高等数学同济第七版下册课后答案
1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v .
解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ）
=5a -11b +7c .
2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 .
证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知
AM =MC ， DM
MB .
故 AB AM MB MC DM
DC .
即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形
ABCD
3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各
分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A ,
D 3A , D A .
4
证 如图 8-2，根据题意知
1 5
1 5
1 5
BD 1
D 1D 2
D 2D 3
a,
a,
a,
1 5
D 3D 4
a, 1
故 D 1A =-（ 1） =- a-
c AB BD 5
2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5
3 =- a- c 5 4
D A =-（ AB BD
4） =- a-
c. 4
5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） .
试用坐标表示式表示
向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 .
M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） .
解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） .
5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 .
a
解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为
a
a 1 6 7
6 , ,
11 11 11
（ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11.
6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （ 1， -2， 3），
B （ 2， 3， -4），
C （ 2， -3，
-4）
， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点
在第三卦限 .
7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置：
A （ 3， 4， 0），
B （ 0， 4， 3），
C （ 3， 0， 0），
D （ 0，
-1， 0） .
解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中 至少有一个为零，比如 xOy 面上的点的坐标为（ x 0， y 0， 0）， xOz 面 上的点的坐标为（ x 0 z yOz ，，）， 面上的点的坐标为（ 0， y ，
z ） . 0 0 0 0 在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零，比如 x 轴上的点的坐标为（ x
0 0 y
，，），轴上的点的坐 0
标为（ 0， y 0 z ，），轴上的点的坐标为（ ，，） 0 0 z .
0 0 A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz 面上， C 点在 x 轴上， D 点在 y 轴 上 .
8.求点（ a ， b ， c ）关于（ 1）各坐标面；（ 2）各坐标轴；（ 3 ）坐标原 点的对称点的坐标 .
解 （ 1）点（ a ， b ， c ）关于 xOy 面的对称点
（ a ， b ， -c ），为
关于 yOz 面的对称点为（ -a ， b ， c ），关于 zOx 面的对称点为（ a ， -b ，
c ） .
（ 2）点（ a ， b ， c ）关于 x 轴的对称点为（ a ， -b ， -c ），关于 y
轴的对称点为（ -a ， b ， -c ），关于 z 轴的对称点为（ -a ， -b ， c ） .
（ 3）点（ a ， b ， c ）关于坐标原点的对称点是（ -a ， -b ， -c ） . （ x 0， y 0， z 0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出
各
9.自点 P 0 垂足的坐标 .
解 设空间直角坐标系如图 8-3，根据题意， P F 为点 P 0关于
xOz
，，） D 为点 P 0关于
xOy 面的垂
面的垂线，垂足 F 坐标为 (x 0 0 z ； P 0 0 线，垂足 D 坐标为 (， 0，0）； P 0E 为点 P 0关于 yOz 面的垂线，垂
x y 0
足E坐标为(0，y0，
z o).
P
0A为点
P
关于x轴的垂线，垂足A坐标为(x o，
0,0）；P0B为点
(0,y0,0)；P0C为点P0关于
z轴的
P0关于y轴的垂线，垂足
B坐标为
(0,0,z0).
垂线，垂足
C坐标为
10.过点P（0x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的
平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特
点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相
同.
而过点P0且平行于
xOy面的平面
上的点的坐标，其特点是，
它们的竖坐标均相
同.
11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，
底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐
标.
解 如图 8-5，已知 AB=a ，故 OA=OB= 2 a ，于是各顶
点的坐
2
标分别为 A ( 2 a ，0，0)， B （ (0, 2 a ，0））， C （ -
2 a ， 0， 0）， D
2
2 2
2 a ， 0）， E （ 2 2 a ， 0， a ）， F （ 0， 2 a ， a ）， G
（ - 2 a ， 2 2
2 （ 0，
-
2 a a ， ） .
a
0， ）， H （ 0， -
2 12.求点 M （ 4， -3， 5）到各坐标轴的
距离 .
解 点 M 到 x 轴的距离为 d 1= ( 3)2 52 34，点
M 到 y
轴的距离为 d 2= 42 52 41，点 M 到 z 轴的距离为
42 ( 3)2 25 5. d 3= 13.在 yOz 面上，求与三点 A （ 3， 1， 2）， B （ 4， -2， -2）， C （ 0， 5， 1）等距离的点 .
解 所求点在 yOz 面上，不妨设为 P （ 0， y ， z ），点 P 与三点 A ，
PA 32 (y 1)2 (z
2)2,
B ，
C 等距离，
PB 42 (y 2)2 (z
2)2,
PC ( y 5)2 (z 1)2.
由 PA PB PC
知，
32 ( y 1)2 (z 2)2
( y 5)2 (z 1)2，
42 ( y 2)2 (z 2)2
9 (y 1)2 (z 2)2 16 (y 2)2 (z 2)2,
9 (y 1)2 (z 2)2 ( y 5)2 (z 1)2.
即 解上述方程组，得 y=1， z=-2.故所求点坐标为（ 0， 1， -2） .
14.试证明以三点 A （ 4， 1， 9）， B （ 10， -1， 6）， C （ 2， 4， 3 ）为顶 点的三角形是等腰直角三角
形 .
证 由
AB (10 4)2 ( 1 1)2 (6 9)2 7,
AC (2 4)2 (4 1) 2 (3 9)2
7,
BC (2 10)2 (4 1)2 (3 6)2 98 7 2 2 2 2
. AB AC 及 BC AB
AC
知
故△ ABC 为等腰直角三角 形 . M 1M 2
2 2， 1）， M （ 3， 0， 2），计算向量 15.设已知两点为 M
1 （ 4， 的模、方向余弦和方向
角 .
解 向量
M 1M 2 2， 2-1） =（ -1， - 2，
-1），
=（ 3-4， 0-
-1 - 2 12 4 2.其方向余弦分
2 2 M 1M 2 （ ）（）
其模
1 2 1
别为 cos =-， cos =- ， cos = . 2 2 2 2
3 , , 方向角分别为
.
3
3 4
16.设向量的方向余弦分别满足（ 1） cos =0；（ 2） cos =1；（ 3）
cos =cos =0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解 （ 1）由 cos =0得知 yOz 面 .
（ 2）由 cos =1得知 =0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面 . ，故向量与 x 轴垂直，平行于
2 （ 3）由 cos =cos =0知
，故向量垂直于 x 轴
和 y 轴，
2 即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面 .
，求 r 在 u 轴上的投影 .
17.设向量 r 的模是 4，它与
u 轴的夹角为 3 1
解
r |=4，则 Prj u r=| r |cos =4?cos =4 =2. ×
3 2
18.一向量的终点在点 B （ 2， -1， 7），它在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的投影
依次为 4， -4和 7，求这向量的起点 A 的坐标 . 解 设 A 点坐标为（ x ， y ， z ），则
AB =（ 2-x ， -1-y ， 7-z ），
由题意知
2-x=4， -1-y=-4， 7-z=7，
故 x=-2， y=3， z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0） .
19.设 m =3i +4j +8k ， n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k .求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴
上的投影及在y轴上的
分向量.
解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）
=13i+7j+15k，
a在x轴上的投影为13，在y轴上的
分向量为7j.
1.设 a 3i j 2k,b i 2 j k ，求
（ 1） a
b 及 a b ；（ 2）（ - 2a ） 3b 及 a 2b ；（ 3）
a,b 的夹角的
余弦 . 解（ 1） a
b （ 3，-1，- 2）（ 1,2，-1） 3 1（ -1） 2（ - 2）（ -
1） 3，
i j k a b 3 1 2 =
（ 5,1,7） .
1 2 1
（ 2） ( 2a) 3b 6(a b) 6 3 18
a 2
b 2(a b) 2(5,1,7) (10,2,14)
a b a b 3
（ 3cos(a,b)
32 ( 1)2 ( 2)2 12 22 ( 1)2
3
3
14 6 2 21
2.设 a,b,c 为单位向量，满足 a b c 0,求 a b
b c c a.
a b c 1,a b
c 0,
解 已知 故（ a b c ）（ a b c ） 0. 2 2 2
a b c 2a b 2b c 2c a 即 0.因此 1 a b b c c a （ a b c ） - 3
2 2 2 2 2
M 1M 2,M 2M 3
3.已知 M （ 1， -1， 2）， M （ 3,3,1） M （ 3,1,3） .求与
1 2 3
同时垂直的单位向量 .
M 1M 2 =（ 3-1,3-（ -1） ,1-2） =（ 2，
4， -1）
解
M 2M 3 =（ 3-3,1-3,3-1） =（ 0， -2， 2）
M 1M 2 M 2M 3与 M 1M 2,M 2M 3同时垂直，故所求向
量可
由于 取为 （ M 1M 2 M 2M
3），
a
M 1M 2 M 2M 3
i j k
由 M 1M 2 M 2M 3 = 2 4 1=（ 6，
-4， -4），
0 2
2
M 1M 2 M 2M 3 62 ( 4)2 ( 4)2 68 2 17
1 (6, 4, 4) ( ,
3 2
2 ).
2 17 17 17 17 , 知 a 4.设质量为 100kg 的物体从点 M1（ 3,1,8）沿直线移动到点 M2（ 1,4,2），
计算重力所作的功（坐标系长度单位为 m ，重力方向为 z 轴负方向） .
M 1M 2 =（ 1-3,4-1,2-8） =（ -2， 3，
-6）
解 F=（ 0,0， -100×9.8） =（ 0,0， -980）
W=F?M 1M 2 =（ 0,0， -980） ?（ -2,3， -6） =5880（ J ）.
OP 1 5.在杠杆上支点 O 的一侧与点 O 的距离为 x 1的点 P 1处，有一与
成角 1的力 F 1作用着；在 O 的另一侧与点 O 的距离为 x 2的点 P 2处，
OP 2成角 2的力 F 2作用着（图 8-6），问 1，2，x 1，x 2，
F 1 , F 2
有一与 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解 如图 8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数 和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
F 1 x 1sin F 2 x 2 sin 0，
1 2 F 1 x 1sin F 2 x 2 sin
1
即
. 2 6.求向量 a （ 4，- 3,4）在向量 b
（ 2,2,1）
a b (4, 3,4) (2,2,1)
6 Pr j b a 解 2.
22 22 12 b 3
7.设 a (3,5, 2),b (2,1,4)，问与 有怎样的关系，能使
a b 与 z 轴垂
直？
解 a b =（ 3,5， -2
（ 2,1,4）
=（ 3
2 ,5 ,
2 4
要 a b 与 z 轴垂直，即要（ a b ）
（ 0,0,1 ），即 （
a b ） ?（ 0，
0,1） =0，
亦即
（ 3 2 ,5
, 2 4） ?（ 0,0,1） =0，
故（ 2 4） =0 ，因此 2时能使 a b 与 z
8.
证 如图 8-7，设 AB 是圆 O 的直径， C 点在圆周上，要证∠ ACB=，
2
只要证明 AC BC 0
即可 .由
AC BC =(AO
OC) (BO
OC)