【智博教育原创专题】一类常见的抽象函数问题释疑(20130920)

一类常见的抽象函数问题释疑

邓冬华 20130920

抽象函数是高中数学的难点，其难点主要集中在没有明确的表达式，具有普遍适用性。

下面这两个问题很多同学弄不清楚，经常混淆出错，先将其简单初略地整理如下：

1Question ：已知()f x 是奇函数，则对(1)f x -有（ ）

.(1)(1)A f x f x -=-- .(1)(1)B f x f x +=--

2Question ：已知(1)f x -是奇函数，则对(1)f x -有（ ）

.(1)(1)A f x f x -=-- .(1)(1)B f x f x +=--

这两个问题有没有区别呢？答案是肯定的！看似简单的两个问题蕴含了很多处理函数问题的基本思想方法。

对于1Q ，正确答案应该选A .理由如下：因()f x 是奇函数，在处理(1)f x -的时候需要将括号里面的1x -看成一个整体，即[(1)](1)f x f x --=--，也即是选项A 。

对于2Q ，正确答案应该选B .可以令()(1)g x f x =-，则()g x 是奇函数，因此(1)()()(1)f x g x g x f x +=-=-=--，即选B .

事实上，在1Q 的处理过程中用到了整体思想。整体思想在数学中几乎无处不在，尤其是在复合函数问题中。在三角函数问题中也有同样的思维方式，比如求sin(2)6

y x π=+的单调递增区间，需要类比sin y x =的单调递增区间，然后将26x π

+视为一个整体；2Q 还常常出现在图形的平移等问题中，也即是我们常说的

“针对x 的变化”。比如，将sin(2)y x =向左边移动6

π个单位，结果应该是sin(2)3y x π=+，而不是2sin(2)6y x π=+。这也只需令()sin(2)f x x =，向左边移动6

π个单位，即()sin[2()]sin(2)663

y f x x x πππ=+=+=+.