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高考数学专题讲义:平面向量与复数

高考数学专题讲义:平面向量与复数
高考数学专题讲义:平面向量与复数

高考数学专题讲义:平面向量与复数

【考向解读】

1.命题角度:复数的四则运算和几何意义;以平面图形为背景,考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.

2.题目难度:复数题目为低档难度,平面向量题目为中低档难度. 【命题热点突破一】平面向量的线性运算

(1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;

(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量. 例1、(全国Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →

等于( ) A.34AB →-14AC → B.14AB →-34AC → C.34AB →+14AC → D.14AB →+34AC → 答案 A

解析 作出示意图如图所示.

EB →=ED →+DB →=12AD →+12CB →=12×12(AB →+AC →)+12(AB →-AC →)=34AB →-1

4AC →. 故选A. 【方法技巧】

(1)向量加法的平行四边形法则:共起点;三角形法则:首尾相连;向量减法的三角形法则:共起点连终点,指向被减.

(2)已知O 为平面上任意一点,则A ,B ,C 三点共线的充要条件是存在s ,t ,使得OC →=sOA →+tOB →,且s +t =1,s ,t ∈R .

(3)证明三点共线问题,可转化为向量共线解决.

【变式探究】【课标1,理13】已知向量a ,b 的夹角为60°

,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= .

【答案】23

【解析】利用如下图形,可以判断出2a b 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,

所以

.

【变式探究】如图,在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN

→=12NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB →+

29AC →

,则实数m 的值为( )

A.19

B.1

3 C.1 D.3 答案 B

解析 ∵AN

→=12NC →,∴AN →=13AC →,

∴AP

→=mAB →+29AC →=mAB →+23AN →.

又B ,N ,P 三点共线,∴m +23=1,∴m =1

3.

【变式探究】(1)设0<θ<π

2,向量a =(sin2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=______.

(2)如图,在△ABC 中,AF =13AB ,D 为BC 的中点,AD 与CF 交于点E .若AB →=a ,AC →=b ,且CE →=xa +

yb ,则x +y =________.

【答案】(1)12 (2)-1

2 【解析】(1)因为a ∥b ,

所以sin2θ=cos 2θ,2sin θcos θ=cos 2θ. 因为0<θ<π

2,所以cos θ>0, 得2sin θ=cos θ,tan θ=1

2.

方法一 因为AB →=a ,AC →=b ,D 为BC 的中点,

所以AD →

=12(a +b ). 所以AE

→=12AD →=14(a +b ). 所以CE →=CA →+AE →=-AC →+AE →

=-b +1

4(a +b ) =14a -34b .

所以x =14,y =-34,所以x +y =-1

2.

方法二 易得EF =12MD ,MD =1

2CF , 所以EF =14CF ,所以CE =3

4CF .

因为CF

→=CA →+AF →=-AC →+AF →=-b +13a , 所以CE

→=34(-b +13a )=14a -34b . 所以x =14,y =-34,则x +y =-1

2.

【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.

【变式探究】如图,在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC →=λAM →+μBN →,则λ+μ等

于( )

A.2

B.83

C.65

D.85 答案 D

解析 方法一 如图以AB ,AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,AM →=

? ?

???1,12,BN →=? ??

??-12,1,AC →=(1,1).

∵AC

→=λAM →+μBN →=λ? ????1,12+μ? ????-12,1=? ????λ-μ2,λ2+μ, ∴?????

λ-μ

2=1,λ2+μ=1,

解得?????

λ=6

5,μ=2

5,

故λ+μ=8

5.

方法二 以AB

→,AD →作为基底,

∵M ,N 分别为BC ,CD 的中点,

∴AM

→=AB →+BM →=AB →+12AD →,BN →=BC →+CN →=AD →-12AB →, ∴AC →=λAM →+μBN →=? ????λ-μ2AB →+? ????λ2+μAD →, 又AC

→=AB →+AD →,

因此???

??

λ-μ2=1,λ2+μ=1,

解得???

??

λ=6

5,μ=25.

所以λ+μ=8

5.

【命题热点突破二】平面向量的数量积 (1)数量积的定义:a ·b =|a ||b |cos θ. (2)三个结论

①若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2. ②若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB

→|=x 2-x 1

2

y 2-y 1

2

.

③若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角, 则cos θ=a ·b

|a ||b |=

x 1x 2+y 1y 2

x 21+y 21x 22+y 2

2

. 例2、(2018年天津卷)如图,在平面四边形ABCD 中,,

,

,

. 若

点E 为边CD 上的动点,则

的最小值为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则

,

,

,

,

点在上,则,设,则:

,即,

据此可得:,且:

,,

由数量积的坐标运算法则可得:

,

整理可得:,

结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.

本题选择A选项.

【命题热点突破四】复数的概念与运算

复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化,分子分母同时乘分母的共轭复数.对一

些常见的运算,如(1±i)2=±2i,1+i

1-i

=i,

1-i

1+i

=-i等要熟记.

例4、(全国Ⅰ)设z=1-i

1+i+2i,则|z|等于()

A.0

B.1

2 C.1 D. 2

答案 C

解析 ∵z =1-i 1+i +2i =(1-i )2

(1+i )(1-i )+2i =-2i 2+2i =i, ∴|z |=1.故选C.

【变式探究】【2017山东,理2】已知a R ∈,i 是虚数单位,若

,则a=

(A )1或-1 (B )7-7或 (C )-3 (D )3 【答案】A 【解析】由

得234a +=,所以1a =±,故选A.

【变式探究】已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若,则

a

b

的值为_______. 【答案】2 【解析】由

,可得110b a b +=??-=?,所以21a b =??=?

,2a b =,故答案为2.

【变式探究】(1)若复数z =2

1+3i ,则|z|=( )

A .12

B .32

C .1

D .2

(2)已知复数z =1-i

i (i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】(1)C (2)B

【解析】 (1)z =21+3i =2(1-3i )4=12-3

2i ,,所以|z|=

(12)2+(32)2

=1.

(2)z =

1-i

i

=-1-i ,则复数z =-1+i ,对应的点在第二象限. 【高考真题解读】

1. (2018年浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为,向量b 满足b 2?4e ·b +3=0,则|a ?b |的最小值是 A.

?1 B.

+1 C. 2 D. 2?

【答案】A

【解析】设,则由得,

由得

因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.

2. (2018年天津卷)如图,在平面四边形ABCD中,,,,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,

点在上,则,设,则:

,即,

据此可得:,且:

,,

由数量积的坐标运算法则可得:

,

整理可得:,

结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.

本题选择A选项.

3. (2018年全国I卷理数)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为的直线与C 交于M,N两点,则=

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

【答案】D

【解析】根据题意,过点(–2,0)且斜率为的直线方程为,与抛物线方程联立,

消元整理得:,解得,又,所以,从而可以求得

,故选D.

4. (2018年全国I卷理数)在△中,为边上的中线,为的中点,则

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则,可得

,

所以,故选A.

5. (2018年全国Ⅱ卷理数)已知向量,满足,

,则

A. 4

B. 3

C. 2

D. 0 【答案】B 【解析】因为

所以选B.

6. (2018年江苏卷)在平面直角坐标系中,A 为直线上在第一象限内的点,,以AB

为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若

,则点A 的横坐标为________.

5.【2017天津,理13】在ABC △中,60A =?∠,3AB =,2AC =.若

2BD DC =,,且,则λ的值为___________.

【答案】

311

【解析】,则

.

6.【2017山东,理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量,若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60,则实数

λ的值是 .

【答案】

33

【解析】,

, ,

,解得:33

λ=

. 7.【2017浙江,15】已知向量a ,b 满足则的最小值是________,最大

值是_______. 【答案】4,25

【解析】设向量,a b 的夹角为θ,由余弦定理有:

,

,则:

,

令,则

,

据此可得:,

的最小值是4,最大值是25.

8.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交

于点O ,记1·I OAOB

=,2·I OB OC =,3·I OC OD =,则

A .321I I I <<

B .231I I I <<

C .213

I I I << D .312I I I <<

【答案】C 【解析】因为, OA OC <, OB OD <,所以,

故选C 。

9.【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若

(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .

【答案】3

10.【2017江苏,16】 已知向量

(1)若a ∥b ,求x 的值;

(2)记()f x =?a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】(1)5π6x =(2)0x =

时,()f x 取得最大值,为3; 5π

6

x =时,()f x 取得最小值,为23-. 【解析】 解:(1)因为,

,a ∥b ,

所以

.

若cos 0x =,则sin 0x =,与

矛盾,故cos 0x ≠.

于是.

又[]0,πx ∈,所以5π

6

x =

. (2).

因为[]0,πx ∈,所以

,

α A C

B

O

(第12题)

从而.

于是,当ππ

66

x +=,即0x =时, ()f x 取到最大值3; 当π6x π+

=,即5π

6

x =

时, ()f x 取到最小值23-. 1.【2017课标1,理3】设有下面四个命题

1p :若复数z 满足1

z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;

3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .

其中的真命题为 A.13,p p

B .14,p p

C .23,p p

D .24,p p

【答案】B

【解析】令,则由

得0b =,所以z R ∈,故1p 正确;

当i z =时,因为,而i z R =?知,故2p 不正确;

当12i z z ==时,满足

,但12z z ≠,故3p 不正确;

对于4p ,因为实数的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确,故选B. 2.【2017课标II,理1】

31i

i

+=+( ) A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 【答案】D

【解析】由复数除法的运算法则有:

,故选D 。

3.【2017山东,理2】已知a R ∈,i 是虚数单位,若

,则a=

(A )1或-1 (B )7-7或 (C )-3 (D )3 【答案】A 【解析】由

得234a +=,所以1a =±,故选A.

3.【2016高考新课标2理数】已知

在复平面内对应的点在第四象限,则实数

m 的取值范围是( )

(A )(31)-, (B )(13)-, (C )(1,)∞+ (D )(3)∞--, 【答案】A

【解析】要使复数z 对应的点在第四象限应满足:m 30

m 10+>??-

4.【2016年高考北京理数】设a R ∈,若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上,则

a =_______________.

【答案】-1 【解析】

,故填:-1

5.【2016高考山东理数】若复数z 满足其中i 为虚数单位,则z =( )

(A )1+2i (B )1-2i

(C )12i -+

(D )12i --

【答案】B

【解析】设bi a z +=,则

,故

,则i z 21-=,选B.

6.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若,则

a

b

的值为_______. 【答案】2 【解析】由

,可得110b a b +=??-=?,所以21a b =??=?,2a

b =,故答案为2.

7.【2016高考江苏卷】复数其中i 为虚数单位,则z 的实部是________▲________.

【答案】5 【解析】

,故z 的实部是5

1.(2015·新课标全国Ⅱ,2)若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i,则a =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2

2.(2015·广东,2)若复数z =i(3-2i)(i 是虚数单位),则z =( ) A .3-2i B .3+2i C .2+3i D .2-3i 解析 因为z =i(3-2i)=2+3i,所以z =2-3i,故选D. 答案 D

3.(2015·四川,2)设i 是虚数单位,则复数i 3-2

i =( ) A .-i

B .-3i

C .i

D .3i

解析 i 3-2i =-i -2i

i 2=-i +2i =i.选C. 答案 C

4.(2015·山东,2)若复数z 满足

z

1-i

=i,其中i 为虚数单位,则z =( ) A .1-i B .1+i C .-1-i

D .-1+i

解析 ∵z

1-i =i,∴z =i(1-i)=i -i 2=1+i,∴z =1-i.

答案 A

5.(2015·新课标全国Ⅰ,1)设复数z 满足1+z

1-z =i,则|z |=( )

A .1 B. 2 C. 3 D .2

解析 由1+z 1-z =i,得1+z =i -z i,z =-1+i

1+i =i,∴|z |=|i|=1.

答案 A

高考数学各地试题知识点分类汇编复数

1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) (A )-3 (B )-2 (C )2 (D )3 【答案】A 考点:复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有:复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-,则z =( ) (A )12i -+ (B )12i - (C )32i + (D )32i - 【答案】C 【解析】 试题分析:由3z i i +=-得,32z i =-,所以32z i =+,故选C. 考点: 复数的运算,共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈,两个复数

是共轭复数,其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+,则 || z z =( ) (A )1 (B )1- (C )43i 55 + (D ) 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析: 43i ||55 z z ==-,故选D . 考点:1、复数的运算;2、共轭复数;3、复数的模. 【举一反三】复数的加、减法运算中,可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项,复数的乘法与多项式的乘法相类似,只是在结果中把2i 换成-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解. 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位,则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意,22(1)122i i i i +=++=,故选C. 考点:复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算.数的概念及运算也是高考的热点,几乎是每年必考内容,属于容易题.一般来说,掌握复数的基本概念及四则运算即可. 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-( ) A.i B.1i + C.i - D.1i -

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()

A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

2019高考数学真题汇编平面向量

考点1 平面向量的概念及其线性运算 1.平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角,则m =( ) A .-2 B .-1 C . 1 D .2 2. 在下列向量组中,能够把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3.已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( ) A .-92 B .0 C .3 D.152 4.设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________. 考点3 平面向量的数量积及应用 5.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=___. 6.设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=___. 7.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的 夹角为β,则cos β=________. 8.若向量a ,b 满足:=1,(a +b )⊥a ,(+b )⊥b ,则|=______. 9.设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则=______. 10.在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6 时,△ABC 的面积为______. 考点4 单元综合 11.在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足 |CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________. 练习: 1.已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 .

高考数学平面向量试题汇编

高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2)

将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7)

高考文科数学二轮专题复习:11 复数

专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算.引入虚数,这是中学阶段对数集的最终扩充.需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系,掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除),了解复数的几何表示.由于向量已经单独学习,因此复数的向量形式与三角形式就不作要求,主要解决代数形式. 【知识要点】 1.复数的概念中,重要的是复数相等的概念.明确利用“转化”的思想,把虚数问题转化为实数问题加以解决,而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现. 2.复数的代数形式:z =a +bi (a ,b ∈R ).应该注意到a ,b ∈R 是与z =a +bi 为一个整体,解决虚数问题实际上是通过a ,b ∈R 在实数集内解决实数问题. 3.复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算. 【复习要求】 1.了解数系的扩充过程.理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时,复数z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决. 解:(1)当m 2-5m -6=0,即m =-1或m =6时,复数z 为实数; (2)当,即m =4时,复数z 为纯虚数; (3)当,即m =-1时,复数z 为零. 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义,需要对复数的实部、虚部加以研究.应该注意到复数的实部、虚部都是实数,解决复数的问题时实际上是在进行实数运算.这一点大家在后面的运算中更加能够体会到. 例2 判断下列命题的对错: ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m

高考数学复数习题及答案

高考复习试卷含答案 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的,每小题5分,共100分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.(2017·山东)复数3-i 1-i 等于 ( ) A .1+2i B .1-2i C .2+i D .2-i 答案:C 解析:3-i 1-i =(3-i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+2i 2=2+i.故选C. 2.(2017·宁夏、海南)复数3+2i 2-3i -3-2i 2+3i = ( ) A .0 B .2 C .-2i D .2i 答案:D 解析:3+2i 2-3i -3-2i 2+3i =(3+2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)(2-3i)(2+3i)=13i 13--13i 13=i +i =2i. 3.(2017·陕西)已知z 是纯虚数,z +2 1-i 是实数,那么z 等于 ( ) A .2i B .i C .-i D .-2i 答案:D 解析:由题意得z =a i.(a ∈R 且a ≠0). ∴ z +21-i =(2+a i)(1+i)(1-i)(1+i) =2-a +(a +2)i 2, 则a +2=0,∴a =-2.有z =-2i ,故选D. 4.(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )=x 3-x 2+x -1,则f (i)= ( ) A .2i B .0 C .-2i D .-2 答案:B 解析:依题意,f (i)=i 3-i 2+i -1=-i +1+i -1=0,选择B. 5.(2017·北京朝阳4月)复数z =2-i 1+i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案:D 解析:z =2-i 1+i =12-3 2 i ,它对应的点在第四象限,故选D. 6.(2017·北京东城3月)若将复数2+i i 表示为a +b i(a ,b ∈R ,i 是虚数单位)的形式,则b a 的值为 ( ) A .-2 B .-12 C .2 D.1 2 答案:A 解析:2+i i =1-2i ,把它表示为a +b i(a ,b ∈R ,i 是虚数单位)的形式,则b a 的值为-2,故选A. 7.(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位,复数z =tan45°-i·sin60°,则z 2等于 ( ) A.74-3i B.14-3i C.74+3i D.14+3i 答案:B 解析:z =tan45°-i·sin60°=1-32i ,z 2=1 4 -3i ,故选B. 8.(2017·黄冈中学一模)过原点和3-i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B .-π6

高三数学精准培优专题练习8:平面向量

培优点八 平面向量 1.代数法 例1:已知向量a ,b 满足=3a ,b 且()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为( ) A .3 B .3- C . D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ,所以只需求出a ,b 即可. 由()⊥+a a b 可得:()2 0?+=+?=a a b a a b , 所以9?=-a b .进而?==a b b .故选C . 2.几何法 例2:设a ,b 是两个非零向量,且2==+=a b a b ,则=-a b _______. 【答案】【解析】可知a ,b ,+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ,边长2a =的菱形, =. 3.建立直角坐标系 例3:在边长为1的正三角形ABC 中,设2BC BD =uu u v uu u v ,3CA CE =uu v uu u v ,则AD BE ?=u u u v u u u v __________. 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,

观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题, 如图建系: 3 0, A ?? ? ? ?? , 1 ,0 2 B ?? - ? ?? , 1 ,0 2 C ?? ? ?? , 下面求E坐标:令() , E x y,∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v , 13 2 CA ? =- ?? uu v , 由3 CA CE = uu v uu u v 可得: 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? , ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v , 53 6 BE ? = ?? uu u v ,∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v . 一、单选题 1.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,且向量a,b的夹角为 4 π ,若λ - a b与b垂直,则实数λ的值为() A. 1 2 -B. 1 2 C. 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b,故选D.2.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,7 += a b?= a b() A.1 B2C3D.2 【答案】A 对点增分集训

高考数学平面向量及其应用习题及答案

一、多选题 1.给出下列结论,其中真命题为( ) A .若0a ≠,0a b ?=,则0b = B .向量a 、b 为不共线的非零向量,则22 ()a b a b ?=? C .若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+,则a 与b 垂直 D .若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量,则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 3.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45° D .() //2a a b + 4.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且 AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( ) A .1A B CE ?=- B .0OE O C += C .3OA OB OC ++= D .ED 在BC 方向上的投影为 76 5.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =b C .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立 D .在ABC 中, sin sin sin +=+a b c A B C 6.下列关于平面向量的说法中正确的是( ) A .已知A 、 B 、 C 是平面中三点,若,AB AC 不能构成该平面的基底,则A 、B 、C 共线 B .若a b b c ?=?且0b ≠,则a c = C .若点G 为ΔABC 的重心,则0GA GB GC ++= D .已知()1 2a =-,,()2,b λ=,若a ,b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为1λ< 7.在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .等边三角形

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1.如图,圆O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 为劣弧AC 的中点,则OD =u u u r ( ) A .2133BA AC +u u u r u u u r B .2133BA A C -u u u r u u u r C .1233BA AC +u u u r u u u r D .4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,列出相应式子得出结论. 【详解】 解:连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E , 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选:A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法,结合几何特点,考查分析能力,属于中档题. 2.已知正ABC ?的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ED u u u r u u u r =,那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为( ) A .8 3 - B .1- C .1 D .3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ,即可求得cos ∠BEC ,由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可. 【详解】

由已知可得:7 , 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B . 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式,属中档题. 3.若向量a b r r ,的夹角为3 π ,|2|||a b a b -=+r r r r ,若()a ta b ⊥+r r r ,则实数t =( ) A .1 2 - B . 12 C 3 D .3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ,结合条件可得b a =r r ,又由()a ta b ⊥+r r r ,可得20t a a b ?+?=r r r ,即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ,也即22cos 3 b a b π =r r r ,所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ,得()0a ta b ?+=r r r ,即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选:A

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

2020高考复习数学:复数(附答案)

利用多出来的一个月,多多练习,提升自己,加油! 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.如果复数2i 1i 2+-b (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互 为相反数,那么b 等于 A.2 B. 3 2 C.-3 2 D.2 解析:2i 1i 2+-b =5 2i)-i)(12(b -=5 i )4(22+--b b ∴2-2b =b +4,b =-3 2. 答案:C 2.当3 2<m <1时,复数z =(3m -2)+(m -1)i 在复平面上对应的 点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z 对应的点为(3m -2,m -1), ∵3 2<m <1, ∴0<3m -2<1,-3 1<m -1<0. 答案:D 3.在下列命题中,正确命题的个数为 ①两个复数不能比较大小; ②z 1、z 2、z 3∈C ,若(z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2=0,则z 1=z 3; ③若(x 2-1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数,则实数x =±1; ④z 为虚数的一个充要条件是z +z ∈R ;

⑤若a 、b 是两个相等的实数,则(a -b )+(a +b )i 是纯虚数; ⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z =z . A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①错,两个复数如果都是实数则可比较大小;②错,当z 1、 z 2、z 3不全是实数时不成立,如z 1=i ,z 2=1+i ,z 3=1时满足条件, 但z 1≠z 3;③错,当x =-1时,虚部也为零,原数是实数;④错,此条件是必要非充分条件;⑤错,当a =b =0时,原数是实数;⑥对. 答案:B 4.设f (n )=(i 1i 1-+)n +(i 1i 1+-)n (n ∈Z ),则集合{x |x =f (n )}中元素的 个数是 A.1 B.2 C.3 D.无穷多个 解析:∵f (n )=i n +(-i)n , ∴f (0)=2,f (1)=i -i=0,f (2)=-1-1=-2,f (3)=-i+i=0. ∴{x |x =f (n )}={-2,0,2}. 答案:C 5.已知复平面内的圆M :|z -2|=1,若1 1+-p p 为纯虚数,则与复数 p 对应的点P A.必在圆M 上 B.必在圆M 内 C.必在圆M 外 D.不能确定

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量(知识梳理) 一、向量的概念及表示 1、向量的概念:具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 (2)向量的表示方法: ①具有方向的线段,叫做有向线段,以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量,读作向量AB ; ②用小写字母表示:a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系: ①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段; ③向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模:向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作||。 3、零向量:长度等于零、方向是任意的向量,记作。 4、单位向量:长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量:(1)若非零向量a 、的方向相同或相反,则b a //,又叫共线向量; (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量:若非零向量a 、方向相同且模相等,则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量:=?模相等,方向相同; (2)相反向量:b a -=?模相等,方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ,作a AB =,b BC =,则A 、B 、D 三点不共线,以AB 、AD 为邻边 作平行四边形,则对角线上的向量b a AC +=,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作a -。 (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)a a =--)(; (3)0)()(=+-=-+a a a a ; (4)若a 与b 互为相反向量,则b a -=,a b -=,0=+b a 。 2、向量的减法:已知向量a 与b (如图),作a OA =,b OB =,则a BA b =+,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作b a -,即OB OA b a BA -=-=,由定义可知: (1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ,或简记为“终点向量减始点向量”;

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题 1.复数2 1i =+( ) A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i + 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ?? ? D .43,55?? - ??? 3.复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 4.已知复数()123z i i +=- (其中i 是虚数单位),则z 在复平面内对应点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.已知复数5i 5i 2i z =+-,则z =( ) A B .C .D .6.设1z 是虚数,211 1 z z z =+是实数,且211z -≤≤,则1z 的实部取值范围是( ) A .[]1,1- B .11,22?? - ??? ? C .[]22-, D .11,00,22 ????-?? ????? ? 7.设2i z i +=,则||z =( ) A B C .2 D .5 8.若复数2i 1i a -+(a ∈R )为纯虚数,则1i a -=( ) A B C .3 D .5 9.在复平面内,复数z 对应的点为(,)x y ,若2 2 (2)4x y ++=,则( ) A .22z += B .22z i += C .24z += D .24z i += 10.已知i 是虚数单位,a 为实数,且3i 1i 2i a -=-+,则a =( ) A .2 B .1 C .-2 D .-1 11.复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 12.已知i 是虚数单位,2i z i ?=+,则复数z 的共轭复数的模是( ) A .5 B C D .3

高考数学复数知识点总结及解题思路方法

高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容: 复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求: (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. (2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算. (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想. §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念: ①复数—形如a + b i的数(其中R ,); b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i,即a; ③虚数—当0≠b时的复数a + b i; ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i,即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意 a,b都是实数) ⑥复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义:

00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且. ⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. 注:①若21,z z 为复数,则 1若021 z z +,则21z z - .(×)[21,z z 为复数,而不是实数] 2若21z z ,则021 z z -.(√) ②若C c b a ∈,,,则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. (当22)(i b a =-, 0)(,1)(22=-=-a c c b 时,上式成立) 2. ⑴复平面内的两点间距离公式:21z z d -=. 其中21z z ,是复平面内的两点21z z 和所对应的复数,21z z d 和表示间的距离. 由上可得:复平面内以0 z 为圆心,r 为半径的圆的复数方程: ) (00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式: ①00z r z z 表示以=-为圆心,r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ,)表示以且( =-+-为焦点,长半轴长为 a 的椭 圆的方程(若212z z a =,此方程表示线段21Z Z ,). ④ ), (2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ,为焦点,实半轴长为a 的 双曲线方程(若212z z a =,此方程表示两条射线). ⑶绝对值不等式: 设21z z ,是不等于零的复数,则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-.

20高考数学平面向量的解题技巧

20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题. 【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0,那么( ) A.AO OD = B.2AO OD = C.3AO OD = D.2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,M 为BC 的中点,则MN =______.(用a b 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+由得,12 AM a b =+,所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量=CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 21-- (C ) BA BC 21- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解:设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5

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