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新人教版高中数学必修一第一章函数的概念和表示方法学案

新人教版高中数学必修一第一章函数的概念和表示方法学案
新人教版高中数学必修一第一章函数的概念和表示方法学案

高中数学苏教版必修四学案:1.2.2 同角三角函数关系

第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校,效果一样吗? 思考2如果你觉得效果不同,怎样直观的表示更好? 梳理有向线段 (1)有向线段:规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. (2)有向直线:规定了正方向的直线称为有向直线. (3)有向线段的数量:根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上______或______,这样所得的数,叫做有向线段的数量,记为AB. (4)单位圆:圆心在________,半径等于____________的圆. 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,如图所示,结合三角函数的定义,你能得到sin α,cos α,tan α与MP,OM,AT的关系吗?

思考2三角函数线的方向是如何规定的? 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么?梳理

知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α,sin α,cos α,tan α都有意义吗?梳理三角函数的定义域

类型一 三角函数线 例1 作出-5π 8的正弦线、余弦线和正切线. 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ,即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α=1 2的角α的终边,并求角α的取值集合.

高中数学三角函数知识点(复习)

三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合: . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式:. 4、扇形面积公式:. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: 2、 设点为角终边上任意一点,那么:(设),,, 3、 ,,在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、特殊角0°,30°,45°,60°, 1、平方关系:. 2、商数关系:. 3、倒数关系: §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限”) 1、 诱导公式一: (其中:)

2、 诱导公式二: 3、诱导公式三: 4、诱导公式四: 5、诱导公式五: 6、诱导公式六: §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为:

§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程: 对称中心 对称轴方程: 对称中心

1、记住正切函数的图象: 2、记住余切函数的图象:

探讨高中数学函数的教学策略

探讨高中数学函数的教学策略 发表时间:2015-02-06T10:44:53.783Z 来源:《中小学教育》2015年2月总第198期供稿作者:李国良[导读] 高中函数具有抽象性的特点,而且每个函数都有自己的解析图像,所以这样的知识非常适合采用多媒体加以呈现。 李国良广东省五华县琴江中学514400 摘要:函数在高中数学中占据了非常大的比例,是高中数学教学的重点和难点。为了帮助学生更好地克服函数知识的难点,提高学生的学习效率,教师要改进传统的教学模式,采用多样化的教学方式,根据学生的年龄特征设置教学方案和教学策略。作者结合多年教学实践,在此就高中数学函数教学提出几点建议。 关键词:高中数学函数教学教学策略 高中函数的学习过程,是学生对函数在感性认识的基础上,运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法,理解并掌握函数知识,从而获得对函数知识本质和规律的认识能力的过程。教学中,函数的学习虽然并非等于求解函数题目,但学习函数是建立在对函数基本概念、定理、公式理解的基础上,并通过对函数题目的解答来实现的。根据多年的教学经验,我认为应从以下几方面着手:一、加强对函数定义与概念的教学 在初中阶段学生已经学习过函数的“变量”定义以及一些特殊的函数,如一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数的概念以及一些简单的性质,已经初步掌握了函数的基本知识。新教材特别强调了实例的典型性和丰富性,充分运用了表格和图像的作用,让学生体会到函数的其他形式。这样的安排既可以提升学生对函数概念的理解层次,又可以帮助学生更全面、更深刻地理解函数概念中的“对应关系”,在教学中应充分发挥它们的作用。所以,教学中首先要回顾初中函数概念,然后引用课本中的例题,和学生一起分析例题。例如已知:得出炮弹距地面的高度h随时间t变化的规律:h=130t-5t2。分析t和h的变化范围。分别令其为数集A和数集B,从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应,进而分析、归纳变量之间关系的共同特点。其次,让学生观察、分析、总结函数的特点,然后教师总结,揭示函数关系的本质是表达两个集合之间的元素按照某些特殊法则所确定的对应关系,从而给出函数的对应说概念以及函数的三要素。 二、联系前后知识,建立知识网络 比如题例:有直线1经过A点(1,2),且在x轴上截距范围在(-3,3)中,求y轴上直线1的截距范围。通过建立函数思想并展开分析:分别设横纵截距为a与b,因A点(0,b),(a,0),(1,2)三点共线,a、b的关系就能求得,如能将b关于a的函数关系建立起来,就能够借助该函数在(-3,3)定义域上的值域,获得最终的答案。 由此可见,高中数学许多知识点的关系都是递进、铺排的,掌握了一个知识点,就能找到与其相关联的前后左右的其他知识点。如果学生在高中数学教学过程中或是在其他教学中将各方面知识点充分调动起来,对单一问题进行有效解决,就能够建立起解题思路,并使解题思路更为多样化。这一点也正是目前我国高中数学教学所侧重的。 三、注重创新数学思维的锻炼 函数和方程思想是中学数学重要的思想方法之一,在不等式教学中巧妙地融合函数与方程的思想解题,能使学生于潜移默化中克服思维定式,领会不等式、方程与函数之间的转化,激发学生思维的灵活性。高中数学函数教学要与函数与方程(不等式)有效地结合,使学生体会到函数、方程、不等式的统一关系,进一步体现出新教材中数形结合的思想,使学生体会到数学知识之间的连续性,可以看出函数与方程、函数与不等式密不可分、紧密联系。 如利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题,利用与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。具体案例为:若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解即x的值是多少? 四、充分利用多媒体技术等现代教学手段 数学课程标准实施以来,要求老师在教学中要采用现代化教学手段,达到理想的教学效果。高中函数具有抽象性的特点,而且每个函数都有自己的解析图像,所以这样的知识非常适合采用多媒体加以呈现。利用多媒体技术,可以化抽象为形象,化无形为有形,将知识直观形象地展示在学生面前,让学生一目了然。 例如,在绘制“y=x,y=x2,y=a2(a>0且a≠0)(x∈R)的图像”时,就可以组织学生分组活动,要求他们借助计算机中的“几何画板”作图,并分工协作,共同讨论以上函数的性质和规律,以及在实际生活中的应用价值。又如,在验证“y=a2(a>0且a≠0)(x∈R)在改变a 的值”时,可以借助多媒体展示指数函数底不同时对于图像的不同影响,让学生了解指数函数的变化规律,加深学生对指数函数的印象,同时也有助于突破教学难点、突出教学重点,从而全面提高课堂教学效率。 总之,高中数学教师对函数的教学需要以学生为教学的主体,依据学生的实际情况和教学目标,制订相关的教学计划,培养学生的数学思维能力和创新能力,提高学生分析问题和解决问题的能力,使学生的数学能力得到长足的进步。参考文献 [1]刘志旺高中数学函数教学渗透数学思想方法分析[J].中学生数理化(学研版),2011,(9)。 [2]徐志强突破难点,多媒体助力高中数学函数教学[J].中国教育技术装备,2013,(17)。 [3]张敏对高中数学中函数教学方法的探讨[J].数学学习与研究,2011,(15),29。

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号

【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案

5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义; 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一; 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点:任意角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义; 2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程,解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角, 是一个任意角,R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么(1) 的正弦函数。叫做α记作 ,;sin α=y 即 (2) 的余弦函数。叫做α记作 ,;cos α=x 即 (3) 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为 (tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ;=+)2(cos παk ; =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。当πα=时,点P 的坐标是什么?当

322ππα或= 时,点P 的坐标又是什么?它们唯一确定吗? 探究二 :一般地,任意给定一个角α,它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗? 1.任意角的三角函数定义 设角, 是一个任意角,R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么(1) 的正弦函数。叫做α记作 ,;sin α=y 即 (2) 的余弦函数。 叫做α记作 ,;cos α=x 即 (3) 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为 (tangent function)。 正弦函数,余弦函数,正切函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为:正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三:在初中我们学了锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数,设)2 ,0(π ∈x ,把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ,并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗?对于余弦、正切也有相同的结论吗?

高中数学三角函数知识点总结(非常好用)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1。(2)商数关系:αα cos sin =tan α (z k k ∈+≠ ,2 ππ α) 6.诱导公式:记忆口诀:2 k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ' ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学三角函数模型的简单应用学案苏教版必修

§1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示,有一广告气球,直径为6m ,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时,测得气球的视角01β=,若θ很小时,可取sin θθ≈,试估算该气球离地高度BC 的值约为( ). A .72cm B .86cm C .102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数,其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察,函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据,函数()y f t =的解析式为( ) A .123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B .123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C .123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D .123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图,是一弹簧振子作简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 12 周期后,乙点的位置将移至( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁

高中数学函数概念的变式教学方法研究

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/0715826425.html, 高中数学函数概念的变式教学方法研究 作者:范粤 来源:《教育界·上旬》2018年第11期 【摘要】高中数学对于学生而言是难度十分高的一门学科,相较于初中数学具有更加抽象的数学理念、数学定理,使高中阶段的学生学习经过与理解行为变得更加烦琐。因此,文章根据高中数学函数概念的变式教学方法展开了一系列的分析和论述。 【关键词】高中数学;函数概念;变式教学 一、引言 函数在高中数学课程中起到贯穿知识点的作用,是高中数学课程中一个非常重要的组成部分。函数的概念比较抽象,所以教师在教学过程中经常运用丰富的实际例子和一些易懂的变式进行教学,帮助学生对抽象函数思想进行理解,以便学生运用抽象的函数思想解决实际函数问题,让学生的理解能力和解决问题能力得到提高。在函数的教学中,教师和学生都要注重对函数概念的认识,加强对三种基本函数模式的应用。 二、变式教学及其在函数教学中的作用 首先,我们要了解一下函数概念的发展历史。每一个数学上的突破,都需要经历一个漫长的过程和很多数学家的努力。“函数”一词最早在1673年由德国数学家莱布尼茨在进行自变量数学研究时提出的,之后,函数概念就开始被很多数学家使用。函数概念从形成到应用经历了三个阶段。 (一)变量说 “变量说”有一个经典的函数符号,即,其含义是,函数是一个由变量与一些常数以任何一种方式组成的解析表达式。 (二)对应说 “对应说”是针对函数式中取值取值的对应关系,就是有不同的取值,那么就会有一个与之对应的值,称为是的函数。 (三)关系说 “关系说”是在19世纪末期被数学家提出的,它把函数的定义域和值域均突破了以往数集的限制,扩展到任意集合。在现代函数的数学教学中,把现代函数的“函数观”以集合的形式展

高一必修一函数的概念教学设计及反思

函数的概念 教学目标:1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域。 教学重点:函数概念和函数定义域及值域的求法。 教学难点:函数概念的理解。 教学方法:自学法和尝试指导法 教学过程: (Ⅰ)引入问题 问题1 初中我们学过哪些函数?(正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数) 问题2 初中所学函数的定义是什么?(设在某变化过程中有两个变量x 和y ,,如果给定了一个x 的值,相应地确定唯一的一个y 值,那么就称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量)。 (Ⅱ)函数感性认识 教材例子(1):炮弹飞行时间的变化范围是数集{026}A x x =≤≤,炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤,对应关系21305h t t =- (*)。从问题的实际意义可知,对于数集A 中的任意一个时间t ,按照对应关系(*),在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。 例子(2)中数集{19792001}A t t =≤≤,{026}B S S =≤≤,并且对于数集A 中的任意一个时间t ,按图中曲线,在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。 例子(3)中数集{1991,1992,,2001},{53.8,52.9,,37.9(%)}A B ==L L ,且对于数集A 中的每一个时间(年份),按表格,在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 (III )归纳总结给函数“定性” 归纳以上三例,三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A 、B 间的一种对应关系:对数集A 中的每一个x ,按照某个对应关系,在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应,记作:f A B →。 (IV)理性认识函数的定义 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作(),y f x x A =∈,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain ),与x 的值相队对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域(range)。 定义域、值域、对应法则,称为函数的三个要素,缺一不可; (1)对应法则f (x)是一个函数符号,表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”,在不同的函数中,f 的具体含义不一样; y=f(x)不一定是解析式,在不少问题中,对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式,这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数时,除用符号f (x)表示外,还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示; 自变量x 在其定义域内任取一个确定的值a 时,对应的函数值用符号f (a)来表示。如函数f (x)=x 2+3x+1,当x=2时的函数值是:f (2)=22 +3×2+1=11。

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数(初等函数二) ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<, 则sin y r α= ,cos x r α= ,()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=M P ,cos α=O M ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()2 2 1sin cos 1αα+=

高中数学学案:三角函数的最值问题

高中数学学案:三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域. 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读:必修4第24~33页、第103~116页、第119~122页. 2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么?②三角函数y =A sin (ωx +φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件;③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么?辅助角公式是否熟练?④二倍角公式是什么?由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么?必修4第123页练习第4题怎么解? 3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)=sin x,x ∈? ????π6,2π3的值域为? ?? ??12,1__. 2. 函数f(x)=sin x -cos ? ?? ??x +π6的值域为3]__. 解析:因为f(x)=sin x -cos (x +π6)=sin x -32cos x +12sin x =32sin x -32cos x =3sin (x -π6), 所以函数f(x)=sin x -cos (x +π6)的值域为[-3,3]. 3. 若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__. 解析:f(x)=(1+3tan x)cos x =cos x +3sin x =2sin ? ????x +π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x +π6<2π3,所以sin ? ????x +π6∈???? ??12,1, 所以当sin ? ?? ??x +π6=1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y =2sin 2x -3sin 2x 范例导航 考向? 形如y =a sin 2x +b cos x +c 的三角函数的最值

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有2n 种选择, 即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如:若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =;问:A 到B 的映射有 个,B 到A 的映射有 个;A 到B 的函数有 个,若}3,2,1{=A ,则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + —

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x . 思考2 对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变? 答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中,当取|OP |=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示? 答案 sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的正弦,记作sin α, 即sin α=y ; ②x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x (x ≠0). 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

(完整word版)【高中数学讲义】函数求值域的十种方法.docx

前言: 总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” :教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。 三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。 数学思想举例:数形结合的思想等。 数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体:教、学、练。 老师教什么:数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。 如何做练习: 01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用,多做类型才有用。典型习题,做一顶

百。 02,做题:一题多解。对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。 03,总结:针对错题。大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结,避免两次踏入同一条水沟。 由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出?有思路才怪! 言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” (高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题) 方法一:配方法 用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。

2011高一数学学案:2.1.1《变量与函数的概念》(新人教B版必修一)

2.1.1函数(第一课时) 【知识梳理】 自学课本P 29—P 31,填充以下空格。 1、设集合A 是一个非空的实数集,对于A 内 ,按照确定的对应法则f ,都有 与它对应,则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数,记作 。 2、对函数A x x f y ∈=),(,其中x 叫做 ,x 的取值范围(数集A )叫做这个函数的 ,所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ,函数y=f(x) 也经常写为 。 3、因为函数的值域被 完全确定,所以确定一个函数只需要 。 4、依函数定义,要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系,只要检验: ① ;② 。 【例题解析】 题型一:函数的概念 例1:下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是( ) 题型二:相同函数的判断问题 例2:已知下列四组函数:①x y x = 与y=1 ②y =y=x ③y =y =④2 1y x =+与2 1y t =+其中表示同一函数的是( ) A . ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④ 题型三:函数的定义域和函数值问题 例3:求下列函数的定义域 1、 (1)1 ()1f x x =+ (2)、0()f x x =+ (3) 、()f x =2、 例4:求函数21()1f x x =+,()x R ∈,求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】 1、下列图形哪些是函数的图象,哪些不是,为什么? 2、已知下列四组函数,表示同一函数的是( ) A. ()1f x x =-和21()1 x f x x -=+ B. 0 ()f x x =和()1f x = C. 2 ()f x x =和2 ()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x = 3、求下列函数的定义域 (1)、1 ()2 f x x =- (2)()f x = (3)、0 (x )(1)f x =+ (4)1 ()2f x x = +- 4、已知21()1f x x = +,21 ()1 x g x x +=+ (1)求(2),g(2)f 的值 (2)求(g(2))f 的值 A B C D

高中数学三角函数

三角函数常见题 1、A,B,C为三角形内角,已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC,求角A 解:1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明:(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆,原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A,B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时,y有最小值1此时{x|x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时,y有最小值1此时{x|x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC,若(2c-b)tanB=btanA,求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入

高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案(含解析)新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注:“a”表示“了解”,“b”表示“理解”,“c”表示“掌握”. 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念. 2.本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念,掌握用集合的形式表示终边相同的角,并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2.角的表示 顶点:用O表示; 始边:用OA表示,用语言可表示为起始位置; 终边:用OB表示,用语言可表示为终止位置. 状元随笔(1)在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向.

(2)为了简单起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记成“α”. 3.角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时,当角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合时,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角,如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.状元随笔(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏. (2)k·360 °与α中间用“+”连接,k·360 °-α可理解成k·360 °+(-α). (3)当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360 °的整数倍.终边不同则表示的角一定不同. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的,角的大小是确定的.( ) (2)第一象限的角一定是锐角.( ) (3)终边相同的角是相等的角.( ) 答案:(1)×(2)×(3)× 2.下列各角:-60°,126°,-63°,0°,99°,其中正角的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:结合正角、负角和零角的概念可知,126°,99°是正角,-60°,-63°是负角,0°是零角,故选B. 答案:B

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