专题五 平面解析几何(2)

第二讲 圆锥曲线的方程

★★★聚焦高考

命题要点：（1）圆锥曲线的定义；（2）圆锥曲线的标准方程的求法；（3）圆锥曲线的简单几何性质的运用。

命题趋势：（1）圆锥曲线的定义（特别是比值定义）提示了圆锥曲线的本质特征，在解决圆锥曲线的有关问题时，要注意联系定义的使用，有时会简化计算。（2）用待定系数法求圆锥曲线的标准方程是首选方法，同时也要注意解析法、定义法或相关点法等方法的运用。（3）圆锥曲线的简单几何性质，特别是离心率，焦半径等知识是解决范围问题、定值问题、最值问题等问题的基础，同时要注意数形结合的数学思想的运用。

★★★考点整合

1．椭圆的定义：

（1）第一定义：椭圆是平面上到两定点21F F 、距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹，定点21F F 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

（2）第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:2

a

x c

=

的距离之比等于常数e ＝

c a

(a ＞c ＞0)的点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，焦准距(焦参数)p ＝2

b

c

2．椭圆的标准方程

当焦点在x 轴上时，标准方程是

2

2a x +

2

2b y =1(a ＞b ＞0)，焦点坐标是)0()0(21，、，

c F c F -； 当焦点在y 轴上时，标准方程是2

2a

y +

2

2b

x =1(a ＞b ＞0)，焦点坐标是)0()0(21c F c F ，、，

-

a 、

b 、

c 三者的关系满足222c a b -=即2

22c b a += 3.椭圆的简单几何性质 （1）椭圆

2

2a

x +

2

2b

y =1(a ＞b ＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里，即｜

x ｜≤a ，｜y ｜≤b.

（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.

（3）顶点：椭圆与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，b),B 2(0,-b) （4）离心率：e=a

c ,(o ＜e ＜1),e 越接近于1，则椭圆越扁；e 越接近于0，椭圆就越接近

于圆.

（5）椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e ＜1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线. （6）椭圆的焦半径公式：设P(x 0,y 0)是椭圆

2

2a

x +

2

2b

y =1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2分别

是椭圆的左、右焦点，则｜PF 1｜=a+ex 0,｜PF 2｜=a-ex 0 4.双曲线的定义

(1)第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.

（2）第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:2

a

x c

=

的距离之比等于常数e ＝

c a

(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝

2

b

c

，与椭圆相同.

5.双曲线的标准方程 （1）方程

2

2a

x -

2

2b

y =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线；

(2)方程

22a

y -

2

2b

x =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线；

其中a 、b 、c 三者的关系满足c 2＝a 2+b 2

6.双曲线

2

2a

x -

2

2b

y =1(a ＞0，b ＞0)的简单几何性质

(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝b x a

±，或令双曲线标准方程中的1为零即得渐近

线方程. (5)离心率e ＝

c a

＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2

(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.

7.双曲线的焦半径公式：

设双曲线方程为

2

2a

x -

2

2b

y =1(a ＞0，b ＞0)，F 1(-c,0)、F 2(c,0))焦点，则点P(x 0,y 0)在双曲线的

右支上时，｜PF 1｜＝ex 0+a,｜PF 2｜＝ex 0-a; P 在左支上时，｜PF 1｜=-(ex 0+a),｜PF 2｜＝-(ex 0-a).

8.抛物线的定义：

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线，F 是焦点，l 为准线. 圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e ＞1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线. 9.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程 抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：

注：抛物线的标准方程中一次项变量及它的系数的符号决定抛物线的开口方向，其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的

14

.

★★★典例剖析

【例1】(1)（06年四川）把椭圆

116

252

2

=+

y

x

的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴

的垂线交椭圆的上半部分于721,,,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则

++||||21F P F P =+||7F P ___________．

解析：原式35|||)||(||)||(||)||(|4536271=++++++=F P F P F P F P F P F P F P ． （2）(08年浙江) 已知F 1、F 2为椭圆

19

252

2

=+

y

x

的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、

B 两点．若12||||22=+B F A F ，则=||AB ____________

解析：由10||||21=+AF AF ，10||||21=+BF BF ，相加得8||2012||=?=+AB AB ． （3）已知双曲线的方程为12

22

2=-

b

y

a x

，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双

曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为左焦点，则1ABF ?的周长为_________________

解析：由a AF BF AF BF a AF AF 4|)||(|||||2||||221121=+-+?=-，

即 m a AF BF +=+4||||11， 所以1ABF ?的周长为m a 24+． （4）双曲线

1

16

9

2

2

=-

y

x

的两个焦点为21F F ，点P 在双

曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为___________________

解析： 设n PF m PF ==||||21，且由双曲线的对称性

不妨设点P 在第一象限，则m ―n=2a ―6 ①，

10042

2

2

=-+c

n m ②，

②－①

2

得2mn=64，∵mn=32，作PQ ⊥x 轴于Q ，则在21F PF Rt ?中，

5

1610

32||2

1===F F mn PQ ，即点P 到x 轴的距离为

5

16

〔方法提炼〕

圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的重要方法，我们随时要注意定义的使用，有时会显得简单明了。

【例2】根据下列条件，求双曲线方程。 （1）与双曲线116y

9x

2

2

=-

有共同渐近线，且过点（-3，32）；

（2）与双曲线

14

y

16

x

2

2

=-

有公共焦点，且过点（2

3，2）。

解析：（1）设双曲线方程为

λ

=-

16

y

9

x

2

2

（λ≠0）

∴

λ

=-

-16

)32(9

)3(2

2

∴ 4

1=

λ∴ 双曲线方程为

14

y

4

9x

2

2

=-

（2）设双曲线方程为

1k 4y

k

16x

2

2

=+-

-????

??>+>-0k 40k 16 ∴

1k

42

k

16)

23(2

2

=+-

-，解之得：k=4∴ 双曲线方程为

18

y

12

x

2

2

=-

〔方法提炼〕

与双曲线

1b

y a

x 2

22

2=-

共渐近线的双曲线方程为

λ=-

2

222b

y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x

轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。与双曲线

1b

y a

x 2

22

2=-

共焦点的双曲线为

1

k

b

y k

a

x 2

2

2

2

=--

+（a 2+k>0，b 2-k>0）。引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何

意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。

【例3】（1）已知圆A ：100)3(22=++y x ，圆A 内一定点)0,3(B ，动圆P 过B 点，且

与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．

解析：设动圆P 的半径为r ，∵圆P 与圆A 内切，∴两圆心距 ||1010||PB r PA -=-=，

即 10||||=+PB PA )6||(=>AB ，∴ 圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， ∵ 5=a ，3=c ， ∴ 162

=b ， 所求轨迹方程为

116

25

2

2

=+

y

x

．

（2）已知定点)0,3(A 和定圆C ：16)3(2

2

=++y

x ，动圆和圆

C 相外切，并且过点A ，

求动圆圆心P 的轨迹方程．

解析：∵ 4||||+=PA PC , ∴ ||64||||AC PA PC =<=-，即点P 的轨迹是以C 、

A 为焦点， 实轴长为4的双曲线的右支，又 2=a ，53222=-=?=a c b c ，

∴ 点P 的轨迹方程是

15

4

2

2

=-

y

x

)0(>x ．

【例4】（1）已知21,F F 为椭圆

12

22

2=+

b

y

a x

)0(>>b a 的焦点，点A 为椭圆上任一点，

过F 2作21AF F ∠的外角平分线的垂线，求垂足P 的轨迹方程．

解析：延长F 2P 交F 1A 的延长线于Q ，易知||||2PQ P F =，则OP 是三角形的中位线，

∴ ||2

1||1Q F PO =

a a AF AF AQ A F =?=

+=

+=

22

1|)||(|2

1|)||(|2

1211，

故所求轨迹方程为 222a y x =+．

（2）从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ．求线段QN 的中

点P 的轨迹方程．

解析：设),(y x P ，),(11y x Q ，则)2,2(11y y x x N --，∵ 点N 在直线2=+y x 上，

∴ 22211=-+-y y x x ，又∵ PQ 垂直直线2=+y x ，∴ 11

1

=--x x y y ，解得

???

???

?-+=-+=1

23211

212311y x y y x x ，∵),(11y x Q 在双曲线122=-y x 上，代入即得P 的轨迹方程为01222222=-+--y x y x ． 〔方法提炼〕

当已知轨迹形状时求轨迹方程经常使用“待定系数”法，当未知轨迹形状求轨迹方程时，通常使用“解析法”、“定义法”、“代入法”、“参数方程”等方法。

【例5】(1) (08年辽宁) 已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点)2,0(的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

A ．

2

17 B ．3 C ．5 D ．2

9

解析：由定义转化成到点)2,0(A 和焦点)0,2

1

(F 距离之和的最小值，为=

||AF 2

17．

(2) 已知点)2,1(A ，)0,2(F ，P 在椭圆112

16

2

2

=+

y

x

上使||2||PF PA +最小，则P

的坐标是__________

解析：)0,2(F 为右焦点，离心率2

1=

e ，由第二定义知，||22

1||PF d d PF =?=

，易

知当⊥AP 准线时取最小值，将2=y 代入椭圆方程得3

64=x ，∴)2,3

64(

P ．

(3)已知双曲线116

9

2

2

=-

y

x

的左焦点为1F ，点)2,9(A 不在曲线上，在双曲线上有一点M ，

使||5

3||1MF MA +

的值最小，则

M 点的坐标是______________．

解析：设M 点到左准线的距离为d ，则有

d MF

e d

MF =?

=

=||5

335||11，∴

||5

3||1MF MA +

d MA +=||，易知当

MA 平行于x 轴时，取最小值，将2=y 代入双曲

线

116

9

2

2

=-

y

x

，解得2

53=

x ，∴)2,2

53(

M ．

〔方法提炼〕

圆锥曲线的第二定义是解决有关最值或定值问题的最要方法，要注意转化的数学思想的运用。

【例6】（1）（10年重庆）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A 、B 满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准线的距离为 ．

解析：设),(11y x A ，),(22y x B ，

易知)0,1(F ，由FB AF 3=得 ),1(3),1(2211y x y x -=--，即有433312121=+?-=-x x x x ，21222121993x x y y y y =?=?=-，解得

31=x ，3

12=

x ，由焦点弦长公式知，所求距离即为

3

82

2

||2

121=

++=

x x AB ．

（2）若椭圆)1(12

2

>=+m y

m

x

和双曲线)0(12

2

>=-n y

n x

有相同的焦点F 1、F 2，P

是椭圆与双曲线的一个交点，则21F PF ?面积的最大值为 （ ）

A ．1

B ．

2

1

C ．2

D ．4

解析：∵ 11+=-n m ， ∴ 2=-n m ，

又m PF PF 2||||21=+， n PF PF 2||||21=-，

平方相减得8)(4||||421=-=?n m PF PF ， 即2||||21=?PF PF 为定值， ∴ααsin sin ||||2

121=?=

?PF PF S ， 当

90=α 时，21F PF ?的面积取最大值1．

〔方法提炼〕

在圆锥曲线的有关计算题，要注意“整体处理”、“设而不求”等思想方法的运用，从而简化运算量，达到化繁为简的目的。

【例7】椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (I) 求椭圆的方程及离心率；

(II)若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；

解析：(I)由题意，可设椭圆的方程为12

2

2

2=+

y

a

x （a ＞2）， 由已知得

2222,2().a c a

c c c ?-=?

?=-??

解得

2.a c ==

所以椭圆的方程为

2

2

16

2

x

y

+

=

，离心率3

e =

(II) 由(I)可得(3,0).A 设直线PQ 的方程为(3).y k x =-由方程组

22

162

(3)x y

y k x ?+=???=-?

得 222

2

(31)182760.

k x k x k +-+-

= 依题意 212(23)0,k ?=->得

3

3

k -

<<

设1122(,),(,),P x y Q x y 则2

122

18,31

k

x x k +=

+ ① 2

122

276..31

k x x k -=

+ ②

由直线PQ 的方程得 1122

(3),(3).y k x y k x =-=-于是 22

12121212(3)(3)[3()9].y y k x x k x x x x =--=-++ ③

1212.0,0.OP OQ x x y y =∴+=

④

由①②③④得251,k =

从而(5

3

3

k =±

-

所以直线PQ

的方程为30x --=

或30.x +-=

〔方法提炼〕

利用向量引进条件，体现了新课程、新教材的要求，新内容与传统内容的联系，这是高考新课程卷的创新题型和发展趋势。平面向量的知识与解析几何的知识得到了很好的结合，是一个典型的考查综合能力的试题。

★★★实战演练

1．(08年北京) 若点P 到直线1-=x 的距离比它到点)0,2(的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线 解析：问题转化为点P 到直线2-=x 的距离与它到点)0,2(的距离相等，由定义知选D 2．(08年天津) 设椭圆

)1(11

22

2

2

>=-+m m y

m x

上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为（ ）

A ．6

B ．2

C ．2

1 D ．

7

72

解析：由第一定义知长轴长为4，椭圆为

13

4

2

2

=+

y

x

，离心率2

1=e ， 由第二定义

22

11=?=d d ．选B

3．(08年山东) 设椭圆C 1的离心率为13

5，焦点在x 轴上，且长轴长为26．若曲线C 2上的

点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 （ ）

A ．

13

4

2

22

2=-

y x B ．

15

13

2

22

2=-

y x C ．

14

3

2

22

2=-

y x D ．

112

13

2

22

2=-

y x

解析：易知C 2是以)0,5(),0,5(21F F -为焦点，实轴长为8的双曲线，选A ． 4．(06年全国)已知ABC ?的顶点B 、C 在椭圆

13

2

2

=+y

x

上，

顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ?的周长是 （ ）

A ．23

B ．6

C ．43

D ．12 解析：由椭圆定义知ABC ?的周长等于344=a ．选C 5．(08年重庆) 已知双曲线)0,0(12

22

2>>=-

b a b

y a

x 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离

心率k e 5=

，则双曲线方程为 （ ）

A ．

142

22

2=-

a

y

a

x B ．

152

22

2=-

a

y

a

x C ．

142

22

2=-

b

y b

x

D ．

152

22

2=-

b

y b

x

解析：∵ 2

2

22

45555b b

c a b c a

b

a

c a

b k e =-=?=?=

?

?==，∴ 选C ．

6．(08年宁夏、海南) 已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 （ ）

A ．)1,41

(- B ．)1,4

1

( C ． )2,1( D ．)2,1(-

解析：易知当PQ 平行x 轴时取得最小值，选A ． 7．已知点P 是抛物线2

2

1x y =

上的动点，点

P 在直线1-=y 上的射影是M ，定点)2

7

,4(A ，

则||||PM PA +的最小值是 （ ） A ．

2

9 B ．5 C ．

2

11 D ．6

解析：焦点为)2

1,0(F ，由定义知，A 、P 、F 共线时取最小值2

1121521||=+

=+

AF ，

选C ．

8．(07年宁夏)已知抛物线)0(22

>=p px y 的焦点为F ，点),(111y x P 、),(222y x P 、),(333y x P 在抛物线上，且3122x x x +=，则有（ ）

A ．||||||321FP FP FP =+

B ．2

32221||||||FP FP FP =+

C ．||||||2312FP FP FP +=

D ．||||||312

2FP FP FP ?=

解析：∵ 2

2

)2

(2312p x p x p x +

++

=+

， ∴ ||||||2312FP FP FP +=，选C ．

9．(07年四川)如果双曲线

2

2

14

2

x

y

-

=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么P 到y

轴的距离是（ ）

A ．

3

64 B ．

3

62 C ．62 D ．32

解析：2

6=e ，右准线6

4=

x ，由第二定义3

646826

264==

??=

-

P P x x ，

选A ．

10．(07年全国)设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若

=++FC FB FA 0，则||||||FC FB FA ++等于（ ）

A ．9

B ．6

C ．4

D ．3 解析：

∵3)0,0(),1(),1(),1(321332211=++?=-+-+-=++x x x y x y x y x FC FB FA ，

∴ 633111||||||321=+=+++++=++x x x FC FB FA ，选B ．

11．P 点在椭圆

13

42

2

=+

y

x

上运动，

点Q 、R 分别在圆1)1(2

2

=++y x 、1)1(2

2

=+-y

x

上运动，则||||PR PQ +的最大值是___________．

解析：∵ 两圆的圆心恰为椭圆的焦点)0,1(1-F 、)0,1(2F ，

42||||21==+a PF PF ， 定值，

∴ 624|)||(|max =+=+PR PQ ． 12．（07年辽宁）设椭圆

116

252

2

=+

y

x

上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦

点，若点M 满足)(2

1

OF OP OM +=，则=||OM ___________．

解析：由椭圆第二定义有61053

||=?=PF ，由椭圆定义有 4610||2=-=PF ， 易知M

是FP 的中点， ∴ 2||2

1

||2==PF OM ．

13．（10年重庆）已知过抛物线x y 42

=的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2||=AF ，

则=||BF ．

解析：因为焦半径2||=AF ，恰好等于焦准距，所以焦点弦AB 为抛物线的通径，=||BF 2．

14．(08年全国) 过抛物线)0(22

>=p py x 的焦点F 作倾斜角为

30的直线，与抛物线分

别交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧）．则

=|

|||FB AF ___________．

解析：∵ ||21||||||||||AB BC AM BN AF FB =

=-=-

|)||(|2

1FB AF +=,

∴ ?

=||3||AF FB 3

1|

|||=

FB AF ．

15.已知椭圆C 的焦点分别为F 1(-22,0)和F 2(22,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点。（1）求椭圆的方程；（2）求线段AB 的中点坐标。 解析： （1）设椭圆C 的方程为

2

2a

x +

2

2b

y =1，由题意知a=3,c=22，于是b=1。

∴椭圆C 的方程为

9

2

x

+y 2

=1。

（2）由?????=++=19

2

2

2y x x y 得10x 2

+36x+27=0

因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则x 1+x 2= -5

18,故线段AB 的中点坐标为(-

59,5

1)。

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意 直线．

（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有

第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修

第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范

围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0

高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》知识点总复习含解析

【最新】《平面解析几何》专题 一、选择题 1．若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP →→ g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ?u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根 据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】 设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则 22OP FP x x y ?=++u u u r u u u r ， 因为点P 为椭圆上，所以有：22143 x y +=即2 2334y x =-， 所以()2222 23132244 x x y x x x FP x OP =++=?++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为6 故选：C 【点睛】 本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题. 2．已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1 2 k > B ．16k <- 或1 2 k > C ．62k -<< D ．1162 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线

平面解析几何 经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）； 直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） （6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；

高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟] 1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程； (2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23 ＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0.5分 因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －124k 2＋3.6分 因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2 x 2－2 (x －2)， 令x ＝3，可得M ? ? ??? 3， y 1x 1－2，N ? ????3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标? ????3，12? ????y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12? ?? ??y 1 x 1－2＋y 2x 2－2－0 3－1 ＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4

平面解析几何初步(知识点 例题)

个性化简案 个性化教案（真题演练）

个性化教案

平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.

最新专题五平面解析几何

专题五平面解析几何

专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合

1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析

高中数学《平面解析几何》期末考知识点 一、选择题 1．已知椭圆22 1259 x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个 焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】 由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ． 2．已知椭圆2 2 :12 y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称， 则m 的取值范围是( ) A ．? ?? B ．? ?? C ．? ?? D ．? ?? 【答案】C 【解析】 【分析】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得 002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可. 【详解】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-. 又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211 12y x +=，2 2 2212 y x +=， 两式相减可得 1212 1212 2y y y y x x x x -+?=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ?∈ ?? . 故选：C 【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化

专题11 平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编)(原卷版)

专题11平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编) 1．【2018年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围． 2．【2018年安徽预赛】设O是坐标原点，双曲线C：上动点M处的切线，交C的两条渐近线于 A、B两点. ⑴求证：△AOB的面积S是定值； ⑵求△AOB的外心P的轨迹方程. 3．【2018年湖南预赛】已知抛物线的顶点，焦点，另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点，并求该点的坐标. 4．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作与Q.求证：. 5．【2018年湖北预赛】已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线 交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围. 6．【2018年甘肃预赛】已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值． 7．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA 与△OAB的面积分别记为，比较与3的大小，说明理由. 8．【2018年山东预赛】已知圆与曲线为曲 线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．9．【2018年天津预赛】如图，是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、A、B四点在同一个圆上. 10．【2018年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

平面解析几何高考专题复习

第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2. 3．直线方程

1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况． 2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误． 3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B . [试一试] 1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－1 2 解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3 2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝ 1，即2m 2－3m －2＝0， 故m ＝2或m ＝－1 2 . 2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4 －2－m ＝1，∴m ＝1. 答案：1 3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4 3， 所以y ＝－4 3x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应

平面解析几何初步

平面几何初步 课程要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、 两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 考情分析 平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。 为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理 1 一、 直线与方程 1. 直线的倾斜角和斜率： 倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别 地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线 的斜率。直线的斜率常用k 表示。 斜率反映直线与轴的倾斜程度 斜率的公式：给定两点 ()()y x p y x P ,,2 2 2 1 1 1 ,，x x 2 1≠，则直线 P P 2 1 的斜率 k = x x y y 2 1 2 1-- 平行与垂直：两条直线l l 2 1, ，他们的斜率分别为 k k 2,1 k k l l 212 1,//=? 1212 1 -=??⊥k k l l 2. 直线的方程 点斜式：直线l 过点 ()y x p 0 ,，且斜率为k,那么直线方程为:

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：