江苏省苏州市第五中学2014-2015学年高中数学 2.4平面向量的数量积学案 新人教A版必修4

2.4 向量的数量积

一、 学习内容、要求及建议

知识、方法

要求

建议

平面向量数量积的含义及其物理意义 了解 结合物理中的功等概念理解向量的数量积概念

数量积的坐标表示

掌握 利用数量积表示两个向量夹角的余弦 理解 用数量积判断两个非零向量是否垂直

了解

二、 预习指导 1. 预习目标

(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；

(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题． 2. 预习提纲

(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．

(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量

积满足下列运算律；④a b ?

的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模

及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件. (3)阅读课本P76-80例题.

例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ? =cos a b θ?

．

例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a -3、b a

2-这两

个向量的坐标表示，在计算它们的数量积．

例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．

例4用到了分类讨论的数学思想方法． 3. 典型例题

(1) 平面向量数量积的概念及几何意义

向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握.

例1 已知||a =3，||4b = ，a 与b 的夹角为3

2π

，求：

(1)a ·b ；(2))2()23(b a b a +?-；(3)22a b - ；(4) ||b a -；(5) |3|a b -

. 分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ? ，22

,a b ，

还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则.

解：(1) a b ? =6)2

1

(43cos ||||-=-??=?θb a ；

22

22(2)(32)(2)3443||44||

a b a b a a b b a a b b -?+=+?-=+?-

394(6)41661=?+?--?=-；

(3)22

229167a b a b -=-=-=- ；

(4)222

||()292(6)1637a b a b a a b b -=-=-?+=-?-+= ；

(5)|3|a b -

= 222(3)96813616133a b a a b b -=-?+=++= .

点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用2

2a a = .

尤其是求解模问题是一般利用2

a a = 转化为求模的平方.

例2 (1)设|a |=12，|b |=9 ，a ? b

=-542 求a 与b 的夹角θ；

(2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2．如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值；

(3)已知,a b 都是非零向量，且3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，求,a b

的夹角的大小．

分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.

解：(1)cos θ=||||a b a b ??

=229

12254-

=?- ∵0?＜θ＜180? ∴θ=1350

．

(2)由题意a b ? =|a |?|b |cos120°=4×2×(-2

1

)=-4，

∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )，∴(a ＋k b

)?(5a ＋b )=0，

即 5a 2

＋(5k ＋1) a b ? ＋k b 2＝０，∴5|a |2＋(5k ＋1)?(-4)＋k |b |2

＝0，

∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =

4

19． (3)因为3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b -

垂直，

(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ?+?-=?∴?-?-=?? ，22

2

2716150(1)

73080(2)

a a

b b a a b b ?+?-=???+?+=? (1)-(2)得：2

2a b b ?= (3)

将(3)代入(1)得22a b = 即a b =

．

2211

2cos 2b a b a b b

θ?∴===

又∵0?＜θ＜180? ， ∴θ=600

．

点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a b

a b

θ?=

，故应求两个整体a b ? 与

a b ?

；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质

2

2a a = ；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角

范围．

例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：

(1)a b ?

；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )?(a ＋2b )．

分析：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=+

，

cos θ=

|

|||b a b a ??=

22

22

21

21

2121y

x y x y y x x +?++

解：(1)a b ?

＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；

(2)cos θ=

|

|||b a b a ??=

246

1164369

+=+?+，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0；

(3)方法一：|2a －3b |＝2

2

2

9124)32(b b a a b a +?-=- ＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+?--+ ＝5512540536080==+-；

方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-

|23a b -

|=1002512555+==；

(4)方法一：(2a －3b )?(a ＋2b )=2a 2

＋a ?b －6b 2

=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2

]=40＋30-270＝-200．

方法二：23a b -

=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) (23a b -

)?(a ＋2b )=(-10，5)?(16，-8)= -160-40= -200．

点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围．

例4 在ABC ?中,120,2,1,BAC AB AC ?

∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ?

．

分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB 与AC 的

内积计算．思路二：建系利用坐标运算．

解：方法一：1()()()()3

AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ?=+?-=+?-

=22118[2][121cos12024]333

AC AB AC AB ο

+?-=+??-?=- 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，

则(0,0)A ,(1,0)C ,(1,3)B -,(2,3)BC =-

,

由13

BD BC = ,设(,)D x y ,

则2133

33x y ?+=????-=-??，得D (123,33-)

28233

AD BC ?=--=- ．

4. 自我检测

(1)已知63a = ,1b = ,9a b ?=-

,则向量a 与向量b 的夹角θ＝ ．

(2)已知4a = ,5b =

,当(1)//a b ；(2)a b ⊥ ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与

b

的数量积．

(3)已知(1,)a m = 与(,4)b n =- 共线，且(2,3)c =

与b 垂直，则m +n 值为 ． (4)已知(3,2)a =-- ,(4,3)b =--

,则3a 2－2a b ? 等于 ．

(5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?

，则点O 是△

ABC 的 心．

三、 课后巩固练习

A 组

1．已知向量a 和向量b 的夹角为30o

，||2,||3a b == ，则向量a 和向量b 的数量积

a b ? = ．2．已知|a |＝|b |＝1，且(2a -b )?(3a －2b

)＝8，则a 与b 的夹角

为 ．

3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ?=

．

4．设a ，b ，c

是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题：

①(a ? b )c －(c ?

b )a ＝0 ； ②|a |－|b | < |a －b |；

③(b ? c )a －(c ? a )b 与c 不垂直； ④(3a ＋2b )?(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2

．

这些命题中，是真命题的有 ．

5．在△ABC 中，若AB ?AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．

6．已知向量,a b 夹角为45?

，且1,210a a b =-= ；则b = ．

7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3, ||BC =4, |CA |=5，则A B B C B CC A C A A B ?+?+

?

的值等于________．

8．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM = ,则()

PA PB PC ?+ 等于________．

9．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=

，且PA PB PB PC PC PA ?=?=? ,则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 ．(选用

重心、外心、垂心、内心填空 )

10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为__ __．

11．已知a +b =(2，-8)，a -b =(-8，16)，则a b ?

＝______，a 与b 的夹角的余弦值是_______．

12．已知向量(2,1)a = ，10a b ?= ，52a b += ，则b

=_______．

13．已知向量(1,2)a = ，(2,3)b =- ．若向量c 满足()c a + ∥b ，()c a b ⊥+

，则c

=______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是 ．

15．设a ＝(x ，2)，b

＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则x 的取值范围是 ． 16．已知a =(-3，2)，b

=(1，2)，c =a +k b ，d =3a －b ，若c //d ，则k =_____；若c ⊥d

，则k =__________．

B 组

17．已知1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且a ＝31e ＋22e ，b ＝－31e ＋42e

，求a b ? ． 18．设|a |=2，|b |=1，且a 与b 的夹角为45?，向量x =a +b ，y =a -b ，试求x 与y

的

夹角的余弦值．

19．已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋2b

|的值．

D

C

A B

20．已知向量a ,b 的夹角为60°,且(a ＋3b )⊥(7a －5b )，求证：(a －4b )?(7a －2b )

＝0．

21．设向量OA ＝(3，1)，向量OB ＝(－1，2)，向量OC ⊥OB ，向量BC //OA ，若OD ＋

OA ＝OC ，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．

22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=

，

4AB BD BD DC ?+?=

，0AB BD BD DC ?=?= ，

则()AB DC AC +?

的值为__________．

23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()A B D C A C B D +?+

的值为 ． 24. 如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF = ,则AE BF

的值是__ __. 25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，

M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ? 的

值是____________．

26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,

1AD BC ==,P 是腰DC 上

的动点，则3PA PB +

的最小值为____________.

27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?

的值为

________;DE DC ?

的最大值为________.

C 组

28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC

中，若2,3AB AC k =+=+

i j i j ，则k 的可能值个数是 ．

29．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b

|=4，a ? b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角

形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ．

30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ? ＝0，则()()a c b c -?-

的最小值为 ．

31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD

上的点，且满足BM CN BC CD

= ，则AM AN ?

的取值范围是 ．

O A

M N B

C

D

(2).在平行四边形ABCD 中,3

A π

∠=

, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边

,BC CD 上的点,且满足||||

||||

BM CN BC CD = ,则AM AN ? 的取值范围是_________ .

32. 对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义αβ

αβββ?=?

. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ??∈ ???，且a b 和b a 都在集合2n n ??∈????Z 中，

则a b = . 33．如图，设向量a 与b 的夹角为60°，且|a |>|b

|．是否存在满足

条件的a ，b ，使|a +b |＝2|a -b

|？请说明理由．

34．在直角ABC ?中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，

问PQ 与BC 的夹角取何值时，BP CQ ?

的取值最大？并求出这个最大值．

知识点

题号

注意点

平面向量数量积的含义及其物理意义 向量运算与实数运算的转化，与数量积的坐标表示相关的计算问题，如求两个向量的夹角，判断两个非零向量是否垂直

数量积的坐标表示 数量积的应用

数量积与其他知识的综合

四、 学习心得

五、 拓展视野

平面向量的数量积a ·b

是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许

多命题，例如勾股定理、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线许多、正方形的对角线垂直平分等．你给出具体的证明吗？你能用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗?

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

江苏省苏州市第五中学2018_2019学年高二生物下学期期中试题201905020369

苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试 高二生物（选修） 2019.4 一、单选题（本大题共20小题，共40.0分） 1. 下列有关植物组织培养的叙述，正确的是 A. 植物耐盐突变体可通过添加适量NaCl的培养基培养筛选而获得 B.愈伤组织是一团有特定结构和功能的薄壁细胞 C. 二倍体植株的花粉经脱分化与再分化后得到稳定遗传的植株 D. 用人工薄膜将胚状体、愈伤组织等分别包装可制成人工种子 2. 图1表示含有目的基因D的DNA片段和部分碱基序列，图2表示一种质粒的结构和部分 碱基序列．现有MspI、BamHI、MboI、SmaI四种限制性核酸内切酶，它们识别的碱基序列和酶切位点分别为：C↓CGG，G↓GATCC、↓GATC、CCC↓GGG．下列分析中正确的是 A. 若用限制酶MspI完全切割图1中DNA片段，会破坏2个磷酸二酯键 B. 若图1用限制酶SmaI完全切割后会产生4种不同的DNA片段 C. 若切割图2中的质粒以便拼接目的基因D应选择限制酶BamHI和MboI D. 导入含有目的基因D的重组质粒的细菌在添加抗生素A和B的培养基上不能存活 3. 图中a表示基因工程，c表示胚胎工程，d表示细胞工程，则e和b分别表示 A. 胚胎移植和细胞培养 B. 显微注射技术和细胞培养 C. 细胞培养和花粉离体培养 D. 显微注射技术和花粉离体培养 4. 如图为胡萝卜的离体组织在一定条件下培育形成试管苗的过程示意图．有关叙述错误的 是

A. ①过程发生细胞的增殖和分化 B. 愈伤组织是分生状态的细胞 C. ①②过程所用培养基的激素比值不同 D. 此过程获得的试管苗可能是杂合体 5. “筛选”是生物工程中常用的技术手段，下列关于筛选的叙述中正确的有几项 ①重组质粒上的标记基因的作用是鉴别受体细胞中是否含有目的基因，从而将含有目的 基因的细胞筛选出来 ②在制备单克隆抗体和利用植物体细胞杂交技术获得杂种植株的过程中都要进行筛选 ③在诱变育种、杂交育种、单倍体育种过程中都要进行筛选 ④为了快速繁殖无子西瓜，需筛选出特定染色体组数的体细胞才能进行组织培养 A. 一项 B. 二项 C. 三项 D. 四项 6. 某同学在学习“细胞工程”时，列表比较了动植物细胞工程的有关内容，你认为有几处 不正确 植物细胞工程动物细胞工程技术手段植物组织培养、植物体细胞杂交等动物细胞培养和融合等 特殊处理酶解法去除细胞壁胃蛋白酶处理得到细胞悬浮液融合方法物理方法、化学方法、生物方法物理方法、化学方法和生物方法 单克隆抗体的制备等典型应用无病毒植物的培育、人工种子、种间 植物杂交等 培养基区别所用的糖必须为葡萄糖所用的糖为葡萄糖且动物血清 不可缺少 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 下列有关生物工程的叙述，不正确的有 ①基因工程的核心步骤是构建基因表达载体 ②蛋白质工程可通过直接改造蛋白质的结构从而改变其功能 ③克隆羊的培育涉及细胞核移植、早期胚胎培养和胚胎移植等技术 ④PCR技术需要利用限制性核酸内切酶打开DNA双链 ⑤利用核移植技术可以培育试管婴儿 ⑥牛胚胎发育的历程是：受精卵→桑椹胚→囊胚→原肠胚→幼体

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析：

江苏省苏州市第五中学2018-2019学年高一上学期期中考试英语试题含答案

苏州五中2018-2019学年第一学期期中调研测试 高一英语 2018.11.6 考生注意： 1.考试时间120分钟，试卷满分120分。 2.本考试设试卷和答题纸两部分，所有答题必须填写在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 第一卷（共85分） 第一部分听力 (共两节,满分20分) 做题时,先将答案标在试卷上。录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。 第一节 (共5小题；每小题1分,满分5分) 听下面5段对话。每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。每段对话仅读一遍。 1. What do we know about the man’s new shirt? A. It’s small. B. It’s expensive. C. It’s dirty. 2. Why did Linda ignore the man? A. She didn’t know him. B. She was in a bad mood. C. She didn’t recognize him. 3. Where are the speakers going to meet tomorrow afternoon? A. In front of the bank. B. In front of the school. C. In front of the ocean park. 4. How did the woman spend her holiday? A. She went to the seaside. B. She worked in a company. C. She played computer games. 5. Which train will the woman take? A. The 2:45. B. The 4:00. C. The 5:10. 第二节（共15小题；每小题1分，满分15分） 听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

全国各省知名重点中学排名

甘肃省全国知名重点中学排名 1.甘肃省武威第一中学 2.甘肃省兰州第一中学 3.庆阳一中 4.西北师大附中 5.兰州新亚中学 6.兰州铁路局第五中学 7.榆中县第一中学 8.兰州铁一中 9.兰州化学工业公司总校第一中学 10.甘肃省酒泉中学 青海省全国知名重点中学排名 1.青海湟川中学 2.西宁五中 3.西宁十四中 4.青海师范大学附属中学 5.青海省互助一中 6.乐都县第一中 学7.平安县第一中学8.化隆一中9.海北州祁连山中学10.青海昆仑中学 甘肃省全国知名重点中学排名 1.甘肃省武威第一中学 2.甘肃省兰州第一中学 3.庆阳一中 4.西北师大附中 5.兰州新亚中学 6.兰州铁路局第五中学 7.榆中县第一中学 8.兰州铁一中 9.兰州化学工业公司总校第一中学10.甘肃省酒泉中学； 贵州省全国知名重点中学排名 1.余庆中学 2.贵阳一中 3.凯里市第一中学 4.遵义四中 5.贵阳市第六中学 6.都匀一中 7.贵州省天柱民族 中学8.贵州师大附中9.贵州教育学院实验中学10.思南中学 云南省全国知名重点中学排名 1.云南师大附中 2.云南大理一中 3.昆明第八中学 4.楚雄市第一中学 5.明德中学 6.思茅一中 7.昆明市第 一中学8.禄劝民族中学9.昆明第三中学10.曲靖一中 重庆市全国知名重点中学排名 1.重庆一中 2.重庆三中 3.巴蜀中学 4.重庆市育才中学 5.西南师范大学附属中学 6.重庆市第十八中学 7. 重庆铁路8.重庆市第八中学9.重庆市清华中学10.云阳中学 河南省全国知名重点中学排名 1.郑州一中 2.河南省实验中学 3.开封高中 4.洛阳一高 5.郑州外国语学校 6.新乡市第一中学 7.河南省淮 阳中学8.信阳高级中学9.商丘市第一高级中学10.河南省偃师高级中学 陕西省全国知名重点中学排名 1.西北工业大学附属中学 2.西安交通大学附属中学 3.西安中学 4.长安一中 5.西安铁一中 6.西安市第一 中学7.丹凤中学8高新一中9.宜川中学10.安康中学 西藏自治区全国知名重点中学排名 1.拉萨中学 2.林芝地区第一中学 3.拉萨市第三高级中学 4.藏民族学院附中 5.林芝地区第二中学 6.拉萨 北京中学7.拉萨市师范学校8.嘉黎县中学 宁夏回族自治区全国知名重点中学排名 1.银川一中 2.银川实验中学 3.吴忠中学 4.宁夏大学附属中学 5.唐徕回中 6.平罗中学 7.贺兰一中 8.石 嘴山市第十七中学9.中卫市第三中学10.银川二中 河北省全国知名重点中学排名 1.石家庄市第二中学 2.衡水中学 3.唐山市第一中学 4.河北正定中学 5.保定市第一中学 6.石家庄市第一 中学7.邢台市第一中学8.石家庄辛集中学9.冀州中学10.石家庄市第二十四中学； 新疆维吾尔自治区全国知名重点中学排名

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

全国高中排名

全国排序前100 1 北京_中国人民大学附属中学253 2 北京_第四中学211 3 北京_清华大学附属中学145 4 北京_师范大学附属实验中学120 5 黑龙江_哈尔滨市第三中学89 6 陕西_西北工业大学附属中学86 7 北京_第二中学80 8 重庆_南开中学79 9 北京_师范大学第二附属中学75 10 天津_南开中学71 11 上海_上海中学64 12 上海_华东师范大学第二附属中学59 13 河北_衡水中学55 14 北京_第八中学54 15 北京_第五中学53 16 北京_十一学校52 16 海南_海南中学52 18 四川_成都市第七中学50 18 天津_耀华中学50 20 黑龙江_大庆市铁人中学48 21 吉林_东北师大附属中学47 21 陕西_西铁分局第一子中47 23 重庆_巴蜀中学46 24 北京_顺义牛栏山第一中学45 25 北京_汇文中学42 25 北京_通州区潞河中学42 25 山西_实验中学42 28 北京_景山学校41 28 河北_石家庄第二中学41 28 辽宁_东北育才学校41 31 辽宁_鞍山市第一中学40 32 辽宁_大连市第二十四中学39 33 北京_北京大学附属中学38 33 陕西_西安中学38 33 浙江_杭州市第二中学38 33 重庆_第一中学38 37 江苏_启东中学(南通) 37 37 江苏_前黄高级中学37 37 新疆_乌鲁木齐市第一中学37 40 福建_福州第一中学36 41 湖北_襄樊市第五中学35 41 辽宁_大连市育明高级中学35 41 山西_太原市第五中学35 41 陕西_高新一中35 45 福建_厦门双十中学34 45 湖北_武昌区华师一附属中学34 45 天津_一中34 48 北京_师范大学附属中学33 48 湖北_武汉市外国语学校33

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

江苏省苏州市第五中学高中数学2.1向量的概念及表示学案(无答案)苏教版必修4

2.1向量的概念及表示 二、预习指导 1. 预习目标 (1) 理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念； (2) 掌握向量的表示方法； ⑶能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量. 2. 预习提纲 (1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义. ⑵阅读课本P57-58,思考下列内容： ①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. ②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向 线段的方向表示向量的方向.符 uuu 号AB表示以A为起点，B为终点的向量.向量也可以用小 写字母a , b , c等表示. uuu umr ③向量的模：向量AB的大小称为向量的长度或向量的模，记作| AB | . ④向量的其他概念及表示方法. 3. 典型例题 (1)向量的有关概念例1给出下列命题： ①若a = b，贝U a b ；②若a < b，则a b ；③若a =b，「则a // b ； r r rr r r rr rr ④若a // b，贝U a =b ;⑤若a =0,贝U a =0；⑥若a =b，贝U a = b . 其中正确命题的序号是_____________ . 分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断. r r 解：由相等向量定义可知，若a=b，则a, b的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确. a < b知模的大小，而不能确定方向，故②不正确. 共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故 ③正确，④不正确. 零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0,故⑤不正确.

(完整版)高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 （1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”． （3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） （4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ； （Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的 （5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示

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江苏省重点高中最新排名 1.南京外国语学校 2.南师附中 3.江苏省苏州中学 4.江苏省扬州中学 5.南京金陵中学 6.无锡市第一中学 7.江苏省天一中学 8.江苏省泰兴中学 9.徐州市第一中学 10.江苏省苏州实验中学 11.江苏省南通中学 12.南京市第一中学 13.无锡市辅仁高级中学 14.江苏省常州高级中学

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