江苏白丁高级中学高三数学期末模拟2
一、填空题 1、
i
i
-13的共轭复数是 2、已知集合}0,2|{}2|{2>==-=
=x y y B x x y x A x ,R 是实数集,则( R C B )
∩A=
3、若数列{ n a }的前n 项和为n S ,且满足3
32
n n S a =-,则数列{n a }的通项公式是
4、以3x 士4y =0渐近线的双曲线过点
(),则此双曲线的离心率e 等于 5、从点(2,3)射出的光线沿与向量)4,8(=平行的 直线射到y 轴上,则反射光线所在直线方程为
6、如图,非零向量C ,,,⊥==且为垂足,设向量a λ=,则λ的值为
7、过圆42
2
=+y x 外一点P (2,4)作圆的切线,切点为A 、B ,则△APB 的外接圆 方程为
8、右边程序框图的程序执行后输出
的结果是 。
9、若直线0142)0,0(0222
2
=+-++>>=+-y x y x b a by ax 被圆截得的弦长为4,则b
a 1
1+的最小值是
10、已知直线l 、m ,平面α、β,且l ⊥α,m ?β,给出下列命题: (1)若α∥β,则l ⊥m (2)若l ⊥m ,则α∥β (3)若α⊥β,则l ∥m (4)若l ∥m ,则α⊥β 其中正确命题的序号是 .
11、在△ABC 中,c
c b A 22cos
2
+=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边),则△ABC 的形状为 12、给出下列四个命题:
①命题“0,2≥∈?x R x ”的否定是“0,2≤∈?x R x ”;
②线性相关系数r 的绝对值越接近于1,表明两个随机变量线性相关性越强;
③若]1,0[,∈b a ,则不等式4122<
+b a 成立的概率是4
π; ④函数),2[)2(log 22+∞+-=在ax x y 上恒为正,则实数a 的取值范围是)2
5
,(-∞。 其中真命题的序号是 (填上所有真命题的序号)
13、f (x )是定义在R 上的偶函数,当x <0时,0)4(,0)()(=-<'?+f x f x x f 且,则不等式0)(>x xf 的解集为
14、定义在实数集R 上的奇函数f(x)的最小正周期为20,在区间(0,10)内仅有f(3)=0,则函数f(4
x
+3)在[一100,400]上零点的个数为
高三数学综合练习六答题纸
一、填空题
1、___________
2、___________
3、___________
4、___________
5、___________
6、___________
7、___________
8、___________
9、___________ 10、___________ 11、___________ 12、___________ 13、___________ 14、___________
二、解答题
15、设函数x f ?=)(,其中向量R x x x x ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(. (Ⅰ)求f (x )的最小正周期与单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,已知f (A ) =2,b = 1,△ABC
的面积为
2
3
,求C B c b sin sin ++的值.
16、在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线4x =相切. (1)求圆O 的方程;
(2)圆O 与x 轴相交于A B ,两点,圆内的动点P 使PA PO PB ,,成等比数列,
求PA PB 的取值范围.
17、市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年A 型产品出厂价为每件60元,年销售量为11.8万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为p%(0
p
-1008000
元,预计年销
售量将减少p 万件.
(Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收y (万元)表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域;
(Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于16万元,则税率p%的范围是多少?
(Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p 应为多少?
18、已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为)0,3( F ,右
顶点为D (2,0),设点A 的坐标是).
2
1,1(
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P 是椭圆上的动点,求线段P A 中点M 的轨迹方
程;
(3)过原点O 的直线交椭圆于点B 、C ,求△ABC 面积
的最大值.
19、设函数x
x f )2
1
()(=,数列{a n }满足)()
2(1
)1(),0(*1N n a f a f f a n n ∈--=+=
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)令1
3221211
11,,)2
1(++
++=+++==n n n n n a
n a a a a a a T b b b S b n , 试比较n S 与n T 3
4
的大小,并加以证明.
20、设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点。 (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间;
(Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,02122-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得1|)()(|21≤-ξξg f 成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由。
参考答案
一\填空题 1、i 2
323--
2、[]0,1
3、a n =2·3n
4、
53
5、 042=-+y x
6、
2
|
|a b
a ?
7、5)1()2(2
2
=-+-y x
8.625 9、 4 10、①④ 11、直角三角形 12、②④
13、(-∞,-4)∪(0,4) 14、26 二、解答题
17.解:(Ⅰ)x x x f 2sin 3cos 2)(2+=?= 1)6
2s i n (212c o s 2s i n 3++
=++=
π
x x x ……………………………………3分
∴函数f (x )的最小正周期ππ
==2
2T ………………………………………… 4分 令)(,2236222Z k k x k ∈+≤
+≤+πππππ,解得.3
26ππ
ππk x k +≤≤+ ∴函数f (x )的单调递减区间是Z k k k ∈++],32,
6[ππ
ππ ……………………… 6分 (Ⅱ)由f (A ) = 2,得2
1
)62sin(,21)62sin(2=+=++ππA A ,
在△ABC 中,π< π π 26 6 26 +< + <∴A 656 2ππ = + ∴A ,解得.3 π =A …………………………………………………8分 又2 323121sin 21=???== ?c A bc S ABC ,解得c = 2. △ABC 中,由余弦定理得:32 1 21241cos 22 2 2 =???-+=-+=A bc c b a , ∴a = 3. …………………………………………………………………………10分 由 2 33sin sin sin ===A a C c B b ,得2sin sin ,sin 2,sin 2=++∴ ==C B c b C c B b 16、 解:(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线4x =的距离, 即 2 r = =.得圆O 的方程为224x y +=. (2)不妨设1212(0)(0)A x B x x x <,,,,.由2 4x =即得 (20)(20)A B -,,,. 设()P x y ,,由PA PO PB ,,成等比数列,得 222(2)x x y -+=+, 即 222x y -=. (2)(2)PA PB x y x y =-----,,22242(1).x y y =-+=- 由于点P 在圆O 内,故22 22 42. x y x y ?+?-=??, 由此得2 1y <. 所以PA PB 的取值范围为[20)-, . 17、解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图所示。 …………3分 (2)①证明:连结AC ,BD 交于点O ,连结OG ,因为G 为PB 的中点, O 为BD 的中点,所以OG//PD 。又OG ?面AGC ,PD ?面AGC , 所以PD//面AGC 。 ………………文8分,理6分 ②连结PO ,由三视图,PO ⊥面ABCD ,所以AO ⊥PO 。 又AO ⊥BO , 所以AO ⊥面PBD 。 因为AO ?面AGC ,所以面PBD ⊥面AGC …文12分,理9分 (理)③建立如图所示坐标系,由三视图知,PO=2,AB=2,AC=22,AO=2, ∴P (0,0,2),B (0,2,0),A (2,0,0), C (-2,0,0),)2,2,0(-= )0,2,2(),0,2,2(--=-= 设面PBA 的法向量为n =(x ,y ,z ) ∴???? ?=-=+-?????=?=?0220220 0y x z y BA n BP n ,即 令x =1得y=1,z =1。 ∴n=(1, 1,1) 设面PBC 的法向量为z y x '''=,,(m ) ∴???? ?='-'-='+'-?????=?=?0220220 0y x z y BC m m ,即 令1,11-='-='='z y x 得 ∴m =(1,-1,-1)。 设面PAB 与PBC 的夹角为θ, 则 31 3 3111||||cos -=?--=?= n m n m θ 所以面PAB 与PBC 的夹角为余弦值为3 1 - ………………理12分 18、 解:(1)设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 由题意得2,3,2b c a ∴===1……………………………………………………2分 ∴椭圆方程为14 22 =+y x …………………………………………………………3分 (2)设),(),,(11y x M y x P 由中点坐标公式 1 4 42121222121212 11111=+??? ??-=-=∴??? ????+=+=y x y y x x y y x x 又分 1)2 12(4)12(22=-+-∴y x 即为中点M 的轨迹方程……………………6分 (3)若直线BC 斜率不存在,此时BC 所在直线垂直x 轴, 易得S △ABC =1 若直线BC 斜率存在,设直线BC 所在方程为y=kx , 并设B (x 2,y 2),C (x 3,y 3) .1 441141449.41121| 21|414121||2 1 1|21 |4141||1||142 ,1421444 42222 22222 2 23222322222 2+-=++-=+-=+- ?+?+=?=+- = =+?+=-?+=∴+-= +=+=???=+=??k k k k k S k k k k k k d AB S k k d kx y A k k x x k AB k x k x k x y x kx y ABC ABC 分 于是的距离到直线又联立得由 ①当k =0时,S 2=1. ②当k >0时,S 2<1.………………………………………………10分 ③24 241) 1 ()(441,02 =+ ≤-+-+ = 当且仅当2 1 1)(4- =-=-k k k 即时,取“二”…………………………11分 综上所述△ABC 面积的最大值为2………………………………12分 19、 19.解:(Ⅰ)1)2 1 ()0() 2 1 ()(01===∴=f a x f x 又) 2(1 )(1n n a f a f --= + .)21()21(1)21(221+--==∴+n n n a a a ……………………………………………………2分 21+=∴+n n a a 即 21=-+n n a a ∴数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列 .122)1(1-=?-+=∴n n a n …………………………………………………… 4分 (Ⅱ)12)21 () 2 1(-==n a n n b 41 )2 1()21 (121 21 ==∴-++n n n n b b 即数列{b n }是首项为21,公比为4 1 的等比数列 ])41(1[324 11] )41(1[2121n n n n b b b S -=--=+++=∴ ……………………………6分 ) 12)(12(1 53131111113221+-+ +?+?=+++=-n n a a a a a a T n n n )1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-= n n n )1 21 1(3234+- =∴n T n ………………………………………………………………8分 故比较S n 与n T 34的大小,只需比较n )4 1(与121 +n 的大小即可 即只需比较2n + 1与4n 的大小 ………………………………………………………10分 121331)31(41 +>+≥+?+=+=∴n n C n n n 故n n T S 3 4 >(或用数学归纳法证明) …………………………………………… 12分 20、 解:(I )x e b a x a x x f ])2([)(2++++=' …………2分 由a b f -=='得,0)0( …………4分 2 ,,)(02 ,0,0)()2(])2([)()()(212122-≠≠=--==='++=++='-+=∴a x x x f x a x x x f e a x x e x a x x f e a ax x x f x x x 即故极值点是由于得令 当)(,,221x f x x a 故时<-<的单调增区间是),2[]0,(+∞---∞a 和,单调减区间是 ]2,0[--a …………6分 当)(,,221x f x x a 故时>->的单调增区间是),0[]2,(+∞---∞和a ,单调减区间是 ]0,2,[--a …………8分 (II )当]2,0[,]0,2[)(,22,0在上单调递减在时--<-->x f a a 上单调递增,因此 ])4(,[)}]2(},2max{),0([]2,2[)(2e a a f f f x f +-=--上的值域为在 …………10分 ]2,2[]4 3 )21[()1()(2222-+--=+--=++在而x x e a e a a x g 上单调递减, 所以值域是)]1(,)]1([242+--+--a a e a a …………12分 因为在0)1()1()()(,]2,2[22max min ≥-=+-+-=--a a a a x g x f 上 …………13分 所以,a 只须满足???≤+-+->1 )1(0 2