一元二次方程及其应用1

一元二次方程及其应用

一、选择题

1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

【答案】C ．

4.（2013四川泸州，8，2分）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．1k >-

B ．1k <且0k ≠

C ． 1k ≥-且0k ≠

D ． 1k >-且0k ≠

5. （2013四川泸州，10，2分）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则

2112x x x x +的值为（ ）

A ．5

B ．－5

C ．1

D ．－1

7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2

+2k －1=0的根的情况为

A ．有两个相等的实数根

B ．没有实数根

C ．有两个不相等的实数根

D ．无法确定

8．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A ．2310x x -+=

B ．210x +=

C ．2210x x -+=

D ．2230x x ++=

9．（2013广东广州，9，4分）若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是（ ）

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.无法判断

11．（2013山东日照，12，4分）如图,已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定：当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.

下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；

②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；

③使得M 大于4的x 值不存在；

④若M=2，则x= 1 .其中正确的有

A ．1个

B ．2个

C ． 3个

D ．4个

15．（2013兰州，8，3分）用配方法解方程x 2﹣2x ﹣1=0时，配方

后得的方程为（ ）

A ．（x +1）2=0

B ．（x ﹣1）2=0

C ．（x +1）2=2

D ．（x ﹣1）2

=2

16．（2013兰州，10，3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）

A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200

C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200

17．（2013广东珠海，4，3分）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列

18.（2013广西钦州，7，3分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，

22（2013?东营，11，3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

24．（2013贵州省六盘水，9，3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两

25．（2013贵州省黔西南州，7，4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零

26．（2013湖北省咸宁市，1，3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）

二、填空题

1．（2013山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．2．(2013湖北荆门，16，3分)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝______．

【答案】2014．

【解析】依题意可知x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－2013，且x 12－x 1－2013＝0．∴x 12＝x 1＋2013①．将①式两边同时乘以x 1，得x 13＝x 12＋2013x 1②．将①代入②，得x 13＝2014x 1＋2013．∴x 13＋2014x 2－2013＝2014x 1＋2013＋2014x 2－2013＝2014(x 1＋x 2)＝2014．

【方法指导】关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值．此题中待求的式子不是两根的对称式，因此需转化．根据根的定义得到等式①，这个等式①是解题的关键，利用它既可以把x 1的3次降为x 1的1次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子．

3．（2013山东临沂，19，3分）对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝22()().

a a

b a b ab b a b ?-??-??≥，＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝_________________．

4.（2013陕西，12，3分）一元二次方程032=-x x 的根是 ．

6．（2013江西，12，3分）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个．．

符合题意的一元二次方程 ． 7．（2013白银，18，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=a 2﹣3a+b ，如：

3★5=32﹣3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是 ﹣1或4 ．

8．（2013兰州，17，4分）若

，且一元二次方程kx 2+ax +b =0有两个实数

根，则k 的取值范围是 ．

9．（2013年佛山市，12，3分）方程0222=--x x 的解是_________________． 12. ．（2013湖南张家界，14，3分）若关于x 的一元二次方程kx 2

+4x+3=0有实根，则k 的非负整数值是 1 ．

14．（2013·聊城，13，3分）若x 1＝－1是关于x 的方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则方程的另一个根x 2＝ ．

10. 2013?新疆5分）2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2011年增长到3985元．若设年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 ．

17.（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程

280x -+=，则△ABC 的周长是 。 18．（2013贵州省黔东南州，15，4分）若两个不等实数m 、n 满足条件：m 2

﹣2m ﹣1=0，n 2﹣2n ﹣1=0，则m 2+n 2的值是 6 ．

19．（2013贵州省黔西南州，16，3分）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则

代数式a 2+b 2+2ab 的值是 1 ．

三、解答题

1. （2013重庆市(A )，23，10分）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积

恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?

（2）若甲队每月的施工费100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么， 甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

【答案】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x 个月，

则乙队单独完成这项工程需要（x －5）个月，由题意得

x (x －5)＝6(x ＋x －5)，整理得x 2－17x ＋30＝0，

解得x 1＝2，x 2＝15．

x 1＝2不合题意，舍去，故x ＝15，x －5＝10．

答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月．

（2）设在完成这项工程中甲队做了m 个月，则乙队做了

2m 个月， 由题知：乙队每月的施工费为150万元，

根据题意列不等式得：100m ＋150·2

m ≤1500， 解得m ≤487

，∵m 为整数，∴m 的最大整数值为8． 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．

【解析】（1）设甲队单独完成需要x 个月，则乙队单独完成需要x-5个月，根据题意列出关系式，求出x 的值即可；（2）设甲队施工m 个月，则乙队施工2

m 个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．

【方法指导】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用．本题难度不大，求解关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式．

2．（2013广东广州，17，9分）解方程：09102=+-x x .

【思路分析】可以运用配方法、求根公式法和因式分解法等三种方法求解．

【解】方法一（配方法）：将方程09102=+-x x

变形为：9102-=-x x

配方， 25925102+-=+-x x

整理，得16)5(2

=-x

解得，121,9x x ==

方法二（求根公式法）：因为a=1,b=-10,c=9 06436100>=-=?

由求根公式解得，121,9x x ==

方法三（因式分解法）：将方程09102=+-x x

变形为：)9)(1(--x x

解得，121,9x x ==

【方法指导】解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．

3．（2013山东菏泽，17，14分）（每题7分）

（1）已知m 方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m

--+的值. 【思路分析】根据方程220x x --=的解为m ，m m -2的值，m m -2-2=0两边同时除以

m 可以得出可得m

m 2-的值. 【解】（1）解法一：

∵m 方程220x x --=的一个实数根

∴220m m --=

∴22m m -=，22m m -=……………………3分

∴原式=22

2()(1)m m m m --+……………………5分 2(

1)m m

=+……………………6分 22=?

4=……………………7分 解法二：解方程220x x --=得：121,2x x =-=

即：121,2m m =-=……………………4分

当1m =-时，把1m =-代入22()(1)4m m m m

--+= 当2m =时，把2m =代入22()(1)4m m m m

--+=……………………6分 即：代数式22()(1)m m m m

--+的值为4. ……………………7分 【方法指导】本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值.借助一元二次方程的解及其等式性质变形，巧妙运用整体代入发求出代数式的值.当然可以直接求出一元二次方程的解M 的值，再代入计算.

4．（2013山东菏泽，20，10分）已知:关于x 的一元二次方程2(41)330kx k x k -+++=（k

是整数）.

(1)求证:方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中12x x <),设y = x 2 - x 1，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由.

【思路分析】(1)判断一元二次方程根的存在情况，不解方程一般运用根的判别式ac b 42-的符号；（2）转化为变量与变量之间是否存在一一对应关系.

【解】（1）证明：△2(41)4(33)k k k =+-+

2(21)k =-·

·····················2分. ∵k 是整数 ∴12k ≠

即210k -≠ ∴△2(21)0k =->

∴方程有两个不相等的实数根. ······················4分.

（2）解方程得：x = ∴3x =或11x k

=+

·····················6分. ∵k 是整数 ∴11k

≤，1123k +≤< 又∵12x x < ∴111x k

=+，23x =·····················8分. ∴113(1)2y k k =-+-=- ∴y 是k 的函数. ·····················10分.

（2）已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实

数m 的值.

【思路分析】先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根。

【解】原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . …………………5分 ∵1x 、2x 是方程的两个根，

∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥2

1-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, …………………8分

由△=0,即8m+4=0,得m=2

1-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)

所以,当12x x =时，m 的值为2

1-. ……………10分

6．(2013四川成都，26，8分)

某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度v (米/秒)关于时间t (秒)的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积．由物理学知识还可知：该物体前n (3＜n ≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和．

根据以上信息，完成下列问题：

(1)当3＜t ≤7时，用含t 的代数式表示v ；

(2)分别求该物体在0≤t ≤3和3＜t ≤7时，运动的路程s (米)关于时间t (秒)的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 点总路程的

710时所用的时间．

【思路分析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式；

(2)根据题意即物理学知识求出分段函数s 的解析式，并列一元二次方程求出题中所需时间．

【解】(1)设直线BC 的解析式为v ＝kt ＋b ．∵点B ，C 的坐标为(3，2)，C (7，10)． ∴32,710.k b k b +=??+=?解得2,4.k b =??=-?

． ∴v ＝2t －4(3＜t ≤7)．

(2)①依题意可知，当0≤t ≤3时，s ＝2t ；

当3＜t ≤7时，s ＝6＋12

[2＋(2t －4)](t －3)＝t 2－4t ＋9． 综上所述，s ＝22 (03),49 (37).

t t t t t ??-+?≤≤＜≤ ②当t ＝7时，s ＝72－4×7＋9＝30．即总路程为30米．

令t 2－4t ＋9＝30×710

．整理得t 2－4t －12＝0． 解得t 1＝－2(不合题意，舍去)，t 2＝6． 答：该物体从P 点运动到Q 点总路程的

710

时所用的时间是6秒．

第26题图

【方法指导】此题涉及一次函数、分段函数、一元二次方程等知识．解决第(2)问的关键根据题意理解求路程的方法．

8．（2013重庆，23，10分）“4·20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．

（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？

（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m 顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶．为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑m 2

1次，小货车每天比原计划多跑m 次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求m 的值． 【解】（1）设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷（x +200）顶，根据题意，得

2[8x +2（x +200）]=16800， 解得x =800

x +200=800+200=1000

答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶，800顶．

（2）根据题意，得14400)1)(300800(8)2

11)(2001000(2=+-++-m m m 化简为042232=+-m m ，解得21=m ，212=m

∵1000－200m 不能为负数，且

m 21为整数，∴212=m （不符合实际，舍去） 故m 的值为2．

9．（2013四川南充，20，8分）关于x 的一元二次方程为012)1(2=++--m mx x m ．

（1）求出方程的根；

（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

【答案】：解：（1）解法一：根据题意得1≠m ．

4)1)(1(4)2(2=+---=?m m m ． ∴11)1(2221-+=--=m m m m x ，1)

1(2222=--=m m x ． 解法二：根据题意得1≠m ．

[]0)1()1()1(=+---m x m x ， ∴1

11-+=

m m x ，12=x ． （2）由（1）知121111-+=-+=m m m x ， ∵方程的两个根都是正整数， ∴

1

2-m 是正整数， ∴11=-m 或2．

∴2=m 或3．

10.（2013四川宜宾，17，6分） 解方程：0132=--x x

11.（2013广东省，21，8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

【思路分析】第一天到第三天，实际上是两天的增长，求天平均增长率，可用a(1+x) 2=b 这个增长率的模型求解．

【解】 设捐款增长率为x ，则

12100)1(100002=+x

解这个方程，得%101.01==x ，1.22-=x （不合题意，舍去）

答：捐款的增长率为10%.

（2）12100×（1+10%）=13310

答：按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．

【方法指导】解决本题这类平均增长率问题，通常都是用a(1+x) 2=b 这个增长率的模型求解．

14．（2013湖北孝感，24，10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有

两个实数根x 1，x 2．

（1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k 使得

≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存

在，请说明理由．

15．（2013·泰安，27，?分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

考点：一元二次方程的应用．

专题：销售问题．

分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可． 解答：解：由题意得出：200×（10－6）＋（10－x －6）（200＋50x ）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x ）]＝1250，即800＋（4－x ）（200＋50x ）－2（200－50x ）＝1250， 整理得：x 2－2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝1，∴10－1＝9，

答：第二周的销售价格为9元．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．

20.（2013山西，20，7分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7

21.（2013四川巴中，27，7分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．

22.（2013四川乐山，23，10分）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k k 0-+++=。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5。当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值。

一元二次方程的实际应用题

一元二次方程的实际应用题 （一）传播问题 1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至 128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每 个支干长出小分支。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。 6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少 名同学？ 7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？ 8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分 析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长 率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 。 4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3 月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？ 6.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平 均每年增长的百分数。

一元二次方程及其应用练习题

一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0

实际问题与一元二次方程的应用

《实际问题与一元二次方程的应用》说课稿尊敬的各校评委、各位老师： 大家好！我是永靖县第六中学的数学教师张红红，今天我说课的内容是人教版九年级数学第二十三章实际问题与一元二次方程应用的第二课时，下面我谈一下，我对这部分教材的理解、以及自己课后的一点体会。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要的数学模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的学习和研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识，其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。由于列出一元二次方程解应用题及应用相当广泛，在几何，物理及其它学科中都有大量的问题存在；因此，它是学习的重点。本节课侧重于几何方面的应用，现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是，不会将实际问题提炼成数学问题，鉴于学生比较缺乏社会生活经历，搜集信息，处理信息的能力较弱，由此，这些是本节课的难点。而用一元二次方程解应用题的数量关系也比用一元一次方程解应用题的数量也要复杂一些，根据教学大纲的要求，以及本节教材的内容和九年级学生的认知特点，我这样设定了教学目标。 2、说教学目标 知识方面：以一元二次方程解决的实际问题为载体，让学生初步掌握数学建模的基本方法。 能力方面：通过对一元二次方程的应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以用一元二次方程来解决的实际问题，并能用正确的语言表述问题、及其解决过程。

(完整版)一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042 =-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a b x x 221- ==；

列一元二次方程解应用题之面积问题.doc

学习必备欢迎下载 《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案 教学目标： 1.以面积的计算为载体，进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意 识，提高学生建立方程模型的能力 2.体会变换在解决数学问题的作用，进一步强化学生问题转化的意识，进 而形成解决问题的能力 教学重点：构建方程模型 教学难点：应用恰当等积变换，探索问题中隐含的等量关系 教学过程： 一、解方程(引入) （1）x2-52x+100=0 2 (2) x -36x+35=0 二、例题：某学校准备在一块长32 米，宽 20 米的草地上 修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等）， 使余下的草坪的面积为540 平方米，求这个方案的 道路的宽度。 变式 1 若改变道路的形状如下图（变式1），其他条件不变，那么应该怎么列方程？ 变式 1 变式 2. 若改变道路的条数如下图，且设计草坪的总面积是570 平方米。其他条件不变，那么应该怎么列方程？ 变式 2

学习必备欢迎下载 变式 3.方案设计 问题：学校准备在一块长32 米，宽 20 米 的草地上修筑道路，决定在全校征集修改方案。 方案要求 :①两条竖道保存不变。 ②横道不能是直道。 ③所有道路入口要相等，注明图形名称。 ④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。 变式 3 你能帮学校修改这个方案吗？并标出入口的宽度 三、小结（从数学思想的角度） 四、效果反馈 某小区中间有一块长方形的草地，长18 米，宽 10 米，中间有两条均匀的小路（小路的人口相等）。已知要求草地的面积为128 平方米求，小路的入口的宽度。 五、课后作业 如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各 甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米 （2）当三条甬道的面积是 1500 平方米时，求甬道的宽度。 （1552=24025； 1452=21025）

一元二次方程的实际应用只是分享

一元二次方程的实际 应用

一元二次方程的实际应用 1、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2＝0 解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x 2、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2＝0 3、解分以下两种情况： 4、（1）当x≥0时,原方程可化为x2-x=0,解得x1=2 x2=-1（不和题意,舍去） 5、（2）当x＜0时,原方程可化为x2+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 （不合题意,舍去）∴原方程的根是x1=2 x2=-2 6、请照此方法解方程 x2-| x-1 |-1=0 7、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0． 8、（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根． 9、（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△A BC的周长． 10、已知函数y=2/x和y=kx+1（k不等于0）. (1)若这两个函数的图像都经过（1,a）,求a和k的值 (2)（2）当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点 4、已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动． （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 5、已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根 (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长. 如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-

数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数

学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫

2020届中考数学专题复习《一元二次方程》专题训练

一元二次方程 A级基础题 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是( ) A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(2017浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017年江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( ) A．配方法 B．直接开平方法 C．因式分解法 D．公式法 4．(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( ) A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 5．(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 6．如图2-1-4，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m 7．(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________． 9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________． 10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

一元二次方程的实际应用教案(供参考)

教学过程 一、复习预习 我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下： 1. 用直接开平方法解方程2 (3)8x -=，得方程的根为（ ）

A. 3x =+ B. 1233x x =+=- C. 3x =- D. 1233x x =+=- 2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ） A ．0 B ．1 C ．0，－1 D ．0，1 3. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。 4. 已知关于x 的方程22440x kx k ++=的一个根是－2，那么k ＝ 。 5.243 x x ++ ＝2(________)x + 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价x 元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程: (40－x)(20+2x)=1200 x 2－30x+200=0 解得:x 2=20 x 2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗? 当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。 二、知识讲解 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”．

一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习 一、选择题 1、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 2、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 3、方程组的解是（） A．B． … C．Ｄ． 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l），则a 的取值范围是（） A． B． C． D． 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 6、方程的根是( ) A．B．C． D． 7、已知代数式的值为9，则的值为（）

A．18 B．12 C．9 D．7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 A．1 B．2 C．1或2 D．0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（） A． B． C．D． ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A．0 B．2 C．0，一2 D．0，2 12、设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（） A．B． C．D． 13、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（） 或13 14、关于的一元二次方程的解为( )．

A.=1，=－1 B.==1 C. ==－1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为 ( ) A．(x+2)2=3 B．(x+4)2=3 C．(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.－1或 B.－1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（） A．1 B．12 C．13 D．25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和，则 ， ． 19、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ． 20、已知一元二次方程的一个根为，则． 21、方程的较大根为，方程的较小根为，则 。

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方

一元二次方程应用题总结归类及典型例题库

一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”． (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解 决问题的基础； (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设 元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度 不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10＋个位数字 三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍． 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式：

中考数学一元二次方程专题(附答案)

中考数学一元二次方程专题（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（） A. x2﹣2x+1=0 B. 2x2﹣x+1=0 C. 4x2﹣2x﹣3=0 D. x2﹣6x=0 2.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（） A. －2或3 B. 3 C. －2 D. －3或2 3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数 的图象可能是: A. B. C. D. 5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（） A. x2﹣8=0 B. 2x2﹣4x+3=0 C. 9x2﹣6x+1=0 D. 5x+2=3x2 6.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程 的两个根，则k的值等于 A. 7 B. 7或6 C. 6或 D. 6 7.方程（x-1）?（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（） A. 14 B. 13 C. －14 D. －20 8.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 9.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ). A. Δ=16S2 B. Δ=-16S2 C. Δ=16S D. Δ=-16S 11.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）. A. x2-4x+4=0 B. x2+3x-1=0 C. x2+x+1=0 D. x2-2x+3=0 12.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（） A. a≥ B. 0

一元二次方程试题及答案

一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 1. （2011?南通）若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A 、﹣2 B 、2 C 、﹣5 D 、5 分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得． 解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x=5，即x=2．故选B ． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得． 2. （2011南昌，9，3分）已知x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1 分析：根据根与系数的关系得出x 1x 2=a c =﹣2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，∴x 1x 2==﹣2，∴1×x 2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C ． 点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键． 3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=－ ba ，x 1x 2= ca ，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可． 解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a （a+1）＞0， 即a 2－2a+1＞0，（a －1）2＞0，a≠1， ∵关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， ∴x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， ∴x 1+x 2－x 1x 2=1－a ， ∴ 3a+1a － 2a+2a=1－a ，

《一元二次方程的应用(几何面积问题)》教学设计 (九年级数学精品教案)

《一元二次方程的应用（几何面积问题）》教学设计 课型：新授 教学目标： 1、知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程； 2、数学思考：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义； 3、问题解决：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程； 4．情感态度：培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力。 教学重点：掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。 教学难点：如何将实际问题转化成数学问题，一元二次方程的建模过程，是本节课的一个难点。 课标与教材分析：课标要求能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。学生已经有了列方程解应用题的基本思路,同时,掌握了解一元二次方程的基本方法,但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。 教学过程： 一、 课前热身 这两个一元二次方程是这节课学习一元二次方程的应用（几何面积问题）的方程模型，这两个方程的掌握会对学生直接产生事半功倍的效果，通过练习，让学生熟练掌握这类方程的解法。 二、课堂进行时…… 园林设计院计划在一块长16m 、宽12m 的矩形空地上，修建同样宽的道路，剩余部分种植花 草，种植花草部分的面积为96m 2，请你在下面的矩形中设计几种既美观又实用的方案： 通过一个小小的设计环节，让学生自己动手设计出模型，并由此引出下面模型的计算。 下面是几位工人师傅设计出的几个方案，请同学们帮忙计算一下这些方案是否可行。 1、如图，甲工人在空地中间修建两条同样宽且互相垂直的道路，请 ()()()()12362126 x x x x --=++=、 、

一元二次方程练习题

一元二次方程练习题 一、填空 1．一元二次方程12)3)(31(2 +=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是 。 6．若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 。 7．若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。 8．方程492=x 与a x =23的解相同，则a = 。 9．当t 时，关于x 的方程032=+-t x x 可用公式法求解。 10．若实数b a ,满足022=-+b ab a ，则b a = 。 11．若8)2)((=+++ b a b a ，则b a += 。 12．已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+221 （C ）0)1()1(222=--+x a x a （D ）03 12=-+=a x x 2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） （A ）±21 （B ）±1 （C ）± 22 （D ）±2 3．若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ） （A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2 1 4．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的 是（ ）

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。