必修五第三章《不等式》电子教案

3.1不等关系与不等式

3.1.1不等关系与不等式（一）

教学目标

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示现实世界和日常生活中的不等关系；

2.了解不等式或不等式组的实际背景；

3.掌握不等式的基本性质.

过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

教学重点

1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.

教学难点

1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.

教学过程

［过程引导］

师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生可以用不等式或不等式组来表示.

师什么是不等式呢?

生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）

师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.

课堂练习

教科书第83页练习1、2.

(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）

【问题1】设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.

［师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.

(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨) ［方法引导］

师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?

(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |. 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形. 师 请同学们继续来处理问题2.

【问题2】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?

师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.

生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍. 生 截得两种钢管的数量都不能为负.

师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 生 它们要同时满足条件，应该是且的关系. 生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N. 师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

?????

????∈≥≥≥≤+.

,,0,

0,3,40000

600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习. 课堂练习

练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?

分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：

????

??

?∈≥≥≤+.

,,0,0,4000

518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ）

课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？ 生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题. 师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业

第84页习题3.1A 组4、5.

3.1.2 不等关系与不等式（二）

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若a b a c b c >?±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若,0a b c ac bc >>?>

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若,0a b c ac bc >

一、讲授新课

常用的不等式的基本性质

（1）a b b a , （对称性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?>, （可加性）

（4）,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >?>>>>0,0（同向不等式的可乘性）

（6）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性） 二、问题探究

1.同学们证明不等式的基本性质a c b c +>+吗？

证明： ()()0a c b c a b +-+=-> ， ∴a c b c +>+． 实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，

证明：∵a ＞b ，b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c ．

2.证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>；

（3

）0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>

证明：（1）∵a ＞b ， ∴a+c ＞b+c ①

∵c ＞d ， ∴b+c ＞b+d ② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ． 2）

bd ac bd bc b d c bc ac c b a >??

??

>?>>>?>>0,0,

3）反证法）假设n n b a ≤，

则：若

a b a b

?=，这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．

三、范例讲解：

例1 已知0,0,a b c >><求证

c c a b >。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,1

0ab

>。 于是 11a b ab ab ?>?，即11b a > 由c<0 ，得c c

a b

>

（教师讲思路→学生板演→小结方法） 例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8） ＝－7＜0 ∴（a ＋3）（a －5）＜（a ＋2）（a －4）

(比较两个数的大小，基本方法是作差，对差的正、负或零做出判断，得出结论) 例3如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及

y

x

的取值范围. ∵30＜x ＜42，16＜y ＜24 ∴－48＜－2y ＜－32， ∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即46＜x ＋y ＜66； ∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10；

.82145,16422430<<<

(确定取值范围→利用不等式的性质求解) 四、课堂练习

1．若a 、b 、c R ∈，a>b,则下列不等式成立的是（ ）

A ．

11a b > B ．22a b > C ．11

2

2a b

>c +c + D ．a c >b c 2．若、αβ满足22

ππ

-<α<β<，则α-β的取值范围是（ ）

A ．-π<α-β<π

B ．0-π<α-β<

C ．22ππ-<α-β<

D ． 02

π

-<α-β<

3.在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（3＋2）2

６＋26；

（2）（3－2）2

（6－1）2

；

（3）

2

51

-

；

(4)当0a b >>时，12

a log 12

b log

答案：1. C 2 . C 3. (1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

五、回顾小结：

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论； 第三步：得出结论 六、课后作业：

课本习题3.1[A 组]第2、3题；[B 组]第1题

3.2 一元二次不等式及其解法

教学目标

1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;

2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;

3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 教学重点

1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 教学难点

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

第1课时

教学过程

推进新课

师因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.

什么叫做一元二次不等式？

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.

那么如何求解呢？

师在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？

思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，

y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？

它的对应值表与图象如下：

当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；

当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0；

当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.

师一般地，设直线y=a x+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果：

（1）一元一次方程a x+b=0的解是x0；

（2）①当a＞0时，一元一次不等式a x+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式a x+b＜0的解集是{x|x＜x0}.

②当a＜0时，一元一次不等式a x+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式a x+b＜0的解集是{x|x＞x0}.

师在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？

生函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.

a＞0 a＜0

一次函数

y=a x+b(a≠0)

的图象

一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -

} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b

-}

{x|x ＜a b

-}

一元一次不等式a x+b ＜0的解集

{x|x ＜a

b

-}

{x|x ＞a

b

-}

师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x 2-5x ，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x 2-5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x 2-5x=0； 当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2-5x ＜0； 当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2-5x ＞0.

这就是说，若抛物线y=x 2-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x 2-5x=0的解就是x 1=0，x 2=5.

一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x|0＜x ＜5};一元二次不等式x 2-5x ＞0的解集是{x|x ＜0或x ＞5}.

［教师精讲］

由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？

我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.

（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2

+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}. （2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=a

b

2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠a

b

2-

}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是. (3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.

［知识拓展］

【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0. 生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-

21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜2

1

-，或x ＞3}.

【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.

生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.

【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.

生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-

.所以不等式的解集是{x|x≠2

1-}. 【例4】 解不等式-x 2

+2x-3＞0.

生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是?.

师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：

（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0). （2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：

①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，??

?≠.

,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若

②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，??

?

??==?∈≠.

,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数

则＞若

③Δ＜0时，方程无解，??

??∈≤∈.

,0;,0x y R x y 则若则＞若

（3）写出解集.

课堂小结

1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.

2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业

1.完成第90页的练习.

2.完成第90页习题

3.2第1题.

3.2 一元二次不等式的解法

第2课时 教学过程

推进新课

师 因此这个问题实际就是解不等式x 2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程 x 2+9x-7 110=0有两个实数根，即x 1≈-88.94,x 2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x ＜-88.94或x ＞79.94}.

在这个实际问题中x ＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.

师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？

生 设在一星期内大约应该生产x 辆摩托车.根据题意，能得到-2x 2+220x ＞6 000.移项、整理得x 2-110x+3 000＜0. ［教师精讲］

因为Δ=100＞0，所以方程x 2-110x+3 000=0有两个实数根x 1=50,x 2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x ＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益. ［知识拓展］

【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0. 思路一：利用前节的方法求解.

思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，

∴原不等式的解集是下面两个不等式组??

?+-04,01＜＞x x 与???+-0

40

1＞＜x x 的解集的并集，即

?

?

???????+-0401＜＞x x x {?=???

???+-0401＞＜x x x U ∪{x|-4＜x ＜1}={x|-4＜x ＜1}.书写时可按下列格式： 解：∵(x-1)(x+4)＜0????+-0401＜＞x x 或???+-0

40

1＞＜x x ?x ∈?或-4＜x ＜1?-4＜x ＜1，

∴原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}. 思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.

解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.

③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}. 点评：此法叫区间法，解题步骤是：

①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x -x n )＞0(＜0)的形式（各项x 的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x 2)…(x -x n )=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……

②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；

③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；

④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.

练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 答案：(1){x|x ＜2或x ＞3}；(2){x|-2＜x ＜1或x ＞3}；(3){x|-1＜x ＜0或2＜x ＜3}. 教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0. 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为-2，1，3； ③列表如下：

思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y ＜0或y ＞0的x 的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y 值的正负不注意其他方面），那么它相对于x 轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.

由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？

①将不等式化为(x-x 1)(x-x 2)…(x -x n )＞0(＜0)的形式，并将各因式x 的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；

④若不等式（x 的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x 轴下方的区间. 这种方法叫数轴标根法.

练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）. 教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0. 解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0； ②求得相应方程的根为-1，0，2，3；

③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜3}. ［合作探究］

师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0. 解：①检查各因式中x 的符号均正；

②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：

④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}.

说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根.

∴在 B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n ，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶 不穿”.

【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0； ②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如右图：

④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.

点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. ［教师精讲］

师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如

073＜+-x x ，03

22

322≤--+-x x x x 等都是分式不等式.

师 分式不等式的解法.

由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式. 【例5】 解不等式：

07

3

＜+-x x . 解法一：化为两个不等式组来解. ∵

073

＜+-x x ????+-0703＜＞x x 0或????+-0

703＞＜x x x ∈?或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}.

解法二：化为二次不等式来解. ∵

073

＜+-x x ????≠++-0

70)7)(3(x x x ＜?-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.

【例6】 解不等式：03

22

32

2≤--+-x x x x . 解法一：化为不等式组来解(较繁).

解法二：∵032232

2≤--+-x x x x ???????≠--≤--+-0

320

)32)(23(222x x x x x x ?

?

?≠+-≤+---,0)1)(3(,

0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x ＜3}. 练习：解不等式

25

3

＞+-x x . 答案：{x|-13＜x ＜-5}. ［方法引导］ 讲练结合法

通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神. 课堂小结

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.

2.求解一般的高次不等式的解法.

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用

区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.

3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为

0)()(＞x g x f (或0)

()

(＜x g x f 的形式，转化为??

?≠0)(,0)()(x g x g x f ＞，（或?

??≠0)(,

0)()(x g x g x f ＜，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. 布置作业

完成第90页习题3.2 A 组第5、6题， 习题3.2 B 组第4题.

3.2 一元二次不等式的解法的应用(二)

第3课时

推进新课

师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x 的不等式a (x-ab )＞b (x+ab ). 生 将原不等式展开，整理得(a -b )x ＞ab (a +b ).

讨论：当a ＞b 时，b a b a ab x -+)(＞

,∴x ∈(b

a b a ab -+)

(,+∞).

当a =b 时，若a =b ≥0时x ∈?；若a =b ＜0时x ∈R.

当a ＜b 时，b a b a ab x -+)(＜,∴x ∈(-∞, b

a b a ab -+)

().

师 【例1】 解关于x 的不等式x 2-x-a (a -1)＞0.

生 原不等式可以化为(x+a -1)(x-a )＞0，

若a ＞-(a -1),即a ＞

21

,则x ＞a 或a ＜1-a .∴x ∈(-∞,1-a )∪(a ,+∞). 若a =-(a -1),即a =21,则(x-1[]2)2＞0.∴x ∈{x|x≠21

,x ∈R}.

若a ＜-(a -1),即a ＜2

1

,则x ＜a 或x ＞1-a .∴x ∈(-∞,a )∪(1-a ,+∞).

师 引申：解关于x 的不等式(x-x 2+12)(x+a )＜0. 生 ①将二次项系数化“+”为(x 2-x-12)(x+a )＞0.

②相应方程的根为-3，4，-a ，现a 的位置不定，应如何解？ ③讨论：

（ⅰ）当-a ＞4，即a ＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜4或x ＞-a }.

（ⅱ）当-3＜-a ＜4，即-4＜a ＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-3＜x ＜-a 或x ＞4}.

（ⅲ）当-a ＜-3，即a ＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|-a ＜x ＜-3或x ＞4}.

（ⅳ）当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x ＞-3}.

(ⅴ)当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：

∴原不等式的解集为{x|x ＞4}.

师 变题：解关于x 的不等式2x 2+kx-k≤0.

师 此不等式为含参数k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手. 生 Δ=k 2+8k=k(k+8).

(1)当Δ＞0,即k ＜-8或k ＞0时，方程2x 2+kx-k=0有两个不相等的实根. 所以不等式2x 2+kx-k≤0的解集是 {x|

4

)

8(4)8(++-≤

≤+--k k k x k k k }; (2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x 2+kx-k=0有两个相等的实根， 所以不等式2x 2+kx-k≤0的解集是{4

k

-

}，即{0,2}； (3)当Δ＜0,即-8＜k ＜0时，方程2x 2+kx-k=0无实根， 所以不等式2x 2+kx-k≤0的解集为 . 练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.

师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m 与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m 与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏. 解：∵Δ=4-4m=4(1-m), ∴当m ＜0时,Δ＞0,此时m

m

x m m x --=-+=

111121＜. ∴解集为{m

m x m m x ---+=

1111＜＜ }. 当m ＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x ＜

2

1

}, 当0＜m ＜1时,Δ＞0，此时m

m

x m m x --=-+=

111121＞, ∴解集为{m

m x m m x x ---+=

1111＜或＞}.当m ＝1时,不等式为(x-1)2＞0,

∴其解集为{x|x≠1};

当m ＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.

师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况. ［教师精讲］

对应的一元二次方程有实数根1-a 和a ,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.

（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.

（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏. 总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好. ［知识拓展］

【例2】 关于x 的不等式a x 2+b x+c ＜0的解集为{x|x ＜-2或x ＞2

1

－}，求关于x 的不等式a x 2-b x+c ＞0的解集. 师

由题设a ＜0且25-=-

a b ，1=a c

，从而a x 2-b x+c ＞0可以变形为02＜a

c x a b x +-，即x 2-25x+1＜0.∴21＜x ＜2.∴原不等式的解集为{x|2

1

＜x ＜2}. 引申：已知关于x 的二次不等式a x 2+(a -1)x+a -1＜0的解集为R ，求a 的取值范围.

师 原不等式的解集为R ，即对一切实数x 不等式都成立，故必然y=a x

2+(a -1)x+a -1的图象开口向下，且与x 轴无交点，反映在数量关系上则有a ＜0且Δ＜0. 生 由题意知，要使原不等式的解集为R ，必须??

??,

0,

0＜＜a

即??

??---0)1(4)1(0

2

＜＜a a a a ????--0

1230

2

＞＜a a a 313110

-???

?

??-＜＜或＞＜a a a a

∴a 的取值范围是a ∈(-∞,3

1-

). 师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a =0的情况，但对本题讲a =0时式子不恒成立.（想想为什么）

师 变题：若函数f(x)=kx 2-6kx+(k+8)的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 显然k=0时满足.而k ＜0时不满足102

)8(4360

2

≤????≤+-=?k k k k k ＜＞.

∴k 的取值范围是 [0,1].

练习：不等式a x 2

+b x+2＞0的解集为{x|-21＜x ＜31

}，求a 、b .(?

??-=-=2,12b a )

［教师精讲］

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以a x 2+b x+c ＞0为例）常

与以下因素有关：（1）a ；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x 1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏. ［合作探究］

【例3】 若不等式1364222

2＜++++x x k

kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 生 ∵

?++-+--?-++++?++++03

643)3(220136422136422222222＞＜＜x x k

x k x x x k kx x x x k kx x 2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式

2x 2-2(k-3)x+3-k ＞0对x 取任何实数均成立.

∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0?k 2-4k+3＜0?1＜k ＜3.∴k 的取值范围是（1，3）.

师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 【例4】 当m 取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解：设方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x 2.

①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：

???

???+≥?0002

121＞＞x x x x ????

???

???

---≥---04

5

042

0)5(16)2(2＞＞m m m m ???

?

??≥+-52

84202＞＜m m m m ???

?

??≥≤52

1416＞＜或m m m m m ∈?. ∴此时m 的取值范围是?，即原方程不可能有两个正根.

②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：

???

??0021＜＞x x ??

??

??----04

50

)5(16)2(2＜＞m m m m ＜5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5).

③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：

????

??????

------??????+?04

5

042

)5(16)2(0002

121＜＞＞＜＞＞m m m m x x x x m ＜2.∴此时m 的取值范围是(-∞,2).

④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：

??????-+---≥?0)1()1(0)1)(1(021

2

1＞＞x x x x ??????????

+-≥+-04

6

04

320

84202＜＞m m m m m ∈?. ∴此时m 的取值范围是?，即原方程不可能两根都大于1.

师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理. 练习：

1.关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是…… （ ）

A. (41

-

,+∞) B.(-∞, 4

1-) C. [4

1

-，+∞）

D.( 4

1

-

,0)∪(0,+∞) 提示：由m≠0且Δ＞0，得m ＜4

1

-，∴选D. 答案：D

2.若不等式a x 2+5x+b ＞0的解集为{x|

31＜x ＜2

1

}，则a 、b 的值分别是__________. 提示：由????

??

?????=+=+?2131213100

2

12

1x x x x a ＞＜???????

???==-?6

16

5

500

a b a a ＞＜??

?-=-=.1,6b a 答案：-6，-1

3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k 的取值范围.

提示：由???

???+≥-+-????

??+≥?0

402016)]2(000

22121＞＜［＞＜k k x x x x ????-≥-≤226＜或k k k k≤-6.

师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围.

师 解：要原方程有两个负实根，必须

???????

?+≥?≠+0000)1(22121＞＜x x x x k ??

???

?????+-+-≤-+≠+0)1(2230)1(2402012

＞＜k k k k

k k k ????

?

?

????--≤≤--≠1321

121

＜或＞＜或＞k k k o k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1. k ＞2[]3或k ＜-1

∴实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或

3

2

＜k ＜1}. 练习：已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x-1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 生 若a 2-1=0，即a =1或a =-1时，原不等式的解集为R 和{x|x ＜2

1

}； 若a 2-1≠0，即a ≠±1时，要使原不等式的解集为R ，

必须???

??-0

12＜＜a ??????-----0

)1)(1(4)1(0

12

22＜＜a a a -53＜a ＜1. ∴实数a 的取值范围是(53-

,1)∪{1}=(5

3

-,1］. ［方法引导］

讲练结合法

通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.

上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神. 课堂小结

1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.

2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步： （1）确定讨论的对象及其范围；

（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类； （3）逐类讨论，分级进行； （4）归纳整合，作出结论.

3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.

4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风. 布置作业

（1）已知不等式x 2+5x+m ＞0的解集为{x|x ＜-7或x ＞2}，求实数m 的值.(答案：m=-14) （2）已知关于x 的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x 都成立，求实数p 的范围.(由p ＜0且Δ＜0，得p ∈{p|-16＜p ＜0}) (3)若y=a x 2+b x+c 经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a ,b ,c 的值.（答案：a =2,b =4,c =-6） (4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 解：要使原方程有两个负实根，必须

????????+≥?≠+0000)122121＞＜（x x x x k ??

????????+-+-

≤-+≠+0)

1(2230)1(2402012

＞＜k k k k

k k k ????

?

?

????--≤≤--≠1321

0121＜或＞＜或＞k k k k k k -2＜k ＜-1或32＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是{k|-2＜k ＜-1或3

2

＜k ＜1}.

3.3.2 简单线性规划问题

教学目标

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. . 教学重点

重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点

难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化。

教学过程

推进新课

［合作探究］

师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？

生 由已知条件可得二元一次不等式组：?????

????≥≥≤≤≤+.

0,0,124,164,82y x y x y x

师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生 （板演）

师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？ 生 则z=2x+3y.

师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

［教师精讲］

师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-

=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为3

1

z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直

线z x y 31

32+-

=，这说明，32z y x =+由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3

z

最大时，z

取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 31

32+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可

以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3

z

最大.

由图可以看出，当直线z x y 3

1

32+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，

截距3z 最大，最大值为3

14.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工

厂可获得最大利润14万元. ［知识拓展］

再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.

然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.

若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件??

?

??≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.

分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .

作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.

(1)

从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t ∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0.