该圆形转盘按1︰2︰3︰4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，于是圆被等分成

10份，其中B区域占2份，所以落在B区域的概率=2

10=1 5．

跟踪训练

1. 下列事件中，属于不确定事件的是（）

A．通常水加热到100 ℃时沸腾

B．测量聊城某天的最低气温，结果为-150 ℃

C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球

D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

2.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

每批粒数n100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数

m

96 282 382 570 948 1912 2850

发芽的频率

m

n 0.96

0.940 0.955 0.950 0.948

0.95

6

0.950

则绿豆发芽的概率估计值是（ ）

A ．0.96

B ．0.95

C ．0.94

D ．0.90

3. 不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其他都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最大．

4. 一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示方格地面上（每个小方格都是边长相等的正方形），则小鸟落在阴影方格地面上的概率为 .

5.指出下列事件分别是属于随机事件、必然事件、不可能事件中的哪一种？填在括号内. （1）口袋中共有5个红球、3个白球，在口袋中任取1球，会摸到红球；（ ） （2）小敏1小时跑60千米；（ ） （3）掷两枚骰子，点数的和大于1；（ ） （4）买一张彩票，中了500万．（ ） 5. 投掷一枚普通的正方体骰子24次． （1）你认为下列四种说法哪种是正确的？ ①出现1点的概率等于出现3点的概率； ②投掷24次，2点一定会出现4次；

③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大； ④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37． （2）求出现5点的概率； （3）出现6点大约有多少次？

跟踪训练参考答案：1.D 2.B 3. 蓝 4. 9

25

5.（1）随机事件 （2）不可能事件 （3）必然事件 （4）随机事件

6. 解：（1）由于抛掷正方体骰子出现3点和出现1点的概率均为1

6，故①正确；由于连续投掷

6次，最大为6×6=36，所以出现的点数之和不可能等于37，于是④正确．

（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是1

6. （3）出现6点大约有24×

1

6=4（次）．

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 （一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 （二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 （三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 （四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

北师版小学数学总复习《统计与概率》知识点归纳

统计与概率 一统计表 （一）意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。 （二）组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 （三）种类 * 单式统计表：只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 （四）制作步骤 1搜集数据 2整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。 3设计草表： 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。 4 正式制表： 把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。 二统计图 （一）意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 （二）分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按一定的顺序排列起来。 优点：很容易看出各种数量的多少。 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 制作折线统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。 3扇形统计图 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。制扇形统计图的一般步骤：（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。 （2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。 第五章简单的统计 一统计表 （一）意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。 （二）组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 （三）种类 * 单式统计表：只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。 （四）制作步骤 1搜集数据 2整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。 3设计草表：

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

概率知识点总结及题型汇总-统计概率知识点总结

概率知识点总结及题型汇总 一、确定事件：包括必然事件和不可能事件 1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。 2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。 3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 二、随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。 三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？ ①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破； ②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上； ④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达． 解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①② 三、概率 1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性 都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = m n ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

概率统计常见题型及方法总结

常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这 个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因 i A 的概率问题 全概率公式：()()() 1 B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分 则 b a a B P += )(1，2分 111++++ ++++=b a a b a b b a a b a a b a a +=2分 依次类推2分 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ 、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品 进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算） 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。 事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。 对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

统计初步与概率初步知识点总结

第五章 统计初步及概率初步 考点一、平均数 （3分） 1、平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 （2）加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 2、平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x n x +++= （2）加权平均数法： 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：n f x f x f x x k k ++=2211，其中n f f f k =++ 21。 （3）新数据法： 当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。 其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。 考点二、统计学中的几个基本概念 （4分） 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 （3~5分） 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 （3分）

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次 （这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，

概率论与数理统计知识点总结!

《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? A 2所含样本点数： 36342 3=??C A 3所含样本点数：4433=?C 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0

推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)= )()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式： ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） §1.5 独立试验概型 事件的独立性：贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24

高中数学概率统计知识点总结

高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数 ： ①、常规平均数： x x 1 x 2 x n ②、加权平均数： x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差： s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数 2、频率之和 ： f 1 f 2 f n 1 ；同时 S 1 S 2 S n 1 ； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数： 最高小矩形底边的中点。 2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差： s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 ： ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中： b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ； ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关； b ? 3、线性回归直线方程： y? ? bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 ： ?i y i ?i 越小越好； e y （残差 =真实值—预报值）。分析： e 2、残差平方和 ： n ? ) 2 ( y i ， i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析：①意义：越小越好； ②计算： ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度（相关指数） ： R 2 1 ( y y ，分析：① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高； i 1 的常数； n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 ： r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析：① . r [ 1,1]的常数； ② . r 0: 正相关； r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ；相关性很弱； r (0.25,0.75) ；相关性一般； r [0.75,1] ；相关性很强； 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 ： 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①． k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②．犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤

概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P

A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0