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八年级数学下册1.3线段的垂直平分线和线段垂直平分线相关的作图问题素材北师大版教案

八年级数学下册1.3线段的垂直平分线和线段垂直平分线相关的作图问题素材北师大版教案
八年级数学下册1.3线段的垂直平分线和线段垂直平分线相关的作图问题素材北师大版教案

和线段垂直平分线相关的作图问题

1、如图1所示,在三角形ABC 中,角C=90度,用直尺和圆规在AC 上作一点P ,使P

点到A 、B 的距离相等。

分析:到线段AB 两个端点距离相等的点应该在这条线段的垂直平分线上,并且这个点还在线段AC 上,所以线段AB 垂直平分线与线段AC 的交点就是到A 、B 的距离相等的点。

解:如图2所示,作线段AB 的垂直平分线MN ,交边AC 于点P ,点P 就是AC 上到A 、B 的距离相等点。

2、已知三个村庄的位置如图3所示,经过商量,三个村庄决定联合打一眼机井向三个

村庄供水,要想使机井到三个村庄的距离相等,机井应该设在何处?并说明你的理由。

分析:可以分开考虑,与A 、B 距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上,与A 、C 距离相等的点在线段AC 的垂直平分线上。因为同时需要满足到A 、B 、C 三点的距离相等,所以机井应该设在这两条垂直平分线的交点处。

解:如图4所示, (1)连结AC 、AB ;

(2)作AC 的垂直平分线交AC 于点F ,作AB 的垂直平分线交AB 于点E ,两条垂直平分线相交于点M ,点M 就是机井的位置。

理由:因为ME 垂直平分AB ,所以MA=MB ; 因为MF 垂直平分AC ,所以MA=MC ; 所以MA=MB= MC ,

所以点M 到三个村庄的距离相等。

C

B A

图1

A

C

C

图3

3、已知,如图5所示,甲、乙、丙三个人做传球游戏,游戏规则如下:甲将球传给乙,乙将球立刻传给丙,然后丙又立刻将球传给甲。若甲站在角AOB 内的P 点,乙站在OA 上,丙站在OB 上,并且甲、乙、丙三人的传球速度相同。问乙和丙必须站在何处,才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少?

分析:本道题目求最短路程可以看成求线段之和最小,往往转化为轴对称问题进行考虑。 解:如图6所示,

(1)分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2; (2)连结P 1P 2,与OA 、OB 分别相交于点M 、N 。 因为乙站在OA 上,丙站在OB 上,

所以乙必须站在OA 上的M 处,丙必须站在OA 上的N 处。

图5

线段的垂直平分线典型例题

典型例题 例1.如图,已知:在ABC ?中,?=∠90C ,?=∠30A ,BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证:D 在AB 的垂直平分线上. 分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D 在AB 的垂直平分线上,只需证明DA BD =即可. 证明:∵?=∠90C ,?=∠30A (已知), ∴ ?=∠60ABC (?Rt 的两个锐角互余) 又∵BD 平分ABC ∠(已知) ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =(等角对等边) ∴D 在AB 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 例2.如图,已知:在ABC ?中,AC AB =,?=∠120BAC ,AB 的垂直平分线交AB 于E ,交BC 于F 。 求证:BF CF 2=。 分析:由于?=∠120BAC ,AC AB =,可得?=∠=∠30C B ,又因为EF 垂直平分AB ,连结AF ,可得BF AF =. 要证BF CF 2=,只需证AF CF 2=,即证?=∠90FAC 就可以了. 证明:连结AF , ∵EF 垂直平分AB (已知) ∴FB FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等) ∴B FAB ∠=∠(等边对等角)

∵AC AB =(已知), ∴C B ∠=∠(等边对等角) 又∵?=∠120BAC (已知), ∴?=∠=∠30C B (三角形内角和定理) ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=(直角三角形中,?30角所对的直角边等于斜边的一半) ∴FB FC 2= 说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题. 例3.如图,已知:AD 平分BAC ∠,EF 垂直平分AD ,交BC 延长线于F ,连结AF 。 求证:CAF B ∠=∠。 分析:B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中,又B ∠,CAF ∠所在的两个三角形不全等,所以欲证CAF B ∠=∠,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ,可得FD FA =,因此ADF FAD ∠=∠,又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠,BAD ADF B ∠-∠=∠,而BAD CAD ∠=∠,所以可证明B CAF ∠=∠. 证明:∵EF 垂直平分AD (已知), ∴FD FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等). ∴ADF FAD ∠=∠(等边对等角) ∵BAD ADF B ∠-∠=∠(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), CAD FAD CAF ∠-∠=∠,

线段垂直平分线经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式 例1:如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线 交AB 于点D ,交AC 于点E ,△BCE 的周长等于50,求BC 的长. 点评:此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时,(如图2),对应的是△ACE 的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变. 变式1:如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若∠BEC=70°,则∠A= . 点评:此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论:∠AEC=2∠B. 变式2: 如图3,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2,∠B =15°求:AC 的长。 点评:此题为图形变式,由一般三角形变为直角三角形,上面我们总结的结论不变,然后再应用直角三角形的有关性质。 图1 图2 图3

[变式练习1] 如图4,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,∠B =°求:AC的长. 图4 例2: 如图5,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6

线段的垂直平分线与角平分线专题复习精编版

线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习: 1、线段垂直平分线的性质 (1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示:如图1,∵ CD ⊥AB ,且AD =BD ∴ AC =BC. 定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,∵ AC =BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 (1)关于三角形三边垂直平分线的性质: 三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点.....的距离相等. 性质的作用:证明三角形内的线段相等. (2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系: 若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部; 若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点; 若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之,也成立。 4、角平分线的性质定理: 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4, ∵ OE 是∠AOB 的平分线,F 是OE 上一点,且CF ⊥OA 于点C ,DF ⊥OB 于点D , ∴ CF =DF. 图1 图2

定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理: 角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5, ∵点P 在∠AOB 的内部,且PC ⊥OA 于C ,PD ⊥OB 于D ,且PC =PD , ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理: (1)关于三角形三条角平分线交点的定理: 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示:如图6,如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线,那么: ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ; ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则DI =EI =FI. 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题. (2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系: 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心). 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图: (1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线; (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题: 1.在△ABC 中,∠C=90o,BD 是∠ABC 的平分线.已知,AC=32,且AD :DC=5:3,则点D 到AB 的距离为_______. 2.如图,在△ABD 中,AD=4,AB=3,AC 平分∠BAD ,则:A B C A C D S S ?? = ( ) A .3:4 B .4:3 C .16:19 D .不能确定

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线 一、选择题(共8小题) 1、如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于的2 1 AB 的长为半径画孤,两弧相交于点M ,N ,作直线MN , 交BC 于点D ,连接AD .若△ADC 的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为( ) A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图,在Rt △ACB 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC ,ED 垂直平分AB 于D .若AC=9,则AE 的值是( ) A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA=5,则线段PB 的长度为( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图,等腰△ABC 中,AB=AC ,∠A=20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ,交AC 于E ,连接BE ,则∠CBE 等于( ) A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图,直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ,其中AP=2CP .甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ,使得AD=DC=CE=EB ,其作法如下: (甲)作∠ACP 、∠BCP 之角平分线,分别交AB 于D 、E ,则D 、E 即为所求; (乙)作AC 、BC 之中垂线,分别交AB 于D 、E ,则D 、E 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( ) A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确,乙错误 D 、甲错误,乙正确 6、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°.AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ,交BC 于点E ,则下列结论不正确的是( ) A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( ) A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图,AC=AD ,BC=BD ,则有( ) A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)

《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标: 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程,理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略,发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点: 重点:理解线段的垂直平分线的性质,并能运用性质解决相关问题。难点:线段垂直平分线的实际应用。 教学过程: 一、创设问题情境 如图,两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区,为了便于两个小区的居民看病,政府计划在环保西路上修建湘雅五医院,使它到两个小区的距离相等,那么医院应建在什么位置? 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线,那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢?

线段的垂直平分线:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(也叫做线段的中垂线)。 注意:1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义,现在请同学们根据定义,利用直尺和铅笔作图,画一条已知线段的垂直平分线。动动手,画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点? 右图中,直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3,连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长,你发现了什么?你有什么猜想吗? 猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后,就可以直接运用了吗?嗯,我听到有同学说需要证明,很好,那我们看看应该怎样证明呢?如果证明的话,应该先怎样呢?(把文字语言转化成符号语言) A B l P P P

北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线与角平分线的应用类型》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列(附解析

专训2线段垂直平分线与角平分线的应用类型名师点金:本章内容除了等腰三角形之外,还有两类特殊的轴对称图形——线段和角,灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数,说明数量关系等,还可以解决实际生活中的问题. 利用线段垂直平分线的性质求线段的长 1.如图,AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长. (第1题) 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE 交BC于点D,交AB于点E,连接AD,AD将∠CAB分成两个角,且∠1∶∠2=2∶5,求∠ADC的度数. (第2题)

利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 3.如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等? (第3题) 利用角平分线的性质解决面积问题 4.如图,已知△ABC的周长是20 cm,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3 cm,求△ABC的面积. (第4题)

利用角平分线的性质说明线段的数量关系 5.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.试说明:PC=PD. (第5题)

答案 1.解:因为△ACD的周长是14 cm, 所以AD+CD+AC=14 cm. 又因为DE是BC的垂直平分线, 所以BD=CD.所以AD+CD=AD+BD=AB. 所以AB+AC=14 cm. 因为AB-AC=3 cm,所以AB=8.5 cm,AC=5.5 cm. 2.解:因为∠1∶∠2=2∶5, 所以设∠1=2x,则∠2=5x. 因为DE是线段AB的垂直平分线, 所以AD=BD. 所以∠B=∠2=5x. 所以∠ADC=180°-∠ADB=∠2+∠B=10x. 因为在△ADC中,2x+10x=90°, 解得x=7.5°,所以∠ADC=10x=75°. (第3题) 3.解:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,两直线交于点M,则点M就是所要确定的购物中心的位置.点拨:解决作图选点类问题,若要找到某两个点的距离相等的点,

线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线 4.角平分线 例1:(1)在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交BC 的延长线于M ,∠A =0 40,求∠NMB 的大小 (2)如果将(1)中∠A 的度数改为070,其余条件不变,再求∠NMB 的大小 (3)你发现有什么样的规律性?试证明之. (4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2:在△ABC 中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。 例3:如图所示,AC=AD ,BC=BD ,AB 与CD 相交于点E 。求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。 例4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=1200,D 、F 分别为AB 、AC 的中点,DE AB FG AC ⊥⊥,,E 、G 在BC 上,BC=15cm ,求EG 的长度。 例5::如图所示,Rt △ABC 中,,D 是AB 上一点,BD=BC ,过D 作AB 的垂线交AC 于点E ,CD 交BE 于点F 。求证:BE 垂直平分CD 。 例6::在⊿ABC 中,点O 是AC 边上一动点,过点O 作直线M N ∥BC ,与 ∠ACB 的角平分线交于点E ,与∠ACB 的外角平分线交于点F ,求证:OE=OF D ,自D 作D E AB ⊥于M=20°; AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2(180°-α),∠M=90°- 1/2(180°-α)= 1/2α. (4)改为钝角后规律成立.上述规律为:等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半. 例2:解:连接BF ,由线段的垂直平分线的性质可得,FB =FA 又因为AC =AF+CF =6,所以BF+CF =6△BCF 的周长=BC+CF+BF =4+6=10 例3:证明:因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上 又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上 所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线 例4:解:作AH ⊥BC 于H ,HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M

线段的垂直平分线综合提高测试带答案

线段的垂直平分线 一、选择题(共8小题) 1、如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的错误!未找到引用源。AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为() A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是() A、6错误!未找到引用源。 B、4错误!未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为() A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于() A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:(甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确()

6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是() A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在() A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图,AC=AD,BC=BD,则有() A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题(共12小题) 9、如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为_________. 10、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=_________度. 11、如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为_________°. 12、如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC

线段的垂直平分线及其应用

线段的垂直平分线性质及其应用 一、基础知识归纳 1 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 说明:它是证明两条线段相等的重要的方法之一,在证明线段相等时,不要再证明两个三角形全等了,方便了证明的过程. 2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 逆定理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明:(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理;区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论;(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线,只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可; (3)关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路,如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ,再证明PC 平分AB ;②取AB 的中点C ,证明PC⊥AB;③作∠APC 的平分线PC ,证明PC⊥AB,且AC=AB. 3 三角形的三边的垂直平分线 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 说明:(1)上面的定理是由实践操作(折纸)发现猜想,然后又经过逻辑推理而获得的,它是由实践到理论,从感性到理性的认识过程; (2)该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理,是两个定理的升华; (3)锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点,直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点,钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点,但无论这个点在什么位置,它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的. 二、典型例题剖析 典例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=120°, AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证:CM=2BM. 【研析】:由于MN 为线段AB 的垂直平分线,所以如果连接MA ,就可以得到MA=MB ,然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。 证明:连接AM ,∵AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠B =∠C =30°,∵MN 垂直平分AB , ∴MB =MA ,∴∠B =∠MAB =30°,∴∠MAC =90°,∴AM =2 1CM , ∴CM =2BM 典例2:城A 和城B 相距24千米,如今政府为便利两城居民生活, 决定修建一个仓库,使得仓库到两城距离相等,请问这样的 仓库位应该修建在什么位置?仓库的位置惟一吗? 若要求仓库到两城距离均为15千米,则仓库的位置惟一吗? 【研析】:这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题,也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等,因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上,这样的点有无数个,所以仓库的位置不惟一;若仓库到两城距离均为15千米,则AM=BM=15,AC=BC=12,所以 图1 图2

线段的垂直平分线含答案

线段的垂直平分线(含答案) 一、选择题(共8小题) 1、(2011?绍兴)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为() A、7 B、14 C、17 D、20 2、(2011?丹东)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是() A、6 B、4 C、6 D、4 3、(2010?义乌市)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为() A、6 B、5 C、4 D、3 4、(2010?烟台)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB 于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于()

A、80° B、70° C、60° D、50° 5、(2010?台湾)如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下: (甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求; (乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确() A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确,乙错误 D、甲错误,乙正确 6、(2010?三明)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB 于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是() A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、(2010?巴中)如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在() A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、(2009?钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有()

线段的垂直平分线中考题含答案

线段的垂直平分线中考题(含答案) 一.填空题(共7小题) 1.(2011?长春)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为_________ . 2.(2011?莱芜)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= _________ cm. 3.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB= _________ . 4.如图,在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于点P.则∠APE的度数为_________ °. 5.如图,D是等边△ABC的AC边上的中点,点E在BC的延长线上,DE=DB,△ABC的周长是9,则∠E= _________ °,CE= _________ . 6.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=8cm,则CD= _________ .

二.解答题(共1小题) 7.(2011?香洲区一模)△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°. (1)利用尺规作B的角平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)(2)判断△DBC是否为等腰三角形,并说明理由.

参考答案与试题解析 一.填空题(共7小题) 1.(2011?长春)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 6 . 考点:线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形. 分析:由ED垂直平分BC,即可得BE=CE,∠EDB=90°,又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半,即可求得BE的长,则问题得解. 解答:解:∵ED垂直平分BC, ∴BE=CE,∠EDB=90°, ∵∠B=30°,ED=3, ∴BE=2DE=6, ∴CE=6. 故答案为:6. 点评:此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用. 2.(2011?莱芜)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= 2 cm. 考点:线段垂直平分线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形. 专题:计算题. 分析:连接BD,根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD,根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD,即可求出答案. 解答: 解:连接BD. ∵AB=BC,∠ABC=120°, ∴∠A=∠C=(180°﹣∠ABC)=30°, ∴DC=2BD, ∵AB的垂直平分线是DE, ∴AD=BD, ∴DC=2AD, ∵AC=6, ∴AD=×6=2, 故答案为:2.

北师大版八年级数学下册 线段的垂直平分线教学设计教案

《3 线段的垂直平分线》教案 第1课时 教学目标 教学知识点: 经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 思维训练要求: 1.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力. 2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. 3.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果. 情感与价值观要求: 1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教学重难点 教学重点:能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论. 教学难点:写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它. 教学过程 Ⅰ.创设现实情境,引入新课 教师用多媒体演示: 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A,B一侧的河岸边的交点上. [师]同学们认同他的看法吗? [生]是的. [师]认为对的说说你的理由是什么呢? [生](回忆定理)我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成. [师](边说边用折纸的方法再现定理)这位同学分析得很好,我们在七年级时研究过线段的

性质,线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实,但是用这种观察的方式是很难说服别人的,你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗? 教师演示线段垂直平分线的性质: 定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. Ⅱ.讲述新课 [第一部分]线段垂直平分线的性质定理. [师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理,大家知道这是不够的,还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它.那么如何证明呢? [师](引导) 问题一:①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”,可线段垂直平分线上的点有无数多个,需一个一个依次证明吗? (强调)我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可,因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.(开始让学生有这样的数学思想) ②你能根据定理画图并写出已知和求证吗? ③谁能帮老师分析一下证明思路? [生](思考回答) [师生共析] 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点. 求证:PA=PB. 分析:要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等. 证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). [第二部分]线段垂直平分线的判定定理. 教师用多媒体完整演示证明过程.同时,用多媒体呈现: 想一想: 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

角平分线、线段的垂直平分线定理专题复习

m 图1 D A B C m 图2 D A B C j i k 图3O B C A 图5C D O A B P E F I R Q A 图4C D O A B F E 角平分线定理、线段垂直平分线定理专题复习 一、知识梳理: (一)线段垂直平分线的性质: 1、(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示:如图1,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD , 若点C 在直线m 上,则AC =BC. 定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 (1)线段垂直平分线的逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D , 且AD =BD ,若AC =BC ,则点C 在直线m 上. 定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 (1)关于三角形三边垂直平分线的定理: 三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示:如图3,若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂 直平分线,则直线,,i j k 相交于一点O ,且OA =OB =OC. 定理的作用:证明三角形内的线段相等. (2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系: 若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,则该三角形是钝角三角形. (二)角平分线的性质定理: 1、角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4,已知OE 是∠AOB 的平分线,F 是OE 上一点, 若CF ⊥OA 于点C ,DF ⊥OB 于点D ,则CF =DF. 定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、角平分线性质定理的逆定理: 角平分线性质定理的逆定理:在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5,已知点P 在∠AOB 的内部,且PC ⊥OA 于C ,PD ⊥OB 于D , 若PC =PD ,则点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意:角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 3、关于三角形三条角平分线的定理: (1)关于三角形三条角平分线交点的定理: 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示:如图6,如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线,那么: ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ; ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则DI =EI =FI. 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题. (2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系: 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 (1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示:如图1,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若点C 在直线m 上,则AC =BC. 定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 (1)线段垂直平分线的逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ,且AD =BD ,若AC =BC ,则点C 在直线m 上. 定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上 . 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 (1)关于三角形三边垂直平分线的定理: 三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示:如图3,若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线,则直线,,i j k 相交于一点O ,且OA =OB =OC. 定理的作用:证明三角形内的线段相等. (2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系: 若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上,则该三角形是直角三角形;三角形三边垂直平分线的 图1 图2

线段的垂直平分线教学设计复习过程

线段的垂直平分线教 学设计

线段的垂直平分线教学设计 一.教学目标: 1?知识与技能: (1)掌握线段的垂直平分线的定义 (2)经历线段的对称性、线段的中垂线的性质定理及其逆定理的探索过程,在探究中总结归纳并理解各定理。 (3)会利用线段的中垂线的性质定理及其逆定理进行简单的计算与推理。 (4)在探究中发现线段的中垂线的尺规作图方法。 2.情感态度价值观:通过利用应用性质定理及逆定理解决实际问题,体验数学与生活的联系。 3.过程方法:通过学生动手折纸、画图等活动,引导学生观察、发现、分析、归纳、总结,锻炼学生的学习能力。 二教学重点: 1.数学知识:掌握线段的中垂线的定义,理解线段的中垂线的性质定理及其逆定理,并能利用定理进行简单计算与合情推理,熟练进行尺规作图。 2.能力:通过观察操作和归纳推理培养学生提出问题、解决问题的意识,锻炼 学生的逻辑推理能力。 三?教学难点:两个性质的归纳与理解。 四?课前准备:多媒体课件、三角形纸片、矩形纸片、三角板、量角器 五.教学过程: 环节一:创设情境,导入新课 问题1 :在小河的同旁有两个村庄,为了过河方便,两村人准备共同出资修建一 座小桥,小桥修在小河的哪个位置才能到两个村庄的距离相等呢?你的根据是什么? 预设1:把小河看成两个点,连接这两点,找出它的中 点,就是了。 预设2:不对,所找的这点一定在小河上,而连接两点 的线段的中点一定不在小河上。 教师引导:这个问题不好解决,不要灰心,学完本节 课,我们再来解决它。

设计目的:通过实际问题引入,激发学生兴趣,体会数学在生活的用处。 环节二:复习回顾,以旧引新。 问题2:什么样的图形是轴对称图形?怎样判断一个图形是不是轴对称图形?我们学过的图形中哪些是轴对称图形? 预设1通过折叠,看折线两边是否重合 预设2:找对应点,看对应点的连线是否被同一条直线垂直平分 问题3:猜想:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么呢? 验证:画线段AB,并根据刚才所说的识别方法验证线段AB的对称性。预设1折痕为线段的垂直平分线 预设2:折痕为线段本身 若出现预设1 ,可直接总结归纳线段的对称性。 若出现预设2,则将问题10和问题11在此解决。 设计目的:在知识的复习中,体会知识的前后联系,易于形成知识链条。 环节三:小组合作,归纳展示 活动1:初探线段的对称性,总结线段的垂直平分线的定义 问题4:在刚才的折叠中,你有什么发现?请说出结论并演示验证过程。 预设1:线段是轴对称图形。将线段AB的点A和点B重合,折叠线段AB,发现折痕两旁的部分完全重合,对称轴就是折痕。 问题5:根据对称轴与线段的关系,试着用语言描述这条对称轴。(提示)我们 假设折痕为CD,与线段AB的交点为0,请大家观察这个图形,能得出哪些结论?说出你的理由。设计目的:引导学生找出相等的线段和相等的角, 通过相等的线段和角证明垂直平分。 问题6:从刚才的推理中我们知道,直线CD有两个重要的特点,你能用最简练的语言来描述这条直线并为这条直线下定义吗? 预设1:线段的对称轴是经过线段的中点,并且垂直于这条线段的一条直线。 预设2;线段是轴对称图形,它的一条对称轴是经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。 活动2:探究总结线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线专题复习课件

线段的垂直平分线复习讲义 知识梳理 1、线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到的距离相等。 2、线段垂直平分线的判定定理 到线段两端点距离相等的点在线段的上。 例1、如图1,DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,△ABD的周长为。 练习1:如图2,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=6,△ABD的周长为24.△ABC的周长是. 练习2:如图3,在△ABC中,BC=10,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E.△ADE的周长是. 图1 图2 图3 例2、如图4,在△ABC中,DE垂直平分AC交BC于点D,∠C=30°,∠ABC=70°,∠BAD= 度。 练习、如图5,O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∠BAC=70°,∠BOC的度数为。 图4 图5 例3、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB,AC的垂直平分线交BC 于E,G,求证:E,G分别是BC的三等分点。 A D F B E G C 练习:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,AB的垂直平分线MN分别交BC,AB于点M,N,求证:CM=2BM.

例4、如图,△ABC中,AB=AC,∠DBC=∠DCB, 求证:直线AD是线段BC的垂直平分线. 练习:如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上。 求证:BE=CE。 例5、AB=CD,AC、BD的垂直平分线相交于E. 求证:∠ABE=∠CDE. 练习:在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点,DN⊥AC,DM⊥AB。 (1)求证:BM=CN. (2)求证:AB+AC=2AM.

线段的垂直平分线与角的平分线训练专题培优

线段的垂直平分线与角的平分线专题 一、选择题: 1.如图1,在△ABC 中,AD 平分∠CAE ,∠B=30? ,∠CAD=65? ,则∠ACD 等于 ( ) A .50? B .65? C .80? D .95? 2.如图2,在△ABD 中,AD=4,AB=3,AC 平分∠BAD ,则:ABC ACD S S ??= ( ) A .3:4 B .4:3 C .16:19 D .不能确定 3.如图3,在△ABC 中,∠C=90? ,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ,则下列结论:①AD 平分∠CDE ;②∠BAC=∠BDE ;③DE 平分∠ADB ;④BE+AC=AB 。其中正确的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 4.如图4,AD ∥BC ,∠D=90? ,AP 平分∠DAB ,PB 平分∠ ABC ,点P 恰好在CD 上,则PD 与PC 的大小关系是 ( ) A .PD>PC B .PD

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