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幂函数的性质

幂函数的性质
幂函数的性质

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教学过程:

一、幂函数

1.幂函数的定义

⑴一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数; ⑵11234

,,y x y x y x -===等都是幂函数,在中学里我们只研究α为有理数的情形;

⑶幂函数与一、二次函数,正、反比例函数及指、对数函数一样,都是基本初等函数.

2.幂函数的图像

⑵归纳幂函数的性质:

① 当0α>时:

ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐上升,都是增函数,且α越大,上升速度越快。

ⅲ)当1α>时,图象下凸;当01α<<时,图象上凸。

② 当0α<时:

ⅰ)图象都过()1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数,且α越小,下降速度越快。

思考1:如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象?

思考2:如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象?

例题讲解:

21x

1-=x

2 例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

(1)4y x = (2)1

4y x = (3)3y x -= (4)2y x -=

例2 比较下列各组中两个值的大小:

(1)11662,3 ;(2)43

14.3-与43

-π;(3)35)88.0(-与5

3(0.89)-.

思考:.比较下列各数的大小:(1)2333441.1,1.4; (2) 3

33

8420.16,0.5,6.25--

例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时,()f x 是

(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)幂函数?

()巩固提高

一、选择题:

1.已知幂函数()f x

的图象经过点2,2? ??,则()4f 的值等于( ) A. 16 B. 116 C. 1

2 D. 2 2.已知幂函数a y x =、b y x =、c y x =、 d y x = 在第一象限内的图象分别是1C 、2C 、3C 、4C , 则a 、b 、c 、d 的大小关系是____________. 3.下列幂函数中,定义域为(0,+∞)的是(

A. 23y x =

B. 32y x =

C. 2

3y x -= D. 3

2y x -=

4.若a<0,则下列不等式正确的是( )

A. 220.2a a a ->>;

B. 0.222a a a ->>;

C. 20.22a a a ->>;

D. 20.22a a a ->>

5.关于幂函数y x α=,下列结论正确的是( )

A.图象都通过(0,0),(1,1)两点;

B.当0α>时,幂函数为增函数;

C.当0α=时,图象是一条直线;

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限。

6.若幂函数q

p y x =(p 、q Z ∈且p 、q 互质)的图象过点(-1,1),则( )

A .p 为奇数,q 为偶数,0p q ?> B. q 为奇数,p 为偶数,0p q ?>

C. p 为奇数,q 为偶数,0p q ?<

D. q 为奇数,p 为偶数,0p q ?<

幂函数的概念及其性质测试题(含答案)

幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道,每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) C.若幂函数是奇函数,则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 4.当时,幂函数为减函数,在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象

6.若是幂函数,且满足,则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数,且函数的图象关于y轴对称,则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:幂函数的图象与性质 8.若,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:幂函数的单调性 9.已知,,下列不等式:①;②;③;

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;

过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).

幂函数及其性质教案

幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义? 一般地,形如y x α=(x ∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基 本初等函数. 【思考】幂函数与指数函数有何不同? 本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置. 【例】1.下列函数:①31 x y =;②23-=x y ;③24x x y +=;④32x y =,其中幂函数的个数为( ) 2.若函数22)5(x k k y --=是幂函数,则实数k的值是( ) 3.已知点)33,3 3 ( 在幂函数f(x )的图像上,则f(x)的表达式是? 4.当()+∞∈,0x 时,幂函数()3521----=m x m m y 为减函数,则实数m 的值为? 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)1 2 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出:

【例】已知幂函数f(x)的图像过点 ( ) 2,2,幂函数 g(x )的图像过点?? ? ??41,2,(1)求f (x),g (x)的解 析式;(2)当x为何值时:①f(x)>g (x );②f(x)=g (x);③f(x)<g (x) 【变式】若点 ( ) 2,2改为()8,2,探求f(x)与g (x ) 中较小的一个的单调性及奇偶性。 【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤为以下几点:①设出幂函数的一般形式y=x α(α为常数); ②根据已知条件求出α的值(待定系数法); ③定出幂函数的解析式. (2)作直线x=t,t ∈(1,+∞)与幂函数的各个图象相交,则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的. 【幂函数性质】 (1)单调性:①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); ②0>a 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 ③0

高中数学知识点总结:幂函数的性质知识点

高中数学知识点总结:幂函数的性质知识点 数学网整理高中数学知识点总结:包括有关函数、数列、平面解析几何、立体几何等知识点的整理。 数学网各科复习资料: http://gaokao.xdf/list_1019_1.html 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下: 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各

自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,0d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

最新幂函数的性质、常考题型及对应练习

幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是:m n m n a a =(0a >,m 、n N ∈,且1n >) 负分数指数幂的意义是:m n n m a a - = (0a >,m 、n N ∈,且1n >) 一、幂函数的定义 一般地,形如 y x α =(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1.在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中,幂函数的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 练1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )

高中数学:幂函数的概念、图象和性质

高中数学:幂函数的概念、图象和性质 1、幂函数的概念 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使有意义的值的集合。 例1、已知幂函数,且当时为减函数。求幂函数的解析式。 分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。 解答:由于为幂函数, 所以,解得,或。 当时,,在上为减函数; 当时,,在上为常函数,不合题意,舍去。 故所求幂函数的解析式为。 2、幂函数的图象和性质 图象: 定

义域值域奇 偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单 调性上增 上减, 上增 上增上增 , 上分别减 定 点 , (1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点; (2)如果,则幂函数的图象过点和,并且在区间上是增函数; (3)如果,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数。在第一象限内,当从趋向于原点时,图象在轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴; (4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数。 例2、比较,,的大小。 分析:先利用幂函数的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小。 解答: 而在上单调递增,且, 。故。

例3、若函数在区间上是递减函数,求实数m的取值范围。 分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 函数是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在和 上都是递减函数。一般地,形如的函数都可以通过对 的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。 解答:由于,所以函数的图象是由幂 函数的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。 其单调递减区间是和,而函数在区间上是递减函数,所以应有。 例4、若点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象 上,定义,试求函数的最大值及其单调区间。分析:首先根据幂函数的定义求出,然后在同一坐标系下画出函数和的图象,得出的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。

幂函数的图像与性质

【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 (1)计算:25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(653 12121 132b a b a b a ????--(2).)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1 .根式 ( 1 )根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 ( 2 ).两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ; | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a (注意 a 必须使 n a 有意义)。 2 .有理数指数幂 ( 1 )幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 ( 2 )有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3.指数函数的图象与性质 y=a x a>100 时, y>1; (2) 当 x>0 时, 01 (3) 在( - ,+ )上是增函(3)在( - ,+ )上是减函数 数 注:如图所示,是指数函数( 1 ) y=a x, ( 2) y=b x,( 3 ) ,y=c x( 4 ),y=d x的图象,如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1 )对数的定义 如果 a x N (a 0且 a 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底,N的对数,记作 x log a N,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2 )几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N 常用对数底数为 10 lg N 自然对数底数为 e ln N

幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减 增 增 x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减 定点 (1,1) 例3.比较大小: (1)112 2 1.5,1.7 (2)33( 1.2),( 1.25)--(3)112 5.25,5.26,5.26---(4)30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y =x α有下列性质: (1) 单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增; 当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减. (2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断. 例4.已知幂函数2 23 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于 原点对称,求m 的值.

高中数学知识点:幂函数的性质知识点总结

高中数学知识点:幂函数的性质知识点总结 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数,0才进入函数的值域 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有

可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到:

关于幂函数的性质知识点总结-word

关于幂函数的性质知识点总结 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a 为正数,0才进入函数的值域 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n 是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的

定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x 不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出

指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结完整版

指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点 总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂:10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶 数

注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2 2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1 log 0a =,②log 1a a =,③log N a a N =, ④log N a a N =。 (2)对数的重要公式: ①换底公式:log log (,1,0)log N N a b b a a b N =>均为大于零且不等于; ②1 log log b a a b = 。 (3)对数的运算法则: 如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M N M a a a log log log -=; ③)(log log R n M n M a n a ∈=;

指数函数对数函数幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,01 (3)在(-∞,+∞)上就是增函数(3)在(-∞,+∞)上就是减函数 注:如图所示,就是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还就是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2) 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

幂函数的性质

教学过程: 一、幂函数 1.幂函数的定义 ⑴一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数; ⑵112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,在中学里我们只研究α为有理数的情形; ⑶幂函数与一、二次函数,正、反比例函数及指、对数函数一样,都是基本初等函数. 2.幂函数的图像 ⑵归纳幂函数的性质: ① 当0α>时: ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐上升,都是增函数,且α越大,上升速度越快。 ⅲ)当1α>时,图象下凸;当01α<<时,图象上凸。 ② 当0α<时: ⅰ)图象都过()1,1点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数,且α越小,下降速度越快。 思考1:如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象? 思考2:如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象? 例题讲解: 2 1x 1-=x

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性 (1)4 y x = (2)14 y x = (3)3y x -= (4)2y x -= 例2 比较下列各组中两个值的大小: (1)1 16 62,3 ;(2)4 314.3- 与4 3- π ;(3)35)88.0(-与53 (0.89)-. 思考:.比较下列各数的大小:(1)2333 4 4 1.1,1.4,1.1; (2) 3338 4 2 0.16,0.5,6.25.-- 例3 已知函数()()22 1 2.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时,()f x 是 (1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)幂函数? 例4 已知函数画出23 y x -=的大致图象。 ⑴求其定义域、值域;⑵判断奇偶性和单调性;⑶画出23 y x -=的大致图象。 二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点(zero point). 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴 有交点 函数y=f(x)有零点 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c ∈(a,b),使得f(c )=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根. 2、二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 步骤:1、确定区间[a,b],验证f(a) · f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x 1 3、计算f(x 1); (1) 若f(x 1)=0,则x 1就是函数的零点

指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a 〉0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a 〉0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a 〉0,b 〉0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y=a x a 〉1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y〉1; x〈0时,0a1〉b1,∴c〉d>1>a〉b.即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。

幂函数图象及其性质

幂函数的图像与性质 1、幂函数的定义 形如y=x α (a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是( ) A .y = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 答案:C 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =-(4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解:220230 m m m m ?+>? ?-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

注:在上图第一象限中如何确定y=x 3 ,y=x 2 ,y=x ,12 y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0; 当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x ,12 y x =, y=x -1; 当0

指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,01 (3)在(-∞,+∞)上就是增函数(3)在(-∞,+∞)上就是减函数 注:如图所示,就是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还就是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2) 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

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