沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数
一、知识点复习
1.二次函数的定义：
形如c
+
y+
=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
ax
bx
注意事项：二次函数必须满足三个条件
①函数表达式为整式；
②函数表达式有唯一的自变量；
③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.
2.二次函数的一般形式：
任何一个二次函数的关系式都可以化成c
+
=2（c b a,,为常数，且0≠a）
y+
bx
ax
的形式，我们把c
=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，
+
bx
ax
y+
其中c
,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,
bx
3.二次函数两个变量的值:
（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式
（1）列函数表达式:
在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：
①确定自变量与因变量的实际意义
①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；
①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：
①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；
②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解
知识点1.二次函数的定义：
形如c
+
=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+
bx
ax
注意事项：二次函数必须满足三个条件
①函数表达式为整式；
②函数表达式有唯一的自变量；
③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.
考点1：利用二次函数的定义识别二次函数
例题1：下列函数哪些是二次函数？
①25x y -=；①112
-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）
变式练习
（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）
A.)1(2-=x y
B.22)1(x x y --=
C.2)1(-=x a y
D.122-=x y
考点2：二次函数的一般形式中的系数问题
例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A.2
B.-2
C.-1
D.-4
变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
知识点2：二次函数两个变量的值
（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。当给定自变量x 的一个值后，就有唯一的y 的值与之对应，这时y 的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。当给定一个y 的值，对应x 的值有1个或2个或没有值与之对应。 考点3:利用函数表达式求两个变量的值
例题3：已知函数2322--=x x
y 。（1）当3
2-=x 时，函数的值为多少？（2）当x 为多少时，函数值为0？
变式练习
根据如图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为25，则输出的函数值为（ ） A.23 B.52 C.254 D.4
25 知识点3：列二次函数的表达式
（1）列函数表达式:
在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：
①确定自变量与因变量的实际意义
①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；
①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：
①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；
②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
考点4：利用实际问题中的数量关系建立二次函数模型
例题4：某网店销售某款童装，每件售价60元。每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售。市场调查反应，每降价1元，每星期可多卖30件。已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）设每星期的销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式。
变式练习
春节期间，××局规定花生油的最低价格为1.4元/kg，最高价格为5.4元/kg，小王按1.4元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨1.0元，则每天少卖出kg
20，若油价定位x元，每天获利W元，求W与x满足怎样的关系式？考点5：利用几何公式建立二次函数模型
例题5：如图所示，一块草地是长为80m，宽为60m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y2m。求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。
（2019秋丹江口市期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米，围成的苗圃面积为y 平方米，则y 关于x 的函数关系式为（ ）
A.)40(x x y -=
B.)18(x x y -=
C.)240(x x y -=
D.)240(2x x y -=
三．基础题型讲解
基础题型1：根据二次函数的定义求字母的值
例题1：如果函数1)3(232++-=+-mx x
m y m m 是二次函数，求m 的值。 变式练习
（2019秋大安市期末）函数3)1(12-+-=+x x a y a 是二次函数，则a 的值是（ ）
A 、1
B 、1-
C 、1±
D 、0
基础题型2：利用几何图形列函数表达式
例题2：如图所示，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让ABC ?以2cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求重叠部分的面积y （cm 2）与时间t （s ）之间的函数表达式。
如图所示，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.设鸡场面积为y平方米，垂直于墙的一边长为x米。
（1）求鸡场面积y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）如图所示，若要在鸡场内用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场面积y与x的函数关系式是什么？并求出自变量的取值范围。
基础题型3：实际问题中的二次函数问题
例题3：某商场每件进价为80元的某种商品，原来按每件100元出售时，一天可售出100件，为了扩大销量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现这种商品的售价每降低1元，其每天的销量可增加10件。求商场销售该商品原来一天可获利多少元；
设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元。
①若商场销售该商品一天要获利2160元，则每件商品要降价多少元？
②求y与x之间的函数表达式。
变式练习
1.（2019秋济宁期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数
量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）
A.2)1(x a y +=
B.2)1(x a y -=
C.a x y +-=2)1(
D.a x y +=2
2.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）
A.)1(2-=x a y
B.)1(2x a y -=
C.)1(2x a y -=
D.2
)1(x a y -= 四．拔尖题型讲解
1.在矩形ABCD 中，3=AB ,4=AD ,动点Q 从点A 出发，以每秒一个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ,PD 。若两个点同时运动的时间为x 秒（30≤ 2.如图所示，在直角三角形AOB 中，OB AB ⊥,且3==OB AB ，设直线t x =截此三角形所得的阴影部分面积是S ，则S 与t 之间的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 。 3.一副三角板（BCM ?和AEG ?）如图放置，点E 在BC 上滑动，AE 交BM 于D ，EG 交 MC 于F ， 且在滑动过程中始终保持DE EF =.若4=MB ,设x BE =，EFC ?的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ） A.x y 32= B.132+=x y C.)34(x x y -= D.)34(21x x y -= 4.如图，四边形ABCD 中，0 90=∠=∠ACB BAD ,BC AC AD AB 4,==,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2254x y = C 、252x y = D 、254x y = 5.如图，在ABC Rt ?中，090=∠C ,mm BC mm AC 24,12==,动点P 从点A 开始沿边AC 向C 以 s mm /2的速度移动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向B 以s mm /4的速度移动。 （1）如果Q P ,两点同时出发，那么PCQ ?的面积)(21 mm S 随出发时间)(s t 如何变化？写出函数表达式及t 的取值范围。 （2）在（1）的条件下，请写出四边形APQB 的面积)(22mm S 关于运动时间)(s t 的函数表达式。 6.如图，正方形ABCD 的边长为cm 3，动点P 从B 点出发以s cm /3的速度沿着边DA CD BC --运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发以s cm /1的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动。设P 点运动时间为)(s x ，BPQ ?的面积为)(2cm y ，试求出y 与x 之间的函数关系式。 7.已知关于x 的函数2)1()1(232+-++=--x m x m y m m 。（1）m 为何值时，这个函数是二次函数？（2）m 为何值时，这个函数是一次函数？ 五．课后作业 一、选择题。 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A.x x y -=21 B.22)1(--=x x y C.222x x y -= D.x x y 12+= 2.函数c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数）是二次函数的条件是（ ） A.0,0,0≠≠≠c b a B.0,0,0≠≠ C.0,0,0≠≠>c b a D.0≠a 3.对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ） A.22)1(x m y -= B.22)1(x m y += C.22)1(x m y += D.22)1(x m y -= 4.若22 )2(--=m x m y 是关于x 的二次函数，则常数m 的值为（ ） A.0 B.2 C.2- D.1-或2- 5.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A.)1(36x y -= B.)1(36x y += C.2)1(18x y -= D.)1(182x y += 6. 下列函数中，是二次函数的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 若关于x 的函数x x a y --=2)2(是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A.0≠a B.2≠a C.2 D.2>a 8.长方形的周长为cm 24，其中一边为xcm （0>x ），面积为2ycm ，则这样的长方形中y 与x 的关系可以写为（ ） A.2x y = B.212x y -= C.x x y ?-=)12( D.)12(2x y -= 9.若函数m m x m y ++=2)2(是关于x 的二次函数，则满足条件的m 的值为（ ） A 、1 B 、-2 C 、1或-2 D 、-1或2 10. 若m m x m m y +-=2)(2是二次函数，则m 等于（ ） A.2- B.2 C.1 D.1或2- 11. 用一根长cm 30的绳子围成个一个长方形，长方形一边长为xcm ，则长方形的面积2Scm 与xcm 的函数关系式为x x S 152+-=，其中，自变量x 的取值范围是（ ） A.0>x B.150< C.300< D.3015< 二、填空题 12.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数，那么k 的值一定是 。 13.某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月 相比增长率都是x ，则该 厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式 为 。 14.等边三角形的周长为x ，面积为y ，用x 表示y 的关系式为y = 。 15.某体育用品商店购进一批滑板，每块滑板利润为30元，一星期可卖出80块。商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，则一星期可多卖出4块。设每 块滑板降价x 元，商店一星期销售这种滑板的利润是y 元，则y 与x 之间的函数表达式为 。 16.有一人患了流感，经过两轮传染后共有m 人患了流感，假设每轮传染恰好是每个人传染n 个人，则m 与n 之间的函数关系式为 。 17.用总长为60m 的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S （2m ）与一边长l （m ）之间的函数关系式为 ，自变量l 的取值范围是 。 三、解答题 18.已知函数x b a x x b a y 3222)(23-++++-=是y 关于x 的二次函数，求a ，b 的值。 19.某商人如果将每件进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品售价每提高1元，其销售量就减少10件。若将售价定为每件x 元，每天所赚利润为y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式.