辽宁省协作校2020-2021学年高二上学期第一次联考试题 数学 Word版含答案
高二上学期协作校第一次考试 数学试题
考生注意：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：选择性必修一第一章。
第I 卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(－1，1，2)，B(3，2，1)，则|AB |＝
A.23
B.32
C.4
D.6
2.若空间向量a ，b 不共线，且－a ＋(3x －y)b ＝xa ＋3b ，则xy ＝
A.1
B.2
C.4
D.6
3.已知空间向量a ＝(3，0，3)，b ＝(－1，1，0)，则a 与b 的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AB a AD b AA c ===，，，且|a|＝2，则(a ＋b)·(a －c)＝
A.4
B.3
C.2
D.1
5.直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，且∠BAD ＝
3
π，则|1AC |＝ A.23 B.4 C.10 D.33
6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，若点P 在侧面BCC 1B 1(不含边界)内运动，AP ⊥BD 1，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BD 与AP 所成角的余弦值是
A.1326
B.1313
C.31326
D.31313
7.已知P ，A ，B ，C 四点满足PA ＝(1，1，－3)，PB ＝(2，－1，1)，PC ＝(3，4，m)，且P ，A ，B ，C 四点共面，则m ＝
A.343-
B.13-
C.113
D.343
8.如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝13，AD ＝BC ＝5，M 为棱AB 的中点，1DN DC 3
=，连接MN ，则点A 到MN 所在直线的距离的平方为
A.6977
B.6577
C.1011
D.369154
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.以下关于向量的说法正确的有
A.若a ＝b ，则|a|＝|b|
B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C.若a ＝－b 且b ＝－c ，则a －c
D.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
10.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，BD 上的点，且
BE BF 2EC FD ==，则EF AC AD -+＝
A.4EF 3
B.5EF 2
C.8CD 9
D.5CD 3
11.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝AD ＝2，AB ＝3，则 A.1DD 与1B C 的夹角为4
π B.1DD 与1B C 的夹角为平34π C.1DD ·1B C ＝－4 D.AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值为
324 12.在三棱锥P －ABC 中，以下说法正确的有
A.若2AD AB AP =+，则BP 3BD =
B.若PA AC
?＝0，PA AB ?＝0，则PA BC ?＝0
C.若T 为△ABC 的重心，则2PT AT PB PC +=+
D.若PA ＝PB ＝PC
＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN |＝2
第II 卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.已知直线l 的方向向量m ＝(1，－2，3)，平面α的法向量n ＝(t ，t ＋1，－1)，若l //a ，则t ＝ 。
14.已知空间向量a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为120°，则|2a －b|＝ 。
15.已知点A(－1，3，5)，B(2，1，4)，C(1，0，－2)，且ABCD 是平行四边形，则顶点D 的坐标为 。
16.如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形，E 为棱AB 的中点，
11AF AD AG 2GA 3
==，，AC 1与平面EFG 交于点M ，则1AM AC ＝ 。
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分)
如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，E 是棱AA 1的中点，AA 1＝2AB ＝2。
(1)证明：平面EBC ⊥平面EB 1C ；
(2)求直线B 1C 与平面BEC 所成角的正弦值。
18.(12分)
如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，四边形AA 1B 1B 是菱形，AA 1//CC 1，AA 1＝2CC 1＝4，∠AA 1B 1＝60°，C 1A 1＝C 1B 1＝5。
(1)若点G 是AB 1的中点，证明：CG//平面A 1B 1C 1。
(2)求点C 1到平面ABC 的距离。
19.(12分)
在如图所示的几何体中，△ABC ，△ACE ，△BCD 均为等边三角形，且平面ACE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC 。
(1)证明：DE//AB 。
(2)求二面角A －CE －B 的余弦值。
20.(12分)
如图，三棱锥p －ABC 中的三条校AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∠PBA ＝
6
，点D 满足PB ＝4PD 。
(1)证明：PB ⊥平面ACD 。
(2)若AP ＝AC ，求异面直线CD 与AB 所成角的余弦值。
21.(12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形
(1)证明：CD ⊥B 1D 。
(2)若BC ＝3，求二面角B －C 1D －B 1的余弦值。
22.(12分)
如图，已知菱形ABCD 的边长为1。∠BAD ＝
3
，将菱形ABCD 沿着AD 翻折到AEFD 的位置，连接CF ，BE ，CE 。
(1)证明：BE//平面FCD 。
(2)在翻折过程中，是否可能使得BE 与平面ECD 所成角的正弦值为1313
?若可能，求二面角B －AD －E 的大小；若不可能，请说明理由。