2019版高考数学一轮复习第八章解析几何第48讲圆的方程学案
第48讲圆的方程
1．圆的定义及方程
2
(1)理论依据：__点__与__圆心__的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
①(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2?点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2__>__r2?点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2__<__r2?点在圆内．
3．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴，z 轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做__坐标原点__，x 轴，y 轴，z 轴统称__坐标轴__，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向时，中指一定指向z 轴的__正方向__.
(3)空间一点M 的坐标为有序实数组(x ，y ，z )，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的__横坐标__，y 叫做点M 的__纵坐标__，z 叫做点M 的__竖坐标__.
(4)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝__错误!__，AB 的中点P 的坐标为__错误!__.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)方程(x ＋a )2
＋(y ＋b )2
＝t 2
(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．(×)
(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆心为? ????－a 2，－a ，半径为12－3a2－4a ＋4的圆．(×)
(3)方程Ax 2
＋Bxy ＋Cy 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2
＋E 2
－4AF ＞0.( √ )
(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20 ＋Dx 0 ＋Ey 0＋F >0.( √ )
(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝
0.( √ )
解析 (1)错误．t ≠0时，方程表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆．
(2)错误．a 2＋(2a )2－4(2a 2
＋a －1)>0即－2 时表示圆． (3)正确．因为A ＝C ≠0，B ＝0，D 2 ＋E 2 －4AF >0得方程Ax 2 ＋Bxy ＋Cy 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，反之也 成立． (4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以? ????x0＋D 22＋? ????y0＋E 22>D2＋E2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0. (5)正确．设M (x ，y )是圆上异于直径端点A ，B 的点，由y －y1x －x1·y －y2 x －x2 ＝－1得(x －x 1)(x －x 2)＋(y － y 1)(y －y 2)＝0. 显然A ，B 也满足上式．所以以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 2．已知点A (1，－1)，B ( －1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是(A ) A ．x 2＋y 2 ＝2 B ．x 2 ＋y 2 ＝2 C ．x 2 ＋y 2 ＝1 D ．x 2 ＋y 2 ＝4 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝1 2 错误!＝错误!， ∴圆的方程为x 2 ＋y 2 ＝2. 3．方程x 2 ＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2 ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是(D ) A ．(－∞，－2)∪? ?? ??23，＋∞ B ．? ?? ??－23，0 C ．(－2,0) D ．? ????－2，23 解析 ∵方程表示圆，则a 2 ＋(2a )2 －4(2a 2 ＋a －1)>0， ∴－2 . 4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2 ＝4的内部，则实数a 满足的条件是(A ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1 解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2 ＋(1＋a )2 <4，即－1 5．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，M 为AC 1与CA 1的交点，则M 点的坐标为 __? ?? ??1，32，1__. 解析 由长方体的几何性质，得M 为AC 1的中点，在所给的坐标系中，A (0,0,0)，C 1(2,3,2)，则中点M 的坐标为? ?? ??1，32，1. 一 求圆的方程 求圆的方程的方法 (1)方程选择的原则： 求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程； 如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程． (2)求圆的方程的方法和步骤： 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 【例1】 根据下列条件，求圆的方程． (1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－ 4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解析 (1)由题意知k AB ＝2，AB 中点为(4,0)，设圆心C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 则????? b a －4 ＝－12， 2a －b －3＝0， 解得错误!∴C (2,1)， ∴r ＝|CA |＝错误!＝错误!， ∴所求圆的方程为(x －2)2 ＋(y －1)2 ＝10. (2)设圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ? ?? ?? 2D －4E －F ＝20， 3D －E ＋F ＝－10. ①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2 －4F ＝36，④ 由①②④解得 D ＝－2， E ＝－4， F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 －2x －4y －8＝0，或x 2 ＋y 2 －6x －8y ＝0. (3)如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x0－2 3－x0 ＝1， ∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2 ＋(y ＋4)2 ＝8. 二 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜 率的最值问题；②形如t ＝ ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2 ＋(y －b )2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【例2】 已知实数x ，y 满足方程x 2 ＋y 2 －4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2 的最大值和最小值； (3)求y x 的最大值和最小值． 解析 方程x 2 ＋y 2 －4x ＋1＝0变形为(x －2)2 ＋y 2 ＝3表示的图形是圆． (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b| 2 ＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (2)x 2 ＋y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为错误!＝2，所以x 2 ＋y 2 的最大值是(2＋错误!)2 ＝7＋4错误!，最小值是(2－3)2 ＝7－4 3. (3)原方程可化为(x －2)2＋y 2 ＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x 的几何意义是圆上一点与原 点连线的斜率，所以设y x ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时错误!＝ 3，解得k ＝± 3.所以y x 的最大值为3，最小值为－ 3. 三 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方法 求解与圆有关的轨迹问题应根据题设条件的不同采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【例3】 已知圆x 2 ＋y 2 ＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝ 90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解析 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2 ＋y 2 ＝4上，所以(2x －2)2 ＋(2y )2 ＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |. 设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2 ＝|ON |2 ＋|PN |2 ＝|ON |2 ＋|BN |2 ，所以x 2 ＋y 2 ＋(x －1) 2 ＋(y －1)2 ＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2 ＋y 2 －x －y －1＝0. 四 空间直角坐标系中的对称问题 解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点 (1)看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称，明确哪些量发生了变化，哪些量没发生变化． (2)记清各类对称点坐标间的对称关系，是解决此类问题的关键． (3)可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点P 关于原点、坐标轴、坐标平面的对称的特点，以便解 决其他问题． 【例4】 如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心是坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于 三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标． 解析 由题意得，点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)； 点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)． 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称， 故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1), C 1(2,3,1), D 1(2，－3,1)． 1．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝16的一条直径过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的 直线方程为(D ) A ．3x ＋y －5＝0 B ．x －2y ＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．2x ＋y －3＝0 解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为1 2 ，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所 以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D ． 2．已知在圆M ：x 2 ＋y 2 －4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为(D ) A ．3 5 B ．65 C ．4 5 D ．215 解析 圆x 2 ＋y 2 －4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2 ＋(y ＋1)2 ＝5， 圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径， ∴|AC |＝2 5. ∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得|ME |＝2， ∴|BD |＝2|BE |＝25－2＝2 3. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12|BD |×|EA |＋1 2 |BD |×|EC | ＝12|BD |×(|EA |＋|EC |)＝1 2|BD |×|AC | ＝1 2 ×23×25＝215，故选D ． 3．已知抛物线C 1：x 2 ＝ 2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两 点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为(A ) A ．x 2 ＋? ????y －122＝4B ．? ????x －122＋y 2＝4 C ．x 2 ＋? ????y －122＝2D ．? ?? ??x －122＋y 2＝2 解析 由题设知抛物线的焦点为F ? ????0，12，所以圆C 2的圆心坐标为? ????0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所 以BD 为直径，AC 为直径，又F ? ?? ??0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－1 2 ，点F 到直线CD 的距离为1，所 以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ? ????－3，32， 所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝错误!＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2 ＋错误!2 ＝4，故选A ． __. 2__＝|1AA |则，1A 的对称点为xOy 关于平面2,1)－，(1A 已知点．4 解析 易知A 1(1，－2，－1)， 所以|AA 1|＝错误!＝2. 易错点 忽视圆的方程中的隐含条件致误 错因分析：忽视圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的隐含条件D 2＋E 2 －4F ＞0而导致错误． 【例1】 若过点(0,0)作圆x 2 ＋y 2 ＋kx ＋2ky ＋2k 2 ＋k －1＝0的切线有两条，则k 的取值范围是________. 解析 因为方程表示圆，所以k 2 ＋(2k )2 －4(2k 2 ＋k －1)＞0， 即3k 2 ＋4k －4＜0，解得－2＜k ＜23 .① 由题意，得点(0,0)在圆外，所以2k 2 ＋k －1＞0， 解得k ＞1 2 或k ＜－1.② 由①②，得－2＜k ＜－1或12＜k ＜2 3 ， 故k 的取值范围是(－2，－1)∪? ????12，23. 答案 (－2，－1)∪? ?? ??12，23 【跟踪训练1】 若a ∈? ?????－2，0，1，23，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2 ＋a －1＝0表示的圆的个数为(B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 原方程变形为 ? ?? ??x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1， ∵方程表示圆，∴－34a 2 －a ＋1>0，即(a ＋2)(3a －2)<0， ∴－2 3 ，故只有a ＝0. 课时达标 第48讲 [解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现． 一、选择题 1．圆(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( A ) A ．(x －2)2＋(y －1)2 ＝1 B ．(x ＋1)2 ＋(y －2)2 ＝1 C ．(x ＋2)2 ＋(y －1)2 ＝1 D ．(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝1 解析 设对称圆的方程为(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝1，圆心(1,2)关于直线y ＝x 的对称点为(2,1)，故对称圆 的方程为(x －2)2 ＋(y －1)2 ＝1，故选A ． 2．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( A ) A ．x 2 ＋(y －2)2 ＝1 B ．x 2 ＋(y ＋2)2 ＝1 C ．(x －1)2 ＋(y －3)2 ＝1 D ．x 2 ＋(y －3)2 ＝1 解析 设圆心坐标为(0, a )，则错误!＝1， ∴a ＝2，故圆的方程为x 2 ＋(y －2)2 ＝1. 3．以抛物线y 2 ＝4x 的焦点为圆心，且与双曲线x216－y29 ＝1的两渐近线相切的圆的方程为( C ) A ．x 2 ＋? ????y －1162＝ 125 B ．x 2＋(y －1)2 ＝ 1625 C ．(x －1)2＋y 2 ＝ 925 D ．(x －2)2＋y 2 ＝ 3625 解析 抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线x216－y29＝1的渐近线为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.由已知， 得圆的半径长等于点F 到直线3x ±4y ＝0的距离，即r ＝ |3×1| 32＋42＝35 ，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2 ＝9 25 . 4．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2 ＋y 2 －2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( A ) A ．3－ 2 B ．3＋2 C ．3－ 22 D ． 3－22 解析 圆的标准方程为(x －1)2 ＋y 2 ＝1，直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝|1－0＋2|2 ＝322，则点C 到直线AB 的最短距离为32 2－1.又因为|AB |＝22，所以△ABC 面积的最小值为 12×22×? ?? ?? 322－1＝3－ 2. 5．若实数x ，y 满足x 2 ＋y 2 －2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为( B ) A ． 5 B ．10 C ．9 D ．5＋25 解析 原方程可化为(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．设x －2y ＝b ，则 x －2y 可看作直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值，此时 |1＋4－b| 5 ＝ 5.∴b ＝10或b ＝0，∴x －2y 的最大值是10. 6．设双曲线x2a2－y2b2 ＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，右焦点F (c,0)，方程ax 2 －bx －c ＝0的两个实数 根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2 ＋y 2 ＝8的位置关系为( C ) A ．点P 在圆外 B ．点P 在圆上 C ．点P 在圆内 D ．不确定 解析 ∵e 2＝1＋? ????b a 2＝2，∴? ?? ??b a 2＝1，∴b a ＝1，∴a ＝b ，c ＝2a ，∴方程ax 2－bx －c ＝0 可化为x 2 －x － 2＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－ 2.∴x 21＋x 2＝(x 1＋x 2)2 －2x 1x 2＝1＋22<8， ∴点P 在圆内，故选C ． 二、填空题 2 1) －x (或9＝23)－y (＋2 3)－x (__是上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程3＝y －x 2线．圆心在直7__. 1＝2 1)＋y (＋ 解析 依题意设圆心为(a,2a －3)，因为圆与两坐标轴均相切，所以|a |＝|2a －3|，解得a ＝1或a ＝3， 即r ＝1或3，故圆的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x －1)2＋(y ＋1)2 ＝1. __.0＝4＋y 4－x 2－2 y ＋2 x __是的方程C 对称，则圆0＝1－y ＋x 关于直线0＝x 2＋2 y ＋2 x 与圆C ．若圆8 解析 设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1,0)，由点A ，C 关于直线x ＋y －1＝0对称，得错误!解得? ?? ?? a ＝1， b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2 －2x －4y ＋4＝0. 9．若过点P (a ，a )可作圆x 2 ＋y 2 －2ax ＋a 2 ＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是 (－∞， －3)∪? ?? ??1，32 . 解析 圆的方程可化为(x －a )2 ＋y 2 ＝3－2a ， 因为过点P (a ，a )能作圆的两条切线，所以点P 在圆的外部， 即? ?? ?? a2＋a2－2a2＋a2＋2a －3>0，3－2a>0，解得a <－3或1 2 . 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪? ?? ??1，32. 三、解答题 10．(2018·广东湛江模拟)已知△ABC 的顶点坐标分别为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 的 中点． (1)求AB 边所在直线的方程； (2)求以线段AM 为直径的圆的方程． 解析 (1)因为A (－1,5)，B (－2，－1)，所以由两点式得AB 的方程为y －5 －1－5 ＝错误!，整理得6x －y ＋ 11＝0. (2)因为M 是BC 的中点，所以M ? ?? ??－2＋42，－1＋32， 即M (1,1)， 所以|AM |＝错误!＝2错误!，所以圆的半径为错误!. 所以AM 的中点为? ????－1＋12 ，5＋12，即中点为(0,3)，所以以线段AM 为直径的圆的方程为x 2＋(y －3)2 ＝ 5. 11．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程． 解析 设所求圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2 ＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E . 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.① 又因为圆过点A ，B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③ 解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 －2x －12＝0. 12．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2 ＋y 2－12x －14y ＋60 ＝0及其上一点A (2,4)． (1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ → ，求实数t 的取值范围． 解析 (1)圆M 的标准方程为(x －6)2 ＋(y －7)2 ＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5. 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7， 圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2 ＋(y －1)2 ＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－0 2－0 ＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5| 5 . 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25， 而|MC |2 ＝d 2 ＋? ?? ??|BC|22， 所以25＝错误!＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ → ，所以??? ?? x2＝x1＋2－t ，y2＝y1＋4. ① 因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2 ＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2 ＋(y 1－3)2 ＝25. 所以P (x 1，y 1)在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2 ＋(y －3)2 ＝25上，即此两圆有公共点， 所以5－5≤错误!≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t的取值范围是[2－221，2＋221]． 〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范畴为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ） 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 () ()2 2 2 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2 2 2 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()22 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.22 0Ax By C xy D x Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 4040A B A B C C D E AF D E F A A A ?? =≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 m i n P A A N r A C ==- m a x P A A M r A C = = + 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直A C ） 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 蒙日圆定理(解析几何 证法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 2 蒙日圆定理 （纯解析几何证法） 蒙日圆定理的内容： 椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。 如图，设椭圆的方程是22 221x y a b +=。两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。 求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。 证明： 若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是： (),special P a b ±± (1) 它必定在圆2222x y a b +=+上。 现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2) 1 :PN y x n k =-+ (3) 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为： ()222,1 1n m k nk m P k k -??+ ?++?? (4) 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为： ()22 22 222222111 n m k nk m OP k k n k m k -????+=+????++????+= + (5) 3 现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得： 22222221210k km m x x a b b b ???? +++-= ? ????? (6) 由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化 简后可得： ()22 22 2211b m m b a k ??=+- ??? (7) 对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得： ()22 222 21b n k n b a ??=+- ??? (8) 为方便起见，令： 22222,,,,a A b B m M n N k K ===== (9) 这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+ (10) A N B K =+ (11) 将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2 221 NK M OG A B a b K +==+=++ (12) 证毕。 第4章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法． 1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点 时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________． 2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外?________；点P 在圆上?________；点P 在圆内?________． 一、选择题 1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12 的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不能确定 2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断 3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1 5．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 二、填空题 7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________． 8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________． 三、解答题 10．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程． 07-05 圆的方程 点一点——明确目标 掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题. 做一做——热身适应 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 . 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0， 即－ 7 1 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 第11讲 解析几何之直线与圆的方程 一．基础知识回顾 （一）直线与直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________. 2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标 为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)． 3 4.12112212M 的坐标为(x ，y)，则????? x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系 1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2?_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2?________________________. (2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2?k 12k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________． 3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)； (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l 4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 三．圆与圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中 圆心为___________________，半径r ＝____________________________. 四．点线圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点 专题一求圆的轨迹方程 教学目标： 1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的 形式求圆的方程； 2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆 的方程； 2、会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分知识点回顾 一、圆的方程 : 1 .圆的标准方程：x a? y b 2 r2o 2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0） 特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆 2 2 2 思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？ 答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））； 3 .圆的参数方程：y a r s°s (为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: (3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0 2 )上的点，则圆的 普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是 (答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)； 3 (4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_ (答: [0 , 2]); (5) 方程x 22 - 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0 )}， N (x, y) | y x b , 若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& ) 二、点与圆的位置关系：已知点M x 0 ,y 0 及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 , (1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM r x 0 a $ y 0 r 2。女口 点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答: 2 ^22, r x r cos , y r sin ； x y t x r cos ,y r sin (0 r .,t)。 X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程 x x 1 x X 2 y y 1 y y 2 0 如 (1) 圆C 与圆(X 1)2 y 2 1关于直线y x 对称， 则圆 C 的方程为 (答: x 2 (y 1)2 1); (2) 圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1 )； 高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 高考数学必考之圆的方程 考点一 圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2解得223a -<<. 考点二 点与圆的位置关系 1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（ ） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定 【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-． 所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 2021届高考数学（理）考点复习 圆的方程 圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b ) 半径为r 一 般 式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E 2 半径r ＝1 2 D 2＋ E 2－4F 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种． 已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 ， 半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时， 连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小， 由5OB =，得4OA =， 即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选A ． 2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=． 【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则0 42020F D F D E F =?? ++=??+++=? ， 解得2D =-，0E F ==； ∴所求圆的方程为2220x y x +-=． 故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=． 必修2 第四章 圆与方程复习小结 一、知识点归纳 （一）．圆的两种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，表示_____________． （2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ． ①当D 2＋E 2 －4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ： ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2 E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+ F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆． （二）．点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． （三）．直线与圆的位置关系 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： # （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________； （3）当r d <时，直线l 与圆C ________． （四）．圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．最新圆的解析几何方程
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