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《高等数学》(专科升本科)复习资料

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版本书编写组高等教育出版社二、复习内容及方法：

第一部分函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积

必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；

3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；

4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；

5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多

种可能

6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；

7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式

1. 若,)(lim ,)(lim 0

B x g A x f x x x x ==→→则

AB x g x f x g x f x x x x x x =?=?→→→)(lim )(lim )]()([lim 0

；

A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )

(lim )()(lim 0

00。)0(≠B 2. 两个重要极限公式

1）1sin lim

0=→x x ；2） e x x

x =??

??+∞

→11lim ，()e x x x =+→101lim 。 3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当0→x 时，

x e x x x x x x x x x

~1,2

~c o s 1,~t a n ,~s i n ,~)1

l n (2--+。

第二部分一元函数微积分

复习内容

导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。

复习要求

理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即

000000)

()(2)()()()()(x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x y x f --=

??--?+=?-?+=??=

'；掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初

等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“0/0”型或“∞∞/”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的

增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数)(x f y =的定义域，2.求出)(x f '，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线)(x f y =的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果)(x f ''在0x 的两侧异号，则（)(,00x f x ）为曲线)(x f y =的拐点，4.在0)(>''x f 的x 的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在0)(<''x f 的x 的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即C x f x =∞

→)(lim ，则C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线，若

∞=→)(lim 0

x f x x ，则称0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线；

重要结论

1. 如果函数)(x f y =在点0x 的导数)(0x f '存在，则在几何上表明曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处存

在切线，且切线的斜率为)(0x f '，且切线方程为

))(()(000x x x f x f y -'=-，

当0)(0≠'x f 时，法线方程为

)()

)(000x x x f x f y -'-

=-， 2. 若函数在点0x 处可导，那么函数)(x f 在点0x 处必定连续，反之不一定；

3. 函数)(x f y =在点x 可微的充分必要条件是)(x f y =在点x 处可导，且有dx y dx x f dy '='=)(；

4. 罗尔定理：若函数)(x f y =满足以下条件：

1）在闭区间],[b a 上连续，2）在开区间),(b a 内可导，3）)()(b f a f =，

则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ； 5. 拉格郎日中值定理：若函数)(x f y =满足以下条件：

1）在闭区间],[b a 上连续，2）在开区间),(b a 内可导，则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得

))(()()(a b f a f b f -'=-ξ。

重要公式

1. 设)(x u u =与)(x v v =在点x 可导，则

v u v u uv '+'=')(， )0(2

≠'-'='

??v v v u v u v u 2. 设复合函数))((x g f y =，若)(x g u =点x 处可导，)(u f y =在相应的点可导，则复合函数))

((x g f y =在点x 处可导，且有链式法则

)()(x g u f dx

du dy dx dy '?'=?= 3. 设)(x f y =是由??

?==)

()

(t y t x ψ?所确定，其中)(),(t t ψ?都为可导函数，且0)(≠'t ?，则

)

()

(t t dt

dx dt dy

dx dy ?ψ''=

=， 4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用 5. 洛必达公式：当)(),(x F x f 满足一定条件时，有

)()(lim )()(lim

x F x f x F x f x x x x ''=→→，)

()

(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→

同时应注意可转化为“0/0”型或“∞∞/”型的极限

第三部分一元函数积分学

复习内容

不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。

复习要求

理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设)(u f 具有原函数)(),(x u u F ?=存在连续导函数，则有换元公式

.))(()

()()()]([)

(C x F C u F du u f dx x x f x u +=+=='=??????

了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。

重要结论

若)(x F 为)(x f 在某区间上的一个原函数，则C x F +)(为)(x f 的所有原函数，称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(；

定积分表示一个数值，它只取决于函数)(x f 与积分区间，与积分变量无关，即

dt t f dx x f b

=)()(；

3. 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则定积分

dx x f b

)(必定存在；

4. 以b x a x x f y ===,),(及OX 轴所围成的曲边梯形的面积等于

dx x f b

)(；

如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得

))(()(a b f dx x f b

-=?

ξ；

如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数dt t f x x

Φ)()(在区间),(b a 内可导，且

)(])([)(x f dt t f x x

='=Φ'?；

若)(x f 是区间],[a a -上的连续函数)0(>a ，则

???

??=??

-为偶函数，为奇函数)()(2)(,0)(0

x f dx x f x f dx x f a

。

重要公式

1. 先积分后求导，作用抵消，即

),())((x f dx x f ='?

先求导后积分，相差一个常数，即

C x f dx x f +=

'?)()(

2. 分部积分公式：

??'-='vdx u uv dx v u

3. 牛顿-莱布尼茨公式：1）如果)(x f 在区间],[b a 上连续，2）)(x F 为)(x f 在),(b a 内的一个原函

数，则

)()()()(a F b F x F dx x f b

a b

-==?

。

4. 定积分的换元公式：设)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ?=满足以下条件：

1）;)(,)(b a ==β?α?

2）)(t ?在],[βα上为单值、有连续导数的函数，则有

dt t t f dx x f b

)())(()(??β

'=??

。

第四部分空间解析几何

复习内容

平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。

复习要求

了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系：垂直、平行、重合，会通过已知条件建立平面方程，掌握直线的标准式方程与一般方程，了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常见的二次曲面，即柱面方程、球面方程、椭球面方程、锥面方程、旋转抛物面方程.

重要结论

1. 设有平面

,0:11111=+++D z C y B x A π

,0:22222=+++D z C y B x A π

平面1π与2π相互垂直的充分必要条件是0212121=++C C B B A A ，平面1π与2π平行的充分必要条件是212121///C C B B A A ==，

平面1π与2π重合的充分必要条件是2112121////D D C C B B A A ===， 2. 建立平面方程常用平面点法式：

1）过点),,(0000z y x M 作平行于0:11111=+++D z C y B x A π的平面方程，取),,(111C B A n =及

),,(0000z y x M 即可，

2）过点),,(0000z y x M 作垂直于向量),,(C B A 的平面方程，只需取平面法线向量),,(C B A n =及点

),,(0000z y x M 即可，

3）过点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M ，),,(3333z y x M 作平面方程，利用平面的一般式方程，设所

求的平面为0=+++D Cz By Ax ，将已给的三点的坐标代入平面方程，可以得到一个以D

C B A ,,,

为未知量的方程组，求出D C B A ,,,即可， 3. 设有直线

11111:

p z z n y y m x x l -=

-=- 2

22222:

p z z n y y m x x l -=

-=- 直线1l 与2l 平行的充分必要条件为

12121p p n n m m ==，直线1l 与2l 垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m ， 4. 设直线l 与平面π的方程为

z z n y y m x x l 0

00:

-=- 0:=+++D Cz By Ax π

1）直线l 与平面π垂直的充分必要条件是Cp n B m A ==// 2）直线l 与平面π平行的充分必要条件是0=++Cp Bn Am

3）直线l 落在平面π上的充分必要条件是???=+++=++00000

D Cz By Ax Cp Bn Am

5. 建立直线方程，常用直线的标准式方程，只需确定直线上的一点),,(0000z y x M 及直线的方向向量

},,{p n m s =，即

1）作过点),,(0000z y x M ，且垂直与平面0:=+++D Cz By Ax π的直线方程，取),,(0000z y x M 及

方向向量),,C B A s

=即可，

2）作过点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程，取),,(0000z y x M =

),,(1111z y x M 及方向向量},,{121212z z y y x x s ---=即可

第五部分多元函数微积分学

复习内容

二元函数的概念及几何意义，多元函数的概念，二元函数的极限与连续性以及连续性的基本性质，偏导数的定义，全微分的概念与基本性质，二阶偏导数，复合函数微分法、隐函数微分法，二元函数的极值与条件极值，二重积分的概念与基本性质，直角坐标系下二重积分的计算、极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用。

复习要求

了解二元函数的定义，会求二元函数的定义域，掌握二元函数的连续性与连续的基本性质；理解二元函数偏导数的定义及几何意义；掌握全微分的定义极其存在的基本性质，会求二元函数的二阶偏导数与复合函数的链式法则。理解隐函数微分法；熟练掌握二元函数极值的求法，了解二元函数的条件极值；理解二重积分的概念，掌握二重积分的基本性质，熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算问题；了解二重积分的应用

重要结论

1. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得最大值与最小值，

2. 有界闭区域上的连续函数，在区域上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值，

3. 如果),(y x f z =在点),(y x P 处的偏导数

x z ????,为连续函数则),(y x f z =在点),(y x P 处可微分，且 dy y

dx x z dz ??+??=

， 4. 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内具有连续的一阶和二阶偏导数，又

0),(,

0),(0000='='y x f y x f y x

记C y x f B y x f A y x f yy

=''=''=''),(,),(,),(000000，则

（1）当02