第三章第4课时知能演练轻松闯关

1．已知cos2θ＝

2

3

，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79

D ．－1 解析：选B.sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ

＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118

.

2．(2012·绵阳调研)已知α是锐角，且sin(π2＋α)＝34，则sin(α

2

＋π)的值等于( )

A.24 B ．－24 C.144 D ．－144

解析：选B.由sin(π2＋α)＝34，得cos α＝3

4

，

又α为锐角，

∴sin(α2＋π)＝－sin α

2＝－1－cos α2

＝－1－342＝－18＝－2

4

.

3．化简sin 235°－

1

2

cos10°cos80°

＝( )

A ．－2

B ．－1

2

C ．－1

D ．1

解析：选C.sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－1

2

cos70°

1

2

sin20°＝－1.故选C.

4．已知cos(α＋β)＋cos(α－β)＝45，sin(α＋β)＋sin(α－β)＝3

5

.求：

(1)tan α；(2)2cos 2α

2

－3sin α－1

2sin ???

?α＋π4.

解：(1)由已知得2cos αcos β＝4

5

.①

2sin αcos β＝3

5

.②

②÷①得，tan α＝3

4

.

(2)原式＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α

1＋tan α，

由(1)得tan α＝3

4

，代入上式得

2cos 2α2－3sin α－12sin ???

?α＋π4＝1－3×

341＋34＝－5

7.

一、选择题

1．在△ABC 中，若cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是( ) A.12 B.22 C.32

D ．1 解析：选C.由cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0， 得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，

所以cos B ＝1

2，或cos B ＝1(舍去)，

∴sin B ＝3

2

.

2．已知tan α＝－13，且－π

2＜α＜0，则2sin 2α＋sin2αcos ???

?α－π4＝( )

A ．－255

B ．－3510

C ．－31010 D.255

解析：选A.因tan α＝－1

3

，

又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010.

故2sin 2α＋sin2αcos ????α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)

＝22sin α＝－25

5

.

3．(2012·宜昌调研)已知角A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－3

4

，则sin A －cos A ＝( )

A.72 B ．－72 C ．－12 D.12

解析：选A.∵A 为△ABC 的内角且sin2A ＝2sin A cos A ＝－3

4

＜0，

∴sin A ＞0，cos A ＜0， ∴sin A －cos A ＞0.

又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝7

4

，

∴sin A －cos A ＝7

2

.

4．(2010·高考课标全国卷)若cos α＝－4

5，α是第三象限的角，则1＋tan

α21－tan

α

2

＝( )

A ．－12 B.12

C ．2

D ． －2

解析：选A.∵α是第三象限角，cos α＝－4

5

，

∴sin α＝－3

5

.

∴1＋tan α21－tan α2＝1＋

sin α2cos α21－

sin α2cos α2

＝cos α2＋sin α2

cos α2－sin

α2

＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2

＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－1

2

.

5．tan70°·cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选C.tan70°·cos10°(3tan20°－1) ＝sin70°cos70°·cos10°(3·sin20°cos20°

－1) ＝cos20°cos10°sin20°·3sin20°

－cos20°cos20°

＝cos10°·2sin (20°－30°)sin20°＝－sin20°sin20°

＝－1.

二、填空题

6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3

5

，则tan α·tan β＝________.

解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1

5

，①

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3

5

.②

由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝1

5

，

则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1

2.

答案：12

7．已知sin 2(2x －π4)＝1

4

，则sin4x ＝________.

解析：sin 2????2x －π4＝1－cos ????4x －π22＝12－12sin4x ＝1

4， ∴sin4x ＝1

2.

答案：12

8．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．

解析：由tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

＝tan45°＝1可得tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，

所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 答案：2 三、解答题

9．(2012·荆州质检)已知向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ，其中θ∈????0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；

(2)若sin(θ－ω)＝35，0＜ω＜π

2

，求cos ω的值．

解：(1)∵a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，且a ∥b ， ∴sin θ2＝cos θ1

，即sin θ＝2cos θ.

又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ∈???

?0，π2， ∴sin θ＝255，cos θ＝5

5.

(2)∵0＜ω＜π2，0＜θ＜π2，∴－π2<θ－ω<π

2.

∵sin(θ－ω)＝3

5

，

∴cos(θ－ω)＝1－sin 2(θ－ω)＝4

5

.

∴cos ω＝cos[θ－(θ－ω)]＝cos θcos(θ－ω)＋sin θsin(θ－ω)＝25

5

.

10．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π

2

.

(1)求tan2α的值； (2)求β.

解：(1)由cos α＝17，0<α<π

2

，

得sin α＝1－cos 2α＝ 1－(17)2＝43

7

.

∴tan α＝sin αcos α＝437×7

1

＝4 3.

于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2

＝－83

47. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π

2.

又∵cos(α－β)＝13

14

，

∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－(1314)2＝33

14

.

由β＝α－(α－β)，

得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3

.

11．已知tan(π＋α)＝－1

3，tan(α＋β)＝sin2????π

2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α

.

(1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．

解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－1

3.

∵tan(α＋β)＝sin2???

?π

2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α

＝sin2α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α ＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α) ＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α ＝－13＋25－???

?－13＝516.

(2)tan β＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan α

1＋tan (α＋β)tan α

＝516＋131－516×13

＝3143.