3.1.2 空间向量的数乘运算(一) 教案(人教A版选修2-1)

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌

握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程：

一、复习引入

1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b

与非零向量a

是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa

.称平面向量共

线定理， 二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a

平行于b

记作a

//b

． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a

、b （b

≠0），a

//b

的充要条件是存在实数λ，使a

＝λb

.

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa

，其

中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a

∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a

）上）.

⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa

|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a

反向的所有向量.

3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 O P O A t =+ a

．

其中向量a

叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ，∴ 对于l

上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t = a

．(*)

又∵ 对于空间任意一点O ，有AP O P O A =-

，

∴ O P O A t -= a ， O P O A t =+ a ． ①

若在l 上取AB =

a

，则有O P O A t AB =+

．(**)

又∵ AB OB OA =- ∴ ()O P O A t O B O A =+- (1)t O A tO B =-+

．②

当1

2

t =时，1()2O P O A O B =+

．③

理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．

4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）

5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA

、OB

表示O C

、OD

. 三、巩固练习： 作业：

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

平面向量数乘运算及其意义试题(含答案)4

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a = ，BA b = ，则 EF = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b =+化简 3(2 )a b b c a +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、

C ），则AP = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈ B ．().AB B C λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． ().AB BC λλ-∈ 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4(++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．

《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）； ⑵ ()() 63a b c a b c -+--+-r r r r r r . 复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共线 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r () 3CD a b =-u u u r r r ，求证: A,B,C 三点共线. 反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r ，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .

(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算

注意：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |; （3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |； 当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |， 若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |. 2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r 3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r ) 证： 知识点二 向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法： “相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r 任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r 如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r 向量减法的定义： 向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r ) 2．用加法的逆运算定义向量的减法：

3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量 ∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r 即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终 点向量 知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同； λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 2、运算定律 结合律：λ(μa ρ)= 第一分配律：(λ+μ)a ρ = 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)= 3、向量共线定理

高三数学平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有

向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于 任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记

3.1.1空间向量及其运算

3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本

《空间向量的数乘运算》教学设计

教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用． 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解． 教学过程 引入新课 提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律． 活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来． 活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！ 探究新知 提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？ 活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发

高中数学选修2-1 同步练习 专题3.1.1空间向量及其加减运算、空间向量的数乘运算(原卷版)

第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1AB AD AA ++= A ．1AC B ．1CA C ．1BC D ．1CB 2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若2CP CA CB =+，则下列结论正确的是 A ．22OP OA OB OC =+- B ．23OP OA OB OC =--+ C ．23OP OA OB OC =+- D ．22OP OA OB OC =+- 3．若OA ，OB ，OC 是空间不共面的三个向量，则与向量OA OB +和OA OB -不共面的向量是 A ．BA B ．OA C ．OB D ．OC 4．如图，已知AB =c ，AC =b ，若点D 满足2BD DC =，则AD = A ．21 33+b c B ．5 233-c b C ． 2133 -b c D ．123 3 + b c 5．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则1 ()2 AB BD BC + +=

A ．BC B ．CG C ． 1 2 BC D ．AG 6．如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,是 与 的交点,若 ,则 下列向量中与 相等的向量是 A ．11 22 -++a b c B ． 11 22++a b c C ． 11 22 -+a b c D ．11 22 - -+a b c 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量， ， 是 A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(),OP xOA yOB x C z zO y ∈=++R ,，则 1x y z ++=是P ，A ，B ，C 四点共面的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同、终点也相同； ③若空间向量a ，b 满足=|a ||b |，则=a b ；

空间向量的数乘运算(一)

3.1.2空间向量的数乘运算（一） ------共线向量和共面向量 雷店高中 佘佳 【教学目标】 知识目标：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式． 能力目标：培养学生的空间想象能力； 培养学生的类比思想、转化思想； 培养学生探讨、研讨、综合自学应用能力； 培养学生空间向量的应用意识。 【教学重点】：共线、共面定理及其应用． 【教学难点】：共面定理的证明及应用 【教学方法】：问题探究式，启发引导式。 【课时安排】：一课时 【教学过程】： 一、引入新课 提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。 二 、新课讲解 思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？ 利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。 思考：1.空间中任意两个向量共面吗？ 2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？ 3.空间中三点共线上的充要条件是什么? （1）．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向 量。读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠ 的充要条件是存在实数λ，使a b λ= （λ唯一）． 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对空间任一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t OA OP += ①， 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。 在l 上取A B a = ，则①式可化为O P O A t A B =+ 或(1)O P t O A t O B =-+ ② a l P B A

数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

《空间向量的数乘运算》教案-参考模板

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二） 教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空 间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题． 教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程： 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直 线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理， 二、新课讲授 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面： ①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。 ②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ， ∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a ．(*)

教案 平面向量的数乘运算

【教学过程】 *揭示课题 7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入 有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量 OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 *引入新知 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为 （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。 由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 （7．4） 容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ，　； ()()()()2a a a λμλμμλ== ； ()()3a a a λμλμ+=+ ； ()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】 请画出图形来，分别验证这些法则． 向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数 a a a a O A B C

的运算的意义是不同的． *例题讲解 例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ． 例2 计算： （1）（-3）×4a （2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ） *练习强化 1． 计算：（1）3（a ?2 b ）－2（2 a ＋b ）； （2）3 a ?2（3 a ?4 b ）＋3（a ?b ）． 2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝1 2 （a ＋b ）． *揭示课题 7.4.1 平面向量的内积 *情境导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成?30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则 F =x i + y j cos30sin30=?+?F i F j ， 图7—21 图7－16

空间向量的加减及数乘运算

第三章 空间向量 3、1、1空间向量及其加减运算 基础性练习： 1、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A c CC b CB a CA 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．c b a ++- D ．c b a -+- 2、给出以下命题： （1） 两个空间向量相等，则它们得起点相同，终点也相同； （2） 若空间向量、 =,则= （3） 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC =； （4） 若空间向量满足===则,； （5） 空间中任意两个向量必相等。 其中不正确得命题得个数就是（ ） A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算得结果为向量1AC 得共有（ ） ①1)(CC BC AB ++； ②11111)(C D D A AA ++ ③111)(C B BB ++ ④11111)(C B B A AA ++ A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 4、化简：（-）－（-）= 。 巩固性练习： 5、下列说法正确得就是（ ） A 、若||||=，则、得长度相同，方向相反； B 、||||，=则是向量若向量； C 、空间向量得减法满足结合律； D 、在四边形ABCD 中，一定有=+ 6、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量相等得向量共有（ ） A 、1 个 B 、 2 个 C 、3 个 D 、4个 7、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量DD +-1化简后得结果就是（ ） A 、1BD B 、D 1 C 、B 1 D 、1DB 8、空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上得中点，则+++= ； 9、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别就是BC 、CD 得中点，则)(2 1BC BD AB ++=

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课标要求素养要求 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用 坐标表示平面向量共线的条件，掌握三 点共线的判断方法. 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向 量共线的坐标表示形式，体会数学运算 及数学抽象素养. 教材知识探究 贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过 B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从 A地到E地的行程有多少？”其解答方法是： 贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km). 晶晶：502×4＝2 008(km). 可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便. 问题1当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ 提示横纵坐标均不为0时成比例. 问题2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向. 1.平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝(x，y)，则有λa＝(λx，λy)，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快 设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2 －x2y1＝0.) 3.中点坐标公式

若P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则?????x ＝x 1＋x 2 2，y ＝y 1＋y 2 2， 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式. ,教材拓展补遗 [微判断] 1.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1 ＝x 2 y 2 .(×) 2.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .(×) 3.若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .(√) 提示 1.当y 1y 2＝0时不成立. 两向量共线的坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0，故2错，3正确. [微训练] 1.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A.(－2，－4) B.(－3，－6) C.(－4，－8) D.(－5，－10) 解析 由a ∥b 得到m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8). 答案 C 2.已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________. 解析 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7). 答案 (5，7) 3.已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________. 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1，3). 答案 (－1，3) [微思考] 1.向量(共线)平行的用途是什么？ 提示 利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题. 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？ 提示 当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标.比如A ，B ，P 三

空间向量及其运算教学设计

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标：

（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难） 教学策略： 多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究 教学设计： 1.教学结构设计

平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算 知识点一:向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ① a a λλ=； ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算：设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==. 知识点二：向量共线定理：向量 ( )0 a a ≠与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =，其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、 () 0b b ≠共线． 知识点三：平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+．(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 知识点四:分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， () 22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??．（当时，就为中点公式。）1=λ 知识点五：平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤.零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质：设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时,a b a b ?=；当a 与b 反向时,a b a b ?=-；2 2 a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()() a b a b a b λλλ?=?=?；③() a b c a c b c +?=?+?. ⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =,则2 2 2 a x y =+,或2a x y = +． 设()11,a x y =，()22,b x y =,则

空间向量及其加减运算,空间向量的数乘运算

空间向量及其加减运算，空间向量的数乘运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c - ++ B ．11 22 a b c ++ C ． 1122a b c -+ D ．11 22 a b c --+ 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 3．在直三棱柱11ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B =（ ） A ．a b c +- B ．a b c -+ C ．a b c -++ D ．a b c -+- 4．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则 PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）

A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0 5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =， PB b =，PC c =，则BE =（ ） A. 111222a b c -+ B.111222a b c -- C. 131222a b c -+ D.113222 a b c -+ 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（ ） A ．111633OG OA O B O C = ++ B ．112 633 OG OA OB OC =++ C ．2233OG OA OB OC =+ + D ．122 233 OG OA OB OC =++ 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311 488 OP OA OB OC = ++， 则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面 B ．共面 C ．共线 D ．不共线 8．设12342,32,23,325a m j k a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-=++（其中 ,,m j k 是两两垂直的单位向量），若4123a a a a λμν=++，则实数,,λμν的值分别是 （ ） A ．1,2,3-- B ．2,1,3-- C ．2,1,3- D ．1,2,3-

空间向量的数乘运算

《空间向量的数乘运算》导学案 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点难点 重点：掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简 难点：理解共面向量定理及它们的推论 一、类比发现： 1：空间向量的数乘运算： （1）实数λ与向量的积是一个量，记作，其方向和长度规定如下： (1)当λ＞0时，λ与； 当λ＜0时，λ与； 当λ＝0时，λ＝. (2)|λ|＝. （2）向量的数乘运算满足的运算律： 数乘分配律：λ(＋)＝____ _____ 数乘的结合律：_______________ 二、学习探究 2：空间共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量或平行向量【检测】判断下列说法是否正确： （1）零向量与任一向量共线 （2）则 （3）3：空间两个向量共线定理：空间两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是 【提炼】若空间任意一点O和两点A,B满足关系式，且点P与A,B共线，则___________ 【检测】完成下列练习： 练习1．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点， OP → ＝ 1 3 OA → ＋βOB → ，则β＝________. 4：共面向量：同一平面的向量. 5：三个向量共面定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得 推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： ⑴存在，使 ⑵对空间任意一点O，有 【提炼】若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与A,B,C共面，则. 【检测】完成下列练习 练习1．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若 由OP→＝ 1 5 OA→＋ 2 3 OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则 λ＝________. 练习2：若P为AB中点, 则