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如何几何证明题

如何几何证明题
如何几何证明题

14、如何做几何证明题

知识精读

1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法:

(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;

(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;

(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知:如图1所示,?A B C 中,∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90,,,。 求证:DE =DF

C F

B

A E

D

图1

分析:由?A B C 是等腰直角三角形可知,∠=∠=?AB 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD ,易得C DA D =,∠=?D C F 45。从而不难发现??D C F D A E ?

说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连结BG ,证?E F G 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 求证:∠E =∠F

D

B

C

F

E A

图2

说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意: (1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示,设BP 、CQ 是?A B C 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。 求证:KH ∥BC

A B

C M N

Q P

K H 图3

分析:由已知,BH 平分∠ABC ,又BH ⊥AH ,延长AH 交BC 于N ,则BA =BN ,AH =HN 。同理,

延长AK 交BC 于M ,则CA =CM ,AK =KM 。从而由三角形的中位线定理,知KH ∥BC 。

说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。

例4. 已知:如图4所示,AB =AC ,∠,,A A E B F B D D C =?==90。 求证:FD ⊥ED

B

C

A F

E

D

3

21图4

说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。

说明:证明两直线垂直的方法如下:

(1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。 (2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题

(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法) 例5. 已知:如图6所示在?A B C 中,∠=?B 60,∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证:AC =AE +CD

图6

B C

A

E

D

F O

14

23

5

6

分析:在AC 上截取AF =AE 。易知??A E OA F O ?,∴∠=∠12。由∠=?B 60,知

∠+∠=?∠=?∠+∠=?566016023120,,。∴∠=∠=∠=∠=?

123460,得

??F O C D O C F C D C ?∴=,

(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法)

例6. 已知:如图7所示,正方形ABCD 中,F 在DC 上,E 在BC 上,∠=?E A F 45。 求证:EF =BE +DF

G

B E

C

A

F

D

12

3图7

分析:此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB 至G ,使BG =DF 。 4、中考题:

如图8所示,已知?A B C 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、DE 。

求证:EC =ED

E B

D

F A

C 图8

题型展示:

证明几何不等式:

例题:已知:如图9所示,∠=∠>12,A B A C 。

求证:B D D C

> D B A

1C 2

E

图9

说明:在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是常用辅助线。

【实战模拟】

1. 已知:如图11所示,?A B C 中,∠=?

C 90,

D 是AB 上一点,D

E ⊥CD 于D ,交BC 于E ,且有A C A D C E

==。求证:D E C D =1

2

C

图11

A

B

D E

2. 已知:如图12所示,在?A B C 中,∠=∠A B 2,CD 是∠C 的平分线。 求证:BC =AC +AD

A C

B

D

图12

3. 已知:如图13所示,过?A B C 的顶点A ,在∠A 内任引一射线,过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证:MP =MQ

B

P M

Q

C

A 图13

4. ?A B C 中,∠=?⊥B A C A D B C 90,于D ,求证:()A D A B A C B C <++1

4

再次强化训练

1. 把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠,使点A 与点E 重合,点C 与点F 重合(E 、 F 两点均在BD 上),折痕分别为BH 、DG 。 (1)求证:△BHE ≌△DGF ;

(2)若AB =6cm ,BC =8cm ,求线段FG 的长。

2.以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E 、F 、

G 、H ,顺次连结这四个点,得四边形EFGH .

(1)如图1,当四边形ABCD 为正方形时,我们发现四边形EFGH 是正方形;如图2,当四边形ABCD

为矩形时,请判断:四边形EFGH 的形状(不要求证明);

(2)如图3,当四边形ABCD 为一般平行四边形时,设∠ADC =α(0°<α<90°),

① 试用含α的代数式表示∠HAE ; ② 求证:HE =HG ;

③ 四边形EFGH 是什么四边形?并说明理由.

3.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DCB=450

,CD=2,BC ⊥CD 。过点C 作CE ⊥AB 于E ,交对角线BD 于F ,

点G 为BC 中点,连结EG 、AF 。 (1)求EG 的长;

(2)求证:CF=AB+AF 。 20.

如罔7,在一方形ABCD 中.E 为对角线AC 上一点,连接EB 、ED , (1)求证:△BEC ≌△DEC :

(2)延长BE 交AD 于点F ,若∠DEB=140°.求∠AFE 的度数.

4( 2011枣庄如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,6AB AD ==,DE DC ⊥交AB 于E ,DF 平分∠EDC 交BC 于F ,连结EF . (1)证明:EF CF =; (2)当tan ADE ∠=

3

1

时,求EF 的长. 5.2011益阳图10是小红设计的钻石形商标,△ABC 是边长为2的等边三角形,四边形ACDE 是等

腰梯形,AC ∥ED ,∠EAC =60°,AE =1.

(1)证明:△ABE ≌△CBD ;

(2)图中存在多对相似三角形,请你找出一对进

行证明,并求出其相似比(不添加辅助线, 不找全等的相似三角形);

(3)小红发现AM =MN =NC ,请证明此结论; (4)求线段BD 的长.

6.如图1,在等边△ABC 中,点D 是边AC 的中点,点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合),连

结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A 1B 1P ,连结AA 1,射线AA 1

A

B

C

D

H

E

F

G

(第23题图2) E B

F

G

D

H

A

C

(第23题图3)

(第23题图1) A B

C

D

H

E

F

G

E

C D A M N 图

B

分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F .

(1) 如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BE F 与△AEP 始终存在 ▲ 关系(填“相

似”或“全等”),并说明理由;

(2)如图2,设∠ABP =β . 当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF 与△AEP 全等?

若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;

(3)如图3,当α=60°时,点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4,设DP =x ,△A 1BB 1的面

积为S ,求S 关于x 的函数关系式.

7.两个大小相同且含 30角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放,使直角顶点重合. 将图①中△DEC 绕点

C 逆时针旋转 30得到图②,点F 、G 分别是C

D 、D

E 与AB 的交点,点H 是DE 与AC 的交点. (1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BC

F 全等的三角形;

(2)将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转 45得△D 1E 1C ,点F 、G 、H 的对应点分别为F 1、G 1、

H 1 ,如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系,并写出推理过程;

(3)在(2)的条件下,若D 1E 1与CE 交于点I ,求证:G 1I =CI .

8.情境观察 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△A′C ′D ,如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上,如图2所示.

观察图2可知:与BC 相等的线段是 ▲ ,∠CAC ′= ▲ °.

问题探究

如图3,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.

A

E

F

P

Q 图1 图2

C'A'B A D

C

A

B

C

D

B

C

D A (A')C'

D

B

C

A

E

图①

A

A

D 1 B C

E F

G

H

B C

E F

G 1 H

图③

H 1

E 1

I

G

F 1

拓展延伸

如图4,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ,AC =k AF ,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.

9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 中点,AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F.

(1)证明:∠DFA =∠FAB ; (2)证明:△ABE ≌△FCE .

(2011宜宾)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ,E 、F 在AC 上,G 、H 在BD 上,且AF =CE ,BH =DG , 求证:AG ∥HE

10、如图,在□ABCD 中,E,F 分别是BC ,AD 中点。 (1)求证:△ABE ≌△CDF

(2)当BC=2AB=4,且△ABE 的面积为3,求证:四边形AECF 是菱形。 18.

已知正方形ABCD 的边长为a ,两条对角线AC 、BD 交于点O ,P 是射线AB 上任意一点.过P 点分别作直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ,垂足为E 、F 。 (1)如图l .当P 点在线段AB 上时.求PE+PF 的值。 {2) 如图2.当P 点在线段AB 的延长线上时.求PE+PF 的值。

11.如图,四边形ABCD 是矩形,直线l 垂直平分线段AC ,垂足为O ,直线l 分

别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F 。 (1)△ABC 与△FOA 相似吗?为什么?

(2)试判定四边形AFCE 的形状,并说明理由。

第18题

F

E

A D

B C O

H

G A B C D E

F

(17(3)图4 M N G F

E

C B A H

l

(第24题图)

E

F O

C

D A

B

12已知:在梯形ABCD 中,A D ∥BC ,∠ABC=90°,BC=2AD ,E 是BC 的中点,连接AE 、AC 。 (1)点F 是DC 上一点,连接EF ,交AC 于点O (如图1),求证:△AOE ∽△COF ;

(2)若点F 是DC 的中点,连接BD ,交AE 与点G (如图2),求证:四边形EFDG 是菱形。

13如图,已知四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ,∠A =90°,BC =BD ,CE ⊥BD ,垂足为E . (1)求证:△ABD ≌△ECB ;

(2)若∠DBC =50°,求∠DCE 的度数.

14.在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,顺次连接EF 、FG 、GH 、HE . (1)请判断四边形EFGH 的形状,并给予证明;

(2)试添加一个条件,使四边形EFGH 是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)

15.

如图,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB =DC ,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,并延长DE 至F ,使EF =DE .联结BF 、CD 、AC .

(1)求证:四边形ABFC 是平行四边形;

(2)如果DE 2=BE ·CE ,求证四边形ABFC 是矩形.

D G

C F B

E A

H

A

B D

F

C

E

16

在正方形ABCD 中,点G 是BC 上任意一点,连接AG ,过B,D 两点分别作BE ⊥AG ,DF ⊥AG ,垂足分别为E,F 两点,求证:△ADF ≌△BAE

17如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD =∠CBD =15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE =CA .

(1)求证:DE 平分∠BDC ; (2)若点M 在DE 上,且DC=DM , 求证: ME=BD .

24在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ,作EF ⊥AB 交BD 于点F ,取FD 的中点G ,连结EG 、CG ,如图(1),易证 EG=CG 且EG ⊥CG . (1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直

接写出你的猜想.

(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系?

请写出你的猜想,并加以证明.

25、如图所示,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点且

AEF=90°,EF 交正方形

外角平分线CF 于点F ,取边AB 的中点G ,连接EG. (1)求证:

EG=CF ;

(2)将△ECF 绕点E 逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF 与EG 的位置

图(1) 图(2) 图(3)

第26题图

关系.

26.如图(6),在等腰梯形ABCD 中,

//AD BC ,AB DC =,E 是BC 的中点,连

接.AE 、DE 。 求证:AE DE =.

27如图,P 是矩形ABCD 下方一点,将△PCD 绕P 点顺时针旋转60°后恰好D 点与A 点重合,得到△PEA ,连接EB ,问△ABE 是什么特殊三角形?请说明理由.

28如图5,点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上,连结BP 并延长与 AD 的延长线交于点Q . (1)求证:△DQP ∽△CBP ;

(2)当△DQP ≌△CBP ,且AB=8时,求DP 的长.

29. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延长CB 到点E ,使BE =AD ,

连接DE 交AB 于点M .

(1)求证:△AMD ≌△BM E ;

(2)若N 是CD 的中点,且M N=5,BE =2,求BC 的长.

30

如图12,四边形ABCD 是正方形,点E ,K 分别在BC ,AB 上,点G 在BA 的延长线上,且CE =BK =AG .

⑴求证:①DE =DG ;

②DE ⊥DG ;

⑵尺规作图:以线段DE ,DG 为边作出正方形DEFG (要

求:只保留作

图痕迹,不写作法和证明);

⑶连接⑵中的KF ,猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形,并

证明你的猜想;

A

B

C

D

E

图(6)

图5

P

Q

D

C

B

A

A

B

C

D

E

K G 图11

B D

C A (第24题图) ⑷当

1

CE CB n =时,衣直接写出ABCD DEFG

S S 正方形正方形的值.

31如图l0,在菱形ABCD 中,∠A=60°,点P 、Q 分别在边AB 、BC 上,且AP=BQ . (1)求证:△BDQ ≌△ADP ;

(2)已知

AD=3,AP=2,求cos ∠BPQ 的值(结果保留根号).

32如图,点E 是正方形ABCD 内一点,CDE ?是等边三角形,连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F . (1)求证:BCE ADE ???;(5分) (2)求AFB ∠的度数.(5分

33如图,AC 是菱形ABCD 的对角线,点E 、F 分别在边AB 、AD 上,且AE=AF 。 求证:△AC E ≌△ACF

36、 已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD (如图所示),∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ,连结DE .

(1) 在下图中,用尺规作∠BAD 的平分线AE(保留作图痕迹不写作法),并证明四边形ABED 是菱形。

(7分) (2) 若∠ABC =?60,EC =2BE .

求证:ED ⊥DC (6分)

37如图9,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A .B 重合),连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE , PE 交边BC 于点F .连接BE 、DF 。 (1)求证:∠ADP=∠EPB ; (2)求∠CBE 的度数; (3)当AP

AB

的值等于多少时.△PFD ∽△BFP ?并说明理由.

A D F E

B C

初中几何证明题五大经典(含答案)

经典题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15° ∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形

3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 证明:连接AC ,取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO

中考几何证明题及答案

几何证明练习题及答案 【知识要点】 1.进一步掌握直角三角形的性质,并能够熟练应用; 2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证; 3.证明要合乎逻辑,能够应用综合法熟练地证明几何命题。 【概念回顾】 1.全等三角形的性质:对应边(),对应角()对应高线(),对应中线(),对应角的角平分线()。ABCCA=30°,则BC:AC:AB=( 2.在Rt△)中,∠。=90°,∠ 【例题解析】 ?A?108?ABC.求证:BC平分中,,BD=AB,AB=AC题【1】已知在ΔABC +CD. 【题2】如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,点F为CB的延长线上的一点,且EA⊥AF.求证:DE=BF. 【题3】如图,AD为ΔABC的角平分线且BD=CD.求证:AB=AC. 【题4】已知:如图,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AB∥ED,AC∥FD,证明AB=DE,AC=DF. 【题5】已知:如图,△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=

3,PB=4,PC=5. 求:∠APB的度数. A 【题6】如图:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C P 作CF⊥AE,垂足是F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。 C B AE=CD; 求证:(1) . BD的长若AC=12㎝,求(2) . ABCD边长相等等边三角形CEF于菱形7【题】AFE求证:(1)∠AEF=∠ (2)角B的度数 ,的角平分线,∠1=∠BB】如图,在△ABC中,∠C=2∠,AD是△ABC 【题8AB=AC+CD. 求证:BE的中点,是AD】如图,在三角形9ABC中,AD是BC边上的中线,E 【题F. 于点的延长线交AC1FC

初三数学几何证明题(经典)

如图;已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O 交AB于点D,过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E. 求证:BE=CE 证明:连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°,ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°,∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图,半圆O的直径DE=10cm,△ABC中,∠ABC=90°,∠BCA=30°,BC=10cm,半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,D、E始终在直线BC上,设运动时间为t(s),当t=0(s)时,半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。(1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切; (2)当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积。 (1)当t为何值时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切; 相切分两种情况,如图, ①左图:当t=0时,原图中OB=9,此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则:t=4/2=2s; --------------- ②右图:设圆O与边AC的切点为F,此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合,此时圆移动的长即为OB的长,即9cm ==>t=9/2; =========

(2)如右图:由②得:∠AOE=90 ==>S阴=(90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别为AB 、PC 的中点; (1)求证:MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点. (1)求证://EF 平面PAB ; (2)若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=?, 求证:平面PEF ⊥平面PBC . P A C E B F

(1)证明:连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点, //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ,?AB 平面PAB , ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 (2)PA PC = ,E 为AC 的中点, PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点, //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC ,点D 是AB 的中点。 (1)求证:BC 1//平面CA 1D ; (2)求证:平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、PC 的中点. (1) 求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:EF ⊥CD ; (3) 若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.

中考几何证明题及答案

1文档收集于互联网,已整理,word 版本可编辑. 几何证明练习题及答案 【知识要点】 1.进一步掌握直角三角形的性质,并能够熟练应用; 2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证; 3.证明要合乎逻辑,能够应用综合法熟练地证明几何命题。 【概念回顾】 1.全等三角形的性质:对应边( ),对应角( )对应高线( ),对应中线( ),对应角的角平分线( )。 2.在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,则BC :AC :AB=( )。 【例题解析】 【题1】已知在ΔABC 中,108A ∠ =,AB =AC ,BD 平分ABC ∠.求证:BC =AB +CD . 【题2】如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,点F为CB的延长线上的一点,且EA⊥AF.求证:DE=BF. 【题3】如图,AD 为ΔABC 的角平分线且BD =CD .求证:AB =AC. 【题4】已知:如图,点B 、F 、C 、E 在同一直线上,BF=CE ,AB ∥ED ,AC ∥FD ,证明AB=DE ,AC=DF. 【题5】已知:如图,△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,PC =5. 求:∠APB 的度数. 【题6】如图:△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,线,过C 作CF ⊥AE ,垂足是F ,过B 作BD ⊥BC 交

2文档收集于互联网,已整理,word 版本可编辑. (1) 求证:AE=CD; (2) 若AC=12㎝,求BD 的长. 【题7】等边三角形CEF 于菱形ABCD 边长相等. 求证:(1)∠AEF=∠AFE (2)角B 的度数 【题8】如图,在△ABC 中,∠C=2∠B ,AD 是△ABC 的角平分线, ∠1=∠B ,求证:AB=AC+CD. 【题9】如图,在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 的中点,BE 的延长线交AC 于点F. 求证:AF=21FC 【题10】如图,将边长为1的正方形ABCD 绕点C 旋转到A'B'CD'的位置,若∠B'CB=30度,求AE 的长. 【题11】AD,BE 分别是等边△ABC 中BC,AC 上的高。M,N 分别在AD,BE 的延长线上,∠CBM=∠ACN.求证AM=BN. 【题12】已知:如图,AD 、BC 相交于点O ,OA =OD ,OB =OC ,点E 、F 在AD 上,且AE =DF ,∠ABE =∠DCF . 求证:BE‖CF . 【巩固练习】 【练1】 如图,已知BE 垂直于AD ,CF 垂 直于AD ,且BE=CF. (1)请你判断AD 是三角形ABC 的中线还是角 O F E D C B A

如何做几何证明题(方法总结)

如何做几何证明题 知识归纳总结: 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两

的角平分线AD、CE相交于O。 (补

AE=BD,连结CE、DE。

求证:BC=AC+AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证:MP=MQ

初三经典几何证明练习题(含答案)

初三几何证明题 经典题(一) 1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF. 2、已知:如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD=∠PDA= 15°。 求证:△PBC是正三角形.(初二)

3、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN 于E、F. 求证:∠DEN=∠F. 经典题(二) 1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M. (1)求证:AH=2OM; (2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.

2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P. 求证:AP=AQ. 3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF 的中点,OP⊥BC 求证:BC=2OP 证明:分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N ∵OF=OD,DN∥OP∥FL ∴PN=PL ∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL 又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM 同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP 经典题(三) 1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

立体几何证明大题答案.

立体几何证明大题答案 1.(本题满分9分) 证明: BCD EF BCD DC BCD EF DC EF FC AF ED AE 平面平面平面)(////1????? ???????????== …………4分 ACD BC D CD AD CD BC AD BC BCD BC BCD 平面平面平面)(⊥????? ?????=?⊥⊥?????⊥AD 2 ………9分 1. 证明:过A 作AD ⊥PB 于D ,由平面PAB ⊥平面PBC ,得AD ⊥平面PBC ,故AD ⊥BC , 又BC ⊥PA ,故BC ⊥平面PAB ,所以BC ⊥AB 2、证明:(1)连结11A C ,设11 111AC B D O = 连结1AO , 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 11A C AC ∴且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,11O C AO ∴且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴?面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴1C O 面11AB D (2) 1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A C B D ⊥, 1111B D AC C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即

同理可证11A C AB ⊥, 又1111D B AB B = ∴1A C ⊥面11AB D 16.(满分12分)如图,在三棱锥S-ABC 中,,90?=∠=∠=∠ACB SAC SAB , (Ⅰ)证明SC ⊥BC ;(Ⅱ),29,13,2===SB BC AC 若已知 求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小。 解:(Ⅰ)证明: ∵90SAB SAC ∠=∠=? ∴SA ⊥AB,SA ⊥AC 又AB ? AC=A ∴SA ⊥平面ABC …………2分 又BC ?平面ABC ∴BC ⊥SA ;……………3分 90ACB BC ∠=?⊥又即AC …………………4分 又AC ? SA=A ∴BC ⊥平面SAC ………5分 又SC ?平面SAC ∴SC ⊥BC ………………6分 (Ⅱ)解: ∵SC ⊥BC AC ⊥BC ………………7分 ∴SCA ∠是侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的平面角………………………8分 在Rt SCB ? 中,由BC SB == 4==…9分 在Rt SAC ?中,由AC=2,SC=4得COS SCA ∠=1602AC SCA SC ο=∴∠=…10分 即侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小为60°. ……………………12分 B S C A

初中经典几何证明练习题(含答案)

初中几何证明题 经典题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB,E F⊥AB ,E G⊥C O. 求证:CD =G F. 证明:过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵E G⊥CO ,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO +∠EFO=180° ∴E 、G、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠E GO =∠FHG =90° ∴△EGO ∽△F HG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥A B,CD ⊥AB ∴GH∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵E O=C O ∴CD =GF 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD=∠PDA=15°。 求证:△PB C是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM,连接MP ∵∠MA D=60°,∠PAD =15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PA D=15° ∴∠BAP=∠BAD -∠PAD=90°-15°=75° ∴∠B AP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ,MP=B P 同理∠CPD=∠MP D,MP =C P ∵∠PAD=∠PDA =15° ∴PA=P D,∠BA P=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠C DP ∴∠BP A=∠CPD ∵∠B PA =∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MP A=∠M PD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵M P=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形

中考数学超好几何证明压轴题大全

中考数学超好几何证明压 轴题大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

1、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2. (1)求证:DC=BC; (2)E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC ,DE=BF ,试判断△ECF 的形状,并证明你的结论; (3)在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠BFE 的值. 2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延 长线于G . (1)求证:△ADE ≌△CBF ; (2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什 么特殊四边形并证明你的结论. 3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋 转. (1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或 测量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 4、如图,已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ,连结AD 、BD 、OC 、OD ,且OD =5。 (1)若,求CD 的长; (2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留 )。 5、如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G. (1)求证:点F 是BD 中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线; (3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径. 6、如图,已知O 为原点,点A 的坐标为(4,3), ⊙A 的半径为2.过A 作直线l 平行于x 轴,点P 在直线l 上运动. (1)当点P 在⊙O 上时,请你直接写出它的坐标; (2)设点P 的横坐标为12,试判断直线OP 与⊙A 的位置关系,并说明理由. 7、如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB , DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线, 垂足为点C . 求证:∠ACB=31∠OAC . E B F C D A 图13-2 E A B D G F O M N C 图13-3 A B D G E F O M N C 图13-1 A ( E ) C O D F C A B D O E

初中经典几何证明练习题(含标准答案)

初中几何证明题 经典题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF . 证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15° ∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形 3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN

初中几何证明题绝对经典

初中几何证明题【绝对经典】 几何证明 1?点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作ABE和BCF,连接AF , CE.取AF、CE的中点M、N,连接BM , BN, MN . (1)若ABE和FBC是等腰直角三角形,且ABE FBC 90°(如图1),贝U MBN是________ 三角形. ⑵在ABE和BCF 中,若BA=BE,BC=BF,且ABE FBC ,(如图2),贝U MBN 是_三角形, 且MBN ______________________ . ⑶若将⑵中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么(2)中的结论是否成立?若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明 C

初中几何证明题【绝对经典】 2?如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶 点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q.探究:设A、P两点间的距离为X. (1) 当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有怎样的数量关系?试证明 你的猜想; ⑵当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x 之间的函 数关系,并写出函数自变量x的取值范围; ⑶当点P在线段AC上滑动时,△ PCQ是否可能成为等腰三角形?如果 可能,指出所有能使 △ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值,如果不可能,试说明理由.

3.(1)如图1,四边形ABCD中,AB CB , ABC 60 , ADC 120,请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论; ⑵如图2,四边形ABCD中,AB BC,ABC 60,若点P为四边形ABCD内一点, 且APD 120,请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论. 图2

初二上几何证明题题专题训练好题大全

八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB ,EC 分别是两个三角形的最长边,∠A =∠C =35°,∠CDE =100°,∠DEB =10°,求∠AEC 的度数. 2. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证: ∠C=∠D 3.如图,OP 平分∠AOB ,且OA=OB . (1)写出图中三对你认为全等的三角形(注:不添加任何辅助线); (2)从(1)中任选一个结论进行证明. 4. 已知:如图,AB =AC ,DB =DC ,AD 的延长线交BC 于点E ,求证:BE =EC 。 5. 如图,在△ABC 中,AB=AD=DC ,∠BAD=28°,求∠B 和∠C 的度数。 7. 写出下列命题的逆命 题,并判断逆命题的真 假.如果是真命题,请给予证明;?如果是假命题,请举反例说明. 命题:有两边上的高相等的三角形是等腰三角形. 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90o , D 是AC 上的一点,且AD=BC ,DE AC 于D , ∠EAB=90o .求证:AB=AE . 9. 如图,等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,B ,P ,Q 三点在一条直线上,且∠ABP = ∠ACQ ,BP =CQ ,问△APQ 是什么形状的三角形?试证明你的结论. 10. 如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 的中垂线DE 交AB 于E ,交BC 于D ,若AB=13,AC=5,则△ACD 的周长为多少? 11. 如图所示,AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,AD =BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别是E ,F ,求证:CE =DF. 12. 如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE ,垂足为E ,AD ⊥CE ,垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____;BE 与AD 之间的距离是线段____的长; (2)若AD =6 cm ,BE =2 cm ,求BE 与AD 之间的距离及AB 的长. 13. 如图,已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形,点D 是BC 延长线上一点,连结CE , 求证:BD=CE 14. 如图,△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AD ⊥AC 交BC ?于点D ,求证:?BC =3AD . 15. 如图,四边形ABCD 中,∠DAB=∠BCD=90°,M 为BD 中点,N 为AC 中点,求证: MN ⊥AC . 16、已知:如图所示,在△ABC 中,∠ABC=45°,CD ⊥AB 于点D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于点E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连接DH 与BE 相交于点G . (1)求证:BF=A C ;????? 6. 如图,B 、D 、C 、E 在同一直线上,AB=AC ,AD=AE ,求证:BD=CE 。 B A E D C

中考数学经典几何证明题

2011年中考数学经典几何证明题(一) 1.(1)如图1所示,在四边形ABCD 中,AC =BD ,AC 与BD 相交于点O ,E F 、分 别是AD BC 、的中点,联结EF ,分别交AC 、BD 于点M N 、,试判断OMN △的形状,并加以证明; (2)如图2,在四边形ABCD 中,若AB CD =,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结FE 并延长,分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论: ; (3)如图3,在ABC △中,AC AB >,点D 在AC 上,AB CD =,E F 、分别是 AD BC 、的中点,联结FE 并延长,与BA 的延长线交于点M ,若45FEC ∠=?,判 断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系,并简要说明理由. 图 1 图2 图3 F B A C D E F M N O

D 2.(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG; 图1 D (2) 若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点 G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (3) 如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL 上任一点, EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量 关系,直接写出你的猜想; (4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、 EG、CH这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.

重庆中考数学几何证明题__(专题练习+答案详解)

2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE (1)求证:BE=CE; (2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD. 2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点. (1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC; (2)若CD=4,BH=1,求AD的长.

3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF. (1)当CE=1时,求△BCE的面积; (2)求证:BD=EF+CE. 4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E EF∥CA,交CD于点F,连接OF. (1)求证:OF∥BC; (2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.

5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA 的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6. (1)求线段CD的长; (2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC. 6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°. (1)若AB=6cm,,求梯形ABCD的面积; (2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.

几何证明练习题

1 1、如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,E 是AC 的中点,DE 的延长线交BC 的延长线于点F ,EF=5,∠B 的正切值为2 1 (1)求证:△BDF ∽△DCF ; (2)求BC 的长 2、已知:如图,在△ABC 中,BD ⊥AC 于点D ,CE ⊥AB 于点E ,EC 和BD 相交于点O ,联接DE . (1)求证:△EOD ∽△BOC ; (2)若S △EOD =16,S △BOC =36,求AE AC 的值. 3、如图,点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点,EF ⊥AE ,EF 分别交 AC 、CD 于点M 、F ,BG ⊥AC ,垂足为点G ,BG 交AE 于点H . (1)求证:△ABE ∽△ECF ; (2)找出与△ABH 相似的三角形,并证明; (3)若E 是BC 中点,BC =2AB ,AB =2,求EM 的长. 4、如图,点D 是Rt △ABC 斜边AB 上一点,点E 是直线AC 左侧一点,且EC ⊥CD ,∠EAC =∠B . (1)求证:△CDE ∽△CBA ; (2)如果点D 是斜边AB 的中点,且23tan = ∠BAC , 试求CBA CDE S S ??的值. (CDE S ?表示△CDE 的面积, CBA S ?表示△CBA 的面积) 5、在△ABC 中,∠BAC = 90°,∠EAF = 90°,AB AF AC AE ?=?. (1)求证:△AGC ∽△DGB ; (2)若点F 为CG 的中点,AB = 3,AC = 4,1tan 2DBG ∠= ,求DF 的长. G F E D C B A 6、已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点,DF ⊥AC ,DF 与CE 相交于点F ,AF 的延长线 E O D A B C E D B C A A

初中经典几何证明练习题集

初中几何证明题 经典题(一) 1、已知:如图,O 就是半圆的圆心,C 、E 就是圆上的两点,CD ⊥AB,EF ⊥AB,EG ⊥CO. 求证:CD =GF. 证明:过点G 作GH ⊥AB 于H,连接OE ∵EG ⊥CO,EF ⊥AB ∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB,CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知:如图,P 就是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠ PDA = 15°。 求证:△PBC 就是正三角形.(初二)

证明:作正三角形ADM,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA,AP=AP ∴△MAP≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD,MP=CP ∵∠PAD=∠PDA=15° ∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC就是正三角形 3、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别就 是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于 E、F. 求证:∠DEN=∠F.

初中几何证明题【绝对经典】

(如图2) C (如图3) C (如图1) B 几何证明 1.点A 、B 、C 在同一直线上,在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?,连接AF ,CE .取AF 、CE 的中点M 、N ,连接BM ,BN , MN . (1)若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形,且090=∠=∠FBC ABE (如图1),则MBN ?是 三角形. (2)在ABE ?和BCF ?中,若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ,(如图2),则MBN ?是 三角形,且=∠MBN . (3)若将(2)中的ABE ?绕点B 旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么(2)中的结论是否成立? 若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.

2.如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上,并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动,直角的一边始终经过点B,另一 边与射线DC 相交于Q .探究:设A 、P 两点间的距离为x . (1)当点Q 在边CD 上时,线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系?试证明你的猜想; (2)当点Q 在边CD 上时,设四边形PBCQ 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系,并写出函数自变量x 的取值范围; (3)当点P 在线段AC 上滑动时,△PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值,如果不可能,试说明理由. Q P D C B A

3.(1)如图1,四边形ABCD 中,CB AB =,?=∠60ABC ,?=∠120ADC ,请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系,并证明你的结论; (2)如图2,四边形ABCD 中,BC AB =,?=∠60ABC ,若点P 为四边形ABCD 内一点,且?=∠120APD ,请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系,并证明你的结论. 图 2 图1

高考几何证明题经典题型(选修)

图3 N O C B A 高考题选讲 几何证明选讲 1.(几何证明选讲选做题)在梯形ABCD 中,AD//BC ,2AD =,5BC =,点E 、F 分 别在AB 、CD 上,且EF//AD ,若 34AE EB =,则EF 的长为 23 7 . 解析:在梯形ABCD 中,AD//BC ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且EF//AD ,若 n m EB AE =,则(m+n)EF =mBC+nAD 2.(几何证明选讲选做题) 已知圆的直径10AB =,C 为圆上一点,过C 作CD AB ⊥于D (AD BD <),若4CD =,则AC 的长为 3.(几何证明选讲选做题)如图3,四边形ABCD 内接于⊙O , BC 是直径,MN 与⊙O 相切, 切点为A ,MAB ∠35? = 则D ∠= 125? . 4.若BE 、CF 是ABC ?的高,且ABC BCEF S S ?=四边形,则A ∠= 0 90 . 5.(几何证明选讲选做题)如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于点P. 若PB=2,PD=6,则 BC AD 的值为 1 3 。 解析:由平几知识可得:PAD PCB ??,则 26BC PB AD PD ==1 3 = 6、(几何证明选讲选做题)如图,已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ,B 两点,割线PCD 经过圆心,若PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为__ 2__. 7.(几何证明选讲选做题) 如右图,A 、B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径, D 和 E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点,已知10,4==BE AC , 且AD BC =,则DE = 8.(几何证明选讲选做题)如图,已知,45OA OB OC ACB ==∠=?, D B E A C 第7题图

初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案

几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°. 推理过程: ○1 作CM ∥AB ,则∠A= ,∠B= ,∵∠ACB +∠1+∠2=1800( ,∴∠A+∠B+∠ ACB=1800. ○ 2 作MN ∥BC ,则∠2= ,∠3= ,∵∠1+∠2+∠3=1800,∴∠BAC+∠B+∠C=1800. 2.求证:在一个三角形中,至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图,在△ABC 中,∠C >∠B,求证:AB >AC 。 4. 已知,如图,AE 5. 已知:如图,EF ∥AD ,∠1 =∠2. 求证:∠AGD +∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图,在平面内,AB 是L 的斜线,CD 是L 的垂线。 求证:AB 与CD 必定相交。 8.2 一.角平分线--轴对称 9、已知在ΔABC 中,E为BC的中点,AD 平分BAC ∠,BD ⊥AD 于D .AB =9,AC= 13求DE的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析:延长BD交AC于F.可得ΔABD ≌ΔAFD .则BD =DF .又BE =EC ,即D E为Δ BCF 的中位线.∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2. 10、已知在ΔABC 中,108A ∠=,AB =AC ,BD 平分ABC ∠.求证:BC =AB +CD . 分析:在BC上截取BE=BA,连接DE.可得ΔBAD ≌ΔBED .由已知可得: 18ABD DBE ∠=∠=,108A BED ∠=∠=,36C ABC ∠=∠=.∴72DEC EDC ∠=∠=,∴CD =CE ,∴BC =AB +CD . 11、如图,ΔABC 中,E是BC 边上的中点,DE ⊥BC 于E ,交BAC ∠的平分线AD 于D , 过D 作DM ⊥AB 于M,作DN ⊥AC 于N .求证:BM =CN . 分析:连接DB 与DC .∵DE 垂直平分BC ,∴DB =DC .易证ΔAMD ≌ΔAND . ∴有DM =DN .∴ΔBMD ≌ΔCND (HL).∴BM =CN . 二、旋转 12、如图,已知在正方形ABCD 中,E在BC 上,F在DC 上,BE +DF =EF . 求证:45EAF ∠=. C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C

中考数学几何证明题经典题型分析报告

中考数学经典几何证明题(一) 1.(1)如图1所示,在四边形ABCD 中,AC =BD ,AC 与BD 相交于点O ,E F 、分 别是AD BC 、的中点,联结EF ,分别交AC 、BD 于点M N 、,试判断OMN △的形状,并加以证明; (2)如图2,在四边形ABCD 中,若AB CD =,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结FE 并延长,分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论: ; (3)如图3,在ABC △中,AC AB >,点D 在AC 上,AB CD =,E F 、分别是 AD BC 、的中点,联结FE 并延长,与BA 的延长线交于点M ,若45FEC ∠=?,判 断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系,并简要说明理由. 图 1 图2 图3 F B A C D E F M N O

2.(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥A C 于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG; D 图1 (2) 若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥A C的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (3) 如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC, 连结CL,点E是CL上任 一点, EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想; (4) 观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、 EG、CH这样的线段,并满足(1)或(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.

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