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数学归纳法举例一导学案

数学归纳法举例一导学案
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理:§2.3.2 数学归纳法应用举例(1)

学习目标

1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

2.数学归纳法中递推思想的理解.

学习重点难点

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

学习过程 一、课前准备

(预习教材P 71~ P 72,找出疑惑之处) 复习1:数学归纳法的基本步骤?

复习2:数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务:数学归纳法的各类应用 ※ 典型例题

例1用数学归纳法证明:2222*(1)(21)

123,6

n n n n n N ++++++=∈

变式:证明1

123...(1)2

n n n ++++=+

例2 证明:平面上n 个圆最多把平面分成2

2n n -+个区域。

变式:证明:平面内n 条直线,最多把平面划分成多少个区域?并证明你的结论。

例3求证:当5n ≥时,2

2n n >

※ 动手试试

练1. 用数学归纳法证明:2

2

2

2

21

135...(21)(41)3

n n n ++++-=

-

练 2. 平面内有n (2)n ≥条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数

(1)

()2

n n f n -=

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;

2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

3、不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明

*1(1)()

n

n N n

+∈的单调性就难以实现.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测

1. 使不等式122

+>n n

对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 若命题)(n p 对n=k 成立,则它对2+=k n 也成立,又已知命题)2(p 成立,则下列结论正确的是

A. )(n p 对所有自然数n 都成立

B. )(n p 对所有正偶数n 成立

C. )(n p 对所有正奇数n 都成立

D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立

3. 用数学归纳法证明不等式1111127

124264

n -++++> 成立,起始值至少应取为

A.7

B. 8

C. 9

D. 10

4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .

5. 用数学归纳法证明等式

123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时,当1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的是 .

6. 给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) ……

猜测第n 个等式,并用数学归纳法证明.

《数学归纳法》导学案

第5课时数学归纳法 1.使学生了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题. 多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的. 问题1:要使得所有骨牌全都倒下须满足的条件 (1); (2). 问题2:数学归纳法:证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立; (2)(归纳递推)假 设. 问题3:数学归纳法是一种只适用于与有关的命题的证明方法,第一步是递推的“”,第二步是递推的“”,两个步骤缺一不可. 问题4:在证明过程中要防范以下两点 (1)第一步验证n=n0时,n0不一定为1,要根据题目要求. (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明1时,命题也成立的过程中一定要用,否则就不是数学归纳法. (n∈N+),验证n=1时,左边应取的项是1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4) 2 (). A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得(). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

数学归纳法教学设计与反思

数学归纳法教学设计与反思 长春市十一高中杨君 一、教学内容解析 就本节课的题目而言,它有两个意思,一个是归纳法,另一个是数学归纳法。归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法,特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法,同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法,是研究数学的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段,具有很好的创造性。在科学发现中也是如此。 数学归纳法呢?它是证明与正整数n(n取无限个值)有关命题的重要工具,是一种重要的数学思想方法.其理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集,且它具有下列性质:①1∈M;②若k∈M,则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)和最小数原理(即自然数集的任何非空子集必有一个最小数),其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程( )真? ( +1)真? ( +2)真?…用具有高度代表性、概括性的( )真? ( +1)真来代替,而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系.数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法,是归纳法与演绎法的完善结合.这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法,是重要的探索发现的手段,是一种似真结构;而数学归纳法是一种严格的证明方法,一种演绎法,它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后,数学归纳法以归纳公理为理论基础,得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”,则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法,但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中,往往先通过对大量个别事实的观察,通过归纳形成一般性的结论,最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的,而论证就像是对归纳的一个数学补充,即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。 二、教学目标设置 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法(归纳法) (2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。 2、过程与方法目标 通过对归纳法的引入,说明归纳法的两难处境,引出数学归纳法原理,使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识,解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法,能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

第7页应用举例学案1

第7页应用举例导学案 【学习目标】 1. 会正确画出各种角度 :仰角,俯角,方位角; 2. 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题. 目标一 会正确画出各种角度:仰角,俯角,方位角 【新知介绍】 方位角---指从北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之 下时,称为俯角. 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角. 【达标检测】如右图,点A 的方位角为点B 的方位角为 目标二 能综合运用正余弦定理解决简单的测量问题. 【例题展示】 1.想一想:能到达的两点之间的距离显然能够测量,在这个基础上怎么测出河两岸不能到达的两点A,B 之间的距离?如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者在B 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测定BC 的距离是55,∠ABC =45°,∠AC B=60° .求A 、B 两点间的距离.变式:在上题的基础上如何测出不能到达的河对岸的两点A ,B 之间的距离呢? 在岸边选取相距3km 的C 、D 两点,并测得∠A CB =75°,∠BCD =45°,∠AD C=30°,∠ADB =45°,A、B、C 、D在同一个平面,求两目标A 、B 间的距离.答案()623255 - 2.用同样高度的两个测角仪A B和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空, 如图1-2-5,分别测得气球的仰角是α和β,已知B ,C 间的距离为a ,测角仪的高度 是b ,求气球的高度。(b a +-)sin(sin sin βαβ α) 3. 某海上养殖基地A ,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°相距20(3+1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为20海里。正以每小时102海里的速 度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且3+1 小时后开始影响基地持续2小时,求台风移动的方向。 答案北偏西45 【达标检测】 1. 从高为h 的气球A 上测量铁桥BC 的长.如果测得桥头B 的俯角是α,桥 头C 的俯角是β,求该桥的长. 答案:11(-tan tan h βα) 2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我海军护航舰在A 处获悉后,立即测出该货船在方位角为45° ,距离为10海里的C处,并测得货船正沿方位角105° 的方向,以10海里/小时的速度向前行驶,我海军护航舰立 即以103海里/小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间。答案方向角75° ,时间1小时 B A C a b E A D C B C D

高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1. 分析:多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾:数学归纳法两大步:(i )归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立;(ii )归纳递推:假设n =k (k ≥n 0, k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2. 练习:已知()*()13521,f n n n N =++++-∈L ,猜想()f n 的表达式,并给出证明? 过程:试值(1)1f =,(2)4f =,…,→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明. 3. 练习:是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ?+?+?+++= 21()6 n an bn c ++对一切自然数n 都成立,试证明你的结论. 二、讲授新课: 1. 教学数学归纳法的应用: ① 出示例1:求证*111111111,234212122n N n n n n n - +-+???+-=++??+∈-++ 分析:第1步如何写?n =k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发? 关键:在假设n =k 的式子上,如何同补? 小结:证n =k +1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. ② 出示例2:求证:n 为奇数时,x n +y n 能被x +y 整除. 分析要点:(凑配)x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k -x 2·y k =x 2(x k +y k )+y k (y 2-x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y -x ). ③ 出示例3:平面内有n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点, 求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2-n +2个部分. 分析要点:n =k +1时,在k +1个圆中任取一个圆C ,剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分,而圆C 与k 个圆有2k 个交点,这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧,每段弧将它所在的平 面部分一分为二,故共增加了2k 个平面部分.因此,f (k +1)=f (k )+2k =k 2-k +2+2k =(k +1)2- (k +1)+2. 2. 练习: ① 求证: 11(11)(1)(1)321 n ++???+-g g n ∈N *). ② 用数学归纳法证明: (Ⅰ)2274297n n --能被264整除; (Ⅱ)121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(其中n ,a 为正整数) ③ 是否存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在, 求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 3. 小结:两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n =k 到n =k +1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习: 1. 练习:教材50 1、2、5题 2. 作业:教材50 3、4、6题.

数学归纳法教学设计电子教案

数学归纳法教学设计

授课日期: 2016 年 4 月 8 日授课班级:高二年级2 班

【教学难点】 (1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性; (2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确. 教法、学法分析 教法: 学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的,通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤,尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中,类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。在教师的组织启发下,师生之间、学生之间共同探讨,平等交流;既强调独立思考,又提倡团结合作;既重视教师的组织引导,又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 学法: 本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行: 教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用. 教学资源 导学案、PPT 教学过程 教学环 节 教师活动学生活动设计意图 课前复习准备 1、布置导学案内容; 2、批改纠正学生出现的错误; 3、及时了解学生学习情. 完成学案内容 1、归纳推理: 2、回忆等差数列,等比数 列的通项公式;思考等 差、等比数列通项公式的 得出过程,你能证明该公 式吗? 3、已知数列{}n a中, 1 1 = a, ) (* + ∈ + =N n a a a n n n2 2 1 , 试猜想这个数列的通项公 式并证明你的猜想. 复习公式及 其得出过 程,为本节 学习做好铺 垫. 使学生发现 不能解决的 问题,激发 学生学习新 知的愿望. 创设问题情景,引出新课问题情景:引导学生共同回顾学案 第3小题数列{}n a通项公式的得出过 程,提问:你的猜测正确吗?如何证 明? 学生回忆第3小题数列 {} n a通项公式的得出过 程,并思考老师的问题. 发现问题, 突出矛盾. 合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏. 引导学生共同探讨多米诺骨牌全 部依次倒下的条件: (1)第一块要倒下; 学生类比多米诺骨牌依顺 序倒下的原理,探究出证 明有关正整数命题的方 播放视频活 跃课堂氛 围,激发学 生的兴趣. 提 出 问 分 析 问 猜想与 置疑 论证 观察 情景 应用

四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 数学归纳法

§2.3.1 数学归纳法 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.数学归纳法中递推思想的理解. 【学习重点】数学归纳法的原理 【学习难点】数学归纳法的操作步骤及应用 【课前预习】 【预习自测】 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________________时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n o,k∈N+)时命题成立,证明当_________________时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 【我的疑问】 【课内探究】 探究任务:数学归纳法 问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 探究教材69页的证明(*)

新知:数学归纳法两大步: (1)归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立; (2)归纳递推:假设n =k (k ≥n 0, k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立. 试试:你能证明数列的通项公式1n a n =这个猜想吗? 反思:数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题. 关键:从假设n =k 成立,证得n =k +1成立. ※ 典型例题 例1 用数学归纳法证明 如果{a n }是一个等差数列,公差为d ,那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立 变式:用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等比数列的通项公式是:11n n a a q -= 小结:证n =k +1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. 例2用数学归纳法证明:2222*(1)(21)123,6n n n n n N +++++ +=∈ 变式:用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n +++ +-= 小结:数学归纳法经常证明数列的相关问题. 【当堂检测】

人教版数学高二学案2.3数学归纳法

学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 知识点数学归纳法 对于一个与正整数有关的等式n(n-1)(n-2)…(n-50)=0. 思考1验证当n=1,n=2,…,n=50时等式成立吗? 思考2能否通过以上等式归纳出当n=51时等式也成立?为什么? 梳理(1)数学归纳法的定义 一般地,证明一个与__________n有关的命题,可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立; ②(归纳递推)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当__________时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. (2)数学归纳法的框图表示

类型一 用数学归纳法证明等式 例1 (1)用数学归纳法证明(n +1)·(n +2)·…·(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N *),“从k 到k +1”左端增乘的代数式为________. (2)用数学归纳法证明当n ∈N *时,1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n +1+1n +2+…+1 2n . 反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点: (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,所以从“k ”到“k +1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n =k 到n =k +1时,等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心:在第二步证明n =k +1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n =k 时命题成立”作为条件来导出“n =k +1”,在书写f (k +1)时,一定要把包含f (k )的式子写出来,尤其是f (k )中的最后一项,这是数学归纳法的核心,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. 跟踪训练1 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n -3)+(2n -1)+(2n -3)+…+5+3+1=2n 2-2n +1. 类型二 利用数学归纳法证明不等式 例2 求证:1n +1+1n +2 +…+13n >5 6(n ≥2,n ∈N *).

高中数学人教版必修应用举例作业(系列五)

1.2 应用举例 目标 1.了解数学建模的思想; 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题. 知识梳理 1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角.如图中的A 点的方位角为α. 3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一. 作业设计 一、选择题 1.若点P 在点Q 的北偏西45°10′方向上,则点Q 在点P 的( ) A .南偏西45°10′ B .南偏西44°50′ C .南偏东45°10′ D .南偏东44°50′ 答案 C 2.已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向上,灯塔B 在观测站C 的南偏东40°方向上,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A .a km B.3a km C.2a km D .2a km 答案 B 解析 ∠ACB =120°,AC =BC =a , ∴由余弦定理得AB =3a . 3.海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B 、C 间的距离是( ) A .10 3 n mile B.1063 n mile

C .5 2 n mile D .5 6 n mile 答案 D 解析 在△ABC 中,∠C =180°-60°-75°=45°. 由正弦定理得:BC sin A =AB sin B ∴ BC sin 60°=10 sin 45° 解得BC =5 6. 4.如图所示,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在A 所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算A 、B 两点的距离为( ) A .50 2 m B .50 3 m C .25 2 m D.252 2 m 答案 A 解析 由题意知∠ABC =30°,由正弦定理AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB , ∴AB =AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC =50×22 12 =50 2 (m). 5.如图,一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°,与灯塔S 相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( ) A .20(6+2) 海里/小时 B .20(6-2) 海里/小时 C .20(6+3) 海里/小时 D .20(6-3) 海里/小时

数学归纳法优秀教学设计

数学归纳法 【教学目标】 1.进一步理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式;理解为证n=k+1成立,必须用n=k成立的假设;掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2.掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质;培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入: 1.归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点:特殊→一般 2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法。与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法。 4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性: )时命题成立,证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(k N*,k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0,如果当n=n 0时,命题成立,再假设当n=k(k ≥n0,k ∈N*)时,命题成立。(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立。 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当n 取第一个值n 0结论正确; (2)假设当n=k(k ∈N*,且k ≥n 0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。 由(1),(2)可知,命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例: 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习: 1.用数学归纳法证明:().125312n n =-++++ 证明:(1)当1=n ,左边=1,右边=1,等式成立。 (2)假设当k n =时,等式成立,就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说,当1+=k n 时等式也成立。 根据(1)和(2),可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2.用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时,左边应为_____________。 3.判断下列推证是否正确,并指出原因。 用数学归纳法证明:126422++=++++n n n 证明:假设k n =时,等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立, 所以*N n ∈时等式成立。

2014届高考数学一轮复习教学案数学归纳法(理)(含解析)

第七节 数学归纳法(理) [知识能否忆起] 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. [小题能否全取] 1.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ∈N ,n ≥3),第一步应验证( ) A .n =1 B .n =2 C .n =3 D .n =4 答案:C 2.(教材习题改编)已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+…-1 n = 2????1n +2+1n +4+…+1 2n 时,若已假设n =k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ) A .n =k +1时等式成立 B .n =k +2时等式成立 C .n =2k +2时等式成立 D .n =2(k +2)时等式成立 解析:选B 因为n 为偶数,故假设n =k 成立后,再证n =k +2时等式成立. 3.已知f (n )=1n +1n +1+1n +2+…+1n 2,则( ) A .f (n )中共有n 项,当n =2时,f (2)=12+1 3 B .f (n )中共有n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+1 4 C .f (n )中共有n 2-n 项,当n =2时,f (2)=12+1 3

D .f (n )中共有n 2-n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+1 4 解析:选D 由f (n )可知,共有n 2-n +1项,且n =2时,f (2)=12+13+1 4 . 4.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n + 1=2n + 2-1(n ∈N *)的过程中,在验证n =1时, 左端计算所得的项为________. 答案:1+2+22 5.用数学归纳法证明:“1+12+13+…+1 2n -11)”,由n =k (k >1)不等式成立,推 证n =k +1时,左边应增加的项的项数是________. 解析:当n =k 时,不等式为1+12+13+…+1 2k -1

高中数学 2.3数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法教学设计 【教学目标】 (1)知识与技能: ①理解数学归纳法的原理与实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题; ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。 (2)过程与方法: 努力创设愉悦的课堂气氛,使学生处于积极思考,大胆质疑的氛围中,提高学生学习兴趣和课堂效率,让学生经历知识的构建过程,体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观: 通过本节课的教学,使学生领悟数学归纳法的思想,由生活实例,激发学生学习的热情,提高学生学习的兴趣,培养学生大胆猜想,小心求证,以及发现问题、提出问题,解决问题的数学能力。 【教学重点】 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题; 【教学难点】 数学归纳法中递推关系的应用。 【辅助教学】 多媒体技术辅助课堂教学。 【教学过程】 一、创设问题情境,启动学生思维(说明引入数学归纳法的必要性) (情景一)问题1:大球中有5个小球,如何证明它们都是绿色的? 问题2: 如果{}n a 是一个等差数列,怎样得到()11n a a n d =+-? (情境二)数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。 【设计意图:】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现,发现其结论正确性不同,而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法(只验证几个个体成立,得到一般性结论,但结论不一定正确)”和“完全归纳法(验证每个个体都成立,得到一般性结论,其结论一定正确)”。 (情景三)问题:如何解决不完全归纳法存在的问题呢? 如何保证骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到? 二、搜索生活实例,激发学生兴趣

2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案新人教A版选修2_2

2.3 数学归纳法 预习课本P92~95,思考并完成下列问题 (1)数学归纳法的概念是什么?适用范围是什么? (2)数学归纳法的证题步骤是什么? [新知初探] 1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的框图表示

[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n 0,这个n 0,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k ”到“k +1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n =k 到n =k +1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项. (3)利用假设是核心 在第二步证明n =k +1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n =k 时命题成立”作为条件来导出“n =k +1”,在书写f (k +1)时,一定要把包含f (k )的式子写出来,尤其是f (k )中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立,则用数学归纳法证明时须先证n =________成立. 答案:2 3.已知f (n )=1+12+13+…+1n (n ∈N *),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52 ,f (16)>3,f (32)>72 ,由此推测,当n >2时,有______________.

九年级数学 相似三角形应用举例(教案、导学案)

27.2相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 【知识与技能】 进一步巩固相似三角形的知识,学会用相似三角形解决不能直接测量的物体的长度和高度等一些实际问题. 【过程与方法】 通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型,进一步体会数学建模的思想方法. 【情感态度】 培养学生分析问题、解决问题能力,增强观察、归纳、建模、应用能力,在活动中也培养学生良好的情感态度,主动参与、合作交流意识. 【教学重点】 运用相似三角形的知识求不能直接测量的物体的长度和高度. 【教学难点】 在实际问题中建立数学模型,灵活运用三角形相似的知识解决实际问题. 一、情境导入,初步认知 问题一天上午10:00时,九年级的小明带着弟弟在操场上玩,弟弟看见高高的旗杆,好奇地问:哥哥,这旗杆好高啊,你知道它有多高吗?”望着高高的旗杆,小明一下子愣住了.但小明是个要强的孩子,他不愿意失去弟弟心目中“大英雄”的地位,绕着旗杆转了几圈,抬头望望,低头看看,这时他的目光停留在自己的影子和电线杆的影子上,他记得自己身高为1.60 米,联想到了刚刚学过相似三角形的知识,终于想到求出旗杆高度的方法了,并给弟弟一个满意的答案.同学们,如果是你,你有办法求出旗杆的高度吗?与同伴交流你的想法. 【教学说明】通过学生能感受到的问题情境,提出问题,可激发学生的求知欲望,增强学习兴趣.在学生的相互交流过程中,慢慢感受到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度的思路方法,引入新课. 二、典例精析,掌握新知 例1据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长为2m,它的影长FD为3m.测得0A = 201m,求金字塔高度BO.

数学归纳法教学内容

数学归纳法

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 数学归纳法及其应用举例单元练习(二) 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为 21n (n -3)条时,第一步验证n 等于 A. 1 B.2 C.3 D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2 4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立;B.仅当n =1,2,3时成立 C.n =4时成立,n =5时不成立; D.仅当n =4时不成立 3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24 1321>n (n ≥2,n ∈N *)的过程中,由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边 A. 增加了1项 )1(21+k ; B.增加了“)1(21121+++k k ”,又减少了“1 1+k ” C.增加了2项 )1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ,减少了11+k 4.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…(2n -1)(n ∈N *)时,假设n =k 时成立,若证n =k +1时也成立,两边同乘 A.2k +1 B.112++k k C.1)22)(12(+++k k k D.1 32+-k k

收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 5.证明1+413121+++…+2 121n n >- (n ∈N *),假设n =k 时成立,当n =k +1时,左端增加的项数是 A. 1项 B.k -1项 C.k 项 D.2k 项 6.上一个n 级台阶,若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是 A.f (n )=n B.f (n )=f (n -1)+f (n -2) C.f (n )=f (n -1)·f (n -2) D.f (n )=???≥-+-=3 )2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 7.凸n 边形内角和为f (k ),则凸k +1边形的内角和 f (k +1)=f (k )+___________. 8.观察下列式子:1+23212<,1+223121+<35,1+474 13121222<++,…则可归纳出:___________. 9.设f (n )=(1+)11()111)(1n n n n ++???++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后,f (k +1)与f (k )的关系是 f (k +1)=f (k )·___________. 10.有以下四个命题:(1)2n >2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+… +2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n -1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2 )2(-n n (n ≥4).其中满足“假设n =k (k

18年高考数学专题14二项式定理及数学归纳法教学案理

专题14 二项式定理及数学归纳法 【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1) 二项式定理的简单应用,B级要求; (2)数学归纳法的简单应用,B级要求 【重点、难点剖析】 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n,上式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中C r n(r=1,2,3,…,n)叫做二项式系数,式中第r+1项叫做展开式的通项,用T r+1表示,即T r+1=C r n a n-r b r; (2)(a+b)n展开式中二项式系数C r n(r=1,2,3,…,n)的性质: ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C r n=C n-r n; ②C0n+C1n+C2n+…+C n n=2n;C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n-1. 2.二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”. (2)二项式展开式的通项公式T r+1=C r n a n-r b r是展开式的第r+1项,而不是第r项. 3.数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立,第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立,两步缺一不可. 4.数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论. (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时,常运用有关的三角知识、三角公式,要掌握三角变换方法. (3)利用数学归纳法证明不等式问题时,在由n=k成立,推导n=k+1成立时,过去讲的证明不等式的方法在此都可利用. (4)用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式.

vb导学案

对象、窗体与控件、窗体布局 组名:姓名: 一、【学习目标】 1、拓展对对象三要素的认识。 2、掌握窗体的常用属性及事件。 3、掌握焦点的概念及控件的分类。 4、了解窗体的布局。 二、【学习重难点】 窗体的常用属性及事件,焦点的概念。 三、【学习内容】——课前自学,课中交流。 任务一:复习下列内容: 导学链接:查阅上几次发的阅读材料P2、P10、P11、P14 1、什么是事件过程: 每个事件都与一段代码相关,与事件相关的代码称为“事件过程”。 2、打开代码窗口的方法: 1) 2) 3) 4) 3、运行VB应用程序的方法有: 1) 2) 3) 4、代码窗口上方包括、二个列表框。 5、VB保存工程的顺序为:先保存,再保存。 任务二:掌握与对象相关概念与操作。 按以下顺序阅读下发的阅读材料P18~P20,回答下列问题: 1、属性的设置有二种方法:和。 2、在属性窗口中根据属性的不同有以下3种设置方法: 1)、 2)、 3)、 3、写出事件过程的模板: 4、写出方法调用的格式并举例: 任务三:掌握窗体的常用属性及焦点的相关概念。 导学链接:阅读下发的阅读材料P20~P23,回答下列问题: 1、写出窗体的常用属性的名称(英文),理解它们的作用。

2、VB中所有涉及尺寸的默认单位是。(中文、英文都要写) 3、写出窗体的常用事件(英文)。 4、对象获得焦点有以下几种方法: 1)、 2)、 3) 5、只有当对象的和属性为时,它才具有焦点。 6、、、、等控件没有焦点。 7、VB中,控件可分为三类: 1)、 2)、 3) 任务四:掌握窗体布局的方法。 导学链接:阅读下发的阅读材料P24~P25,回答下列问题: 1、写出在窗体中添加控件的方法: 1)、 2)、 2、如果需要一次在窗体中加入多相相同的控件,则在单击工具箱中的控件时可先按住 键不放,这样就可在窗体上连续画出若干个相同的控件。 3、选中控件,再按键,可删除控件。 4、控件位置的调整有两种方法: 1)、 2)、 5、按住快捷键,再用鼠标移动可微调控件的位置。

数学归纳法典型例题

实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,在高等数学中有着重要的用途,因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题,不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论,而且加强了对于不完全归纳法应用的考查,既要求归纳发现结论,又要求能证明结论的正确性,因此,初步形成“观察—-归纳—-猜想—-证明”的思维模式,就显得特别重要。 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n = n0时命题成立; (2)(归纳递推)假设n= k()时命题成立,

证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即只要命题对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法,这两步 实用文档 文案大全各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n =k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。

人教版高中数学选修2-2学案:2.2.3数学归纳法

2.2.3数学归纳法(一) 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤; 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.理解数学归纳法中递推思想. 【新知自学】 知识回顾: 1.证明方法: (1)直接证明???_________ _________; (2)间接证明:________. 新知梳理: 1.问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 2.数学归纳法两大步: (1)归纳奠基:证明当n 取第一个值n 0时命题成立; (2)归纳递推:假设n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立,证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1,n 0+2,…,命题都成立. 对点练习: 1.若f (n )=1+12+13+…+16n -1 (n ∈N +),则f (1)为() A .1 B .15 C .1+12+13+14+15 D .非以上答案 2.已知f (n )=1n +1n +1+1n +2+…+1n 2,则() A .f (n )中共有n 项,当n =2时,f (2)=12+13 B .f (n )中共有n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+14

C .f (n )中共有n 2-n 项,当n =2时,f (2)=12+13 D .f (n )中共有n 2-n +1项,当n =2时,f (2)=12+13+14 3.用数学归纳法证明:当为整数时, 2135(21)n n ++++-=. 【合作探究】 典例精析: 2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈ 变式练习: 2*1427310(31)(1),n n n n n N ?+?+?+ ++=+∈

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