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求解凸集约束优化问题的共轭梯度的GLP投影算法

求解凸集约束优化问题的共轭梯度的GLP投影算法
求解凸集约束优化问题的共轭梯度的GLP投影算法

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点

16梯度法和共轭梯度法基本原理和特点? 梯度法又称最速下降法,基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向, 求目标函数的极小值,特 点;迭代计算简单,只需求一阶偏导数,所占的存储单 元少,对初始点的要求不 高,在接近极小点位置时收敛速度很慢,共轭的特点为 在梯度法靠近极值点收敛速度放慢时,它可以构造共轭方向使其收敛速度加快, 迭代计算比较简单,效果 好,在每一步迭代过程中都要构造共轭的、方向,比较繁琐。 17迭代终止准则有哪三种? 1)当设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小时,可用相邻两点的矢量差的模作为终止的判据, 2)当相邻两点目标函数值之差达到充分小时,可 用两次迭代的目标函数之 差作为终止判据。 3)当迭代点逼近极值点时,目标函数在该点的梯度已达到充分小时,可用梯度的模作为

终止判据。 18 .无约束设计法,1)powell法,它是在下降迭代过运算中只需计算和比较目标函数值的大小,不需计算偏导数的方法,是较好的一种直接搜索 算法。 2)梯度法,又称最速下降法,它是采用使目标 函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向来求目标函数的极小值。 3)共轭梯度法,又称FR法,是利用目标函数的梯度确定共轭方向,使得计算简便而效 果好,只需利用相邻两点的梯度就可以构造一个共轭方向,这种方式产生共轭方 向并进行迭代的算法称为 共轭梯度法。 4)变尺度法,又称DFP法,为了得到既有快速收敛的性质,又能避免计算二阶导数矩阵及逆矩阵,减少计算工作量。迭代公式X=X+aS, 19有约束设计法? 1)复合形法,在可行域中选取k个设计点作为

初始复合形的顶点,然后比较复合形个各项 目标函数值的大小,其中目标函数值最大的点为坏点,以坏点之外其余各点的中心为映 射中心,寻坏点的映射点,以映射点替换坏点,并与原复合 型除坏点之外其余各点构成就k 顶点的新的复合型,这样反复迭代直到达到精度找到最优点, 2)简约梯度法,用来解决线性约束非线性规划问题。3)罚函数法,是把一个有约束的问 题转化为一系列无约束的问 题求解,逐渐逼近最优值。 . 可靠性工程包括的三个方面? 1可靠性设计,包括设计方面的分析,对比评价,必要时也包 括可靠性实验,生产制造中的质量控制设计 及使用维修规程的设计。 2可靠性分析,主要是失效分析,也包括故障分析 3可靠性数学, 这是数理统计方法在开展 可靠性工作中发展起来的 数学分支。 常用的可靠

约束优化算法拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为: min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想是:通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题,再利用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法(内点法)的主思想是:在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数陡然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束: min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为: {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题,其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下,引入效用函数: min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下: 给定控制误差0ε>,惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1:令1k =,选定初始点(0)0x D ∈,给定10r >(一般取10)。 步骤2:以()k x 为初始点,求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%,得最优解()()k k x x r = 步骤3:若()()k k r B x ε<%,则()k x 为其近似最优解,停;否则,令,1k k r cr k k ==+, 转步骤2.

约束优化设计

行域 φ 内,选择一个初始点 X 然后确定一个可行 得一个目标函数有所改善的可行的新点 X 即完成了 第四章 约束优化设计 ● 概述 ● 约束坐标轮换法 ● 随机方向法 ● 罚函数法 概述 结构优化设计的问题,大多属于约束优化设计问题,其数学模型为: s .t . min f (x ) g u (x ) ≤ 0 h v (x ) = 0 x ∈ R n u = 1, 2,..., m v = 1, 2,..., p < n 根据求解方式的不同,可分为直接解法和间接解法两类。 直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于 这类方法的有:随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路: 在由 m 个不等式约束条件 gu(x )≤0 所确定的可 0 搜索方向 S ,且以适当的步长沿 S 方向进行搜索,取 1 一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程,每次 均按如下的基本迭代格式进行计算: X k+1=X k +α k S k (k=0,1,2,..) 逐步趋向最优解, 直到满足终止准则才停止迭代。 直接解法的原理简单,方法实用,其特点是: 1) 由于整个过程在可行域内进行,因此,迭代计算 不论何时终止,都可以获得比初始点好的设计点。 2) 若目标函数为凸函数,可行域为凸集,则可获得全域最优解,否则,可能存在多个局 部最优解,当选择的初始点不同,而搜索到不同的局部最优解。 3) 要求可行域有界的非空集

φ(X,μ1,μ2)=F(X)+∑μ 1 G??g j X)??+∑μ2H??h k(X)?? a)可行域是凸集;b)可行域是非凸 集 间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法,并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数 结合起来,构成一个新的目标函数,即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优 化问题。 m l j=1k=1 新目标函数 然后对新目标函数进行无约束极小化计算。 加权因子 间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法,其特点: 1)由于无约束优化方法的研究日趋成熟,为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和数值计算的稳定性大有提高; 2)可以有效处理具有等式约束的约束优化问题; 3)目前存在的主要问题,选取加权因子较为困难,选取不当,不仅影响收敛速度和计算精度,甚至导致计算失败。

最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现

最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现(设计程序) 题目共轭梯度法算法分析与实现 班级 / 学号 14140101/2011041401011 学生姓名黄中武指导教师王吉波王微微 课程设计任务书 课程名称最优化方法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学 课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现课程设计时间: 2014 年 6月 16日至 2014 年 6月 27日 课程设计的要求及内容: [要求] 1. 学习态度要认真,要积极参与课程设计,锻炼独立思考能力; 2. 严格遵守上机时间安排; 3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序; 4. 根据任务书来完成课程设计论文; 5. 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”; 6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告; 7. 严禁抄袭行为,一旦发现,课程设计成绩为不及格。 一、运用共轭梯度法求解无约束最优化问题 要求:1)了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法; 2)绘出程序流程图; 3)编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法MATLAB程序; 4)利用编写文件求解某无约束最优化问题;

5)给出程序注释。 指导教师年月日 负责教师年月日 学生签字年月日 沈阳航空航天大学 课程设计成绩评定单 课程名称最优化理论与算法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现学号 2011041401011 姓名黄中武指导教师评语: 课程设计成绩 指导教师签字 年月日 最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸目录 目录 一、正 文 (1) 二、总结 ............................................................... 8 参考文 献 ............................................................... 9 附录 .. (10) 第 I 页 最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸正文 一、正文 一无约束最优化问题的共轭梯度法

无约束优化方法程序

无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发,先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索,得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索,得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向,称为新生方向。 接着,以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1,将第一环新生方向S1补在最后,构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1,依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include

#include #include #define MAXN 10 #define sqr(x) ((x)*(x)) double xkk[MAXN],xk[MAXN],sk[MAXN]; int N,type,nt,et; //N--变量个数,type=0,1,2,3 nt,et--不等式、等式约束个数 double rk; double funt(double *x,double *g,double *h) { g[0]=x[0]; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; return sqr(x[0]-8)+sqr(x[1]-8); } double F(double *x) { double f1,f2,ff,fx,g[MAXN],h[MAXN]; int i; fx=funt(x,g,h); f1=f2=0.0; if(type==0 || type==2)for(i=0; i1.0e-15)?1.0/g[i]:1.0e15;

常用无约束最优化方法(一)

项目三 常用无约束最优化方法(一) [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法(修正Newton 法)的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1.掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2.掌握Newton 法的思想及迭代步骤; 3.掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题:【选作一个】 1.用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==,,,. 2.用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-, 初始点 0[00]0.01T X ε==,,. 最速下降法 Matlab 程序: clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长

ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果:\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include #include #include #include float goldena(float x[2],float p[2]) {float a; a=-1*(x[0]*p[0]+4*x[1]*p[1])/(p[0]*p[0]+4*p[1]*p[1]); return a; } void main() {float a=0,x[2],p[2],g[2]={0,0},e=0.001,t; int i=0; x[0]=1.0; x[1]=1.0;

作业4-FR共轭梯度法

最优化方法第四次作业 题目:利用FR-共轭梯度法求解无约束优化问题222 12122min ()44412x R f x x x x x x ∈=+--。初始点(0)(0.5,1).T x =- () ()T k k T k k k k k k k g g g g k d g k g d 111110.0,;0,-----=???≥+-=-=ββ 一、程序 function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0) %功能:用FR 共轭梯度法求解无约束问题min f (x ) %输入:x0是初始点,fun,gfun 分别是求目标函数和梯度 %输出:x,val 分别是近似最优点和最优值,k 是迭代次数 maxk=5000; rho=0.6; sigma=0.4; k=0; epsilon=1e-4; n=length(x0); while (k=0.0) d=-g; end end if (norm(d)

while (m<20) %用Armijo 搜索求步长 if (feval(fun,x0+rho^m*d)> x0=[-0.5,1]'; >> [x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0) x = 1.0000 2.0000 val = -12.0000 k = 10 即22212122min ()44412x R f x x x x x x ∈=+--的极小值点x=[1;2];minf(x)= -12。

求解无约束优化问题的共轭梯度法

求解无约束优化问题的共轭梯度法 李芳梅,姚瑞哲 指导教师:李良 摘要:本文主要针对无约束优化问题,利用共轭梯度法(CG方法)求解此类问题,并得出其迭代次数及问题的解。论文对此种方法给出了具体事例,并对例子进行了matlab软件实现。 1.引言 共轭梯度法时介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法。它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。 共轭梯度法最早是由Hestenes和Stiefel(1952)提出来的,用于解正定系数矩阵的线性方程组。由于共轭梯度法不需要矩阵存储,且有较快的收敛速度和二次终止性等优点,现已广泛应用与实际问题中。 2.共轭梯度法 共轭梯度法是共轭方向法的一种。所谓共轭方向法就是其所有的搜索方向都是相互共轭的方法。 定义设G是n×n对称正定矩阵,d1,d2是n维非零向量。如果 d1T G d2=0, 则称向量d1和d2是G-共轭的,简称共轭的。

设d1,d2,…,d m是R n中任一组非零向量,如果 d i T G d j=0 (i≠j), 则称d1,d2,…,d m是G-共轭的,简称共轭的。 显然,如果d1,d2,…,d m是共轭的,则它们是线性无关的。算法(共轭梯度法) 步1.初始步:给出x0,ε>0,计算r0=G x0-b,令d0=-r0,k:=0. 步2.如果‖r k‖≤ε,停止. 步3.计算 αk=r k T r k/d k T Gd k, x k+1=x k+αk d k, r k+1=r k+αk Gd k, βk=r k+1T r k+1/r k T r k, d k+1=-r k+1+βk d k. 步4.令k:=k+1,转步2. 1.共轭梯度法的matlab实现(数值例子) 首先建立如下的m.文件 function[x,iter]=cgopt(G,b,x0,max_iter,tol) x=x0; fprintf('\n x0='); fprintf('%10.6f',x0); r=G*x-b;%残差 d=-r; for k=1:max_iter if norm(r)<=tol iter=k-1; fprintf('\n Algorithm finds a solution!');

约束优化设计

第四章 约束优化设计 ● 概述 ● 约束坐标轮换法 ● 随机方向法 ● 罚函数法 概述 结构优化设计的问题,大多属于约束优化设计问题,其数学模型为: 根据求解方式的不同,可分为直接解法和间接解法两类。 直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于这类方法的有:随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路: 在由m 个不等式约束条件g u (x )≤0所确定的可行域φ内,选择一个初始点0 X 然后确定一个可行搜索方向S ,且以适当的步长沿S 方向进行搜索,取得一个目标函数有所改善的可行的新点1 X 即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程,每次均按如下的基本迭代格式进行计算: k+1k k k =+S (k=0,1,2,..)X X α逐步趋向最优解, 直到满足终止准则才停止迭代。 直接解法的原理简单,方法实用,其特点是: 1) 由于整个过程在可行域内进行,因此,迭代计算不论何时终止,都可以获得比初始点好 的设计点。 2) 若目标函数为凸函数,可行域为凸集,则可获得全域最优解,否则,可能存在多个局部 最优解,当选择的初始点不同,而搜索到不同的局部最优解。 3) 要求可行域有界的非空集 1,2,...,1,2,...,u m v p n ==

间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法,并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数结合起来,构成一个新的目标函数,即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。 然后对新目标函数进行无约束极小化计算。 间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法,其特点: 1) 由于无约束优化方法的研究日趋成熟,为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和 数值计算的稳定性大有提高; 2) 可以有效处理具有等式约束的约束优化问题; 3) 目前存在的主要问题,选取加权因子较为困难,选取不当,不仅影响收敛速度和计算精 度,甚至导致计算失败。 a) 可行域是凸集;b)可行域是非凸集 () ()()()121211 ,,m l j k j k X F X G g X H h X φμμμμ==??=++? ?????∑∑ 新目标函数 加权因子

共轭梯度法课程设计

最优化方法课程设计报告 题目:共轭梯度软件设计 院(系): 专业: 学生姓名: 指导教师: 题目类型:实验研究工程设计软件开发 2010 年1月15 日

摘要 共轭梯度法最早是由Hestenes 和Stiefle (1952)提出来的,用于解正定系数矩阵的线性方程组,在这个基础上,Fletcher 和Reeves (1964)首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。 共轭梯度法是解决无约束非线性最优化问题的重要的方法之一(Conjugate gradient method to solve unconstrained nonlinear optimization problem, one of the important ways.),因为共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse 矩阵并求逆的缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一,也是解大型非线性最优化最有效的算法一。 共轭梯度对于无约束优化问题Mlnf(x),x ∈R n 给出一初始值x1,算法选代产生x2,x3,x4,x 5,….希望某一k X 是目标函数解或点收敛于解,在我们这次的运筹学课程设计当中我们正是用这种方法要求解最小问题的最优解的。 关键字:共轭梯度法;无约束优化

Abstract Conjugate gradient method was first used by Hestenes and Stiefle (1952) put forward for the solution of positive definite coefficient matrix of linear equations, on this basis, Fletcher and Reeves (1964) first put forward about the problem of nonlinear optimization conjugate gradient method. The conjugate gradient method to solve unconstrained nonlinear optimization problems, one of the important ways, as the conjugate gradient method is between steepest descent method and Newton's method between a method, it requires the use of a first-order derivative information, But the steepest descent method to overcome the shortcomings of slow convergence, but also avoid the need to store and calculate Newton's method and the inverse Hesse matrix of the shortcomings of the conjugate gradient method is not only a large-scale linear equations to solve one of the ways the most useful, but also large-scale solution nonlinear optimization algorithm is the most effective one. Conjugate gradient for the unconstrained optimization problem Mlnf (x), x ∈ given an initial value of x1, the election algorithm is generated on behalf of the x2, x3, x4, x 5, .... Hope that is the objective function of a solution or point of convergence in the solution, in our curriculum design, operations research this is exactly what we were using this method requires the smallest solution of the problem the optimal solution. Keywords: conjugate gradient method;unconstrained nonlinear optimization 目录 一、共轭梯度法的概念....................................................... 错误!未定义书签。

最优化-无约束共轭梯度法程序(c )

最优化-无约束共轭梯度法程序(c++) //////////////////////////////////////// ///// vector.h头文件///// ///// 定义向量及其基本运算///// ///////////////////////////////////////// #include #define MAXLENGTH 10 //向量定义 typedef struct vector { int tag; //行列向量标志。行向量为0,列向量为1。 int dimension; //向量的维数 double elem[MAXLENGTH]; //向量的元素 }; vector vecCreat(int tag, int n) {//建立维数为n的向量 vector x; x.tag=tag; x.dimension=n; for(int i=0;i>x.elem; } return x; } double vecMultiply(vector a, vector b) {//行向量与列向量乘法运算 if((a.tag!=b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)) {//相乘条件 double c=0; for(int i=0;i

//向量加法运算 if((a.tag==b.tag)&&(a.dimension==b.dimension)) {//相加条件 vector c; c.dimension=a.dimension; c.tag=a.tag; for(int i=0;i

一种基于约束共轭梯度的闪光照相图像重建算法

第17卷第7期强激光与粒子束V o l.17,N o.7 2005年7月H I G H P OW E R L A S E R A N D P A R T I C L E B E AM S J u l.,2005 文章编号:1001-4322(2005)07-1083-05 一种基于约束共轭梯度的闪光照相图像重建算法* 景越峰,刘瑞根,董维申 (中国工程物理研究院流体物理研究所,四川绵阳621900) 摘要:针对闪光照相系统成像信噪比低的特点,提出了正则化预优约束共轭梯度算法(R P C C G)。 R P C C G算法在闪光照相重建方程中引入T i k h o n o v正则化准则,利用预优约束共轭梯度法迭代求图像重建的 最优解。数值试验表明,采用最小二乘+平滑准则的R P C C G算法是一种具有较高的抗噪能力的有效闪光照 相图像重建算法,具有良好的收敛性和稳定性以及较高的重建精度。 关键词:约束共轭梯度;图像重建;正则化;闪光照相 中图分类号:T P391文献标识码:A 闪光照相的重要目标是重建客体的空间密度分布。由于受到模糊、散射、噪声等的影响,闪光照相图像有很大的误差。如何从这种含有很大误差的图像中重建高精度的客体空间密度分布是一个很困难的问题,也是闪光照相图像重建算法研究的核心问题。近20年来很多人对这个问题进行了研究,探索了多种重建算法,其中研究比较多的是滤波反投影方法和代数法。 在数学上,闪光照相图像重建问题,可以看成是大型稀疏矩阵的线性方程组的求解问题。共轭梯度算法是求解这类大规模优化问题的有效算法。同时闪光照相图像重建问题是不适定的,人们往往会根据不同的需要来求在一定准则下的最优解。T i k h o n o v创立的正则化方法[1]是一种求解不适定问题颇为有效的方法,本文在重建算法中引入了基于T i k h o n o v正则化技术的重建准则,讨论了采用约束共轭梯度法的闪光照相图像重建模型,提出的R P C C G算法具有可充分利用先验知识对重建数据进行约束的优点。 1闪光照相图像重建模型 闪光照相系统在单能、无模糊、无散射的情况下,X射线穿过客体时沿射线i的衰减表示为 y i=X/X0=e x p(-Σ k μkαi kρk)(1) 式中:X和X 0分别是X射线的透射照射量和入射照射量;μ k 是客体体元k的质量吸收系数,可以认为是已知 的;α i k 是正向投影矩阵的第i k个元素,它与射线通过体元k的光程相关;ρ k 是体元k中的材料密度;k的求和范 围是射线i所经过的所有体元。令^μ k=μkρk 为体元k线吸收系数,由于质量吸收系数μ k 在不考虑能谱效应时 近似为常数,因此可以通过求线吸收系数的分布得到密度的分布,此时方程(1)进一步改写为 y'k=-l n(X/X0)=Σ k αi k^μk(2) 这样闪光照相图像重建算法要解决的问题就是在方程(2)中由已知的投影y'求得线吸收系数^μ k 的分布。 闪光照相系统为单轴照相,因而假定被照客体是轴对称的。根据上述闪光照相成像模型,闪光照相图像重建的代数方程为 z=A x(3)式中:x为所求的客体空间线吸收系数分布矢量;z为可测量得到的量化投影图像矢量;A为从x到z的正向投影矩阵。对于轴对称客体,在客体的每一个重建截面上,我们采用间距相等的同心圆环网格,每一个截面分为N层,每层的间距为2Δr,如图1所示。 在平行光束投影下,正向投影矩阵A为上三角阵。A的元素A i j 表示第i条光线穿过第j个圆环网格的长度,其大小为 *收稿日期:2005-03-03;修订日期:2005-06-10 基金项目:中国工程物理研究院双百人才基金资助课题 作者简介:景越峰(1980-),男,黑龙江肇州人,硕士研究生,从事图像处理研究工作;绵阳919-105信箱;E-m a i l:j y f@e y o u.c o m。

最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现

最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现 (设计程序) 题目共轭梯度法算法分析与实现 班级 / 学号 14140101/11 学生姓名黄中武指导教师王吉波王微微 课程设计任务书 课程名称最优化方法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学 课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现课程设计时间: 2014 年 6月 16日至2014 年 6月 27日 课程设计的要求及容: [要求] 1. 学习态度要认真,要积极参与课程设计,锻炼独立思考能力; 2. 严格遵守上机时间安排; 3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序; 4. 根据任务书来完成课程设计论文; 5. 报告书写格式要求按照航空航天大学“课程设计报告撰写规”; 6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告; 7. 严禁抄袭行为,一旦发现,课程设计成绩为不及格。 一、运用共轭梯度法求解无约束最优化问题 要求:1)了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法; 2)绘出程序流程图; 3)编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法MATLAB程序; 4)利用编写文件求解某无约束最优化问题; 5)给出程序注释。

指导教师年月日 负责教师年月日 学生签字年月日 航空航天大学 课程设计成绩评定单 课程名称最优化理论与算法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现学号 11 黄中武指导教师评语: 课程设计成绩 指导教师签字 年月日 最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸目录 目录 一、正文 ............................................................... 1 二、总 结 ............................................................... 8 参考文 献 ............................................................... 9 附 录 (10) 第 I 页 最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文 一、正文 一无约束最优化问题的共轭梯度法 共轭梯度法最初是由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线形方程组而提出的。后来,人们把这种方法用于求解无约束最优化问题,使之成为一种重要的最优化方法。 下面,重点介绍Fletcher-Reeves共轭梯度法,简称FR法。

最优化牛顿法最速下降法共轭梯度法matlab代码

牛顿法 迭代公式:(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-?? Matlab 代码: function [x1,k] =newton(x1,eps) hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数 ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系 hold on; 显示图像 syms x y 定义变量 f=(x-1)^4+y^2; 定义函数 grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度 grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度 k=0; 迭代初始值 while 1 循环 grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式 if norm(x1-x2)

end end end 优点:在极小点附近收敛快 缺点:但是要计算目标函数的hesse 矩阵 最速下降法 1. :选取初始点xo ,给定误差 2. 计算一阶梯度。若一阶梯度小于误差,停止迭代,输出 3. 取()()()k k p f x =? 4. 10 t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索,求,使得令转第二步 例题: 求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值(0,3)误差为0.1 (1)编写一个目标函数,存为f.m function z = f( x,y ) z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2; end (2)分别关于x 和y 求出一阶梯度,分别存为fx.m 和fy.m function z = fx( x,y ) z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3; end 和 function z = fy( x,y )

约束优化算法拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法 约束优化问题的标准形式为: min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s t g x i m h x j l ∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中 约束优化算法的基本思想就是:通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题,再利用优化迭代过程不断地更新效用函数,以使得算法收敛。 1. 罚函数法 罚函数法(内点法)的主思想就是:在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”,当迭代点靠近边界时,目标函数陡然增大,以示惩罚,阻止迭代点穿越边界,这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。 它只适用于不等式约束: min (),..0,1,2,...,n i f x x R s t g i m ∈≤= 它的可行域为: {|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤= 对上述约束问题,其其可行域的内点可行集0D ≠?的情况下,引入效用函数: min (,)()()B x r f x rB x =+%、 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下: 给定控制误差0ε>,惩罚因子的缩小系数01c <<。 步骤1:令1k =,选定初始点(0)0x D ∈,给定10r >(一般取10)。 步骤2:以()k x 为初始点,求解无约束 min (,)()()k B x r f x r B x =+% 其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1 ()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%,得最优解()()k k x x r = 步骤3:若()()k k r B x ε<%,则()k x 为其近似最优解,停;否则,令,1k k r cr k k ==+,转步骤2、 2. 拉格朗日乘子法

单纯形法解决无约束优化问题

分数: ___________任课教师签字:___________ 课程作业 学年学期:2017——2018学年第二学期 课程名称:优化理论 作业名称:作业三 学生姓名: 学号: 提交时间:

一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题,常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取,而搜索方向算法可以分为两大类,解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索,这类算法搜索速度快、效率高,但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数,也不需要得到目标函数的明确解析式,只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广,但相应的收敛速度会较慢,计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例,解决具体的无约束优化问题,并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++,设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭,0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发,依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ,则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理,每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索,之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索,并把这次所得点作为下一阶段的起点,下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向,而共轭方向又是较好的搜索方向,所以称之为方向加速法。但是,此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关,这时张不成n 维空间,可能得不到真正的极小点。因此,Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性,但克服了搜索方向的线性相关的不利情形,是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导,求得最小值。经过试验发现,α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差,

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