定义域和值域的专题讲解常用方法教师版
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法
求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
求函数定义域
（1）函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
（2）常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
（3) 如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
（4）对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的
范围，再从中解出x的范围I
1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I
2
，I
1
和I
2
的交集即为复合函
数的定义域；
（5）分段函数的定义域是各个区间的并集；
（6）含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
（7）求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
一：求函数解析式
1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1、已知
2
2
11
()
x x x
f
x x
+++
=
，试求()
f x。
解：设
1
x
t
x
+
=
，则
1
1
x
t
=
-，代入条件式可得：2
()1
f t t t
=-+，t≠1。故得：2
()1,1
f x x x x
=-+≠。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2、（1）已知
2
1
()2()345
f x f x x
x
+=++
，试求()
f x；
（2）已知
2
()2()345
f x f x x x
+-=++，试求()
f x；
解：（1）由条件式，以1
x 代x ，则得2111()2()345
f f x x x x +=++，与条件式联立，消去
1f x ??
???，
则得：
()222845
333x f x x x x =+--+
。 （2）由条件式，以－x 代x 则得：
2
()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：
()25
43f x x x =-+
。 说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由
解析式确定，不需要另外给出。
例3、求下列函数的解析式：
（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ； （2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；
（3）已知x x x x x f 1
1)1(2
2++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【思路分析】 【题意分析】
（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
（2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。
（3）设x
x 1
+为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。
（4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个方程就行了。 【解题过程】⑴设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ，
由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得2
3
,21-==b a 。
故所求函数的解析式为22
3
21)(2+-=x x x f 。
（2）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ，
又)1(1)(,11,02≥-=∴≥+≥x x x f x x 。
（3）设1,11
,1≠-==+t t x t x x 则， 则1)1()1(111111)1()(2
2222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x x
x x x x x f t f 所以)1(1)(2≠+-=x x x x f 。
（4）因为3)(2)(3+=-+x x f x f ①
用x -代替x 得3)(2)(3+-=+-x x f x f ②
解①②式得5
3
)(+=x x f 。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式
)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点式k h x a y +-=2)(和标根式))((21x x x x a y --=的选择；
（2）已知)]([x g f 求)(x f 的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）； （3）函数方程问题，需建立关于)(x f 的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(x f ，)1(x f ，则一般将式中的x 用x
1
代替，构造另一方程。 特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。
二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例1
、求3
4
x y x +=-的定义域。
解：由题意知：204x x +>???
≠?
?，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为： {x|x>－2且x ≠±4}。
例2、求下列函数的定义域：
（1）3
5)(--=
x x
x f ； （2）x x x f -+-=11)( 【思路分析】
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。
【解题过程】（1）要使函数有意义，则???±≠≤???≠-≥-3
5
,0305x x x x 即，在数轴上标出，即
53,33,3≤<<<-- {}5x 3,33,3≤<<<--<或或x x x 。 （2）要使函数有意义，则1,11 ,0101=? ??≤≥???≥-≥-x x x x x 所以即，从而函数的定义域为{}1x |x =。 【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x 的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。 2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例 3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （u ）的定义域可以确定内函数g （x ）的范围，从而解得x ∈I 1，又由g （x ）定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。也可先求出 复合函数的表达式后再行求解。 ()()(())f x g x y f g x == =例8 已知求的定义域. 解：()3()33f x x g x =≥?≥?≥* 由 又由于x 2－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得： 13|13x x x x x ≤<<≤??≤<<≤?????或故所求定义域为或 例5、若函数f （2x ）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。 解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－1，2］， 故log 2x ∈［2－1，2］ 4x ≤≤ ，故定义域为??。 三：求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法 例11. 求函数 231x y x += +的值域。 解：()211231 2111x x y x x x +++= ==+ +++，因为101x ≠+，故y ≠2，所以值域为{y|y ≠2}。 说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。 2、配方法 例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。 解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y ≥－2}。 说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。 3、判别式法 例13. 求函数2223 456x x y x x ++=++的值域。 解：22 23456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0 可解得： y ∈??。 说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点： 第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。 4、单调性法 例14. 求函数2 3y x -=+，x ∈［4，5］的值域。 解：由于函数23y x -=+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝2 5；当x ＝5时，y max ＝5 13，所以函数 的值域为513,25??? ???。 5、换元法 例15. 求函数2y x =+ 解： 令0t =≥，则y ＝－2t 2＋4t ＋2＝－（t －1）2＋4，t ≥0，故所求值域为{y|y ≤4}。 求下列函数的值域： （1）{}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+=x y （3）2 211x x y +-= （4）)25(,322-≤≤-+--=x x x y 【思路分析】 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数)(x f y =，其值域就是指集合{}A x ),x (f y y C ∈==；二是函数的定义域，对应关系是确 定函数值的依据。 【解题过程】 （1）将，1x 2y 5,4,3,2,1x 中计算分别代入+==得出函数的值域为{}1,19,5,73， 。 （2）11,0≥+∴≥x x ，即所求函数的值域为),1[+∞或用换元法，令 )0(1),0(≥+=≥=t t y t x t 的值域为),1[+∞。 （3）<方法一>∴++-=+-= ,12 1112 22x x x y 函数的定义域为R 。 ]1,1(y ,2x 12 0,1x 12 2-∈∴≤+< ∴≥+∴。 <方法二>y x y x yx y x x y -=+?-=+?+-=1)1(1112 222 2 ]1,1(,0112-∈≥+-=?y y y x 得到，故所求函数的值域为（－1，1]。 （4）<构造法>114,25,4)1(3222-≤+≤-∴-≤≤-++-=+--=x x x x x y .3)1(412,16)1(122≤+-≤-∴≤+≤∴x x 所以函数的值域为[－12，3]。 【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。 【模拟试题】(答题时间：30分钟) 一. 选择题 1、函数y ＝f （x ）的值域是［－2，2］，则函数y ＝f （x ＋1）的值域是（ ） A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］ 2、已知函数f （x ）＝x 2－2x ，则函数f （x ）在区间［－2，2］上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是（ ） A. y ＝20－2x （x ≤10） B. y ＝20－2x （x<10） C. y ＝20－2x （4≤x<10） D. y ＝20－2x （5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］（a 5、函数y ＝f （x ＋2）的定义域是［3，4］，则函数y ＝f （x ＋5）的定义域是（ ） A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 6、函数 22 234x y x x +=+的值域是（ ） 317317317317.[ ,].,317317317317 .(, ][,).(,)(,)A B C D ??---+---+ ? ??? ---+---+-∞?+∞-∞?+∞ 7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ） 333 .1(02).1(02)2223 .1(02).11(02) 2A y x x B y x x C y x x D y x x = -≤≤=--≤≤=--≤≤=--≤≤ 二. 填空题 8、若f （x ）＝（x ＋a ）3 对任意x ∈R 都有f （1＋x ）＝－f （1－x ），则f （2）＋f （－2）＝ ； 9、若函数2()2f x x =-的值域为1,3??-∞- ???，则其定义域为 ； 三. 解答题 10、求函数 534x x y -++= 的定义域。 11、已知221,2(),2x x x f x x x ?-+≤?=? ->??，若f （a ）＝3，求a 的值。 12、已知函数f （x ）满足2f （x ）－f （－x ）＝－x 2＋4x ，试求f （x ）的表达式。 习题讲解： 1.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0),2()1(0 ),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 答案:C. 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 2.设函数???<+≥+-=0,60 ,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ） A ),3()1,3(+∞?- B ),2()1,3(+∞?- C ),3()1,1(+∞?- D )3,1()3,(?--∞ 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。 当0 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 3.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25 (f 的值是 A. 0 B. 21 C. 1 D. 25 答案：A 【解析】若x ≠0，则有)(1)1(x f x x x f +=+，取2 1 -=x ，则有： )21()21()21(2 1211)121()21(f f f f f -=--=--- = +-=（∵)(x f 是偶函数，则)21()21(f f =- ）由此得0)2 1 (=f 于是，0)21(5)21(]2 1211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+ =+==+= +=f f f f f f f 4.若1 ()21x f x a =+-是奇函数，则a = ． 答案12 【解析】解法112(),()()2112 x x x f x a a f x f x --=+=+-=--- 21121 ()21122112122 x x x x x x a a a a ?+=-+?=-==----故 5.已知函数3,1, (),1, x x f x x x ?≤=?->?若()2f x =，则x = . 答案3log 2 【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由31log 232 x x x ≤??=?=?，122x x x >?? -=?=-?无解，故应填3log 2. 6.记3()log (1)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则方程1()8f x -=的解x = ． 答案2 【解法1】由3()log (1)y f x x ==+，得13y x -=，即1()31f x x -=-，于是由318x -=，解得2x = 【解法2】因为1()8f x -=，所以3(8)log (81)2x f ==+= 三、知识要点 1、奇偶函数定义： （1）偶函数 一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么f （x ）就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么f （x ）就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。 ③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． ④奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f = 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 4、判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f （－x ）与f （x ）的关系； 作出相应结论： 若f （－x ） = f （x ） 或 f （－x ）－f （x ） = 0，则f （x ）是偶函数； 若f （－x ） =－f （x ） 或 f （－x ）＋f （x ） = 0，则f （x ）是奇函数． 5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内， （1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． （2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． （3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． （4） 函数f （x ）与()x f 1 同奇或同偶． 【典型例题】 一、判断函数的奇偶性 例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误 （1）因忽视定义域的特征致错 1、① ()()11--= x x x x f ；②f （x ）=x 2+（x +1）0 错解：①()()x x x x x f =--=11，∴ f （x ）是奇函数 ②∵ f （－x ）=（－x ）2+（－x +1）0=x 2+（x +1）0=f （x ） ∴ f （x ）是偶函数． 分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x ）是非奇非偶函数． ②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x ）为非奇非偶函数． （2）因缺乏变形意识或方法致错． 2、判断 ()21 151+ -=x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x －1≠0，∴ x ≠0． f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称． ∵ ()21 51521151+ -=+-=-x x x x f ， ∴ f （－x ）≠f （x ），f （－x ）≠－f （x ）， ∴ f （x ）是非奇非偶函数． 分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形． 正解： ()() 1521 521151-+=+-=x x x x f ，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称． ()()()() ()x f x f x x x x x x -=-+-=-+=-+=--1521 55125115215 ∴ f （x ）是奇函数． （3） 因忽视f （x ）=0致错． 3、判断函数()2 244x x x f -+-=的奇偶性． 错解：由 ?????≥-≥-040422x x 得x =±2， ∴ f （x ）的定义域为{－2，2}，关于原点对称． ()()()()x f x x x x x f =-+-=--+ --=-222 24444， ∴ f （x ）为偶函数 正解：f （x ）的定义域为{－2，2}，此时，f （x ）=0，∴ f （x ）既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f （x ）=0 （x ≠0）是f （x ）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x ）=0 （x ≠0）函数的定义域． （4）因分段函数意义不清致错 二、函数的奇偶性与单调性的关系 例3、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数， 证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数。 ∴12()()f x f x ->-，又()f x 在R 上是奇函数。 ∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 例4、()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()231f x x x =-++，当x<0时，求()f x 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--， 又0x ->，由已知有22 ()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()00 2310x x x f x x x x x ?-++>?==??+- 例5、（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1 2()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性。 （2）函数()f x 的定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的 奇偶性。 解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1 2()()f x f x x += ① 令①式中x 为1x 得： 11 2()()f f x x x += ② 解①②得 221 ()3x f x x -= ， ∵定义域为{|0}x x ≠关于原点对称 又∵ 222()121 ()3()3x x f x x x ----==- -()f x =- ∴ 221()3x f x x -= 是奇函数。 （2）∵定义域关于原点对称， 又∵令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+则(0)0f =， 再令y x =-得(0)()()f f x f x =+-， ∴()()f x f x -=- 所以，原函数为奇函数。 【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题 1、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=－f （x ），则，f （6）的值为 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2、若奇函数f （x ）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在[－7，－3]上是（ ） A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5 C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5 3、y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f （x ）的图象上的是（ ） A. （a ，－f （a ）） B. （－a ，f （a ）） C. （－a ，－f （－a ）） D. （－a ，－f （a ）） 4、已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x （1＋x ），当x ＜0时，f （x ）等于 [ ] A. －x （1－x ） B. x （1－x ） C. －x （1＋x ） D. x （1＋x ） 5、函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）·g （x ）的图象可能为（ ） 6、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） A 、()()f x f x -是奇函数； B 、()()f x f x -是奇函数； C 、()()f x f x +-是偶函数； D 、()()f x f x --是偶函数 二、填空题 7、设函数()()() x a x x x f ++= 1为奇函数，则实数=a 。 8、已知函数y =f （x ）满足f （x +y ）+f （x －y ）=2f （x ） f （y ） （x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，那么f （x ）是__________函数（填奇、偶）． 9、已知函数53 ()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，则(2)f 的值为 。 三、解答题 10、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数， 证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 11、()f x 为R 上的奇函数，当0x >时， 2 ()231f x x x =-++，求()f x 的解析式。 12、已知函数 ()),0(2R a x x a x x f ∈≠+ =； （1）判断函数()x f 的奇偶性； （2）若()x f 在区间[)+∞,2上是增函数，求实数a 的取值范围。 一、选择题： 1、B 解：根据题目所给的条件：f （x+2）=－f （x ）； f （6）=－f （4）=f （2）=－f （0） 又f （x ）是奇函数，因此f （0）=－f （0），f （0）=0 因此f （6）=－f （0）=0 2、B 3、B 解：当x=－a 时，f （－a ）=f （a ）（∵y=f （x ）为偶函数），∴点（－a ，f （a ））在y=f （x ）的图象上．∴选（B ）． 4、B 解：当x ＜0时，f （x ）=－f （－x ）=－（－x ）（1－x ）=x （1－x ）．∴选（B ）． 5、A 6、C 解：A 中：()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数； B 中：()()( )F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-，此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定；D 中：()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数；C 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即 函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案C 二、填空题 7、－1 8、偶 9、－26 解：构造函数()()8g x f x =+，则53 ()g x x ax bx =++一定是奇函数 又∵(2)10f -=，∴ (2)18g -= 因此(2)18g =- 所以(2)818f +=-， 即(2)26f =-． 三、解答题 10、证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数。 ∴12()()f x f x ->-，又()f x 在R 上是奇函数。 ∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 11、解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--， 又0x ->，由已知有22 ()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()00 2310x x x f x x x x x ?-++>?==??+- 12、解：（1）当0=a 时，()2 x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ， ()()2 2 212121x a x x a x x f x f - -+ =-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x ；要使()x f 在区间[)+∞,2上是增函数只需()()021<-x f x f ，即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a （一）函数单调性的定义 1. 增函数与减函数 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）＜f （x 2 ），那么就说f（x）在区间D上是增函数。 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1 ＜x 2 时，都有f（x 1 ）>f （x 2 ），那么就说f（x）在区间D上是减函数。 注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ；当x 1 ＜x 2 时，总有f（x 1 ）＜f（x 2 ）或 f（x 1 ） ＞f（x 2 ）。 2. 函数的单调性的定义 如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。 3. 判断函数单调性的方法和步骤 利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2 ∈D，且x 1 ＜x 2 ； ②作差f（x 1）－f（x 2 ）； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f（x 1）－f（x 2 ）的正负）； ⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。 （二）函数最大（小）值的定义 1. 最大值与最小值 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M； （2）存在x ∈I，使得f（x0）＝M 那么，称M是函数y＝f（x）的最大值。 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M； （2）存在x ∈I，使得f（x0）＝M 那么，称M是函数y＝f（x）的最小值。 注意： ①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x ∈I，使得f（x0）＝M； ②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）。 2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法 ①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值 ③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y＝f（x）在x ＝b处有最大值f（b）； 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）。 知识点一：函数的单调性与最值 例1：判断函数4 ()f x x x =+在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。 思路分析： 1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性 2）解题思路：按照用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤去做即可。 解答过程：4 ()f x x x =+在区间(0,2)上单调递减。 设1202x x <<<，则12()()f x f x -＝1212 44 x x x x +-- ＝2112124()x x x x x x --+＝12 2112 4()x x x x x x --。 已知1202x x <<<，所以210x x ->，1240x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即原函数在(0,2)上单调递减。 解题后的思考：用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）。 例2：已知()f x 是奇函数，它在(0)+，∞上是增函数，且()0f x <，试问1 ()() F x f x =在(0)-， ∞上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 思路分析： 1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。 2）解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设210x x -<，进而判断212111 ()()()() F x F x f x f x -=- 的符号。 解答过程：任取12(0)x x ∈-，，∞，且210x x -<，则有21()()0x x --->。 ()f x 在(0)+，∞上是增函数，且()0f x <，12()()f x f x ∴---<0， 又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，12()()0f x f x ->。 于是212111 ()()()()F x F x f x f x -=-1212()()0()() f x f x f x f x -=>?， 1 ()() F x f x ∴=在(0)-， ∞上是减函数。 解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。 例3：已知104x <≤，求函数222 ()x x f x x -+=的最值。 思路分析： 1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值； 2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。 解答过程：已知函数式可化为2()2f x x x =+-，先判断函数()f x 在1 04 x <≤上的增减性。 设121 04 x x <<≤，则 1212 12121212 ()(2)22 ()()(2)(2)x x x x f x f x x x x x x x ---=+--+-=， 121 04 x x <<≤，1212020x x x x ∴-<-<，。 12()()0f x f x ∴->，即函数()f x 在1 04 x <≤上是减函数。 125 ()44 f x f ??∴= ???≥。故所求函数的最小值为254，无最大值。 解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。 例4：已知函数()f x 是增函数，定义域为(0)+， ∞，且(4)2f =，()()()f xy f x f y =+，求满足()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围。 思路分析： 1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围。 2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问 题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果[]()(3)(3)f x f x f x x +-=-，则必须0x >， 30x ->，且(3)0x x ->。 解答过程：由题意，得030(3)0()(3)[(3)]2x x x x f x f x f x x >??->? ?->??+-=-?≤， ，，， 解得 34x <≤。所以x 的取值范围是34x <≤。 解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0)+， ∞这一隐含条件。 例6：已知()f x 是奇函数，且当0x >时，2()23f x x x =++，求当0x <时()f x 的解析式。 思路分析： 1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式。 2）解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡到已知区间。 解答过程：当0x <时，0x ->，所以有2()23f x x x -=-+，又已知()f x 是奇函数，所以有()()f x f x =--＝223x x -+-。即当0x <时，2()23f x x x =-+-。 解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减周期等方法将未知区间过渡到已知区间。 1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. )2()1()23(f f f <-<- B. )2()2 3 ()1(f f f <-<- C. )23()1()2(-<- D. )1()2 3 ()2(-<- 3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A. 增函数且最小值是5- B. 增函数且最大值是5- C. 减函数且最大值是5- D. 减函数且最小值是5- 4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1 = D. 42+-=x y 6. 函数)11()(+--=x x x x f （ ） A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数 二、填空题 7. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如下图，则不等式()0f x <的解是 。 8. 已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 。 9. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 。 10. 下列四个命题 （1）()f x = （2）函数是其定义域到值域的映射； （3）函数2()y x x N =∈的图象是一条直线； （4）函数22,0 ,0 x x y x x ?≥?=?- 11. 函数2y x =________________。 13. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减； （3）2(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。 14. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域。 15. 已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-。 （1）当1a =-时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。 一、选择题 1. B 奇次项系数为0,20,2m m -==。 2. D 3 (2)(2),212 f f =--<-<-。 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性。 4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=-。 5. A 3y x =-在R 上递减，1 y x =在(0,)+∞上递减，24y x =-+在(0,)+∞上递减。 6. A ()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=- 为奇函数，而2 22,12,01 (),2,102,1x x x x f x x x x x -≥??-≤ 为减函数。 二、填空题 7. (](2,0)2,5- 奇函数关于原点对称，补足左边的图象。 8. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小自变量最大时，函数值最大。 9. [)0,+∞ 210,1,()3k k f x x -===-+。 10. 1 （1）21x x ≥≤且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两条不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。 11. [)2,-+∞ 1,x y ≥-是增函数。 三、解答题 13. 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<- -<--? ， ∴01a << 14. 解：1210,2x x +≥≥-，显然y 是x 的增函数，12x =-，min 1 ,2 y =- 1 [,)2 y ∴∈-+∞ 15. 解：（1）21,()22,a f x x x =-∴=-+ 对称轴min 1,()(1)1,x f x f ===max ()f x = (5)37f -= ∴max m ()37,()1in f x f x == （2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x 在[]5,5-上是单调函数 ∴5a ≥或5a ≤-。 六、反函数 1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ?=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ?=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ?=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x f y 1 -=。 注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。 （1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分，得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4， ］ (0,］ 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。 (2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2 3 x 3，故函数的定义域是｛x | x (2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解：令 2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2 3，因此0 | x | 3，从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。 、函数定义域、值域求法总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→ （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ] 求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域 ,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 （1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞） （3）由题意 化简 故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域 （1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 . 求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1) (1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 求复合的定义域、值域、解析式（集锦） 一、 基本类型： 1、 求下列函数的定义域。 （1）12 )(-+=x x x f （2）x x x x f -+= 0)1()( （3） 1 11--= x y （4）()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 （1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法： （1） 求函数 y x =+ 分分式法 求2 1+-=x x y 的值域。 解：（反解x 法） 四、判别式法 （1）求函数22221 x x y x x -+=++；的值域 2）已知函数2 1 ax b y x += +的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。 五：有界性法： （1）求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 （1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数 ,x y ，总有2 ()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0，y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ). 人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。 例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 ，可变为解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 就是利用函数和的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得 ，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为 ，而，所以 ，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域 因，故函数在上递减、 在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22 1++-=x x y u y 2 1log =322++-=x x u 2 21 22+-+= x x x y 2 2122+-+= x x x y 0 12)1(22 =-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2 13 3,2133[+-1 cos 3 cos 2+-= x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-= x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2 5 ,(1cos 5--∞∈+-x ]2 1,(--∞∈y 4 32+= x x y 0=x 0=y 0≠x x x y 43+ = 0>x 44 24=?≥+ x x x x 0 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨： 根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。 解： 由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评： 算术xx具有双重非负性，即： （1）被开方数的非负性， （2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习： 求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（ 答案： 值域为： ｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨： 先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解： 显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为: x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为 ｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评： 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习： 求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（ 答案： 函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x+x+2)的值域。 点拨： 将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解： 由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2 函数的定义域 （1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项 ☉分式分母不为零；☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制 若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。 （3）抽象复合函数定义域的求法 ☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围 ☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。 例1．函数()4x f x -= 的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{ 10 x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠ 所以函数()4x f x -= 的定义域为(－∞，1)∪(1,4]故选：D 例2．函数2211y x x = -+-的定义域为( ) A. {|11}x x x ≥≤-或 B. {|11}x x -≤≤ C. {1} D. {-1,1} 【答案】D 【解析】函数2 2 11y x x = -+-可知:22 10 { 10 x x -≥-≥,解得：1x =±. {-1,1}.故选D. 例3．已知函数() 2 1y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________. 【答案】[] 1,3-【解析】由函数() 21y f x =-的的定义域为(?2,2)，得：2 113x -≤-≤， 故函数f (x )的定义域是[]1,3-. （一）函数的概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （二）映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）． 记作“f：A→B” 说明： （1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述． （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ （1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生． 思考： 将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？ （三）函数的表示法 常用的函数表示法：（1）解析法； （2）图象法； （3）列表法． 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。 <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形函数定义域值域求法十一种
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