考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图像-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)

考点18 函数y=Asin（ωx+φ）的图像

1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）将函数

的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________．

【★答案★】

【解析】

解：函数的图象向右平移个单位得到函数＝，如下图所示，

点坐标为，之间为一个周期：

所以，三角形的面积为：

故★答案★为：

2．（江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试）将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______．

【★答案★】

【解析】

将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2?+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=，

故★答案★为：．

3．（江苏省南通市2019届高考数学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，将函数的图象向右平移个

单位得到

的图象，则

的值为______

【★答案★】

【解析】

由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象，

所以

．

4．（江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试四）若将函数（）的图象向左平

移

个单位所得到的图象关于原点对称，则

__________．

【★答案★】.

【解析】分析：先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得． 详解：将函数

的图象向左平移

个单位所得到的图象对应的解析式为

由题意得函数为奇函数，

∴，

∴，

又，

∴

．

点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： ①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数．

②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)．

③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ

(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)．

5．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π?

?

=+

??

?

的图像向右平移? 02π???

<< ??

?

个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则?的值为_________. 【★答案★】

6

π 【解析】函数sin 23y x π??

=+ ??

?

的图像向右平移? 02π???

<<

??

?

个单位sin 223y x π???

=-+

??

?

，因为过坐标原点，所以()-203

6

2

2

6

k k k Z π

π

ππ

π

?π???+

=∈∴=

-

<<

∴=

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ω?=+∈是奇函数

()πk k Z ??=∈；函数()()sin y A x x R ω?=+∈是偶函数()π

π+2

k k Z ??=∈；函数 ()()cos y A x x R ω?=+∈是奇函数()π

π+2

k k Z ??=∈；函数()()cos y A x x R ω?=+∈是偶函数 ()πk k Z ??=∈.

6．（江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研三）将函数sin 23y x π?

?

=+

??

?

的图象向右平移

6

π

个单位，得到函数()y f x =的图象，则23

f π??

???

的值为_______.

【★答案★】【解析】将sin 23y x π??

=+

??

?

的图象向右平移

6π

个单位，得到222263y sin x sin x ππ????=-+= ????

???的图象，

所以()2f x sin x =， 242332f sin ππ??

==-

???

，故★答案★为-7．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考）将函数223y cos x π?

?

=+ ??

?

的图像向右平移(0)2

π

??<< 个单位长度后，所得函数为奇函数，则?=__________．

【★答案★】

512

π

【解析】将函数223y cos x π??

=+

??

?

的图像向右平移(0)2

π

??<<

个单位长度后，所得函数

()()2cos 22cos 2233g x x x ππ?????

?=-+=-+ ??????

? 为奇函数，所以

2,Z 3

2

12

2k k k π

π

π

π?π?-+

=

+∴=--

∈因为02π?<<，

所以512

π

?= 故★答案★为

512

π

8．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题）如图，有一壁画，最高点处离地面6 m ，最低点处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的处观赏它，则离墙____m 时，视角最大．

【★答案★】

【解析】 如图，过点作

的垂线，垂足为

设米，则

在中，由余弦定理可得：

（）.

令，

则

当时，最大，此时最小，此时最大.

即时，视角最大.

9．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）将函数

的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为___．

【★答案★】

【解析】

f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则

故★答案★为

10．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）若，则________.

【★答案★】

【解析】

，根据诱导公式得，

则=

故★答案★为：

11．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数

的图像的一个最高点为，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为，则=_________.

【★答案★】

【解析】

∵函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<φ<0)的图象的最高点为,∴A=.

∵其图象的相邻两个对称中心之间的距离为，∴ω=2.

再根据2?+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ?,k∈Z,则φ=?,，

12．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）如图为函数

图象的一部分，其中点是图象的一个最高点，点

是与点相邻的图象与轴的一个交点．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象沿轴向右平移个单位，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解析式及单调递增区间．

【★答案★】（1）；（2）.

【解析】

（1）由图像可知，

又，，，

又点是函数图像的一个最高点，

则，，

，，

故

⑵由⑴得，，

把函数的图像沿轴向右平移个单位，

得到，

再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的（纵坐标不变），

得到，

由得

，

∴

的单调增区间是

.

13．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE ＝α．

（1）当α＝60°时，求绿化面积；

（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．

【★答案★】（12

3km （2）333??

【解析】

(1)当60a =?时，DE ∥AC ，DF ∥AB ，四边形AEDF 是平行四边形，BDE 和CDF 均为边长为1km 的2

3， 所以绿化面积为

2233322442

km -?=. （2）由题意知，3090α?<

由正弦定理是()1sin sin 120BE αα=?-，所以()

sin sin 120BE αα=?-， 在CDF ?中，120CDF α∠=?-，CFD α∠=，

由正弦定理得()1sin sin 120CF αα=?-，所以()sin 120sin CF αα

?-=，

所以

()

()

()

()

22 sin120sin120sin

sin

sin sin120sin sin120

BE CF

ααα

α

αααα

?--+ +=+=

?-??-

?

2

2

22

153

sin sin sin cos cos

2

ααααααα

?

++

?++

==

??

(

)

22

33

sin cos

11

αα

+

==+

()

31

1

1

2sin230

2

α

=+?

-?+.

所以())

ABC BDE COF

S S S S BE CF

α

???

=--=+

()

()

1

3090

1

sin230

2

α

α

=?<

-?+

，

当3090

α

?<

α

?<-?

()()

113

sin2301,1sin230

222

αα

<-?<-?+

()

21

1

1

3sin230

2

α

<

-?+

3

()

Sα

<.

答:地块的绿化面积()

S a的取值范围是

??

.

14．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心O后转向ON方向，已知∠MON＝

3

4

π

，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．

（1）求两站点A，B之间的距离；

（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km 为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

【★答案★】（1）21)；（2）10220OA << 【解析】

（1）过O 作直线OE ⊥AB 于E ，则OE ＝10，设∠EOA ＝α，则∠EOB ＝34

π﹣α，（42ππ

α<<），

故AE ＝10tan α，BE ＝10tan （

34

π

﹣α）， AB ＝10tan α+10tan （34π﹣α）＝10（3sin sin 43cos cos 4πααπαα??

- ???+??- ?

??

）＝310sin

43cos cos 4ππαα??- ???，

又cos 3cos 4παα???-

???＝cos α?2cos α2sin α）＝12

sin 2a 24π??- ??? 由

4

2

π

π

α<<

，可得：2α﹣

3,444π

ππ??

∈ ???

， 故cos max

322cos 44παα??

?-=

???，当且仅当2α﹣42ππ=，即α＝38π时取等号，

此时，AB 有最小值为2021），即两出入口之间距离的最小值为2021）．

（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，

设切点为F ，此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线，因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图所示，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 由CF ＝5，OE ＝10，因为圆O 的方程为x 2+y 2＝100，圆C 的方程为（x+30）2+y 2＝25， 设直线AB 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），

则：2

2101305

1t

k

k t k ?=?+??-+?=?+?

，所以两式相除可得：|||30|t k t -+＝2，所以t ＝20k ，或t ＝60k ，

所以，此时A （﹣20，0）或A （﹣60，0）（舍去），此时OA ＝20， 又由（1）可知当4

π

α

=

时，OA ＝102，综上，OA (102,20)∈． 即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．

15．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝

百米，且△BCD 是

以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝，(，

)．

（1）当cos ＝时，求小路AC 的长度；

（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 【★答案★】（1）

；（2）

【解析】

（1）在中，由，

得，又，∴．

∵∴

由得：，解得：，

∵是以为直角顶点的等腰直角三角形∴且

∴

在中，，

解得：

（2）由（1）得：，

，此时，，且

当时，四边形的面积最大，即，此时，

∴，即

答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．16．（江苏省如东中学2019届高三年级第二次学情测试）梯形顶点在以为直径的圆上，米.

（1）如图1，若电热丝由这三部分组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；

（2）如图2，若电热丝由弧和弦这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦上

每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.

【★答案★】（1）9单位；（2）米.

【解析】

设，则，，

总热量单位

当时，取最大值，

此时米，总热量最大9（单位）.

答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.

（2）总热量单位，，

令，即，，

当时，，为增函数，当时，，为减函数，

当时，，此时米.

答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.

17．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，

圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．

(1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

(2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．

【★答案★】(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；(2) 点D应选择在O与E之间，且

到点O的距离在区间(单位：百米)内的任何一点处．

【解析】

(1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，

则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，

则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ

＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)，

因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，

所以当θ＋＝，即θ＝时，(FG＋FH)max＝．

(2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD 下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，

圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，

设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，

即kx－y＋t＝0，设点D(x D，0)

则

由①得t＝5，

代入②得，解得k2>．

又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．

在y＝kx＋t中，令y＝0，解得x D＝＝＝，所以＜x D＜10．

答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；

(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(单位：百米)内的任何一点处．18．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）如图为某大河的一段支流，岸线近似满足∥宽度为7圆为河中的一个半径为2的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切，设

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出其定义域.

（2）求通道的最短长.

【★答案★】（1）(2)

【解析】

(1)过点作于点，

因为与的距离为，

所以，

以为原点，建立如图所示的直角坐标系，

因为，所以设，

则直线的方程为，即

因为与圆相切，圆的半径为，

所以，

因为，所以，

即，

所以，

由于，所以，

令，

则因为函数在上单调递减，所以，

即函数的定义域为.

(2

令，得，则，其中，且.

由，得，

0 +

极小值

所以当时，，

即通道的最短长为.

19．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径为，是圆心，且.在上有一座观赏亭，其中.计划在上再建一座观赏亭，记

.

（1）当时，求的大小；

（2）当越大，游客在观赏亭处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭处的观赏效果最佳时，角的正弦值.

【★答案★】（1）；（2）

【解析】（1）设，由题，中，，，

所以，在中，，，

由正弦定理得，

即，所以，

则，所以，

因为为锐角，所以，所以，得；

（2）设，在中，，，

由正弦定理得，即，

所以，

从而，其中，，

所以，

记，，；

令，，存在唯一使得，

当时，单调增，当时，单调减，所以当时，最大，即最大，

又为锐角，从而最大，此时.

答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为.

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2019高考数学考点突破——选考系列参数方程学案

参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲 线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例 如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ? ?? ?? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ? ?? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π 2 ，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的单调性 Word版含解析

导数与函数的单调性 【考点梳理】 函数的导数与单调性的关系 函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则 (1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内单调递增； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数． 【考点突破】 考点一、判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性. [解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a >0，则当x ∈??? ?0，1a 时，f ′(x )>0； x ∈??? ?1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 【类题通法】 用导数判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)一求．求f ′(x )； (2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号； (3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数． 【对点训练】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，试讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a 3 . 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x ) 在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈? ????－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，

2019高考数学考点突破——函数的应用函数的图象学案

函数的图象 【考点梳理】 1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象 ―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；

②y ＝f (x )的图象―――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧 原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 【考点突破】 考点一、作函数的图象 【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1 －1； (3)y ＝x 2－|x |－2. [解析] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图①所示(实线部分)． (2)y ＝2 x ＋1 －1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2 x ＋1 的图象，再向下 平移一个单位得到，如图②所示． (3)y ＝x 2 －|x |－2＝? ???? x 2 －x －2x ≥0，x 2 ＋x －2x <0， 其图象如图③所示． 【类题通法】 画函数图象的一般方法 (1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； (2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出． 【对点训练】 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|log 2(x ＋1)|；(2)y ＝|x －1|，x ∈R ；(3)y ＝2x －1 x －1 . [解析] (1)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图①. (2)可先作出y ＝x －1的图象，将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不变可得y ＝|x －1|的图象．如图②中实线部分所示． (3)∵y ＝2＋ 1x －1，故函数图象可由y ＝1 x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位

2019高考数学考点突破——平面向量：平面向量的数量积 Word版含解析

平面向量的数量积 【考点梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ； (2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉. 考点一、平面向量数量积的运算 【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC → 的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118 (2)已知点P 在圆x 2 ＋y 2 ＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP → 的最大值为________. [答案](1)B (2) 6 [解析](1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →. 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，

且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC → ， 所以AF →＝12AB →＋34AC → . 又BC →＝AC →－AB → ， 则AF →·BC →＝? ????12AB →＋34AC →·(AC →－AB →) ＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB → ＝34AC →2－12AB →2－14 AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC → |＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝1 8.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP → ＝(cos α＋2，sin α)， ∴AO →·AP → ＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号. 【类题通法】 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补. 【对点训练】 1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE → ＝() A ．－32B ．32 C ．－332 D ．332 [答案]A [解析]由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD → ，BE →〉＝3×3×? ?? ??－12＝－32，故选A.

2019高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语集合学案

集合 【考点梳理】 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 2．集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A． (2)真子集：若A?B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A?≠B或B?≠A． (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B． (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 并集交集补集 图形表示 符号表示A∪B A∩B ?U A 意义{x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. (4)?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 【考点突破】 考点一、集合的基本概念 【例1】(1)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P 的元素个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )

A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或9 8 [答案] (1) B (2) D [解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则 x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个． (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2 －3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝2 3 ，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2 －8a ＝0得a ＝98， 所以a 的取值为0或9 8. 【类题通法】 与集合中的元素有关的解题策略 (1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【对点训练】 1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案] B [解析] 因为A 表示圆x 2 ＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2 ＋y 2 ＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2 ＋3x －2＝0}，若A ＝?，则实数a 的取值范围为________. [答案] ? ????－∞，－98 [解析] ∵A ＝?，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，

2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)二项分布与正态分布 Word版含解析

二项分布与正态分布 【考点梳理】 ．条件概率 ．事件的相互独立性 ()定义：设，为两个事件，如果()＝()()，则称事件与事件相互独立. ()性质：若事件与相互独立，则与，与，与也都相互独立，()＝()，()＝(). ．独立重复试验与二项分布 ()独立重复试验 在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中(＝，，…，)是第次试验结果，则(…)＝()()()…(). ()二项分布 在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则(＝)＝(－)－(＝，，，…，)，此时称随机变量服从二项分布，记作～(，)，并称为成功概率. ．正态分布 ()正态分布的定义 如果对于任何实数，(＜)，随机变量满足(＜≤)＝φμ，σ()，则称随机变量服从正态分布，记为～(μ，σ).其中φμ，σ()＝(σ>). ()正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交，与轴之间的面积为； ②曲线是单峰的，它关于直线＝μ对称； ③曲线在＝μ处达到峰值； ④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

()正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ②(μ－σ<≤μ＋σ)＝； ③(μ－σ<≤μ＋σ)＝. 【考点突破】 考点一、条件概率 【例】()如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形(阴影部分)内”，则()＝. ()某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) ．．．． [答案]()() [解析]()由题意可得，事件发生的概率()＝＝＝.事件表示“豆子落在△内”，则()＝＝＝.故()＝＝＝. ()设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，则由题意可得()＝，()＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是()＝＝＝.故选. 【类题通法】 . 利用定义，分别求()和()，得()＝，这是求条件概率的通法. . 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数()，再求事件与事件的交事件中包含的基本事件数()，得()＝. 【对点训练】 ．从，，，，中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则()＝( ) ．．．． [答案]

2019高考数学概率：几何概型

几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2

P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM

(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案

高考专题突破三 高考中的数列问题 【考点自测】 1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则 a 1＋a 5＋a 9 a 2＋a 3 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 答案 B 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 2 4＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2 ＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2 ＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴ a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 1 5a 1 ＝3.故选B. 2．(2018·衡水调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前 100项和为( ) A.100 101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5＝5，S 5＝15，∴? ??? ? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1) 2d ＝15，∴? ?? ?? a 1＝1， d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1 ＝ 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列???? ??1a n a n ＋1的前100项和为? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1100－1101＝1－1101＝100101. 3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2 －px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 D 解析 由题意知a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a . ∴? ?? ?? ab ＝4，2b ＝a －2或? ?? ?? ab ＝4， 2a ＝b －2，解得? ?? ?? a ＝4， b ＝1或? ?? ?? a ＝1， b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. 4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若 a 1·a 6·a 11＝33， b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 9 1－a 4·a 8 的值是( ) A ．1 B.22 C ．－ 2 2 D ．－ 3 答案 D 解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 3 6＝(3)3, 3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝ 7π3 ， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6 1－a 26＝tan 2× 7π 3 1－(3) 2 ＝tan ? ????－7π3＝tan ? ????－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·保定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N * 都有S n ＝23a n －13 ，若1

2019高考数学考点突破——推理与证明数学归纳法学案

数学归纳法 【考点梳理】 1．数学归纳法 证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N * )时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N * )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2．数学归纳法的框图表示 【考点突破】 考点一、用数学归纳法证明等式 【例1】设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N * )．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－ 1](n ≥2，n ∈N * )． [解析] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2? ?? ??1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N * )时，结论成立， 即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)? ??? ??f k ＋1－ 1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

由(1)(2)可知，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N * )． 【类题通法】 1．明确“2思路” (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少． (2)由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 2．记牢“4句话” 两个步骤要做到，递推基础不可少； 归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 【对点训练】 用数学归纳法证明等式12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1)n －1 ·n 2＝(－1) n －1 · n n ＋1 2 . [解析] (1)当n ＝1时，左边＝12 ＝1， 右边＝(－1)0 × 1×1＋1 2 ＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时等式成立，即有12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1) k －1 ·k 2＝(－1) k － 1 · k k ＋1 2 . 那么，当n ＝k ＋1时， 12 －22 ＋32 －42 ＋…＋(－1)k －1 ·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1) k －1 · k k ＋1 2 ＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋1 2 [－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k · k ＋1 k ＋2 2 . ∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N * ，都有

2019高考数学考点突破——不等式：基本不等式 Word版含解析

基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)? ?? ??a ＋b 22≤a2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是 q24 (简记：和定积最大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例1】(1)若x ＜，则f (x )＝4x －2＋的最大值为________． (2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1 的最大值为________. [答案](1) 1 (2)1 5 [解析](1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）15－4x ＋3 ＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.

故f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为1. (2)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t2＋1＋3＋t ＝t t2＋t ＋4 . 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t ＋1， 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋ 1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2 (x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C. 2．函数y ＝x2＋2x －1 (x >1)的最小值为________. [答案]23＋2 [解析]y ＝ x2＋2x －1＝（x2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1 ＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1 ＝(x －1)＋ 3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝3＋1时，等号成立.

高考一轮数学压轴题考点分布及突破方法

2019高考一轮数学压轴题考点分布及突破 方法 说到高考数学压轴题，在很多高考生眼中，那是尖子生的天下。其实高考压轴题也并非一点分数也抢不到。只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生可以拿到不少分数的。以下是数学压轴题考点分布及突破方法，请考生学习。 1.涉及的考点 2019年解答题考察的考点：数列、立体几何、统计、解析几何、导数 2019年解答题考察的考点：三角函数、立体几何、函数、解析几何、导数 研究高考真题的目的就是找出考点和常考考点。因为常考的知识点还将考，从来不涉及的知识点，考的可能性就不大。找出考点后，就要进行专项的训练，专项训练不在题多，而在于做好题，真题仍是第一选择。训练过程一定要揣摩整个过程，找出规律。 2.解答题的解题技巧 珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时：步骤(1)将题目条件推导出新条件，步骤(2)将题目结论推导到新结论. 步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到新条件。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的新结论。然后在新条件与新结论之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的新条件与新结论之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大! 最后要提醒的是，虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”

2019高考数学考点突破——函数的应用函数与方程学案

函数与方程 【考点梳理】 1．函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 考点一、函数零点所在区间的判断 【例1】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) [答案] B [解析] 法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．

【类题通法】 判断函数零点所在区间的方法： 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断． 【对点训练】 函数f (x )＝12ln x ＋x －1 x －2的零点所在的区间是( ) A ．? ?? ??1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3) [答案] C [解析] 易知f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝1 2＋e －1 e －2>0.∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内. 考点二、判断函数零点的个数 【例2】函数f (x )＝2ln 2,0 41,0 x x x x x x ?-+>?+≤?的零点个数是________． [答案] 3 [解析] 当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2 －2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－1 4， 综上，f (x )有3个零点． 【类题通法】 判断函数零点个数的方法： (1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看

2019高考数学考点突破——函数的应用函数模型及其应用学案

函数模型及其应用 【考点梳理】 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)． (2)反比例函数模型：y ＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)． (4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 y ＝a x (a ＞1) y ＝log a x (a ＞1) y ＝x n (n ＞0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 【考点突破】 考点一、用函数图象刻画变化过程 【例1】已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点 P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )