文科立体几何证明[1]

A B C

D

P

E F

立体几何证明题常见题型

1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中

点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．

(I) 证明： PA ∥平面EDB ；

(II) 证明：PB ⊥平面EFD ； (III) 求三棱锥DEF P -的体积．

2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;

（Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

3、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；

（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.

4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;

5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、

PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==.

(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --. 6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ；

（3）求三棱锥C-BGF 的体积。

A

B

C

D

H

P

A

B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F

G

G

Ｂ

Ａ

Ｄ Ｃ

Ｆ

7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。（如图 所示）

（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；

（Ⅱ）求三棱锥的体积

V S －AB C 。

8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC 边中点

（1）求三棱锥D 1-DBC 的体积 （2）证明BD 1//平面C 1DE

9，如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的

交点，面CDE 是等边三角形，棱1

2

EF BC ∥。

（I ）证明FO ∥平面;CDE ；

（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。

10、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝

90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。

11，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点，

求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA 。

12、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．

13、如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形， 且,22

1

==

AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

E D

C

A

B

E

O

F

M

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

D

C 1

B 1

A 1

C

B

A

B

C

A

D

E

F

M

E

D C

B

A P 14、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A

B

C -中，8AB =，6AC =，10BC =，

D 是BC 边

的中点.（Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；

15，如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2） 设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 16 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3AB BC CA ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ；

17、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点

（1）求证：//AF 平面BCE ；

（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；

18、如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。 （I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A

（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。

面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，19、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底?=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点．

（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．

_ M _ P _ C

_ B

_ A

S

A

B

C

D E

20、如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°， P A =BC =

.2

1

AD （I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；

（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面

P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.

21、如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=?，E 为

CD 的中点．

（1）证明：CD ⊥平面SAE ；

（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．

22、在正三棱柱111C B A ABC - 中，E 是AC 中点， （1）求证：11//BEC AB 平面 ； （2）求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ ；

23.如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；

（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；,

24、如图，在底面为平行四边行的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =， 点E 是PD 的中点.

（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；

（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；

25．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是

A ．V 21

B ．V 31

C ．V 41

D ．V 3

2

26．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 线AC 1上的点，若a

PQ =

2

，则三棱锥P BDQ -的体积为

A B

D

C

A 1

D 1 C 1

B 1

P Q

图1

立体几何证明题(文科)1123

立体几何 1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中 //,AB DC 1 2 AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD . 2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角 线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M - B A C D O P A B C C M O D

C 3. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC = 1 2 AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ； （Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得 PA //平面BMQ ． 4.已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB =（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ． P A B C D Q M

5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD . 6.如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直， 90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . (Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积. D 1 C F E B A C 1 A 1 B A B C D F E

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直） 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

立体几何证明方法汇总

G P A B C D F E A B C D E F ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形 ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平 面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中 点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别 是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： //1O C 面11AB D ． ③比例关系 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F

立体几何文科经典题证明线面平行精选题

立体几何经典题精选题重点复习题型篇 （一）平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题 （一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，(如例 1求证：//PB 平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。 具体做法：如例1，平面AEC 的三个顶点，除中点E 外，取AC 的中点O ，连接EO ，再确定由直线PB 和中点E 、O 、D 确定的?PBD （连接?PBD 的第三边BD ），在?PBD 中，EO 为PB 的中位线。 规范写法：ααα//,,,//b b a b a ∴?? 例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点. 求证：//PB 平面AEC ； 例2三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边 中点。求证：1AC ∥平面 1CDB ； 【习题巩固一】 1.（2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 中点 M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； a b α C 1 B 1 A 1 D C B A

D C A P M O 21．（2013年高考课标Ⅱ 卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 是AB 的中点.(1) 证 明: BC 1//平面A 1CD; 3.（2011四川文）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．（Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （二）平行四边形法：当直线上有一个中点(如例1证明：FO //平面CDE ；O 为中点）采用平行四边形法。 具体做法：FO 先与E 连接（原因是?ECD 的三个顶点E 、C 、D 中只有E 与已知平行条件EF//BC 有关），再与?ECD 的另两个顶点CD 的中点M 相连，构成平行四边形FOEM （原因是EF//OM ，EF=OM ），从而FO//EM 。 规范写法（如图）： ααα//,,,//,,//EH FG EH FG EH EFGH GH EF GH EF ∴??∴∴=是平行四边形 例1【天津高考】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

最新空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,

立体几何证明题 胡红

_ D _ C _ B _ A _ P 立体几何习题 1.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，点P 为1DD 的中点。 （1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：平面PAC ⊥平面1BDD . 2.正方体1111ABCD A BC D -中，求证： （1）11AC B D DB ⊥平面； （2）11BD ACB ⊥平面. 3.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ABC ，1CC BC =， M 、N 分别为1BB 、11C A 的中点. （1）求证：11ABC CB 平面⊥； （2）求证：1//ABC MN 平面. 4.如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥，E 、F 分别为AD 、AC 的中点， CD BC ⊥． 求证：（1）BCD EF 平面//； （2）平面BDC ⊥平面ACD. 5.如图，四棱锥P ABCD - 1的正方形， ,1,PA CD PA PD ⊥== （1）求证:PA ⊥平面ABCD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积； （3）求直线PB 与底面ABCD 所成角的大小. 6.已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、边长为a 的菱形， 又ABCD PD 底面⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A C A

7.如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点. （1）求证：PAD MN 平面//； （2）求证：CD MN ⊥； N M P D C B A 8.在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点. 求证：（1）直线//EF 面ACD ；（2）面EFC ⊥面BCD . 9.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知M 为棱AB 的中点． （1）AC 1//平面B 1MC ； （2）求证：平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ． 10.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==， 2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离. D B

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面 ←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→? 线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面???ααα a b α 线面平行的性质： αααβαβ∥面，面，∥?=? b a b 三垂线定理（及逆定理）： PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥?? α a P O 线面垂直： a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥?=?αα a O α b c 面面垂直： a a ⊥面，面⊥αββα??

a a a l l =?? 面⊥面，，，⊥⊥ αβαβαβ αa l β ⊥面，⊥面∥ αα? a b a b a a? 面⊥，面⊥∥ αβαβ a b α 定理： 1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。 2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。 推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； b.经过两相交直线，有且只有一个平面； c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 作用：a.判定两个不重合平面是否相交； b.判断点在直线上。 4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。

5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6.（直线与平面平行的判定定理） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。 条件：a.一条直线在平面外； b.一条直线在平面内； c..这两条直线互相平行。 7.（平面与平面平行的判定定理） 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 条件：a.两条相交直线； b.相交直线在一个平面内； c.对应平行。 8.（直线与平面平行的性质定理） 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 条件：a.一条直线与一个平面平行； b.过这条直线的任一个平面与此平面相交； c.交线与直线平行。 9.（平面与平面平行的性质定理） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3 b.平面1与3相交，平面2与3相交 c.交线平行

高一数学常考立体几何证明题及答案

高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F

求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

高考文科立体几何证明专题

立体几何专题 1?如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD = AE , F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点 G ,将厶ABF 沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥 A-BCF ,其中 BC 2 2 AD AE DB=EC '在折叠后的三棱锥—BCF 中 也成立，.DE //BC ,；DE 二平面 BCF ， BC 二平面 BCF ，. DE //平面 BCF ； （2）在等边三角形 ABC 中，F 是BC 的中点，所以 AF _ BC ①，BF=CF J 2 A -BCF 中，BC - , . BC 2 = BF 2 CF 2 CF _ BF ② 2 【解析】这个题是入门级的题， 除了立体几何的内容, 面几何的内容? 证明: DE //平面 BCF ； 证明: CF —平面ABF 当AD F - DEG 的体积 V F _D EG ? TBF ' CF =F- CF _ 平面 ABF ； （3）由（1） 可知GE//CF ,结合（2） 可得 GE _ 平面 DFG . ■ V F -DEG =V E-DFG 1 1 DG FG GF 3 2 1 .3 3 324 还考查了平行线分线段成比例这个平 图4 【解析】（1）在等边三角形 ABC 中，AD=AE =-时，求三棱锥 3 C

2. 如图5所示，在四棱锥 P-ABCD中,AB _平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB的中点，F 1 是DC上的点且DF= AB,PH为厶PAD中AD边上的高. 2 (1)证明：PH _平面ABCD ; (2)若 PH=1，AD= . 2 ,FC=1 ,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明：EF _平面PAB . 解: (1) PH为厶PAD 中的高 PH _ AD 又 AB _ 面 PAD , PH 平面 PAD PH _ AB AB ' AD = A 所以 PH _平面 ABCD (2):过B点做BG BG _ CD ,垂足为G ; 连接HB,取HB中点M,连接EM ,贝U EM 是BPH的中位线 ｛由(1)知：PH —平面ABCD .EM —平面ABCD .EM _ 平面BCF 即EM为三棱锥E-BCF底面上的高EM= 1PH J 2 2 1 1 — 2 S B C^ 2FC-BG=2 1 "云 1 X 2 1 =—X-------- X:— 3 2 2 .2 12图F V E -BCF

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

最新高考文科立体几何大题

1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1

3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．

5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

空间立体几何点线面判断与证明

常州知典教育一对一教案学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系 相交关系 独有关系 (1)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α (2)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】(1)对于选项A，m与n还可以相交或异面； 对于选项C，还可以是n?α； 对于选项D，还可以是n∥α或n?α或n与α相交． (2)对于命题A，这两条直线可以相交或为异面直线， ∴A错误；对于命题B，这两个平面可以相交，∴B错误；对于命题D，这两个平面还可能相交，∴D错误；而由线面平行的性质定理可证C正确．故选C. 【答案】(1)B(2)C 【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况．解题(2)时要注意充分利

用正方体(或长方体)模型辅助空间想象． 解决空间位置关系问题的方法 (1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决． (2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题． 考向2 异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈? ? ???0，π2. 2．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． (2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面． (1)(2014·大纲全国，4)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则 异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.3 6 C.13 D.33 (2)如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两

立体几何证明题(文科)

立体几何练习 1. 如图：梯形ABCD 和正△ PAB 所在平面互相垂直，其中 1 AD =CD AB ，且0为AB 中点? 2 (I )求证：BC//平面POD ； (II )求证：AC _ PD ? 2. 如图，菱形ABCD 的边长为6， BAD =60：, AC" BD = O ? 将菱形ABCD 沿对角 线AC 折起，得到三棱锥 B-ACD ,点M 是棱BC 的中点， DM =3、、2. (I)求证：OM //平面ABD ； (□)求证：平面 ABC -平面MDO ； (川)求三棱锥 C B D AB // DC, B

3. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC, Z ADC=90 ° 1 BC=-^AD, PA=PD, Q 为AD 的中点. 2 (I )求证：AD丄平面PBQ; (□)若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得 PA//平面BMQ. 4. 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形. (I)求证：PC //平面BDE ; (□)求证：平面PAC —平面BDE . C

7.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面PAD 丄平面ABCD , AB=AD , Z BAD=60 °,E 、F 分别是 AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ; （2）平面BEF 丄平面PAD. 5.已知直三棱柱 ABC 「A i B i C i 的所有棱长都相等，且 中点?⑴求证：平面B i FC//平面EAD ; （II ）求证：BG —平面EAD . D,E,F 分别为 BC, BB i , AA i 的 6.如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 .ADE =90、, AF // DE , DE 二 DA 二 2AF (I )求证: AC _ 平面 BDE ； （n ）求证: AC // 平面 BEF ； （川）求四面体 BDEF 的体积. C B

立体几何证明题练习

立体几何 1．（2014?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD⊥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD， PC的中点． （⊥）求证：AP⊥平面BEF； （⊥）求证：BE⊥平面PAC． 2．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （⊥）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； （⊥）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE⊥平面A1MC？请证明你的结论． 3．（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA⊥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 4．（2014?黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点． （1）求证：AF⊥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求四面体PEFC的体积．

5．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB⊥CD，AB⊥AD，⊥PAB和⊥PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （⊥）求证：PO⊥平面ABCD； （⊥）求证：OE⊥平面PDC； （⊥）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值． 6．（2013?天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点． （⊥）证明：EF⊥平面A1CD； （⊥）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； （⊥）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值． 7．（2013?浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=， ⊥ABC=120°，G为线段PC上的点． （⊥）证明：BD⊥平面PAC； （⊥）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值； （⊥）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

立体几何证明方法大全

（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行

两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。

公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：