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(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析

2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)设312i

z i

-=+,则||(z = ) A .2

B .3

C .2

D .1

2.(5分)已知集合{1U =,2,3,4,5,6,7},{2A =,3,4,5},{2B =,3,6,7},则(U B A =I e ) A .{1,6}

B .{1,7}

C .{6,7}

D .{1,6,7}

3.(5分)已知2log 0.2a =,0.22b =,0.30.2c =,则( ) A .a b c <<

B .a c b <<

C .c a b <<

D .b c a <<

4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5151

(0.61822

--≈,称为黄金分割比例)

,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

2

-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,则其身高可能是( )

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A .165cm

B .175cm

C .185cm

D .190cm

5.(5分)函数2

sin ()cos x x

f x x x

+=

+的图象在[π-,]π的大致为( ) A .

B .

C .

D .

6.(5分)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号1,2,?,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( ) A .8号学生

B .200号学生

C .616号学生

D .815号学生

7.(5分)tan 255(?= ) A .23-B .23-+C .23D .23+

8.(5分)已知非零向量a r ,b r 满足||2||a b =r r ,且()a b b -⊥r r r ,则a r 与b r 的夹角为( ) A .

6

π

B .3

π C .

23

π D .

56

π 9.(5分)如图是求112122

+

+

的程序框图,图中空白框中应填入( )

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A .1

2A A

=

+ B .12A A

=+

C .1

12A A

=

+ D .112A A

=+

10.(5分)双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130?,则C 的离心率

为( ) A .2sin40?

B .2cos40?

C .

1

sin50?

D .

1

cos50?

11.(5分)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 4sin a A b B c C -=,1cos 4A =-,则(b

c

= )

A .6

B .5

C .4

D .3

12.(5分)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为( )

A .2

212x y +=

B .22

132x y +=

C .22

143x y +=

D .22

154

x y +=

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.(5分)曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 14.(5分)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若11a =,33

4

S =,则4S = . 15.(5分)函数3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+

-的最小值为 . 16.(5分)已知90ACB ∠=?,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边AC ,BC 3P 到平面ABC 的距离为 .

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

17.(12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:

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(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

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18.(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知95S a =-. (1)若34a =,求{}n a 的通项公式;

(2)若10a >,求使得n n S a …的n 的取值范围.

19.(12分)如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14AA =,2AB =,

60BAD ∠=?,E ,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点.

(1)证明://MN 平面1C DE ; (2)求点C 到平面1C DE 的距离.

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20.(12分)已知函数()2sin cos f x x x x x =--,()f x '为()f x 的导数. (1)证明:()f x '在区间(0,)π存在唯一零点; (2)若[0x ∈,]π时,()f x ax …,求a 的取值范围.

21.(12分)已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,||4AB =,M e 过点A ,B 且与直线20x +=相切.

(1)若A 在直线0x y +=上,求M e 的半径;

(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,||||MA MP -为定值?并说明理由.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2

221,1(41t x t t t y t ?-=??+??=?+?为参数)

.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=.

(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [选修4-5:不等式选讲](10分)

23.已知a ,b ,c 为正数,且满足1abc =.证明: (1)

2

22111a b c a b c

++++?; (2)333()()()24a b b c c a +++++….

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参考答案与试题解析

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

【解答】解:由312i

z i -=+,得3|3||||

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|12|12|i i z i i --====++. 故选:C .

【解答】解:{1U =Q ,2,3,4,5,6,7},{2A =,3,4,5},{2B =,3,6,7}, {1U C A ∴=,6,7},

则{6U B A =I e,7} 故选:C .

【解答】解:22log 0.2log 10a =<=, 0.20221b =>=, 0.3000.20.21<<=Q ,

0.30.2(0,1)c ∴=∈, a c b ∴<<,

故选:B .

【解答】解:头顶至脖子下端的长度为26cm , 说明头顶到咽喉的长度小于26cm ,

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0.618≈, 可得咽喉至肚脐的长度小于

26

420.618

cm ≈,

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, 可得肚脐至足底的长度小于

4226

1100.618

+=, 即有该人的身高小于11068178cm +=, 又肚脐至足底的长度大于105cm ,

可得头顶至肚脐的长度大于1050.61865cm ?≈, 即该人的身高大于65105170cm +=,

故选:B .

【解答】解:2

sin ()cos x x

f x x x +=

+Q ,[x π∈-,]π,

22

sin sin ()()cos()cos x x x x

f x f x x x x x --+∴-==-=--++,

()f x ∴为[π-,]π上的奇函数,因此排除A ;

又22

sin ()0cos 1f πππ

ππππ

+=

=>++,因此排除B ,C ; 故选:D .

【解答】解::Q 从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本,

∴系统抽样的分段间隔为

1000

10100

=, 46Q 号学生被抽到,

则根据系统抽样的性质可知,第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号码增加10,所有号码数是以6为首项,以10为公差的等差数列, 设其数列为{}n a ,则610(1)104n a n n =+-=-, 当62n =时,62616a =,即在第62组抽到616. 故选:C .

【解答】解:tan 255tan(18075)tan75tan(4530)?=?+?=?=?+?

1tan 45tan 3021tan 45tan 30+

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?+?======+-??

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故选:D .

【解答】解:()a b b -⊥r

r r Q , ∴2

()a b b a b b -=-r r r r r r g

g 2||||cos ,0a b a b b =<>-=u u u r u u r r

r r ,

∴2

||cos ,||||

b a b a b <>=u u r r r

u u u r u u r 22||122||

b b ==u u r u u r ,

Q ,[0,]a b π<>∈r

r ,

∴,3

a b π

<>=

r

r .

故选:B .

【解答】解:模拟程序的运行,可得: 1

2

A =

,1k =; 满足条件2k ?,执行循环体,1122

A =

+

,2k =;

满足条件2k ?,执行循环体,112122

A =

+

+

,3k =;

此时,不满足条件2k ?,退出循环,输出A 的值为

112122

+

+

观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入1

2A A

=+. 故选:A .

【解答】解:双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b

y x a

=±,

由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130?,得tan130tan50b

a

-=?=-?,

sin50tan50cos50b a ?

=?=

?

, ∴2222222222501115050b c a c sin a a a cos cos -?==-==-??

, 得221

50e cos =?

1

cos50e ∴=

?

故选:D .

【解答】解:ABC ?Q 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , sin sin 4sin a A b B c C -=,1

cos 4A =-,

∴22222241cos 24a b c b c a A bc ?-=??+-=

=-??

解得21

32

c bc =,

6b

c

=. 故选:A .

【解答】解:22||2||AF BF =Q ,2||3||AB BF ∴=, 又1||||AB BF =,12||3||BF BF ∴=, 又12||||2BF BF a +=,2||2

a BF ∴=, 2||AF a ∴=,13||2

BF a =,

在Rt △2AF O 中,21cos AF O a

∠=

, 在△12BF F 中,由余弦定理可得22

2134()()22cos 222

a a BF F a +-∠=??

根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=,可得2

14202a a a

-+=,解得23a =

,a ∴

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222312b a c =-=-=.

所以椭圆C 的方程为:22

132

x y +=.

故选:B .

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 【解答】解:23()x y x x e =+Q ,

23(31)x y e x x '∴=++,

∴当0x =时,3y '=,

23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =,

∴切线方程为:3y x =.

故答案为:3y x =.

【解答】解:Q 等比数列{}n a 的前n 项和,11a =,334

S =, 1q ∴≠,

313

14

q q -=-, 整理可得,21

04

q q ++=, 解可得,1

2

q =-,

则4

41

11516118

12

q S q -

-=

==-+. 故答案为:5

8

【解答】解:3()sin(2)3cos 2

f x x x π

=+

-Q , 2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+,

令cos t x =,则11t -剟,

2()231f t t t =--+Q 的开口向上,对称轴3

4

t =-,在[1-,1]上先增后减,

故当1t =即cos 1x =时,函数有最小值4-. 故答案为:4-

【解答】解:90ACB ∠=?,P 为平面ABC 外一点,2PC =,点P 到ACB ∠两边AC ,BC

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过点P 作PD AC ⊥,交AC 于D ,作PE BC ⊥,交BC 于E ,过P 作PO ⊥平面ABC ,交平面ABC 于O ,

连结OD ,OC

,则PD PE =,

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1CD CE OD OE ∴====,

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PO ∴==

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P ∴到平面ABC

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三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。

【解答】解:(1)由题中数据可知,男顾客对该商场服务满意的概率404

505

P ==, 女顾客对该商场服务满意的概率303505

P =

=; (2)由题意可知,22

100(40203010)100

4.762 3.8417030505021

K ?-?==≈>???,

故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【解答】解:(1)根据题意,等差数列{}n a 中,设其公差为d , 若95S a =-,则19955()9

92

a a S a a +?===-,变形可得50a =,即140a d +=, 若34a =,则53

22

a a d -=

=-, 则3(3)210n a a n d n =+-=-+, (2)若n n S a …,则11(1)

(1)2

n n na d a n d -+

+-…, 当1n =时,不等式成立,

当2n …

时,有12

nd

d a -…,变形可得1(2)n d a --…, 又由95S a =-,即19955()9

92

a a S a a +?===-,则有50a =,即140a d +=,则有1

1(2)

4

a n a ---…, 又由10a >,则有10n ?,

则有210n 剟,

综合可得:110n 剟.n N ∈.

【解答】证明:(1)Q 直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,

14AA =,2AB =,60BAD ∠=?,E ,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点. 1DD ∴⊥平面ABCD ,DE AD ⊥,

以D 为原点,DA 为x 轴,DE 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系, (1M

2),(1N ,0,2),(0D ,0,0),(0E

0),1(1C -

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4), (0MN =u u u u r

,0)

,1(DC =-u u u u r

,DE =u u u r

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设平面1C DE 的法向量(n x =r

,y ,)z ,

则140

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n DC x z n DE ?=-++=??==??u u u u r r g u u u r r g , 取1z =,得(4n =r

,0,1), Q 0MN n =u u u u r r

g ,MN ?/平面1C DE ,

//MN ∴平面1C DE .

解:(2)(1C -

0),(1DC =-u u u r

0),

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平面1C DE 的法向量(4n =r

,0,1),

∴点C 到平面1C DE 的距离:

||||DC n d n ===u u u r r g r

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【解答】解:(1)证明:()2sin cos f x x x x x =--Q , ()2cos cos sin 1f x x x x x ∴'=-+- cos sin 1x x x =+-,

令()cos sin 1g x x x x =+-, 则()sin sin cos g x x x x x '=-++

cos x x =,

当(0,)2x π

∈时,cos 0x x >,

当(,)2

x π

π∈时,cos 0x x <,

∴当2x π

=

时,极大值为()1022

g ππ

=-<, 又(0)0g =,()2g π=-, ()g x ∴在(0,)π上有唯一零点,

即()f x '在(0,)π上有唯一零点;

(2)由(1)知,()f x '在(0,)π上有唯一零点0x , 使得0()0f x '=, 且()f x '在0(0,)x 为正, 在0(x ,)π为负,

()f x ∴在[0,0]x 递增,在0[x ,]π递减,

结合(0)0f =,()0f π=, 可知()f x 在[0,]π上非负, 令()h x ax =, 作出图示, ()()f x h x Q …,

0a ∴?.

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【解答】解:M Q e 故点A ,B 且A 在直线0x y +=上,

∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上,

设M e 的方程为:222()()(0)x a y a R R -+-=>,则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离2

d =

又||4AB =,∴在Rt OMB ?中, 2221

(||)2d AB R +=,

即22(42

R +=①

又M Q e 与2x =-相切,|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =??=?或46a R =??=?

M ∴e 的半径为2或6;

(2)Q 线段为M e 的一条弦,∴圆心M 在线段AB 的中垂线上, 设点M 的坐标为(,)x y ,则222||||||OM OA MA +=, M Q e 与直线20x +=相切,|||2|MA x ∴

=+,

22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++, 24y x ∴=,

M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线,

|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+,

∴当||||MA MP -为定值时,则点P 与点F 重合,即P 的坐标为(1,0), ∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时,||||MA MP -为定值.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

【解答】解:(1)由2

221,1(41t x t t t y t ?-=??+??=?+?为参数)

,得222

11221t x t y t t ?-=??+??=?+?, 两式平方相加,得2

2

1(1)4

y x x +=≠-,

C ∴的直角坐标方程为22

1(1)4

y x x +=≠-,

由2cos sin 110ρθθ++=

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,得2110x ++=. 即直线l

的直角坐标方程为得2110x +=;

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(2

)设与直线2110x +=

平行的直线方程为20x m ++=,

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联立22

20440x m x y ?+=??+-=??

,得22

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164120x mx m ++-=. 由△221664(12)0m m =--=,得4m =±.

∴当4m =时,

直线240x ++=与曲线C

的切点到直线2110x +=的距离最小,

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=.

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[选修4-5:不等式选讲](10分)

【解答】证明:(1)分析法:已知a ,b ,c 为正数,且满足1abc =. 要证(1)2

22111a b c a b c

++++?;因为1abc =. 就要证:

2

22abc abc abc a b c a b c

++++?;

即证:222bc ac ab a b c ++++?; 即:222222222bc ac ab a b c ++++?; 2222222220a b c bc ac ab ++---…

222()()()0a b a c b c -+-+-…;

a Q ,

b ,

c 为正数,且满足1abc =.

2()0a b ∴-…;2()0a c -…;2()0b c -…恒成立;当且仅当:1a b c ===时取等号. 即222()()()0a b a c b c -+-+-…得证. 故

2

22111a b c a b c

++++?得证. (2)证333()()()24a b b c c a +++++…

成立; 即:已知a ,b ,c 为正数,且满足1abc =. ()a b +为正数;()b c +为正数;()c a +为正数;

333()()()3()()()a b b c c a a b b c c a ++++++++g g …;

当且仅当()()()a b b c c a +=+=+时取等号;即:1a b c ===时取等号;

a Q ,

b ,

c 为正数,且满足1abc =.

()a b +…()b c +…()c a +…

(完整word版)2019年高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析

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当且仅当a b =,b c =;c a =时取等号;即:1a b c ===时取等号;

333()()()3()()()32424a b b c c a a b b c c a abc ∴++++++++?==g g 厖;

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当且仅当1a b c ===时取等号;

故333()()()24a b b c c a +++++….得证. 故得证.

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