中考数学概率与统计知识点总结
第八单元统计与概率
统计一、知识清单梳理
概率
概率统计知识点汇总
概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 （一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 （二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 （三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 （四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤ 《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444 443==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数： 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)= )()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式： ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） §1.5 独立试验概型 事件的独立性： )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互 独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布 概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不 能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤 精品文档 统计和概率高考题型总结 题型一、频率分布直方图 1.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计， 随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： （Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 题型二、古典概型 2.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： （I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； (Ⅱ)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 题型三、回归方程 3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5 精品文档 （I ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，均小于25”的概率； （II ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+； （III ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方 程是可靠的，试问（II ）所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：回归直线方程式???y bx a =+，其中1 2 2 1 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑） 题型四、独立性检验 4. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表： （1（2(参考公式：2 () ()()()() n a d b c K a bc d a cb d -=+ +++，其中na b cd =+++ ) 题型五、茎叶图 5.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量它们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 （1） 根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高； （2） 计算甲班的样本方差； （3） 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 题型六、分层抽样 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值； 概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 2018年中考数学统计与概率专题复习 2018年九年级数学中考统计与概率专题复习 一、选择题: 1.学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的统计图，则七年级学生参加绘画兴趣小组的频率是（） A．0.1B．0.15．0.25D．0.3 2.自水公司调查了若干用户的月用水量x(单位：吨)，按月用水量将用户分成A,B,,D,E五组进行统计，并制作了如图所示的扇形统计图.已知除B组以外，参与调查的用户共64户，则所有参与调查的用户中月用水量在6吨以下的共有( ) A．18户B．20户．22户D．24户 3.已知a,b,,d,e的平均分是,则a+5,b+12,+22,d+9,e+2的平均分是( ) A．-1B．+3．+1 0D．+12 4.如图是交警在一个路口统计的某个时段往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（） A．8，6B．8，5．52，53D．52，52 5.已知5名学生的体重分别是41、50、53、49、67（单位：kg），则这组数据的极差是（） A．8B．9．26D．41 6.下列说法正确的是（） A．“打开电视机，正在播《民生面对面》”是必然事件 B.“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是随机事件 .“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D.“在操场上向上抛出的篮球一定会下落”是确定事件 7.九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（） A．平均数和众数B．众数和极差．众数和方差D．中位数和极差 8.在2016年我县中小学经典诵读比赛中，10个参赛单位成绩统计如图所示，对于这10个参赛单位的成绩，下列说法中错误的是（） A．众数是90B．平均数是90．中位数是90D．极差是15 统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表. 概率与统计大题总结 一、 知识点汇编： 1.线性回归分析 （1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： 回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型． 说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，2 2 =R r . 3、独立性检验 （1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量． （2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表 称为 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d （3）构造随机变量()()()()()() 2 2 +++-= ++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为 如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系： ⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +） ； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或 AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； 统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图 (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t 概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算） 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。 事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。 对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时 知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 中考数学统计和概率专题训练 1. （2012福建）“六?一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图； 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题： （1）分别补全上述统计表和统计图； （2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？ 【答案】解：（1）童车的数量是300×25%=75，童装的数量是300－75－90=135； 儿童玩具占得百分比是（90÷300）×100%=30%。童装占得百分比1－30%－25%=45%。 补全统计表和统计图如下： 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 75 135 （2）∵儿童玩具中合格的数量是90×90%=81，童车中合格的数量是75×85%=63.75，童装中 合格的数量是135×80%=108， ∴从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，购买到合格品的概率是 8163.75108 84.25% 300++=。 2.（2012湖北）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】解：（1）60÷10%=600（人）． 答：本次参加抽样调查的居民有600人。 （2）喜爱C粽的人数：600－180－60－240=120，频率：120÷600=20%； 喜爱A粽的频率：180÷600=30%。 据此补充两幅统计图如图： （3）8000×40%=3200（人）． 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人。 （4）画树状图如下： 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次 （这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数， 概率统计常见题型及方法 总结 Prepared on 22 November 2020 常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式： ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分 则 b a a B P +=)(1， 2分 )()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++ ++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少 、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为，而一件次品被误判为正品的概率为。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= （2）这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为和，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率和接收到‘0’和‘1’，以的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率和收到‘1’和‘0’，以概率收到模糊信号‘x ’。 2020年中考数学统计和概率专题卷（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.数据1、10、6、4、7、4的中位数是（）． A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 2.某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示： 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.某市股票在七个月之内增长率的变化状况如图所示.从图上看出，下列结论正确的是（） A. 2～6月份股票的月增长率逐渐减少 B. 2～6月份股票持续下跌 C. 这七个月中，6月的股票跌到最低 D. 这七个月中，股票有涨有跌 4.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（） A. B. C. D. 5.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球( ) A. 28个 B. 32个 C. 36个 D. 40个 6.某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入山进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（） A. B. C. D. 7.下列命题中假命题是（） A. 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比 B. 正五边形的每一个内角等于108° C. 一组数据的平均数、中位数和众数都只有一个 D. 方程x2－6x＋9＝0有两个实数根 8.一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 高中数学概率统计知识 点总结 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值 专题五：统计与概率 【问题解析】 《标准》安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域．“统计与概率”虽然没有“代数和几何”内容多，但是在整个初中阶段占有重要地位．这是因为随着信息技术的发展，数字化时代的到来，人们每天面对着大量的数据，从国民生产总值到天气预报，从人口预测到股票投资，统计存在于国民经济和日常生活的各个方面，数据处理也因此变得更加重要，具有统计的基本知识已成为每个现代公民必备的素质．中考在20题前后位置必然有一道统计与概率方面的解答题，解决这类题目的关键是“识图”和“用图”．解题的一般步骤是：(1)观察图表，获取有效信息；(2)对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；(3)把图表语言转化为数学语言，进行计算或推理论证，从而使问题解决． 【热点探究】 类型一：统计表的综合应用 【例题1】（2016·浙江省绍兴市·8分）为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查A市七年级部分学生参加社会实践活动天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的频数分布表和条形统计图．A市七年级部分学生参加社会实践活动天数的频数分布表 天数 频 数 频 率 320 430 560 6a 740 A市七年级部分学生参加社会实践活动天数的条形统计图 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出频数分布表中a的值，并补全条形统计图． （2）A市有七年级学生20000人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【分析】（1）利用表格中数据求出总人数，进而利用其频率求出频数即可，再补全条形图； （2）利用样本中不少于5天的人数所占频率，进而估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数． 【解答】解：（1）由题意可得：a=20÷01×=50（人），如图所示： ； （2）由题意可得：20000×（++） =15000（人）， 答：该市七年级学生参加社会实践活动不少于5天的人数约为15000人． 【同步练】概率论与数理统计知识点总结!
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