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数列

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1

20数列的概念

基础训练

1.数列(){}

=-n n

s n 项和的前1

2.若)(3

sin *∈=N n n a n π

,则数列{}n a 前102项和为

3.若)(log 2

1*

∈=N n a n

n ,则数列{}n a 单调性是

4.若的常数其中R r p r p a n n ∈+?=,,2,3a 2=

315=a ,则数列{}n a 的通项公式为

5.已知数列{}n a 的图像是函数1log )(2+=x

x f 图

像上当x 取正整数时的点列,则其通项公式为 6.数列{}n a 前n 项和n n s n 22+=,则a 6+a 7+a 8=

典例精析

例1设函数f(x)定义如下:

定义数列{}n a :)(,510n n a f a a ==+,n +∈N (1)求6a (2)求前2011项和

例2若32++=n n a n λ(λ为常实数),n +∈N ,且数列{}n a 为单调增数列,求实数λ取值范围。

例3已知n

n n a 8.0?=,n +∈N 。 (1)判断数列{}n a 的单调性

(2)是否存在最小正整数k 使得数列{}n a 中的任意一项均小于k ?说明其理由

例4数列{}n a 满足21+++=n n n a a a ,n +∈N ,则称数列{}n a 为“凸数列”.

(1)设数列{}n a 为“凸数列”,若前两项分别是1,-2,试写出前六项并求前六项的和

(2) 在“凸数列”{}n a 中,求证:n n a a -=+3, n +∈N (3)设,,21b a a a ==若数列{}n a 为“凸数列”,求前2011项和2011s

随堂巩固

1.若数列{}n a 的前四项为0,2,0,2,下列各式中可作为数列{}n a 的通项公式的有 ①[]

n n a )1(12

2

-+=

②n n a )1(1-+= ③?

??=是奇数是偶数

n n a n ,.0,2 (填其序号)

2. 数列{}n a 中2121,2,1---===n n n a a a a a ,(n +∈N 且n ≥3)则2012a =

3. 数列{}n a 满足任意n +∈N 都有42

2++=n n n a a a ,

且=>==1173,0,4,2a a a a n 则

4. 数列{}n a ,n n a a <+1是数列{}n a 为递减的数 列 条件.

5.已知数列{}n F 的第一项是1,第二项是1,以后各项由)(12+++∈+=N n F F F n n n 给出,则数列的前6项是

6.若)(,log )

4110(2

2++-∈=N n a n n n ,则数列{}n a 的

最小项是

2

21等差数列

基础训练

1.已知等差数列:-5,-2,1,…则该数列第20项

2.等差数列{}n a 中,21-=a ,d=2则其通项是

3.以下说法中正确的是 ①在数列{}n a 中,若++∈=-N n d d a a n n 为常数,,1则是等差数列 ②设数列{}n a 是等差数列,若m+n=k+l(m,n,k,l 是正整数)则有此数列是等差数列③数列{}n a 是等差数列的充要条件是对任意的正整数n 都有

212+++=n n n a a a ④若数列{}n a 是等差数列则有)3,(...,,3963≥∈+k N k a a a a k 也是等差数列

4.已知等差数列-2,-1+

2,21513,...,22+.

则该数列项数为

5.在数列{}n a 中,首项是-18,31+=+n n a a 则数列前n 项和最小值是

6.等差数列{}n a 中首项为1,公差为2若第k 项伟2011,则k=

典例精析

例1已知等差数列的前三项依次为a,4,3a.前n 项和为n s ,且k s =100,(1)求a 和k(2)设数列{}n b 通项是n

s b n

n =,证明{}n b 是AP 数列并求前n 项和

例2设等差数列{}n a 前n 项和为n s ,已知121=a

0,01312<>s s ,(1)求d 的取值范围

(2)指出1221...,s s s 中最大值,并说明理由

例3数列{}n a 前n 项和为n s =npa n (+∈N n ),且满足21a a ≠(1)求常数p 的值(2)证明数列{}n a 是等差数列

例4设数列{}n a 是等差数列,且公差为d 若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”

(1)若2,41==d a ,求证该数列是“封闭数列” (2)是判断数列)(72*∈-=N n n a n 是否是“封闭数列”,并说明理由

(3)设数列{}n a 前n 项和为n s ,若公差d=1,1a >0

n

n s s s s T 1

...111321++++=

,试问:

是否存在这样的“封闭数列”,对???

???∈∈?+911,21,n T N n ;若存

在求出通项,若不存在 说明理由

随堂巩固

1等差数列{}n a 中,25.7,75.091-==a a 则公差

d=

2.等差数列x,6,y,12,则xy 的值是

3.等差数列{}n a 前n 项和为30,前2n 项和为100,

前3n 项和为

4.数列{}n a 前n 项和为n s =-n 2

+5,则数列{}

n a 的前

10项和为

5.已知等差数列{}n a 前n 项和为n s ,若A a =5(常数)则9s =

6.已知数列{}n a 中51

1,

31

1=-

=+n

n a a a 则通项为

22等比数列基础训练

典例精析

随堂巩固

23数列求和

基础训练

典例精析

随堂巩固

24数列综合用应(1) 基础训练

典例精析

随堂巩固

25数列综合用应(2) 基础训练

典例精析

随堂巩固

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数列放缩法高考专题

高考专题—数列求和放缩法 一.先求和后放缩 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 n n n n a a 4.放缩后为裂项相消,再求和 例5.在m (m ≥2)个不同数的排列P 1P 2…P n 中,若1≤i <j ≤m 时P i >P j (即前面某数大于后面某数),则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ,如排列21的逆序数11=a ,排列321的逆序数63=a . (1)求a 4、a 5,并写出a n 的表达式; (2)令n n n n n a a a a b 11+++=,证明32221+<++

数列经典题目集锦答案

数列经典题目集锦一 一、构造法证明等差、等比 类型一:按已有目标构造 1、 数列{a n },{b n },{c n }满足:b n =a n -2a n +1,c n =a n +1+2a n +2-2,n ∈N * . (1) 若数列{a n }是等差数列,求证:数列{b n }是等差数列; (2) 若数列{b n },{c n }都是等差数列, 求证:数列{a n }从第二项起为等差数列; (3) 若数列{b n }是等差数列,试判断当b 1+a 3=0时, 数列{a n }是否成等差数列?证明你的结论. 类型二: 整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,且(S n +1+λ)a n =(S n +1)a n +1对一切n ∈N * 都成立. (1) 若λ=1,求数列{a n }的通项公式; (2) 求λ的值,使数列{a n }是等差数列. 二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ,已知11,6,1321===a a a , 且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+,(其中A ,B 为常数). (1)求A 与B 的值;(2)求数列{}n a 为通项公式; 三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥,设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足:11a =,() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+(*n ∈N ). (1)若0λ=,求数列{}n a 的通项公式; (2)若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立,数λ的取值围. 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,其前n 项和为n S ,若1564a a =,5348S S -=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对于正整数,,k m l (k m l <<),求证:“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序 后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设数列{}n b 满足:对任意的正整数n ,都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L 1 3246n n +=?--, 且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素,求λ的取值围.

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计

《数列的概念与简单表示法》第一课时教学设计 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准,“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题). 2.教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式,运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法,引导学生探究数学归纳法。 三、学习过程设计 【问题情境】 1.国际象棋的传说(在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍):每格棋盘上的麦粒数排成一列数; 2.古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成一列数; 3.童谣:一只青蛙,一张嘴 ,两只眼睛,四条腿; 两只青蛙,两张嘴 ,四只眼睛,八条腿; 三只青蛙,三张嘴 ,六只眼睛,十二条腿; 4.中国体育代表团参加六届奥运会获得的金牌数依次排成一列数 。 教师:以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢? 学生: 1:23631,2,2,2, ,2 2一列数:23451111122222???????? ? ? ? ?????????,,,,, 3: 青蛙 嘴 眼睛 腿 1 1 2 4 2 2 4 8 3 3 6 12 4 4 8 16

《统计学》 时间数列

第五章时间数列 (一)填空题 1、增长量可分为逐期增长量、累积增长量。两者的关系是累积增长量是相应的逐期增长量之和。 2、时间数列按其排列的指标不同可分为总量指标时间数列(绝对数时序)、相对指标时间数列(相对数时序)、平均指标时间数列(平均数时序)三种,其中总量指标时间数列是基本数列。 3、根据时间数列中不同时间的发展水平所求的平均数叫平均发展水平,又称序时平均数。 4、计算平均发展速度的方法有水平法和累计法。且两种方法计算的结果一般是不相同的。必须按照动态数列的性质和研究目的来决定采用哪种方法。如果动态分析中侧重于考察最末一年达到的水平,采用水平法为好;如果动态分析中侧重于考察各年发展水平的总和,宜采用累计法。 5、进行长期性趋势测定的方法有时距扩大法、移动平均法、趋势线配合法、曲线趋势的测定与分析等。 (二)单项选择题(在每小题备选答案中,选出一个正确答案) 1、某企业2000年利润为2000万元,2003年利润增加到2480万元,则2480万元是( A ) A. 发展水平 B. 逐期增长量 C. 累积增长量 D. 平均增长量 2、对时间数列进行动态分析的基础是(A) A、发展水平 B、发展速度 C、平均发展水平 D、增长速

度 3、已知某企业连续三年的环比增长速度分别为6%,7%,8%,则该企业这三年的平 均增长速度为 ( D ) A. B. 4、序时平均数又称作( B ) A 、平均发展速度 B 、平均发展水平 C 、平均增长速度 D 、静 态平均数 5、假定某产品产量2002年比1998年增加50%,那么 1998-2002年的平均发展速 度为( D ) 6、现有5年各个季度的资料,用四项移动平均对其进行修匀,则修匀后的时间数 列项数为( B ) A 、12项 B 、16项 C 、17项 D 、18项 7、累积增长量与其相应的各个逐期增长量的关系是( A ) A. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之和 B. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之积 C. 累积增长率与其相应增长量之差 D. 两者不存在任何关系 8、最基本的时间数列是( A ) A 、绝对数时间数列 B 、相对数时间数列 C 、平均数时间数列 D 、时点数列 %8%7%6??%8%7%6++

数列与数学文化专题 9

高中数学中国传统文化专题 1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},则此数列共有() A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故a n=21n-20,由1≤a n≤2 018得1≤n≤97,又n∈N*,故此数列共有97项. 答案 B 2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}:1,1,2,3,5,8,…,满足a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n,n∈N*,那么1+a3+a5+a7+a9+…+a2 017是斐波那契数列的第________项. 解析1+a3+a5+a7+a9+…+a2 017=a2+a3+a5+a7+a9+…+a2 017=a4+a5+a7+a9+…+a2 017=a6+a7+a9+…+a2 017=a8+a9+…+a2 017=…=a2 016+a2 017=a2 018,即为第2

018项. 答案 2 018 3.\中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是() A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 解析用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数, 由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

第八章 时间数列分析

第八章时间数列分析 (一) 填空题 1、时间数列又称数列,一般由和两个基本要素构成。 2、动态数列按统计指标的表现形式可分为、和三大类,其中 最基本的时间数列是。 3、编制动态数列最基本的原则是。 4、时间数列中的四种变动(构成因素)分别是:、、、和 5、时间数列中的各项指标数值,就叫,通常用a表示。 6、平均发展水平是对时间数列的各指标求平均,反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平,又称:平均数,或平均数。 7、增长量由于采用的基期不同,分为增长量和增长量,各增长量之和等于相应的增长量。 8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫,亦称动态系数。根据采用的基期不同,它又可分为发展速度和发展速度两种。 9、平均发展速度的计算方法有法和法两种。 10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍,比95年增长了0.8倍,则95年粮食产量比90年增长了倍。 11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是:。 12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列,仍属时期数列;由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列,属数列。 13、在时间数列的变动影响因素中,最基本、最常见的因素是,举出三种常用的测定方法、、。 14、若原动态数列为月份资料,而且现象有季节变动,使用移动平均法对之修匀时,时距宜确定为项,但所得各项移动平均数,尚需,以扶正其位置。 15、使用最小平方法配合趋势直线时,求解 a、b参数值的那两个标准方程式为。 16、通常情况下,当时间数列的一级增长量大致相等时,可拟合趋势方程,而当时间数列中各二级增长量大致相等时,宜配合趋势方程。 17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时,先将时间数列分成的两部分,再分别计算出各部分指标平均数和的平均数,代入相应的联立方程求解即得。 18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是。这种方法是通过对若干年资料的数据,求出与全数列总平均水平,然后对比得出各月份的。 19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动,则应用法来计算季节比率。 20、商业周期往往经历了从萧条、复苏、繁荣再萧条、复苏、繁荣……的过程,这种变动称为变动。 (二) 单项选择题 1、组成动态数列的两个基本要素是( )。 A、时间和指标数值 B、变量和次数(频数) C、主词和宾词 D、水平指标和速度指标 2、下列数列中哪一个属于动态数列() ①学生按学习成绩分组形成的数列 ②职工按工资水平分组形成的数列 ③企业总产值按时间顺序形成的数列 ④企业按职工人数多少形成的分组数列 3、下列属于时点数列的是( )。 A、某工厂各年工业总产值; B、某厂各年劳动生产率; C、某厂历年年初固定资产额 D、某厂历年新增职工人数。 4、时间数列中,各项指标数值可以相加的是( )。 ①时期数列 B、相对数时间数列 C、平均数时间数列 D、时点数列 5、工人劳动生产率时间数列,属于( )。

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2-2x +m )(x 2-2x +n )=0的四个根组成一个首项为 41的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B .43 C .21 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若 35a a =95,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D .2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则 212b a a 的值是( ). A .21 B .-21 C .-21或21 D .4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ).

数列全部题型归纳(非常全面,经典!)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,n a =,n N *∈2≤n ≤8) ,则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且23 1n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么

4、已知数列{}n a 中,10a =,11 2n n a a += -,*N n ∈. 求证:11n a ?? ??-?? 是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王*

(二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式. 2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2)8 n n a S +=则,数列n a 3)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,111 ,0,4 n n n n a S S a a -=-≠=则,数列n a

4)12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* (2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式

数列中包含的数学文化

数列中包含的数学文化 数学家的故事———数学王子高斯 高斯(Carl Fried rich Gauss,1777~1855)德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名。 1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育。1795~1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 幼年时,他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误;10岁便独立发现了算术级数的求和公式;11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧,得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助,使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久,就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法,解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年,他发表的《算术研究》,阐述了数论和

高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。作为一个物理学家,他与威廉.韦伯合作研究电磁学,并发明了电极。为了进行实验,高斯还发明了双线磁力计,这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长,并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学,懂得十几门外语。他一生共发表323篇(种)著作,提出了404项科学创见,完成了4项重要发明。 高斯去世后,人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法,雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人,觉得在一个穷乡僻壤教书真是大材小用。而他又有些偏见:穷人的孩子天生都是笨蛋,教这些蠢笨的孩子念书不必认真。 这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔,心里畏缩起来。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发。教室里的小朋友们拿起石板开始计算:“1加2等于3,3加3等于6,6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果,再加下去,数越来越大,很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了,有些手心、额上渗出了汗来。 还不到半个小时,小高斯拿起了他的石板走上前去。“

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()25 2123n n n b a n n += ++,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2.已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有 n a ++ += . (Ⅰ)求2a ,3a 的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; n n a a ++∈n N *). 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ (1)求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ (2)设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公 式;(2)证明:对于一切正整数n ,121+≤+n n b a . 5: 已知数列{}n a 是等差数列,() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 (1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的 通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围;

数学文化――数列(27题)

数学文化——数列(27题) 1、“竹九节”问题 【编号第1题】 1.【2015秋?九江校级期末】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共5升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为() A.B.C.D. 【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式. 【分析】由题意可得等差数列的首项和公差,由通项公式可得. 【解析】:由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列, 且a1+a2+a3+a4=5,a9+a8+a7=4,设公差为d, 则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=5,a9+a8+a7=3a1+21d=4, 两式联立可得a1=,d=, 所以第5节的容积a5=a1+4d=. 故选:B 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题. 【编号第2题】 2.【2011?湖北】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第五节的容积为()A.1升B.升C.升D.升 【考点】等差数列的性质. 【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列,根据上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程,联立即可求出首项和公差,根据求出的首项和公差,利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积. 【解析】:设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列, 根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4﹣①×3得:66d=7,解得d=, 把d=代入①得:a1=, 则a5=+(5﹣1)=. 故选B 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道中档题. 2、“女子织布”问题

高中数列经典题型 大全

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。

2020年最新高考数学--以数列或集合为背景的解答题(原卷版)

专题二 压轴解答题 第五关 以数列或集合为背景的解答题 【名师综述】 以数列、集合为背景的数列解答题是上海高考常考题型之一,也是上海高考必考的重要考点.解答这类问题的思路依据题设条件,综合运用所学的知识和数学思想方法去分析问题和解决问题.本题的解答过程中,所有计算与求解都是推理论证能力的体现和数学思想方法的运用. 中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列,一个是线性数列,一个是类指数数列,但数列性质却远远不止这些,因此新数列的考查方向是多样的、不定的,不仅可考查函数性质,而且常对整数的性质进行考查.明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提,恰当运用对应性质是解决问题思想方法. 【典例解剖】 类型一 运用反证法处理排序数列问题 典例1.(2020·上海高三月考)有限个元素组成的集合为,,集合中的元素个数记为,定义,集合的个数记为,当 ,称集合具有性质. (1)设集合具有性质,判断集合中的三个元素是否能组成等差数列,请说明理由; (2) 设正数列的前项和为,满足,其中,数列中的前项:组成的集合记作,将集合中的所有元素 从小到大排序,即满足,求; (3) 已知集合,其中数列是等比数列,,且公比是有理数,判断集合是否具有性质,说明理由. {}12,,,n A a a a =L *n N ∈A ()d A {} ,A A x y x A y A +=+∈∈A A +()d A A +()()()() 12 d A d A d A A ?++= A Γ{}1,,M x y =ΓM {}n d n n S 1123n n S S +=+ 11 3 d ={}n d 20201232020,,,,d d d d L {}1232020,,,,d d d d L D D D +()*123,,,,k t t t t k N ∈L 123,,,,k t t t t L 123k t t t t <<<C Γ

第六章_时间数列练习题及解答

《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案,并将其编号(A、B、C、D)填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是()。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是()。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中,各项指标数值可以相加的是()。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平()。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是()。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数,其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为()。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是()。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是()。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同,发展速度有()。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等,则宜配合()。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++

数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案:B 解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差, ,则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案:D 解析:由得,,即,将, 代入,解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( ) A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则 C.若数列是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列是递增数列 考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案:C 解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是 递增数列,但.对于选项D的命题,由,得, 因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 . 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:81. 解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故. 5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若 ,则 . 考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力. 答案:. 解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴ ,∴,∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则 ____. 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:10. 解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵ ,∴. ∴,故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为,且,求: ⑴的通项公式及前项和; ⑵. 考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力. 答案:⑴;.⑵ 解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得. ⑴; ⑵由,得.

专题03 数列与集合新定义解答题(第三篇)(解析版)-备战2020高考黄金15题系列之数学压轴题(北京专版)

专题3 数列与集合新定义解答题 1.(2020·北京首都师大二附高三模拟)已知q ,n 均为给定的大于1的自然数,设集合{1,2,3,,}M q =…, 112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…. (Ⅰ)当2q ,2n =时,用列举法表示集合T ; (Ⅰ)当200q =时,{}12100,,,A a a a M =…,且集合A 满足下列条件: ①对任意1100i j ≤<≤,201i j a a +≠; ② 100 1 12020i i a ==∑. 证明:(Ⅰ)若i a A ?∈,则201i a A -∈(集合A 为集合A 在集合M 中的补集); (Ⅰ) 100 2 1 i i a =∑为一个定值(不必求出此定值); (Ⅰ)设,s t T ∈,21123n n s b b q b q b q -=++++…,112n n t c c q c q -=+++…,其中,i i b c M ∈, 1,2,,i n =?,若n n b c <,则s t <. 【解析】(Ⅰ)解:当2q ,2n =时,{}1,2M =,12{|2T x x x x ==+,i x M ∈,1i =,2}. {}3,4,5,6T =. (Ⅰ)证明:(i )当200q =时,{1M =,2,3,?,200}, 又1{A a =,2a ,?,100} a M ,i a A ?∈,201i a M -∈, 必然有201i a A -∈,否则201i a A -∈,而(201)201i i a a +-=,与已知对任意1100i j <,201i j a a +≠矛盾. 因此有201i a A -∈. (ii )22(201)40240401i i i a a a --=-. ∴100100100 2 2 1 1 1 (201)4024040100791940i i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑. 100100 22 2221 1 200201(4001) (201) 122006 i i i i a a ==??++-=++??+= ∑∑,

高考中数学文化的考查:数列中的数学文化题

专题二数列中的数学文化题 一.考点解读: 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景,考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式.二.数学文化的典型题: (1)等差等比数列: 等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,运用等差等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。 (2)斐波拉契数列: 斐波那契数列又称“兔子数列”,也称黄金分割数列,是这样一个数列:这个数列的第0项是0,第1项是1,从第三项开始,每一项都等于前两项之和,即:0、1、1、2、3、5、8、13、21…,在数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义:F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列,它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1,在它左边的那个正方形的边长也是1 ,在这两个正方形的上方再放一个正方形,其边长为2,以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形,这些数字每一个都等于前面两个数之和,它们正好构成了斐波那契数列。 (3)《九章算术》: 《九章算术》是我国古代的数学名著,强调“经世济用”,注重算理算法,其中很多问题可转化为数列的问题,然后再利用数列的知识有关知识进行解题。(4)“莱布尼兹调和三角形”: “莱布尼兹调和三角形”:第n行有n的数它们是由整数的倒数组成的,且两端的数均为1/n,每个数是它下一行左右相邻两数的和, 例1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走

(时间管理)时间数列分析

(时间管理)时间数列分析

第五章时间数列分析 壹、填空题: 1、时间数列有俩个特点:壹是,二是。 2、时间数列按指标表现形式的不同能够分为:、 和。按指标值来源能够分为和。 3、各环比发展速度的等于相对应的定基发展速度,各环比(逐 期)增长量等于定基(累计)增长量。 4、年距增长量为。 5、于计算平均发展速度时,若侧重点是从最后水平(方案期水平)ft发研 究问题时,壹般采用计算,若侧重点是从各年发展水平累 计总和ft发来研究问题时,壹般采用计算。 6、使用最小平方法的俩个基本前提(俩点要求)是和 。 7、于趋势直线Y C=a+bx 中,b 的含义是。 8、年据发展速度的作用是消除的影响。 9、如果时间数列大体相同, 可拟合直线, 如果时间数列 大体相同,可拟合二次曲线,如果时间数列 大体相同,可拟合指数曲线。 二、单项选择题: 1、我国历年粮食产量属于()。 A 时期数列 B 时点数列 C 相对数时间数列 D 平均数时间数列 2、下列资料中属于时点数列的是()。

A 我国历年石油产量 B 我国历年全民所有制企业数 C 某商店历年商品流通费用率 D 我国历年煤炭产量 3、下列属于相对数时间数列的有()。 A 某企业第壹季度产值 B 某企业第壹季度各月产值 C 某企业第壹季度人均产值 D 某企业壹季度各月人均产值 4、某企业职工人数资料如下,该企业第壹季度月平均人数为()。 A407B409C412D420 5、某企业产值 80 年---83 年增长 5%,83 年---85 年增长 10%,85 年---86 年降低 2%,87 年---88 年增长 15%,1983 年到1988 年该企业产值总发展速度为()。 A5%+10%+2%+15%B105%+110%+102%+115% C105%×110%×98%×115%D110%×98%×115% 6、某地区居民收入环比增长速度 1986 年为 5%,1987 年为 6%,1985---1987 年间 居民收入增长了()。 A1%B11%C11.3%D20% 7、对壹个时间数列通过三年移动进行修匀形成的新数列比原数列少()。 A2 项 B3 项 C4 项 D5 项 8、趋势方程 Y c=a+bx 中,变量 x 的内容是()。 A 指标数值 B 时间 C 趋势值 D 平均增长量 9、于长期趋势分析中,如果被研究对象的各期环比发展速度或环比增长速度大

高中数列经典题型大全

高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a

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