§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式表示的区域
(1)当B>0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的.
(2)当B<0时,Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的;Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的.
2.线性规划
(1)不等式组是一组对变量x,y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件.Z=Ax+By是要求最大值或最小值的函数,我们把它称为.由于Z=Ax+By是关于x,y的一次解析式,所以又可叫做.
另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.
(2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的的问题,统称为线性规划问题.
(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫做,由所有可行解组成的集合叫做.其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.
线性目标函数的最值常在可行域的边界上,且通常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
①首先,要根据(即画出不等式组所表示的公共区域).
②设,画出直线l0.
③观察、分析、平移直线l0,从而找到最优解.
④最后求得目标函数的.
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路:
首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出条件,确定函数.
然后,用图解法求得数学模型的解,即,在可行域内求得使目标函数.
自查自纠:
1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域
2.(1)目标函数线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解可行域最优解
(4)①线性约束条件画出可行域②z=0
④最大值或最小值
(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解
下列命题中正确的是()
A.点(0,1)在区域x-y+1>0内
B.点(0,0)在区域x+y+1<0内
C.点(1,0)在区域y≥2x内
D.点(0,0)在区域x+y≥0内
解:将(0,0)代入x+y≥0,成立.故选D.
不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的()
A.左下方
B.左上方
C.右下方
D.右上方
解:画出直线及区域范围知C正确.故选C.
(2014·湖北)若变量x,y满足约束条件??
?
??
x+y≤4,
x-y≤2,
x≥0,y≥0,
则z=2x+y的最大值是()
A.2
B.4
C.7
D.8
解:画出不等式组的可行域如图阴影部分所示,
结合目标函数可知,当直线y=-2x+z经过点A(3,1)时,z取最大值,且为7.故选C.
点()
-2,t在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是.
解:()
-2,t在2x-3y+6=0的上方,则2×()
-2-3t+6<0,解得t>
2
3.故填??
?
?
?
?
t|t>
2
3.
不等式组
??
?
??
x>0,
y>0,
4x+3y<12
表示的平面区域内
的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有
个.
解:画出平面区域的图象,可以看出整点有(1,1),(1,2),(2,1),共3个,故填3.
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(2013·大纲)记不等式组????
?x ≥0,x +3y ≥4,
3x +y ≤4
所表示的平面区域为D ,若直线y =a (x +1)与D 有
公共点,则a 的取值范围是________.
解:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,
∵直线y =a (x +1)恒过定点C (-1,0),由图并
结合题意易知k BC =1
2
,k AC =4,∴要使直线y =a (x
+1)与平面区域D 有公共点,则1
2
≤a ≤4.故填
???
?12,4.
点拨:
①关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定,可先由“直线定界”,再由“不等式定域”,定域的常用方法是“特殊点法”,且一般取坐标原点O (0,0)为特殊点;②这里的直线y =a (x +1)是过定点..
(-1,0)且斜率为a 的直线系.注意:含一个参数的直线方程都可看成有一个定元素的直线系.
(2014·安徽)不等式组
????
?x +y -2≥0,
x +2y -4≤0,x +3y -2≥0
表示的平面区域的面积为________.
解:不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,
易求得|BD |=2,C 点坐标(8,-2),
∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =1
2
×2×(2+2)=4.
故填4.
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
(2014·广东)若变量x ,y 满足约束条
件????
?y ≤x ,x +y ≤1,y ≥-1, 且z =2x +y 的最大值和最小值分别为m 和n ,则m -n =( ) A.8 B.7 C.6 D.5
解:作出可行域(如图阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y =-2x +z 经过点A 时,z 的值最大,易得A (2,-1),则m =z max =2×2-1=3
.
当直线y =-2x +z 经过点B 时,z 的值最小,易得B (-1,-1),则n =z min =2×(-1)-1=-3.故m -n =6.故选C.
点拨:
可行域是封闭区域时,可以将端点代入目标函数z =2x +y ,求出最大值3与最小值-3,从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时,不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2,需先准确地画出可行域,再将目标函数对应直线在可行域上移动,观察z 的大小变化,得到最优解.
设x ,y 满足????
?2x +y ≥4,
x -y ≥1,x -2y ≤2,
则z =x +
y ( )
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.既无最小值,也无最大值
解:画出不等式表示的平面区域,
如图,由z =x +y ,得y =-x +z ,令z =0,画出y =-x 的图象,当它的平行线经过A (2,0)时,z 取得最小值为z min =2+0=2,由于可行域是向右上
方无限延伸的非封闭区域,y =-x +z 向右上方移动时,z =x +y 也趋于无穷大,所以z =x +y 无最大值,故选B.
类型三 含参数的线性规划问题
(1)若不等式组????
?x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4
所表示的
平面区域被直线y =kx +4
3
分为面积相等的两部分,
则k 的值是( )
A.73
B.37
C.43
D.34
解:由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如图阴影部分所示,
这里直线y =kx +4
3
只需经过线段AB 的中点D
即可,此时D 点的坐标为????12,52,代入可得k =73
.故选A.
(2)在平面直角坐标系中,若不等式组????
?x +y -1≥0,
x -1≤0,ax -y +1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a 的值为( )
A.-5
B.1
C.2
D.3
解:如图可得阴影部分即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的可行域,
而直线ax -y +1=0恒过点(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,
若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2,则它是三角形,设该三角形为△ABC ,因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0,1)和B (1,0),且S △ABC
=2,设点C 的坐标为C (1,y ),则1
2
×1×y =2?y
=4,将点C (1,4)代入ax -y +1=0得a =3.故选
D.
点拨:
此类问题综合性较强,注意到y =kx +4
3
,ax -
y +1=0都是含参数且恒过定点的直线,因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点:①参数的几何意义;②条件的合理转化.
(1)若x ,y 满足约束条件????
?x +y ≥1,
x -y ≥-1,
2x -y ≤2.
目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则
a 的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.(-4,2)
C.(-4,0]
D.(-2,4)
解法一:z =ax +2y 的斜率为-a
2
,目标函数在
点(1,0)处取得最小值,
由图象知斜率-a 2满足:-1<-a
2
<2?-4<a
<2,所以参数a 的取值范围是(-4,2).
解法二:由条件知,可行域是一个三角形,顶点为A (1,0),B (3,4),C (0,1),由于目标函数的最小值仅在A 点处取得,z A =a ,z B =3a +8,z C =2,依题意,z A =a <z B =3a +8,z A =a <z C =2,所以参数a 的取值范围是(-4,2),故选B.
(2)(2014·湖南)若变量x ,y 满足约束条件????
?y ≤x ,
x +y ≤4,y ≥k ,
且z =2x +y 的最小值为-6,则k =________.
解:易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ,k ),(4-k ,k ),(2,2),且可行域如图,
则k ≤2.最小值在点(k ,k )处取得,3k =-6,得k =-2.故填-2.
类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解
已知????
?2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0.
当x ,y 取何值
时,x 2+y 2取得最大值、最小值?最大值、最小值各是多少?
解:如图,
作出可行域(图中的阴影部分),可行域是封闭
的△ABC (包括边界),由?
????x -2y +4=0,
3x -y -3=0,得顶点A (2,
3),同理可得B (0,2),C (1,0),因为x 2+y 2是可行域内一点P (x ,y )到原点的距离的平方,所以,当P (x ,y )和A (2,3)重合时,(x 2+y 2)max =22+32=13,显然,原点到直线BC :2x +y -2=0的距离d 最小,
这里d =|2×0+0-2|22+12
=25,(x 2+y 2)min
=d 2
=45, 此时点P 的坐标满足
????
?2x +y -2=0,x 2+y 2=45,??
??x =4
5,y =25
,即点P 的坐标为
P ????45,25.
综上可知,当x =2,y =3时,x 2+y 2取得最大
值,最大值是13;当x =45,y =2
5
时,x 2+y 2取得最
小值,最小值是4
5
.
点拨:
本题不是求线性目标函数的最优解,而是求a 2
+b 2取得最大值、最小值问题,理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键,同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得,本题的最小值就是利用距离公式求得的.
实系数方程f (x )=x 2+ax +2b =0的一
个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:
(1)b -2a -1
的值域; (2)(a -1)2+(b -2)2的值域.
解:由题意知????
?f (0
)>0,f (1)<0,f (2)>0
?????
?b >0,a +2b +1<0,a +b +2>0.
可行域是一个不包括边界的三角形,
其顶点为A (-3,1),B (-2,0),C (-1,0).如图所示.
(1)设b -2a -1
=k ?b =k (a -1)+2,则k 表示可行
域内一个动点P (a ,b )和定点Q (1,2)连线的斜率,
因为A (-3,1),C (-1,0),则k AQ =1
4
,k CQ =1,
k AQ <k <k CQ ,1
4
<k <1.
∴b -2a -1
的值域是????14,1. (2)(a -1)2+(b -2)2表示可行域内一个动点P (a ,b )和定点Q (1,2)的距离的平方,显然,当动点P (a ,b )和点C (-1,0)重合时距离最小,最小值为22,而P (a ,b )和点A (-3,1)重合时距离最大,最大值为17,所以(a -1)2
+(b -2)2的值域为(8,17).
类型五 线性规划与整点问题
设不等式组????
?x >0,y >0,y ≤-nx +3n (n ∈N *)
所表示的平面区域为D n ,记D n 内的整点(即横坐标
和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为__________.
解:直线y =-nx +3n =-n (x -3),过定点(3,0),由y =-nx +3n >0得x <3,又x >0,所以x =1或x =2.直线x =2交直线y =-nx +3n 于点(2,n ),直线x =1交直线y =-nx +3n 于点(1,2n ),所以整点个数a n =n +2
n =3n.故填3n.
点拨:
求解整点问题,对作图精度要求较高,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.
设实数x ,y 满足不等式组
????
?x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,
若x ,y 为整数,则3x +4y 的最小值为( )
A.14
B.16
C.17
D.19 解:画出可行域如图,
令3x +4y =z ,y =-34x +z
4
,过x 轴上的整点(1,
0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0)处作格子线,可
知当y =-34x +z
4
过(4,1)时有最小值(对可疑点(3,
2),(2,4),(4,1)逐个试验),此时z min =3×4+4=16.故选B.
类型六 线性规划在实际问题中的应用
某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面
积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入
-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为________,________.
解:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为z =(0.55×4x -1.2x )+(0.3×6y -0.9y )=x +0.9y.线性约束条件为
?????x +y ≤50,1.2x +0.9y ≤54,x ≥0,
y ≥0,即?????x +y ≤50,4x +3y ≤180,
x ≥0,
y ≥0. 画出可行域如图所示. 作出直线l 0:x +0.9y =0,向上平移至过点B (30,20)时,z max =30+0.9×20=48.故填30;20.
点拨:
对于此类有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点.
某公司租赁甲、乙两种设备生产A ,
B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为元.
解:设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天,该公司所需租赁费为z 元,则z =200x +300y ,甲、乙两种设备每天生产A ,B 两类产品的情况如下表所示:
产品 设备 A 类产品(件) (≥50)
B 类产品(件)
(≥140) 租赁费(元)
甲设备
5 10 200 乙设备
6 20
300
则x ,y 满足的关系为
?????5x +6y ≥50,
10x +20y ≥140,x ≥0,
y ≥0, 即?????x +6
5
y ≥10,x +2y ≥14,x ≥0,y ≥0.
作出不等式组表示的平面区域,当z =200x +300y 对应的直线过两直线?????x +65y =10,
x +2y =14
的交点(4,
5)时,目标函数z =200x +300y 取得最小值为2300元.故填2300.
1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置,如果直线Ax +By +C =0不经过原点,则把原点代入Ax +By +C ,通过Ax +By +C 的正负和不等号的方向,来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.
2.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点,到底是哪个顶点为最优解,有三种解决方法:
第一种方法:将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的一个便是.
第二种方法:利用围成可行域的直线斜率来判断.
特别地,当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时,其最优解可能有无数组.
第三种方法:将可行域所在多边形的每一个顶
点P i 逐一代入目标函数ZP i =mx +ny ,比较各个ZP i ,得最大值或最小值.
1.不等式组?
????x ≥2,
x -y ≥0所表示的平面区域是
(
)
解:画出直线x =2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x -y =0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.
2.(2014·天津)设变量x ,y 满足约束条件????
?x +y -2≥0,
x -y -2≤0,y ≥1,
则目标函数z =x +2y 的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解:画出约束条件表示的平面区域如图中阴影
部分所示,目标函数可化为y =-12x +1
2
z ,由图可
知,当直线y =-12x +1
2
z 经过点(1,1)时,z 取得最
小值3.故选B.
3.设二元一次不等式组????
?x +2y -19≥0,
x -y +8≥0,
2x +y -14≤0
所表
示的平面区域为M ,则使函数y =a x ()a >0,a ≠1的
图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A.[1,3]
B.[2,
10] C.[2,9] D.[10,9]
解:如图,阴影部分为平面区域M ,显然a >1,
只需研究过(1,9),(3,8)两种情形,a 1
≤9且a 3≥8即2≤a ≤9,故选C.
4.若不等式组?????x -y ≥0,
2x +y ≤2,
y ≥0,x +y ≤a
表示的平面区域是
一个三角形,则a 的取值范围是( )
A.a ≥43
B.0<a ≤1
C.1≤a ≤43
D.0<a ≤1或a ≥4
3
解:如图,由条件可知,当直线x +y =a 在直
线x +y =4
3右上方时,可行域可以组成一个三角形,
即a ≥4
3
时,可行域可以组成一个△OAB ;当0<
a ≤1,可以组成一个三角形,所以0<a ≤1或a ≥4
3
,
故选D.
5.(2014·安徽)x ,y 满足约束条件????
?x +y -2≤0,
x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.
若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一...
,则实数a 的值为( ) A.12或1 B.2或1
2 C.2或1 D.2或-1
解:作出可行域如图阴影部分所示,k AB =2,k AC =-1.由z =y -ax 得y =ax +z.当a >0,直线y =ax +z 与直线AB 重合时,z 取最大值2,此时a =2;当a <0时,直线y =ax +z 与直线AC 重合时,z 取最大值2,此时a =-1.故选D.
6.若实数x ,y 满足不等式组????
?x +3y -3≥0,
2x -y -3≤0,x -my +1≥0
且
x +y 的最大值为9,则实数m =( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解:如图,令z =x +y ,则y =-x +z ,平移可知可行域只可能是△ABC ,且x +y 的最大值只在点C 处取得,
联立方程组?
????2x -y -3=0,
x -my =-1
得C ? ????3m +12m -1,52m -1(若m =12,则与2x -y -3=0平行,不可能),
(x +y )max =3m +12m -1+5
2m -1
=9,解得m =1.故选
C.
7.若点P (m ,3)到直线4x -3y +1=0的距离为4,且点P 在不等式2x +y <3表示的平面区域内,则m =.
解:由题意可得?????|4m -9+1|5=4,
2m +3<3,
解得m =-
3,故填-3.
8.若x ,y 满足????
?x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0, 且z =y -x 的最
小值为-4,则k 的值为________.
解:由所给条件知目标函数取最小值-4时,对应的直线为y =x -4,由x +y -2≥0且y ≥0知,
直线kx -y +2=0过点(4,0),∴k =-12.故填-1
2
.
9.变量x ,y 满足????
?x -4y +3≤0,
3x +5y -25≤0,x ≥1.
(1)假设z 1=4x -3y ,求z 1的最大值;
(2)设z 2=y
x
,求z 2的最小值;
(3)设z 3=x 2+y 2,求z 3的取值范围.
解:作出可行域如图中阴影部分,联立易得A ?
???1,22
5,B (1,1),C (5,2). (1)z 1=4x -3y ?y =43x -z 13,易知平移y =4
3
x 至
过点C 时,z 1最大,且最大值为4×5-3×2=14.
(2)z 2=y
x
表示可行域内的点与原点连线的斜率
大小,显然直线OC 斜率最小.故z 2的最小值为2
5
.
(3)z 3=x 2+y 2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB 2<OA 2<OC 2=29.故z 3∈[2,29].
10.某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:
甲产品 (每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额
(
每天) 煤(t ) 9 4 360 电(k w ·h ) 4 5 200 劳力(个) 3 10 300 利润(万元)
6
12
问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?
解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨,获得利润z 万元.依题意可得约束条件?????9x +4y ≤360,
4x +5y ≤200,
3x +10y ≤300,x ≥
0,y ≥0.
利润目标函数z =6x +12y.
如图,作出可行域,作直线l :6x +12y =0,把直线l 向右上方平移至l 1位置,直线经过可行域上的点M ,且与原点距离最大,此时z =6x +12y 取最
大值.解方程组?
????3x +10y =300,
4x +5y =200得M (20,24).所以
生产甲种产品20t ,乙种产品24t ,才能使此工厂获得最大利润.
11.若关于x 的实系数方程x 2+ax +b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,3)内,记点(a ,b )对应的区域为S.
(1)设z =2a -b ,求z 的取值范围;
(2)过点(-5,1)的一束光线,射到x 轴被反射后经过区域S ,求反射光线所在直线l 经过区域S 内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线l 的方程.
解:(1)方程x 2+ax +b =0的两根分别在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是:函数y =f (x )=x 2+ax +b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内,由此可得不等式组
?????f (0)>0,f (1)<0,f (3)>0 即????
?b >0,
a +
b +1<0,3a +b +9>0,
则在坐标平
面aOb 内,点(a ,b )对应的区域S 如图阴影部分所示,
易得图中A ,B ,C 三点的坐标分别为(-4,3),(-3,0),(-1,0).
(1)令z =2a -b ,则直线b =2a -z 经过点A 时,z 取得最小值,经过点C 时,z 取得最大值,即z min =-11,z max =-2,又A ,B ,C 三点不在可行域内,所以-11<z <-2.
(2)过点(-5,1)的光线经x 轴反射后的光线所在直线必过点(-5,-1),由图可知,区域S 内满足条件的整点为(-3,1),所以所求直线l 的方程为:
y +1=1-(-1)
-3-(-5)
·(x +5),即y =x +4.
(2014·浙江)当实数x ,y 满足
????
?x +2y -4≤0,
x -y -1≤0,x ≥1
时,1≤ax +y ≤4恒成立,则实数a 的取值范围是________.
解:作出可行域为一三角形,且易求出三个顶
点坐标分别为(1,0),???
?1,3
2,(2,1), 都代入1≤ax +y ≤4得?????1≤a ≤4,
1≤a +3
2≤4,1≤2a +1≤4.
解不等式组可得1≤a ≤3
2
.故填????1,32.
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法(即代入法) 二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; 数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; 元二次方程,求得一个未知数的值; 的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。
程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组,所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解。 析:例1.解方程组 观察这个方程组,不难发现,此方程组除可用代入法解外,还可用根与系数的关系,通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2),整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3),得y1=6. 把x2=6代入(3),得y2=2. 所以原方程组的解是。
.. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题(有答案) 1.(2012?德州)已知 ,则a+b 等于( ) A. 3 B C. 2 D. 1 2.(2012菏泽)已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解,则n m -2的算术平方根为( ) A .±2 B . 2 C .2 D . 4 3.(2012临沂)关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是( ) A .5 B .3 C .2 D .1 4.(2012?杭州)已知关于x ,y 的方程组 ,其中﹣3≤a ≤1,给出下列结论: ①是方程组的解; ②当a=﹣2时,x ,y 的值互为相反数; ③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解; ④若x ≤1,则1≤y ≤4. 其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .②③④ D .①③④ 5. (2012广东湛江) 请写出一个二元一次方程组 ,使它的解是. 6.(2012广东)若x ,y 为实数,且满足|x ﹣3|+ =0,则()2012的值是 1 .
7.(2012安顺)以方程组的解为坐标的点(x ,y )在第 象限. 8.(2012?连云港)方程组的解为 . 9.(2012?广州)解方程组 . 10.(2012广东)解方程组: . 11.(2012?黔东南州)解方程组. 12、(2012湖南常德)解方程组:???==+1-25y x y x 13. (2011湖南益阳,2,4分)二元一次方程21-=x y 有无数多个解,下列四组值中不是.. 该方程的解的是 A .0 12 x y =???=-?? B .11x y =??=? C .1 0x y =??=? D .11x y =-??=-? 14. (2011四川凉山州,3,4分)下列方程组中是二元一次方程组的是( ) A .12xy x y =??+=? B . 523 13x y y x -=???+=?? C . 20 135x z x y +=?? ? -=?? D .5723 z x y =???+=?? 15. (2011广东肇庆,4,3分)方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②
1. (10分)(株洲中考)某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核,规定如下:考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成,其中测试成绩占80%,平时成绩占20%,并且当综合评价得分大于或等于80分时,该生综合评价为A 等. (1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分,而综合评价得分为91分,则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分? (2)某同学测试成绩为70分,他的综合评价得分有可能达到A 等吗?为什么? (3)如果一个同学综合评价要达到A 等,他的测试成绩至少要多少分? 2. 潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A 、B 两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表: 说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等. (1)求A 、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备租20亩地用来种植A 、B 两类蔬菜,为了使总收入不低于63000 元,且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案. 3. 为了倡导绿色出行,某市政府2016年投资了320万元,首期建成120个公共自行车站 点,配置2500辆公共自行车,2017年又投资了104万元新建了40个公共自行车站点,配置800辆公共自行车. (1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元? (2)若到2020年该市政府将再建造m 个新公共自行车站点和配置(2400)m 辆公共自 行车,并且公共自行车数量不超过新公共自行车站点数量的23倍,并且再建造的新公共自行车站点不超过102个,市政府共有几种选择方案,哪种方案市政府投入的资金最少?(注:从2016年起至2020年,每个站点的造价和公共自行车的单价每年都保持不变) 4. (9分)为表彰学习进步的同学,某班生活委员到文具店买文具作为奖品.如果买4个 笔记本和2支钢笔,则需86元;如果买3个笔记本和1支钢笔,则需57元.
一、问题引入 问题一:如图,已知一个矩形的宽为3,周长为24,求矩形的长。如果我们设长为x ,则可 列方程为:x +3=12 ;如果把问题中矩形的宽改为y ,则可得到什么样的等量关系! 解:x +y =12 问题二:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何? 解:如果设鸡有x 只,兔有y 只,则可列方程为: x +y =35 2x +4y =94 1.二元一次方程的概念:含有两个未知数,且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中,哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素: ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 (与分式区分开来) 想一想:二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别? ①二元一次方程的解是成对出现的; ②二元一次方程的解有无数个; ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程,求m 、n 的值. 分析: 变式: 方程 是二元一次方程,试求a 的值. 注意: ①含未知项的次数为1; ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解法,即解二元一次方程的方法;今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程3x+2y=10,哪些能使方程两边的值相等? (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3 x y y z +=?? +=?,5(2)6x y xy +=?? =?, 7(3)6 a b b -=??=?, 2(4)13x y x y +=-???-=??,52(5)122 y x x y =-?? ?+=??,25(6)312 x y -=?? +=?,213257m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=
如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方,
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。
(专题精选)初中数学方程与不等式之二元一次方程组经典测试题含解析 一、选择题 1.对于实数a 、b 定义运算“※”:22 () () a a b a b a b ab b a b ?-≥=?-※,例如2424428=-?=※,若x ,y 是方程组3 3814 x y x y -=??-=?的解,则y ※x 等于( ) A .3 B .3- C .1- D .6- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据方程组解出x 和y 的值,代入新定义计算即可得出答案. 【详解】 解:∵3 3814x y x y -=?? -=? ∴21x y =??=-? 所以()()2 y x=-12=-12-2=-2-4=-6?※※. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的解法,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则,本题属于基础题型. 2.若关于x , y 的方程组2{ x y m x my n -=+=的解是2 { 1 x y ==,则m n -为( ) A .1 B .3 C .5 D .2 【答案】D 【解析】 解:根据方程组解的定义,把21x y =??=?代入方程,得:412m m n -=??+=?,解得:3 5m n =??=? .那么|m -n |=2.故选D . 点睛:此题主要考查了二元一次方程组解的定义,以及解二元一次方程组的基本方法. 3.甲乙两人同解方程 2{78ax by cx y +=-= 时,甲正确解得 3 {2x y ==- ,乙因为抄错c 而得 2{2 x y =-= ,则a+b+c 的值是( )
一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax>b(a≠0)的形式. 当a>0时,解集为;当a<0时,解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解: (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f(x) g(x) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f(x) g(x) >0?f(x)g(x)>0; f(x) g(x) <0 ?f(x)g(x)<0; f(x) g(x) ≥0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≥0, g(x)≠0; f(x) g(x) ≤0 ? ?? ? ??f(x)g(x)≤0, g(x)≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)
解:∵A ={x |x ≥3或x ≤-1},B ={x |-2≤x <2},∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}=[-2,-1].故选A . 设f (x )=x 2 +bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1,x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解:f (-1)=1-b +1=2-b ,f (3)=9+3b +1=10+3b , 由f (-1)=f (3),得2-b =10+3b , 解出b =-2,代入原函数,f (x )>0即x 2 -2x +1>0,x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知-12<1 x <2,则x 的取值围是( ) A.-2
第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.(2014·长春调研)已知集合P ={x |x 2-x -2≤0},Q ={x |log 2(x -1)≤1},则(?R P )∩Q =________. 解析 依题意,得P ={x |-1≤x ≤2},Q ={x |1<x ≤3},则(?R P )∩Q =(2,3]. 答案 (2,3] 2.(2014·沈阳质检)不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________. 解析 不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,只需Δ=a 2-16>0,∴a <-4或a >4. 答案 (-∞,-4)∪(4,+∞) 3.(2013·南通二模)已知f (x )=????? x 2 ,x ≥0,-x 2+3x ,x <0, 则不等式f (x ) §3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 董燕 【教学目标】 1.知识与技能:了解二元一次不等式(组)的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)来表示的平面区域. 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新。 【教学重点】 从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),会画二元一次不等式 (组)表示的平面区域。 【教学难点】 如何确定不等式0( Ax By C ++>或<0)表示0 Ax By C ++=的哪一侧区域. 【教学过程】 一.创设情境,引出问题 在现实生活中,许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系,也有各种不同的不等关系,这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法,本节课我们将学习另一种新的不等关系,即二元一次不等式(组)及它的解集。(板书课题) 现看一个实际例子: 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款,希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%,那么,信贷部应该如何分配资金? 问题1:如果你是信贷部的主管,你该如何分配资金? 教师引导,问题分解:1.题目中存在不等关系,该用什么模型刻画资金的分配问题? 2.把题目中的不等关系表示出来,你打算从哪里入手? 3.如何将文字语言转化为数学语言,列出不等式? 把实际问题 转化数学问题: 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元。(把文字语言 转化符号语言) (资金总数为25 000 000元)?25000000 x y +≤ (1)(预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%,共创收30 000元以上)?(12%)x+(10%)y30000 ≥即12103000000 x y +≥ (2)(用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值)?0,0 x y ≥≥ (3)将(1)(2)(3)合在一起,得到分配资金应满足的条件: 25000000 12103000000 0,0 x y x y x y +≤ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? 二.新课解读 (一).二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2:你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗? 教师引导,类比于一元一次不等式(组)和二元一次不等式(组)的定义。 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (二).二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1.二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对(x,y)构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。 2. 二元一次不等式组的解集:是每个二元一次不等式解集的交集。 (三)二元一次不等式(组)解集的表示方法: 1.回忆:在数轴上一元一次不等式(组)的解集怎么表示呢? 是数轴上的区间。 2.探究: 问题3:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? 教师引导:有序数对(x,y)可以看作平面直角坐标系内的点,而二元一次不等式的解集有点的坐标构成,这些点又构成什么图形呢? 二元一次方程(组)与一元一次不等式(组)的应用 【相遇追及问题】 1.甲乙两地相距160km,一辆汽车和一辆拖拉机同时两地相向而行.1小时20分钟后相遇;相 遇后.拖拉机继续前行.汽车在相遇处停留1小时后调转车头按原路返回.汽车再次出发1小时后追上了拖拉机.这时.汽车拖拉机各自走了多少千米? 2.甲、乙二人同时绕400m的环形跑道行走.如果他们同时从同一起点背向而行.2分30秒后 首次相遇;如果他们同时由同一地点同向而行.甲12分30秒后超过乙一圈.甲、乙两人每分钟各走多少米? 3.甲、乙二人相距6km.二人同向而行.甲3小时可追上乙;相向而行.1小时相遇。二人的平 均速度各是多少? 4.A、B两地间的路程为360千米.甲车从A地出发开往B地.每小时72千米.甲车出发25分 钟后.乙车从B地出发开往A地.每小时行驶48千米.乙车出发多少小时后两车相遇? 14.甲、乙二人在上午8时.自A、B两地同时相向而行.上午10时相距36km.?二人继续前 行.到12时又相距36km.已知甲每小时比乙多走2km.求A.B两地的距离. 15.某铁桥长1000米.有一列火车从桥上通过.测得火车开始上桥到完全过桥用1分钟.整列 火车完全在桥上时间为40秒.求火车的速度和车长各是多少? 16.一个两位数.十位数字与个位数字之和为8.若十位数字与个位数字对调后.所得新两位 数比原两位数小36.求原两位数. 17.张先生是集邮爱好者.他带一定数量的钱到邮市上去购买邮票.发现两种较为喜欢的纪念 邮票.面值分别为10元和6元。 (1)经盘算发现所带的钱全部用来买面值为10远的邮票.钱数正好不多不少。若全部钱数用来购买面值为6元的邮票可以多买6张.但余下4元.你知道张先生带了多少钱? (2)若张先生所带的钱全部购进这两种邮票.有多少种购买方案? (3)经估测.这两种邮票都会升值.其中面值为10元的可以上涨100%.面值为6元的邮票会上涨150%.张先生决定把集邮当成一种投资.准备2000元全部投入.请设计最大盈利购 邮方案.并作说明。 【不等式相关】 5.四川5·12大地震中.一批灾民要住进“过渡安置”房.如果每个房间住3人.则多8人.如 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤,能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式? 【解】一元二次不等式的一般式是: ax2+bx+c(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中,严格要求a>0,这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一,当a1<0时,将不等式乘-1就化成了“a>0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么? 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是:设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表: 【评注】 1.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根)。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是: 1.化为一般式ax2+bx+c>0 (a>0)或ax2+bx+c<0 (a>0)。这步可简记为“使a>0”。 2.计算△=b2-4ac,判别与求根:解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0时求出根。 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课标要求与教材分析: 1.课标要求: ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 2.教材分析: 本单元包含两节,3.3.1主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集,3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。其中 3.3.1是解决二元线性规划问题的基础,应作为本单元的重点要求所有学生掌握。 学情分析: 在初中,学生已学过一元一次不等式组的的解法,学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想,能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题,这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。 在必修2中,学生已学习了直线方程的有关知识,多数学生能画出二元一次方程表示的直线,这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集,也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。 教案目标: 1..知识与技能目标: 了解二元一次不等式(组)、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 2.过程与方法目标: 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程,体会类比的思想,数学建模的思想。 3.情感态度与价值观目标: 通过解决线性规划实际问题,使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用,增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程,培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 教案目标: 1.知识与技能目标: 了解二元一次不等式(组)、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。 2.过程与方法目标: 经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程,体会类比的思想、数学建模的思想。 3.情感态度与价值观目标: 通过探索二元一次不等式解集的过程,培养学生的探索方法与精神。 教案重点与难点: 重点:求二元一次不等式表示的平面区域。 难点:理解二元一次不等式解集的几何表示。 教案方法与手段: 一对一辅导教案 学生姓名性别年级初三学科数学 授课教师上课时间课时: 3 课时 教学课题初一数学(下册)基础知识点梳理,重难点巩固。 通过对初中基础知识的梳理与回顾,打牢数学的基础,为学习高中数学做好前提。 教学目标掌握相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组。 教学重点 与难点 二元一次方程组;不等式与不等式组。 第五章相交线与平行线 一、知识概念 1.邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角: 同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角:∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角:∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题:判断一件事情的语句叫命题。 7.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。 8.对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质 对顶角的性质:对顶角相等。 10垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 11.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质: 性质1:两直线平行,同位角相等。 性质2:两直线平行,内错角相等。 性质3:两直线平行,同旁内角互补。 13.平行线的判定: 判定1:同位角相等,两直线平行。 判定2:内错角相等,两直线平行。 判定3:同旁内角相等,两直线平行。 . .. . . 一、问题引入 问题一:如图,已知一个矩形的宽为3,周长为24,求矩形的长。如果我们设长为x ,则可 列方程为:x +3=12 ;如果把问题中矩形的宽改为y ,则可得到什么样的等量关系! 解:x +y =12 问题二:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何? 解:如果设鸡有x 只,兔有y 只,则可列方程为: x +y =35 2x +4y =94 1.二元一次方程的概念:含有两个未知数,且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。 例1.下列方程组中,哪些是二元一次方程组_______________ 判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素: ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程 (与分式区分开来) 想一想:二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别? ①二元一次方程的解是成对出现的; ②二元一次方程的解有无数个; ③一元一次方程的解只有一个。 例2 若方程 是二元一次方程,求m 、n 的值. 分析: 变式: 方程 是二元一次方程,试求a 的值. 注意: ①含未知项的次数为1; ②含有未知项的系数不能为0 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组的解法,即解二元一次方程的方法;今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。 2、把下列各对数代入二元一次方程3x+2y=10,哪些能使方程两边的值相等? (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是 2(1)3x y y z +=?? +=?,5(2)6 x y xy +=?? =?, 7(3)6 a b b -=??=?, 2(4)13x y x y +=-???-=??,52(5)122 y x x y =-?? ?+=??,25(6)312 x y -=?? +=?,2132 57m n x y --+=211 321 m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-= 一.选择题(每题3分共30分) 1.x 与3的和的一半是负数,用不等式表示为( ) A. B. C. D. 2.已知a <b ,则下列不等式中不正确的是( ) A. 4a <4b B. -a +4>-b +4 C. -4a <-4b D. a -4<b -4 3.如果y x k 4 172=-是二元一次方程,那么k 的值是( ) A 、2 B 、3 C 、1 D 、0 4.已知x y ,的值:①22x y =??=?,;②32x y =??=?,;③32x y =-??=-?,;④66x y =??=? ,.其中, 是二元一次方程24x y -=的解的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 5. 下图所表示的不等式组的解集为( ) -2 A 、3>x B 、32<<-x C 、 2->x D 、32>>-x 6. 已知 和 都满足方程y =kx -b ,则k 、b 的值分别为( ) A. -5,-7 B. -5,-5 C.5,3 D.5,7 7.若3243y x b a +与b a y x -634是同类项,则b a +的值为( ) A 、-3 B 、0 C 、3 D 、6 8.关于x 的方程a x 4125=+的解都是负数,则x 的取值范围是( ) A 、3a D、3->a 9.某商品原价800元,出售时,标价为1200元,要保持利润率不低于5%,则至多可打( ) A、6折 B、7折 C、8折 D、9折 10.已知关于x 的不等式组?? ???<->>a x x x 12 无解,则a 的取值范围是( ) A 、1-≤a B 、2≤a C 、21<<-a D 、1-a 12x y =??=?23x y =??=-?1302x +>1302x +<1(3)02x +>1(3)02 x +<练习题 二元一次方程的解法 二元一次方程的解法:认识二元一次方程组的有关概念,会把一些简单的实际问题中的数量关系,用二元一次方程组的形式表示出来,学会用含有其中一个未知数的代数式表示另一个的方法。下面小编整理了二元一次方程的解法,供大家参考。 代入消元 (1)概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法. (2)代入法解二元一次方程组的步骤。 ①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数; ②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的.); ③解这个一元一次方程,求出未知数的值; ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值; ⑤用{联立两个未知数的值,就是方程组的解; ⑥最后检验(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边). 例题: {x-y=3① {3x-8y=4② 由①得x=y+3③ ③代入②得 3(y+3)-8y=4 y=1 把y=1带入③ 得x=4 则:这个二元一次方程组的解 {x=4 {y=1 加减消元 (1)概念:当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.[5] (2)加减法解二元一次方程组的步骤 ①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化 二元一次方程组和不等式组测试题 1.已知关于x 的不等式组?? ???<->>a x x x 12 无解,则a 的取值范围是( ) A 、1-≤a B 、2≤a C 、21<<-a D 、1-a 2.已知方程组???=+=+15 231032y x y x ,不解方程组则=+y x 3.已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<,则=a 4.已知关于x 的不等式组???--≥-1 230 x a x 的整数解有5个,则a 的取值范围是_____ 5.某商场计划在一月份销售彩电1000台,据统计本月前10天平均每天销售32台.现商场决定开展促某商.。…….销活动,并追加月计划量的20%,则这个商场本月后20天至少平均每天销售多少台? 6.风景点门票是每人10元,20人以上(含20人)的团体八折优惠.现有18位游客买20人的团体票; (1)问这样比普通票总共便宜多少钱? (2)此外,不足20人时,需多少人以上买20人的团体票才比普通票便宜? 7.车站有有待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,原计划用50节A ,B 两种型号的车厢将这批货物运至北京,已知每节A 型货箱的运费为0.5万元,每节B 型货箱的运费为0.8万元,甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货箱,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货箱,按此要求安排B A ,两种货箱的节数,共有哪几种方案?请你设计出来,并说明哪种方案的运费最少? 8.某园林的门票每张10元,一次使用.考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年),年票分A ,B ,C 三类:A 类年票每张120元,持票者进入园林时,无需再购买门票;B 类年票每张60元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次2元;C 类年票每张40元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次3元. (1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式; (2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A 类年票比较合算. 10.解不等式6 52123--≤-x x 并把解集在数轴上表示出来 11.?????-<-≤--x x x x 14 214)23( 12. 求不等式组?????>--≤--41)3(28)3(2x x x x 的整数解 13.若不等式7)1(68)2(5+-<+-x x 的最小整数解是方程32=-ax x 的解,求a a 144-的值 14. 有大小两种货车,3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨,两辆大车与3辆小车一次可运15.5吨,求5辆大车和6辆小车一次可运货多少吨? 1.由方程组? ??=+-=+-04320 32z y x z y x ,可得x :y :z=_________.。 2.若代数式c bx ax -+2 无论x 取什么,它的值都为10,则2a +b +c = 。 3.当m_______时,方程组??? ? ?=+=-2 1132my x y x 有一组解。 4.一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍,这条船在静水中的航速与河 水的流速之比为( ). A 、3:1 B 、2:1 C 、1:1 D 、5:2 5.(2009年烟台市)如果不等式组2 223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值 为 . 6.(2009年厦门市)已知2ab =.(1)若3-≤b ≤1-,则a 的取值范围是____________.-2,且225a b +=,则a b +=____________. 7. (2009武汉).如图,直线y kx b =+经过(21)A ,,(12)B --,两点,则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 . 8.(2009烟台)如果不等式组2 223 x a x b ?+???-≥的解集是01x <≤,那么a b +的值 为 . 9.(2009年凉山州)若不等式组2 20 x a b x ->??->?的解集是11x -<<,则 2009()a b += . 10.(2009年湖南长沙)已知关于x 的不等式组0521x a x -??->?≥, 只有四个整数解,则 实数a 的取值范围是 . 11. (2009年烟台市)如图,直线y kx b =+经过点(12)A --,和点(20)B -,,直线 2y x =过点A ,则不等式20x kx b <+<的解集为( ) A .2x <- B .21x -<<- C .20x -<< D .10x -<< 12.(2009湖北省荆门市)若不等式组0, 122 x a x x +?? ->-?≥有解,则a 的取值范围是( ) A .1a >- B .1a -≥ C .1a ≤ D .1a < 13 (2009年益阳市)已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是 14.(2010江苏南通) 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数,则 m 的取值范围是 A .m ≥2 B .m ≤2 C .m >2 D .m <2 15.(2010台湾)有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克,且图(三)是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形。判断 圖(三) B . D . A . C .二元一次不等式(组)和平面区域讲课教案
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二元一次方程及其解法
不等式与二元一次方程组综合试题
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