人教版高中数学_全册教案

第一章空间几何体

第一章课文目录

1．空间几何体的结构

1．空间几何体的三视图和直观图

1．3空间几何体的表面积与体积

知识结构：

一、空间几何体的结构、三视图和直观图

1．柱、锥、台、球的结构特征

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

（2）锥

棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

名称棱柱直棱柱正棱柱

图形

定义有两个面互相平

行，而其余每相

邻两个面的交线

都互相平行的多

面体

侧棱垂直于底面

的棱柱

底面是正多边形的

直棱柱

侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形

平行于底面的截面

的形状与底面全等的多

边形

与底面全等的多

边形

与底面全等的正多

边形

名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形

定义有一个面是多

边形，其余各面

底面是正多边

形，且顶点在底

用一个平行于

棱锥底面的平

由正棱锥截得

的棱台

是有一个公共顶点的三角形的多面体面的射影是底

面的射影是底

面和截面之间

的部分

面去截棱锥，底

面和截面之间

的部分

侧棱相交于一点但

不一定相等

相交于一点且

相等

延长线交于一

点

相等且延长线

交于一点

侧面的形状三角形全等的等腰三

角形

梯形全等的等腰梯

形

对角面

的形状

三角形等腰三角形梯形等腰梯形

平行于底的截面形状与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

与底面相似的

多边形

与底面相似的

正多边形

其他性质高过底面中心；

侧棱与底面、侧

面与底面、相邻

两侧面所成角

都相等

两底中心连线

即高；侧棱与底

面、侧面与底

面、相邻两侧面

所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质：

名称特殊性质

平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

2．空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规则：

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

3．空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’

,O ’Y ’

,使'''

X OY ∠=45

（或1350

），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度

保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。 注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：

[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

[例3]正方体A BCD_A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面A BCD 内的一

个动点，且满足PM=2，P 到直线A 1D 1

P 的轨迹是（ ） A .圆

B.双曲线

C.两个点

D.直线

解析： 点P 到A 1D 1

P 到A D 的距离为1，满足此条件的P 的轨迹是到直线A D 的距离为1的两条平行直线，

又2PM =，∴满足此条件的P 的轨迹是以M 为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.

故点P 的轨迹是两个点。选项为C 。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

[例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱

锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个

E F

D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1 图2 B

E

A ．

B

E

B ． B

E

C ．

B

E

D ．

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD 的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D 。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

[例9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm 。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得。 作法：

（1）画轴：画X ′，Y ′，Z ′轴，使∠X ′O ′Y ′=45°（或135°），∠X ′O ′Z ′=90°。

（2）画底面：按X ′轴，Y ′轴画正五边形的直观图ABCDE 。

（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 各点分别作Z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE 。′

（4）成图：顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，F ′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

[例10]C B A '''?是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''?的面积

为3，那么△ABC 的面积为

_______________。

解析：62。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。 逻辑思维能力。

[例12]多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ①3； ②4；

③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号） 解析：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、

2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1

到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为5

2

，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

2

，所以C 到平面α的距离为3；C 、

A 1的中点到平面α的距离为7

2

，所以C 1到平面α的距

离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 [例13]（1）画出下列几何体的三视图

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

α

解析：这二个几何体的三视图如下

（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm ）

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 [例14]某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积

1

名称

侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l

S 侧+2S 底

S 底·h=S 直截面·h

直棱柱 ch S 底·h

棱 锥 棱锥 各侧面积之和

S 侧+S 底 31

S 底·h 正棱锥 2

1

ch ′ 棱

棱台

各侧面面积之和

S 侧+S 上底+S 下底

1

h(S 上底+S 下底

表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

2

表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。 3．探究柱、锥、台的体积公式：

1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh =柱体． 2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S ，高为h 的棱柱的体积

V Sh =棱锥，所以1

3

V Sh =锥体．

3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S S '，，高为h ，可以推得它的体积是1

()3

V h S S '=

+台体． 4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：

11

()()(0)33

V Sh S S V h S S S V Sh '''=?===?=柱体台体锥体．

4．探究球的体积与面积公式：

1．球的体积：

（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积 结论：

（2）利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之

间的关系（课件演示）

结论：

（3）得到半径是Ｒ的球的体积公式： 结论：

2．球的表面积：

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）

半球圆锥圆柱

V V V <<33

2

23122

1R R R R R V V V πππ=?-?=-=圆锥圆柱球3

3

4

R

V π=球

图 1

（1）若将球表面平均分割成n 个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n 小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n 趋近于无穷大时,这n 小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.

（2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n 个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n 越大,越接近于球的体积,当n 趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

（3）半径为R 的球的表面积公式：

结论：

例题讲解：

[例1]一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.

解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：??

?=++=++24

)(420

)(2z y x zx yz xy )2()1(

由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16

所以l =4(cm)。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

[例2]如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；

O

i

S ?i

V

?2

4R S π=球

（2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ，

∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。

∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos

3

π=3×21=23

∴AO=4

cos

πAM =223

。

又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－

29=2

9， ∴A 1O=

223，平行六面体的体积为2

2

345?

?=V 230=。 [例3]一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2

3

B ．3

2

C ．6

D ．

6

解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为

l =6222=++c b a ；答案D 。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

[例4]如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

解析：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，

∴S △AEF =

4

1S,

P

A

B C

D

O E V 1

=

31h(S+41S+41

?S )=12

7Sh V 2=Sh-V 1=

12

5

Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3：锥体的体积和表面积

[例5]（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底

面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60

，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ，求四棱锥P －ABCD 的体积？ 解析：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。

在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ，

于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=

3

1

×23×3=2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。

题型4：锥体体积、表面积综合问题

[例7]ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离？

解析：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。

设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝3

4

4232×=。 GO CO GC =

+=+=+=222232218422()。

而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2。 由V V B EFG G EFB --=，得

1

6

EF GO h ··=13S EFB △·

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

[例8]（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD

中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，

如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四

棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）

A ．S 1

B ．S 1>S 2

C ．S 1=S 2

D ．S 1，S 2的大小关系不能确定

解析：连OA 、OB 、OC 、OD ，

则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD

V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC

＋S EFC 又面AEF 公共，故选C

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。 [例10]（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02

B ．S S S '=0

C ．2S 0＝S ＋S ′

D ．S 02＝2S ′S

（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．32

3

B ．28

3

C ．24

3

D ．20

3

解析（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·

43·22＝63，S 下＝6·4

3·42

＝243，V 台＝328)(3

1=+?+下下上上S S S S h ，答案B 。

点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种

解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。 题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题

[例11]（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A ．

π

π

221+ B ．

ππ441+ C ．π

π

21+ D ．

π

π

241+ 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，

∴π

π221+=侧全S S 。答案为A 。

C

点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。

[例12]（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r

，则

r

R

= 。

解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r 。恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有

34πr 3=πR 2r 。故3

32=r R 。答案为332。

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

[例13]（1）（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图所示），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A ．

2

9

π B ．

2

7π C ．

2

5

π D ．

2

3π （2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的

全面积是（ ） A ．3π

B ．3

3π

C ．6π

D ．9π

解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —

ADE 体积之差，又∵求得AB =1。

∴2

3133125331π

ππ=

???-???=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D 。

（2）∵S ＝

21ab sin θ，∴2

1

a 2sin60°＝3， ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ，

∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A 。

点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

[例14]（2000全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A ．

3

21 B ．21

C ．2

1 D ．

42

1

图

解析：

如图所示，由题意知，

31πr 2h ＝6

1

πR 2h ， ∴r ＝

2

R

． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝42

2

,2R OA R =， ∴cos θ＝

42

1

=R OA ，答案为D 。 点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。

[例15]已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且

2AB BC CA ===，求球的表面积。

解析：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，

则23232323

O A '=

??=， 在Rt O OA '?中，2

2

2

OA O A O O ''=+， ∴2

22

231()34

R R =+， ∴43

R =

， ∴2

64

49

S R ππ==

。 点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

[例16]如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d 。

在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,

∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′。

图

由正弦定理，得

?60sin 2a =2r,∴r=3

6

a 。

又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，

∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +。又PO ′=2

2r PA -=2

232a a -

=3

3a ， ∴OO ′=R －

3

3a =d=2

2r R -,(R －

3

3a )2=R 2 – (

36a )2，解得R=2

3a , ∴S 球=4πR 2=3πa 2。

点评：本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=

2

3

a ,下略。 [例17]（2006四川文，10）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果16

3

P ABCD V -=

，则球O 的表面积是（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π

（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积。

解析：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点

,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面

ABCD ，PO=R ，2

2ABCD S R =，16

3

P ABCD V -=

，所以2116

233

R R ??=，R=2，球O 的表面积是16π，选D 。 （2）作轴截面如图所示，

6CC '=2623AC ==

设球半径为R ，

则222

R OC CC '=+

22

(6)(3)9=+=

∴3R =，

∴2436S R ππ==球，34

363

V R ππ=

=球。 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。

[例19]（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ）

（2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离。

解析：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，

∴OK AK ⊥，

设C 是北纬40的纬线长， ∵40AOB OAK ∠=∠=，

∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=?=??∠=??

42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈???≈?

答：北纬40纬线长约等于4

3.06610km ?． （2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '， 设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ， ∵32

124323

AO '=

??=， ∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．

[例20]在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两

点的劣弧长为2

4

R π（R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。

解析：设北纬45圈的半径为r ，则2

r R =

，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '，

∴24r R απ=，∴2224

R R απ=， ∴2

π

α=

，∴2AB r R =

=，

∴ABC ?中，3

AOB π

∠=

，

所以，,A B 两点的球面距离等于

3

R π

．

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进

而求出这两点的球面距离。

第一章 检测题

1．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的AB=3，AD=2，CC 1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，绳子的最短长度是（ ）

A ．13+1

B ．26

C ．18

D ．14

2．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）

A ．8R 2

B ． 9R 2

C ．10R 2

D ．12R 2

3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ）

A ． 10cm

B ． 52cm

C ． 512+πcm

D ．

2

542

π+cm

4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ． 8倍 D ．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．1

54倍 D ．14

3

倍 6．正方体的全面积是a 2

,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A ．

32a π B ．2

2

a π C ． D ．

7．两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为（ ）

A ．4

B ． 3

C ． 2

D ． 1

8．已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A ．

21a 3 B ．32a 3 C ．65a 3 D ．12

11a 3

9.正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A ．8

1 B ．

241 C ．242 D ．48

5 10.棱锥V-ABC 的中截面是?A 1B 1C 1，则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是（ ）

A ．1：2

B ． 1：4

C ．1：6

D ．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ）

A ．1：32

B ．1：24

C ．1：64

D ． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ）

A ．2：3

B ．4：9 C

13．棱长为a 的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（ ）

A ． 4a π 3

B ．

34a π C

．33a D

．3

4

a 14．半径为R 的球的外切圆柱的表面积是______________．

15．E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合）， 则此三棱锥的体积为____________． 16.直三棱柱C B A ABC '''-的体积是V ，D 、E 分别在A A '、B B '上，线段DE 经过矩形A B AB ''的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是________________． 17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________． 18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?

19．A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．

20．圆锥轴截面为顶角等于1200

的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S 和体积V ．

21．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．

答案：

1.C;

2.A;

3.D;

4.B;

5.C;

6.B;

7.C;

8.C;

9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6πR 2; 15.

33; 16. 3V ; 17. 3

485

cm π; 18. 如图 ,SAB 是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C=x , 由C SO 1?与SOB ?相似, 则

111112,,.5SO SO SO SO O C x O C

OB

OB

==

=

∴ OO 1=SO-SO 1=12-

x 5

12

,则圆柱的全面积S=S 侧+2S 底=22

2

127(12)22(12).5

5

x x x x x πππ-

+=-

则当207

x cm =

时,S 取到最大值

2

3607

cm π．

19. 解： AB 2+BC 2=AC 2， ?∴ABC 为直角三角形， ?∴ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ，

因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（

2

R ）2+152，

∴R 2=300，∴S 球=4πR 2=1200π（cm 2）.

20. 解:设母线长为 , 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时,

,4,82

12

=∴= 底面半径32=r ,高.2=h 则S 全=.83

1

,)323(422πππππ==+=+h r V r r

21. 解：2

2115(),22

a EB BF FD D E a a ====

+=∴四棱锥A 1-EBFD 1的底面是菱形，连接

EF ，则1EFD EFB ???，||,11

1

1

CC V V EFD A EFB A --=∴平面ABB 1A 1，

∴ 三棱锥F-EBA 1的高是CC 1到平面AB 1的距离，即棱长a ，

S .4

122121211

a a a AB E A EBA =??=?=?∴.12

1

4131321

1

a a a V V EBA F EFB A =??==--

.6

1231

1

1

a V V EFB A EBFD A =

=∴--

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