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数学教案 (参数方程与普通方程互化)

数学教案 (参数方程与普通方程互化)
数学教案 (参数方程与普通方程互化)

课题:参数方程与普通方程互化

教学过程:

一、复习引入:

问题:观察下列两组集合,说出集合A 与集合B 的关系(共性)

二、讲解新课:

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种:

(1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数t ,然后代入消去参数

(2) 三角法:利用三角恒等式消去参数

(3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F :在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。

2、常见曲线的参数方程

(1)圆222r y x =+参数方程?

??==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为:???+=+=θ

θsin cos 00r y y r x x (θ为参数)

(3)椭圆122

22=+b y a x 参数方程 ?

??==θθs i n c o s b y a x (θ为参数) (4)双曲线122

22=-b

y a x 参数方程 ???==θθt a n s e c b y a x (θ为参数) (5)抛物线Px y 22=参数方程???==Pt

y Pt x 222

(t 为参数) (6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程

???+=+=α

αsin cos 00t y y t x x (t 为参数) 典型例题

1、 将下列参数方程化为普通方程

(1)?????+=-=2

222t y t t x (2)???=+=θθθ2sin cos sin y x

(3)???????+=++=2221t t y t t x (4)???

????+=+=22

1212t t y t x (5)???????+=+=)1(3)1(222t t y t t x 变式训练1

2、(1)方程?????=+=2

1y t t x 表示的曲线

A 、一条直线

B 、两条射线

C 、一条线段

D 、抛物线的一部分

(2)下列方程中,当方程x y =2

表示同一曲线的点 A 、???==2t y t x B 、?????==t y t x sin sin 2 C 、???=+=t y x 11 D 、?????=+-=t

y t t xos x tan 2cos 121 例2化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。

(1) ?????-=-=t

y t x 4321 (t 是参数) (2) θ

θ2c o s c o s 2==y x (θ是参数) (3) 222

212121t t y t t

x +-=-=

(t 是参数) 变式训练2。P 是双曲线?

??==θθtan 3sin 4y x (t 是参数)上任一点,1F ,2F 是该焦点: 求△F 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。

例3、已知圆O 半径为1,P 是圆上动点,Q (4,0)是x 轴上的定点,M 是PQ 的中点,当点P 绕O 作匀速圆周运动时,求点M 的轨迹的参数方程。

变式训练3:

已知),(y x P 为圆4)1()1(22=-+-y x 上任意一点,求y x +的最大值和最小值。

三、巩固与练习

四、小 结:本节课学习了以下内容:

五、课后作业:见教材53页 2.3.4.5

高考数学参数方程和普通方程的互化练习

【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线(为参数)与曲线(为参数)的交点. 解:把代入 得:两式平方相加可得 ∴(舍去) 于是即所求二曲线的交点是(,-). 说明:在求由参数方程所确定的两曲线的交点时,最好由参数方程组求解,如果化为普通方 程求交点时要注意等价性.如该例若化为普通方程求解时要注意点(-,)是增解. 例2化直线的普通方程为参数方程(其中倾斜角满足且 ) 解法一:因,,故 ∴ 设。取为参数,则得所求参数方程 解法二:如图,()为直线上的定点,为直线上的动点.因动点M与 的数量一一对应(当M在的向上方向或正右方时,;当M在的下 方或正左方时,;当M与重合时,),故取为参数.

过点M作y轴的平行线,过点作轴的平行线,两直线相交于点Q(如图).则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明:①在解法二中,不必限定,,即不必限定,.由 此可知,无论中任意值时,所得方程都是经过(),倾斜角为的直线的参数方程.可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”. ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义,这对解决某些问题较为方便. ③如果取为参数,则得直线参数方程 一般地,直线的参数方程的一般形式是 (,为参数) 但只有当且仅当,且时,这个一般式才是标准式,参数才具有上述的几何意义. 例3求椭圆的参数方程. 分析一:把与对比,不难发现,可设,也可设

解法一:设(为参数),则 ∴ 故 因此,所得参数方程是 (Ⅰ)或(Ⅱ) 由于曲线(Ⅱ)上的点(,),就是曲线(Ⅰ)上的点(, ),所以曲线(Ⅱ)上的点都是曲线(Ⅰ)上的点. 显然.椭圆的参数方程是 分析二:借助于椭圆的辅助圆,可明确椭圆参数方程中的几何意义. 解法二:以原点O为圆心,为半径作圆,如图.设以轴正半轴为始边,以动半径OA为 终边的变角为,过点A作轴于N,交椭圆于M,取为参数,则点M()的横坐标(以下同解法一). 由解法二知,参数是点M所对应的圆半径OA的转角,而不是OM的转角,因而称为椭圆 的离角.(如果以O为圆心,为半径作圆,过M作,交圆于B,由可知 也是半径OB的转角). 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数,把圆化为参数方程。 分析:由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解:如图所示,圆方程化为,设圆与x轴正半轴交于A,为圆上 任一点,过P作轴于B,OP与x轴正半轴所成角为,,则:

参数方程化普通方程

参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法,理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性;应明确新旧知识之间的联系,提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1.把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R,θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入,∴y=3-2x2, 又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3) (2)(θ∈R,θ为参数) 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,把y=sinθcosθ代入,∴x2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ ∴|x|≤,|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 小结:上述两个例子可以发现,都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t≠1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1,又x=-1≠-1,y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 法二:其实只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x,即t=代入y==1-x,∴x+y=1,(其余略)这种方法称为代入消参,这是非常重要的消参方法,其它不少方法都可以看到代入消参的思想。

参数方程化为普通方程教案

课题:参数方程和普通方程的互化(一) 教学目标: 知识目标:掌握如何将参数方程化为普通方程; 能力目标:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法; 情感目标: 培养严密的逻辑思维习惯。 教学重点:参数方程化为普通方程 教学难点:普通方程与参数方程的等价性 教学过程: 一:复习引入: 课本第24页的例题2中求出点M 的轨迹的参数方程为:cos 3,()sin x y θθθ=+??=? 为参数。 问题1:你能根据该参数方程直接判断点M 的轨迹图形吗?如果要判断点M 的轨迹图形,你有什么方法吗? 二:新课探究 1:问题2:结合前面的例子,从参数方程到普通方程有什么变化?你能从中得到什么启发? 2:试一试:把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线? (1)???--=-=t y t x 4123(t 为参数); (2)???==? ?sin 3cos 5y x (?为参数). 3:例题讲解: 例3、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线? 4:问题3:将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点? 5:变式练习: (1)??? ????-=+=t t y t t x 1 1(t 为参数); (2)???+==12cos cos θθy x (θ为参数); 6:问题4:从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗? 1)1t y ???=-??(1)为参数sin cos ().1sin 2y θθθθ+??=+?x=(2)为参数

7:补充例题: 若直线1223x t y t =-??=+?(t 为参数)与直线41x ky +=垂直,则常数k =________. 8:变式练习: (1)曲线的参数方程为)50(1 2322≤≤?????-=+=t t y t x ,则曲线为( ). A .线段 B .双曲线的一支 C .圆弧 D .射线 (2)在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为33x t y t =+??=-?(参数t R ∈),圆C 的参数 方程为2cos 2sin 2x y θθ=??=+? (参数[]0,2θπ∈),则圆C 的圆心坐标为 ,圆心到直线l 的距离为 。 三:课堂小结 ( ) 1: 2: 参数方程化为普通方程要注意哪些要点? 3:消去参数的一些常用方法: 四:作业 1:把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线。 (1)?????-=+=2211t y t x (2)???==θθsin 3cos 2y x (3) ???==θθ2cos sin y x 2:若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+?? =-+?(θ为参数)没有公共点,则实数m 的取值范围 是 。

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的 互化 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

参数方程和普通方程的互化 教学目标 1.理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的. 2.基本掌握消去参数的方法. 3.培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互化”训练中,提高学生解决数学问题的转化能力. 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则,明确新旧知识之间的联系,掌握消去参数的基本方法. 教学过程 师:前面的课程里,我们学习了参数方程,下面请看这样一个问题:(放投影片) 由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A、B两点,求AB中点P的轨迹的参数方程(如图3-5). 分析割线过点Q(a,b),故割线PQ方程为: 此斜率k可作为参数.(投影) 解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a),则圆心O与AB中点P的 即为所求点P的轨迹的参数方程. 师:你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗 生:(无言以对)看不出来. (启发学生猜想,培养参与意识.) 师:你通过题目中点P符合的条件,多画几个点,猜想一下它的形状. (学生在纸上画,讨论.) 生:点P的轨迹(1)过坐标原点,也就是已知圆的圆心.(2)轨迹不是直线.

师:参数方法是研究曲线和方程的又一种方法,是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法.也就是说,参数方程里的参数可以协调x、y的变化.基于这点理论,有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.即想办法消去参数k,把参数方程转化为我们熟知的普通方程,再去研究它的几何性质就容易了. 把(3)代入(2)得:x2-ax+y2-by=0.(4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的,具体地说:点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部). 师:以上事例说明,有时为了判定曲线的类型,研究曲线的几何性质,确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程.这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则. 例1 炮弹从点(0,0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射,问:(1)在时刻t的高度和水平距离如何(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线 (学生通过物理知识,很容易解决这个问题.) 解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x,y)(如图3-6),因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动,在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动,所以按匀速直线运动的公式知:炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cos α·t,按竖直上抛运动的位移公式知:炮弹在时 即弹道曲线的参数方程上看不出来,那么怎么办呢 生:消去参数t,转化成为普通方程后,就可看出曲线的形状了. 故炮弹描绘的曲线是一条抛物线.(含顶点在内的一部分.因为二次项系数是负值,所以这是开口向下的抛物线,与实际问题相吻合.) 例2 把参数方程 即3x+5y-11=0是所求的普通方程,它的轨迹是一条直线. 师:这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法.这正与解方程组中代入消元法相类似.他用学过的知识解决了新问题.你认为他的解题过程有问题吗 生:挺好的.我与他解的一样,没问题. 师:同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗 生:t为不等于-1的实数,即t≠-1.

参数方程化普通方程练习题有答案

参数方程化普通方程 1.参数方程? ????x =cos 2 θ y =sin 2 θ,(θ为参数)表示的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .线段 D .射线 解析:选=cos 2 θ∈[0,1],y =sin 2 θ∈[0,1],∴x +y =1,(x ,y ∈[0,1])为线段. 2.(1)参数方程? ????x =2t y =t (t 为参数)化为普通方程为____________. (2)参数方程? ????x =1+cos θ y =1-sin θ,(θ为参数)化为普通方程为____________. 解析:(1)把t =12x 代入y =t 得y =1 2x . (2)参数方程变形为??? ? ?x -1=cos θ,y -1=-sin θ, 两式平方相加,得(x -1)2+(y -1)2 =1. 答案:(1)y =12 x (2)(x -1)2+(y -1)2 =1 3.曲线C :?????x =12t y =t 2 ,(t 为参数)的形状为____________. 解析:因为t =2x ,代入y =t 2 ,得y =4x 2 ,即x 2 =1 4 y ,所以曲线C 为抛物线. 答案:抛物线 4.将下列参数方程化为普通方程: (1)???x =t +1 y =1-2t ,(t 为参数); (2)? ????x =5cos θy =4sin θ-1,(θ为参数); (3)?????x =1+3 2t y =2-1 2t ,(t 为参数); (4)?????x =2t 1+t 2y =1-t 21+t 2 ,(t 为参数). [解] (1)由x =t +1≥1,有t =x -1, 代入y =1-2t , 得y =-2x +3(x ≥1). (2)由?????x =5cos θ y =4sin θ-1得?????cos θ=x 5sin θ=y +14 , ① ② ①2 +②2 得x 2 25+(y +1) 2 16 =1. (3)由?????x =1+32t y =2-12t 得?????x -1=3 2t y -2=-12t , ① ② ②÷①得 y -2x -1=-33,∴y -2=-3 3 (x -1)(x ≠1) ∴3x +3y -6-3=0, 又当t =0时x =1,y =2也适合,故普通方程为3x +3y -6-3=0. (4)由???? ?x =2t 1+t 2y =1-t 21+t 2得? ??? ?x 2=4t 2 (1+t 2)2 y 2=1+t 4-2t 2(1+t 2) 2 , ① ② ①+②得x 2+y 2 =1.

参数方程与普通方程的互化(教学设计)

2.1.3 参数方程与普通方程互化(教学设计) 教学目标: 知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 教学过程: 一、复习引入: 1、圆的参数方程; (1)圆222r y x =+参数方程? ??==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为:???+=+=θθsin cos 00r y y r x x (θ为参数) 2、参数方程的定义 二、师生互动,新课讲解: 小结: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数t ,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为0),(=y x F :在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性,必须根据

参数的取值范围,确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法,体会互化过程,归纳方法。 3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。 答:B 变式训练2:曲线y=x 2的一种参数方程是( D ) 例3:指出下列参数方程表示什么曲线: (1)? ????x =3cos θ,y =3sin θ????θ为参数,0<θ<π2; (2)?????x =2cos t ,y =2sin t (t 为参数,π≤t ≤2π); (3)? ????x =3+15cos θ,y =2+15sin θ(θ为参数,0≤θ<2π). 解析:(1)由? ????x =3cos θ,y =3sin θ(θ为参数)得x 2+y 2=9. 2224sin A B C sin x t x t x t x y t y t y t y t ==??=??=??????====??????、、、、

参数方程化成普通方程

参数方程化成普通方程,这类高考数学题,难不难? 极坐标和参数方程是高中数学当中重要的知识点,也是高考数学考查的一个重要对象。在平时的数学学习过程中,我们要学会对极坐标和参数方程内容在高考中的考查和应用,进行了一个全面总结,让自己对相关考点和题型做到心里有数。 如在解析几何试题中,与圆锥曲线的同一焦点弦的两焦半径的长的有关问题是极为常见的,此类问题的多种解法中,用圆锥曲线的统一定义(极坐标)求焦半径长入手最简单椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:平面上与一定点F(焦点)的距离和一条定直线l的距离比为定值e的点的轨迹。 用极坐标方程去解决数学问题具有独特的优势,在极坐标(P,θ)中,P表示线段长度,灵活方便,并且能从极坐标方程中求出;θ表示角度,可使有关运算转化为三角函数式,计算有公式可循,因此它与直角坐标相比,有独特的功能,特别在处理圆锥曲线的弦、半径等问题中,极坐标具有一定的优越性。 典型例题分析1:

考点分析: 参数方程化成普通方程. 题干分析: (I)直线C1(t为参数),消去参数t化为普通方程:y=(x﹣1)tanα+2,把点(2,3)代入,解得tanα,即可得出直线C1的普通方程.由圆C2(α为参数),利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程,把点(2,2)代入解得t2,即可得出圆C2的普通方程. (II)由题意可得:|OP|max=|OC2|+|t|,代入解得t即可得出. 典型例题分析2:

考点分析:

摆线在刻画行星运动轨道中的作用;参数方程化成普通方程. 题干分析: (1)求出曲线C的普通方程,直线的普通方程,利用圆的到直线的距离距离与半径比较,即可得到结果. (2)利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式,即可得到结果

参数方程与普通方程互化教案

参数方程与普通方程互化 教学目标: 1、知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2、过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意 识。 重点难点: 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、前置作业 1、你能直接说出由参数方程 表示的动点M的轨迹吗? 2、将下列曲线的参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线 3、从上题转化过程中,你能归纳出其一般步骤吗?采用了什么处理手法? 二、教学过程 1、展示前置作业,学生小组合作、探究前置作业中的问题。 2、学生分组展示探究成果。 1)在解方程组中通常用的消元方法有哪些? 2)写出圆222 x y r +=的参数方程 学生展示前置作业问题1 解:由11 x=≥有1 x-,代入1 y=-得23(1) y x x =-+≥,这是以(1,1)为端点的一条射线。 注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的. 12 (1)() 2 x t t y t =+ ? ? =- ? 为参数) ( sin 4 cos 5 为参数 θ θ θ ? ? ? = = y x 1 . 1 x t y ?= ? ? =- ?? 是参数)

小结:1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. 探究新知(预习教材P 24~P 26,找出疑惑之处) [读教材·填要点]参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方 程和普通方程是 的不同形式,一般地,可以通过 而从参数方程得到普通方程. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 保持一致. 学生展示前置作业问题2 强调注意三角函数法:利用一些三角函数恒等式来消去参数,注意等价变形 小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数。 2.三角法:利用三角恒等式消去参数。 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,选用灵活的方法从整体上消 去参数或加减消参法、平方消参法。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一 致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x 、y 的取值范围。 注意:不是所有的参数方程都能化成普通方程。 3、巩固练习、将下列参数方程化为普通方程: 23cos (1)3sin x y θθ=+??=?sin (2)cos 2x y θθ=??= ?(3)(4x t y ?=??=??为参数) 收获:消参的方法一: 代入法 消参过程中要注意的问题: 参数方程与普通方程互化前后,x,y 的取值范围要 保持不变 消参的方法二: 利用恒等式22sin cos 1θθ+= 消参过程中要注意的问题: 先平方再相加 消参的方法三: 整体相消法 消参过程中要注意的问题: 可以先平方,寻找机会 4、课堂小结,你的收获是

高中高考数学参数方程及普通方程的互化重点学习练习.doc

【参数方程和普通方程的互化】 例1 求曲线(为参数)与曲线(为参数)的交 点.解:把代入 得:两式平方相加可得 ∴(舍去) 于是即所求二曲线的交点是(,-). 说明:在求由参数方程所确定的两曲线的交点时,最好由参数方程组求解,如果化为普 通方程求交点时要注意等价性.如该例若化为普通方程求解时要注意点(-,)是增解. 例2 化直线的普通方程为参数方程(其中倾斜角满足且) 解法一:因,,故 ∴ 设。取为参数,则得所求参数方程 解法二:如图,()为直线上的定点,为直线上的动点.因动点M与的数量一一对应(当M在的向上方向或正右方时,;当M在的下方或正左方时,;当M与重合时,),故取为参数. 过点 M作y轴的平行线,过点作轴的平行线,两直线相交于点Q(如图).则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明:①在解法二中,不必限定,,即不必限定,.由此可知,无论中任意值时,所得 方程都是经过(),倾斜角为的直线的参数方程.可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准 式”. ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义,这对解决某些问题较为方便. ③如果取为参数,则得直线参数方程

一般地,直线的参数方程的一般形式是 (,为参数) 但只有当且仅当,且时,这个一般式才是标准式,参数才具有上述的几何意义. 例 3 求椭圆的参数方程. 分析一:把与对比,不难发现,可设,也可设 解法一:设(为参数),则 ∴ 故 因此,所得参数方程是 (Ⅰ)或(Ⅱ) 由于曲线(Ⅱ)上的点(,),就是曲线(Ⅰ)上的点(,),所以曲线(Ⅱ)上的点 都是曲线(Ⅰ)上的点. 显然.椭圆的参数方程是 分析二:借助于椭圆的辅助圆,可明确椭圆参数方程中的几何意义. 解法二:以原点O为圆心,为半径作圆,如图.设以轴正半轴为始边,以动半径OA为终边的变角为,过点 A 作轴于 N,交椭圆于M,取为参数,则点M()的横坐标(以下同解法一). 由解法二知,参数是点M所对应的圆半径OA的转角,而不是OM的转角,因而称为椭圆 的离角.(如果以O 为圆心,为半径作圆,过M作,交圆于B,由可知也是半径OB的转角). 例 4用圆上任一点的半径与x 轴正方向的夹角为参数,把圆化为参数方程。 分析:由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解:如图所示,圆方程化为,设圆与x 轴正半轴交于A,为圆上任一点,过P 作轴于 B, OP 与 x 轴正半轴所成角为,,则: 又中, ∴ ∴此圆的参数方程为

参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化 【学习目标】了解参数方程化为普通方程的意义.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. 【学习重点】参数方程与普通方程的互化 【学习难点】参数方程与普通方程的等价性 一、自主学习 1、=+θθ22cos sin =θ2sin =θ2c o s = = =θ2s i n =θ2 c o s (降幂公式) =+θθc o s s i n b a (辅助角公式) 3、试一试:将下列参数方程中的参数消去: (1)???+=-=t y t x 221,(t 为参数) (2)???==θ θsin cos y x ,(θ为参数); 二、合作探究 例1、将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线. (1)???-=+=t y t x 211,(t 为参数)(2)???+=+=θθθ2sin 1cos sin y x ,(θ为参数);(3)为参数)t t t y t t x (,11?? ???-=+= 变式训练:把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线. (1)???=-=t y t x 431,(t 为参数);(2)???==为参数)???(,sin 3cos 5y x (3)???+-=+=θ θ2cos 1sin 22y x ,(θ为参数); 例2、求方程1642 2=+y x 的参数方程: (1)设y =4sin θ,θ为参数; (2)若令y =t(t 为参数),如何求曲线的参数方程?若令x =2t(t 为参数),如何求曲线的参数方程? 变式训练:根据所给的条件,把曲线的普通方程化为参数方程: (1)为参数;设t t y y x y ,1,012-==--- (2)?4212121cos ,a x a y x ==+设,?为参数。

参数方程化成普通方程

参数方程与普通方程互化 太和中学孙全海 教学目标: 1、知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2、过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 重点难点: 教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、前置作业 1、你能直接说出由参数方程 表示的动点M的轨迹吗? 2、将下列曲线的参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线 3、从上题转化过程中,你能归纳出其一般步骤吗?采用了什么处理手法? 二、教学过程 1、展示前置作业,学生小组合作、探究前置作业中的问题。 2、学生分组展示探究成果。 1)在解方程组中通常用的消元方法有哪些? 2)写出圆222 x y r +=的参数方程 学生展示前置作业问题1 解:由11 x=≥有1 x =-,代入1 y=-得23(1) y x x =-+≥,这是以(1,1)为端点的一条射线。 注意:在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的. 12 (1)() 2 x t t y t =+ ? ? =- ? 为参数) ( sin 4 cos 5 为参数 θ θ θ ? ? ? = = y x 1 . 1 x t y ?= ? ? =- ?? 是参数)

小结:1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. 探究新知(预习教材P 24~P 26,找出疑惑之处) [读教材·填要点]参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方 程和普通方程是 的不同形式,一般地,可以通过 而从参数方程得到普通方程. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 保持一致. 学生展示前置作业问题2 强调注意三角函数法:利用一些三角函数恒等式来消去参数,注意等价变形 小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数。 2.三角法:利用三角恒等式消去参数。 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,选用灵活的方法从整体上消 去参数或加减消参法、平方消参法。 化参数方程为普通方程为F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一 致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x 、y 的取值范围。 注意:不是所有的参数方程都能化成普通方程。 3、巩固练习、将下列参数方程化为普通方程: 23cos (1)3sin x y θθ=+??=?sin (2)cos 2x y θθ=??= ?(3)(4x t y ?=??=??为参数) 收获:消参的方法一: 代入法 消参过程中要注意的问题: 参数方程与普通方程互化前后,x,y 的取值范围要 保持不变 消参的方法二: 利用恒等式22sin cos 1θθ+= 消参过程中要注意的问题: 先平方再相加 消参的方法三 : 整体相消法 消参过程中要注意的问题: 可以先平方,寻找机会 4、课堂小结,你的收获是

参数方程化成普通方程

§3 参数方程化成普通方程 1.曲线? ???? x =2cos θ-1y =2sin θ+2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( ) A .y =0 B .x +y =0 C .x -y =0 D .2x +y =0 解析:选D.曲线????? x =2cos θ-1y =2sin θ+2 (θ为参数)的普通方程为(x +1)2+(y -2)2=4,圆心C (-1,2),过圆心的直线都是圆的对称轴,故选D. 2.与普通方程x 2+y -1=0等价的参数方程为(t 为参数)( ) A.????? x =sin t y =cos 2t B.????? x =cos t y =sin 2t C.??? x =1-t y =t D.????? x =tan t y =1-tan 2t 解析:选D.A 化为普通方程为 x 2+y -1=0,x ∈[-1,1],y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2+y -1=0,x ∈[-1,1],y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2+y -1=0,x ∈[0,+∞),y ∈(-∞,1]. D 化为普通方程为x 2+y -1=0,x ∈R ,y ∈(-∞,1]. 3.若曲线? ???? x =1+cos2θ,y =sin 2θ(θ为参数),则点(x ,y )的轨迹是( ) A .直线x +2y -2=0 B .以(2,0)为端点的射线 C .圆(x -1)2+y 2=1 D .以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析:选D.x =1+cos2θ=1+(1-2sin 2θ) =2-2y ,∴x +2y -2=0. 又∵x =1+cos2θ∈[0,2],y =sin 2θ∈[0,1]. ∴点(x ,y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段. 4.参数方程????? x =sin α2+cos α2y =2+sin α(α为参数)的普通方程为( ) A .y 2-x 2=1 B .x 2-y 2=1 C .y 2-x 2=1(|x |≤2) D .x 2-y 2=1(|x |≤2) 解析:选C.x 2=????sin α2+cos α22=1+sin α, y 2=2+sin α,∴y 2-x 2=1. 又x =sin α2+cos α2 =2sin ????α2+π4∈[-2,2],即|x |≤ 2.故应选C. 5.椭圆? ???? x =5cos φy =3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( ) A .(-2,0),(2,0) B .(0,-2),(0,2) C .(0,-4),(0,4) D .(-4,0),(4,0) 解析:选D.利用平方关系化为普通方程x 225+y 2 9 =1,c 2=16,c =4,焦点在x 轴上,∴焦点为(-4,0),(4,0),故选D.

参数方程和普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化 教学目标 1.理解参数方程与消去参数后所得的普通方程就是等价的. 2.基本掌握消去参数的方法. 3.培养学生观察、猜想与灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互化”训练中,提高学生解决数学问题的转化能力. 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则,明确新旧知识之间的联系,掌握消去参数的基本方法. 教学过程 师:前面的课程里,我们学习了参数方程,下面请瞧这样一个问题:(放投影片) 由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A、B两点,求AB中点P的轨迹的参数方程(如图3-5). 分析割线过点Q(a,b),故割线PQ方程为: 此斜率k可作为参数.(投影) 解设过点Q的直线方程就是y-b=k(x-a),则圆心O与AB中点P的

即为所求点P的轨迹的参数方程. 师:您能根据点P的参数方程说出点P的轨迹不? 生:(无言以对)瞧不出来. (启发学生猜想,培养参与意识.) 师:您通过题目中点P符合的条件,多画几个点,猜想一下它的形状. (学生在纸上画,讨论.) 生:点P的轨迹(1)过坐标原点,也就就是已知圆的圆心.(2)轨迹不就是直线. 师:参数方法就是研究曲线与方程的又一种方法,就是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法.也就就是说,参数方程里的参数可以协调x、y的变化.基于这点理论,有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.即想办法消去参数k,把参数方程转化为我们熟知的普通方程,再去研究它的几何性质就容易了. 把(3)代入(2)得:x2-ax+y2-by=0.(4) 方程(4)证实了我们的猜想就是正确的,具体地说:点P的轨迹就是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部).

§3 参数方程化成普通方程

§3 参数方程化成普通方程 1.代数法消去参数 (1)这种方法是从参数方程中选出一个方程,解出参数,然后把参数的表达式代入另一个方程,消去参数,得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法. (2)通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形,然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数 如果参数方程中的x ,y 都表示为参数的三角函数,那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数,这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】 【知能要点】 1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程. 2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程. 题型一 代数法消去参数 这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程,解出参数,然后代入另一个参数方程中得普通方程,这种方法思路简单,可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形,然后把两参数方程进行代数运算消去参数,这种方法运算量小,但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)?????x =1+12t ,y =5+32t ;

(2)?????x =(1-k 2)r 1+k 2,y =2kr 1+k 2. 解 (1)由x =1+12t 得t =2x -2代入y =5+32t 中得y =5+32(2x -2), 即:3x -y +5-3=0就是它的普通方程. (2)?????x =(1-k 2)r 1+k 2,y =2kr 1+k 2 ??????x 2=(1-k 2)2r 2(1+k 2)2, y 2=4k 2r 2(1+k 2)2, 得x 2+y 2=(1-2k 2+k 4)r 2+4k 2r 2(1+k 2)2=(1+2k 2+k 4)r 2(1+k 2) 2=r 2. ∴x 2+y 2=r 2就是它的普通方程. 【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂,如第 (2)小题,这时为了减少运算量,就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两 边取平方.然后相加消去参数. 1.将下列参数方程化成普通方程. (1)?????x =t +1t -1,y =2t t 3-1; (2)???x =2t 2-t -3,y =t 2-t -1;(3)?????x =p t 2+pt 2,y =p t -pt . 解 (1)由x =t +1t -1,得t =x +1x -1.代入y =2t t 3-1化简得y =(x +1)(x -1)23x 2+1 (x ≠1). (2)由x -2y =t -1得t =x -2y +1,代入y =t 2-t -1化简得x 2-4xy +4y 2+x -3y -1=0. (3)将y =p t -pt 的两边平方得y 2=p 2t 2+p 2t 2-2p 2=p ? ?? ??p t 2+pt 2-2p 2,以x =p t 2+pt 2代入上式, 得y 2=p (x -2p ). 题型二 利用三角恒等式消去参数 利用这种方法消去参数必须是x ,y 都表示成参数的三角函数,然后利用三角函数的恒等变形式消去参数,这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变

极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:的作用下,点P(x ,y)对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩? ??>='>=')()(0,0,μμλλy y x x 变换,简称伸缩变换.平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换Error!下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆(重点考察). 【强化理解】 1.曲线C 经过伸缩变换后,对应曲线的方程为:x 2+y 2=1,则曲线C 的方程为( ) A . B . C . D .4x 2+9y 2=1 【解答】解:曲线C 经过伸缩变换①后,对应曲线的方程为:x ′2+y ′2=1②, 把①代入②得到:故选:A 2、在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线4x 2+9y 2=36变成曲线x ′2+y ′2=1. 【解答】解:设变换为φ:可将其代入x ′2+y ′2=1,得λ2x 2+μ2y 2=1. {x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0),) 将4x 2+9y 2=36变形为+=1, x 29y 24 比较系数得λ=,μ=. 1312

所以将椭圆4x 2+9y 2=36上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的,{x ′=13x , y ′=12 y .)1312可得到圆x ′2+y ′2=1. 亦可利用配凑法将4x 2+9y 2=36化为+=1,与x ′2+y ′2=1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2 {x ′=x 3,y ′=y 2.)二、极坐标 1.公式: (1)极坐标与直角坐标的互化公式如下表: 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化 公式 cos sin x y ρθρθ=??=? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+??=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 (1)点:有关点的极坐标与直角转化的思路 A :直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+??=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.

参数方程与普通方程的互化 (含答案)

(编号:044) 一、填空题 1、常见曲线的参数方程 (1)圆2 22r y x =+参数方程是 (2)圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=参数方程为: (3)椭圆122 22=+b y a x 参数方程为 (4)双曲线122 22=-b y a x 参数方程为 (5)抛物线Px y 22 =参数方程为 (6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程为 二、解答题 将下列参数方程化为普通方程 (7)?????+=-=2 22 2 t y t t x (8)?? =θ 2sin y (9)??? ???? +=++=2221t t y t t x (10)??? ????+=+=22 1212t t y t x (11)22213x t t y t t =+ ???????? ?=+ ????? (12)?????-=-=t y t x 4321 (13) P 是双曲线4cos 3tan x y θθ ?=? ??=? (θ是参数)上任一点,1F ,2F 是该焦点, 求△PF 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。

(编号:044)参考答案 一、填空题 1、常见曲线的参数方程 (1)圆2 22r y x =+参数方程? ??==θθsin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=参数方程为:cos sin x a r y b r θ θ =+??=+? (θ为参数) (3)椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ? ??==θθsin cos b y a x (θ为参数) (4)双曲线122 22=-b y a x 参数方程是cos tan a x y b θθ?= ???=?或 11x a t t y b t t ??? =+ ?????? ???=- ????? (θ为参数) (5)抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 (t 为参数) (6)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x (t 为参数) 二、解答题 2、将下列参数方程化为普通方程 (1)?????+=-=2 22 2 t y t t x 答案: 22284120x y xy y x +--++= (2)?? =θ 2sin y 答案:2 1x y =+ (3)??? ???? +=++=2221t t y t t x 答案:42y x =- (4)??? ????+=+=22 1212t t y t x 答案:()2 2 11x y -+= (5)22213x t t y t t =+ ???????? ?=+ ????? 答案: 2 364 x y =+ (6) 13x y ?=-??=-?? 答案:()211,3y x x y =+≤≤ 13) P 是双曲线4cos 3tan x y θθ ?=? ??=?(θ是参数)上任一点,1F ,2F 是该焦点,求 △PF 1F 2的重心G 的轨迹的普通方程。 答案: 4cos 3tan x y θθ ? =? ? ?=?化为普通方程为221169x y -= 设重心G (),m n ,则P ()3,3m n ,代入 22 1169 x y -=, 整理得,2 21169 m n -= 即重心G 的轨迹的普通方程为2 21169 x y -=

参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化 ? 教学目标 1.理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的. 2.基本掌握消去参数的方法. 3.培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互化”训练中,提高学生解决数学问题的转化能力. 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则,明确新旧知识之间的联系,掌握消去参数的基本方法. 教学过程 师:前面的课程里,我们学习了参数方程,下面请看这样一个问题:(放投影片) 由圆外一点Q(a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A、B两点,求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5). 分析? 割线过点Q(a,b),故割线PQ方程为: 此斜率k可作为参数.(投影) 解? 设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a),则圆心O与AB中点P的

即为所求点P的轨迹的参数方程. 师:你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗? 生:(无言以对)看不出来. (启发学生猜想,培养参与意识.) 师:你通过题目中点P符合的条件,多画几个点,猜想一下它的形状. (学生在纸上画,讨论.) 生:点P的轨迹(1)过坐标原点,也就是已知圆的圆心.(2)轨迹不是直线. 师:参数方法是研究曲线和方程的又一种方法,是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法.也就是说,参数方程里的参数可以协调x、y的变化.基于这点理论,有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.即想办法消去参数k,把参数方程转化为我们熟知的普通方程,再去研究它的几何性质就容易了. 把(3)代入(2)得:x2-ax+y2-by=0.(4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的,具体地说:点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部).

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