高考人教数学理大检测：第二章第三节导数与函数的极值、最值含解析

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1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A．y＝x3B．y＝ln(－x)

C．y＝xe－x D．y＝x＋2 x

解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y ＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2018·南京模拟)函数f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点所在的区间为( ) A．(0，1) B．(－1，0)

C．(1，2) D．(－2，－1)

解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2e x为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0，∵f′(x)＝2x－5＋2e x的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点在区间(0，1)上．

3．(2018·南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k ＝1，2)，则( )

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值

解析：选C.当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，

∴x＝1不是f(x)的极值点．

当k ＝2时，f ′(x)＝(x －1)(xe x ＋e x －2)，

显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x)＜0，

当x ＞1时，f ′(x)＞0，

∴f(x)在x ＝1处取得极小值．故选C.

4．(2018·佛山调研)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f(x)图象的是( )

解析：选D.因为[f(x)e x ]′＝f ′(x)e x ＋f(x)(e x )′＝[f(x)＋f ′(x)]e x ，且x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，所以f(－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f(－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f(－1)＝0.

5．(2018·山东临沂模拟)已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0，2)时，f(x)＝ln x －ax ?

?????a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a ＝( ) A.14

B ．13 C.12 D ．1

解析：选D.因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，

2)时，f ′(x)＝1x －a ，令f ′(x)＝0，得x ＝1a ，又a ＞12，所以0＜1a ＜2.当x ＜1a

时，f ′(x)＞0，f(x)在? ?????0，1a 上单调递增；当x ＞1a 时，f ′(x)＜0，f(x)在? ?????1a ，2上单调递减，

所以f(x)max ＝f ? ??

???1a ＝ln 1a －a ·1a

＝－1，解得a ＝1. 6．(2018·南通调研)已知函数f(x)＝2f ′(1)ln x －x ，则f(x)的极大值为________．

解析：因为f ′(x)＝2f ′（1）x

－1，所以f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝1，故f(x)＝2ln x －x ，f ′(x)＝2x －1＝2－x x

，则f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x ＝2时f(x)取得极大值，且f(x)极大值＝f(2)＝2ln 2－2.

答案：2ln 2－2

7．(2018·大同模拟)f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．

解析：f(x)＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0?c ＝2或c ＝6，

若c ＝2，f ′(x)＝3x 2－8x ＋4，令

f ′(x)＞0?x ＜23或x ＞2，f ′(x)＜0?23＜x ＜2，故函数在? ?????－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在? ??

???23，2上单调递减，所以x ＝2是极小值点，故c ＝2(不合题意，舍去)，c ＝6.

答案：6

8．(2018·遵义模拟)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为________．

解析：(1)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，即为f(x)＝e x －kx ≥0恒成立，