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高中数学第一章解三角形1.1.3习题课__正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修

高中数学第一章解三角形1.1.3习题课__正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修
高中数学第一章解三角形1.1.3习题课__正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修

习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用

课后篇巩固探究

A组

1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为()

A. B.- C. D.-

∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设

3,b=2k,c=3k(k>0),

则cos C=--.

2.(2017·江西南昌二中测试)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量

m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为()

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解析∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0.由正弦定理,得

(a+b)(b-a)=c(a+c),即a2+c2-b2=-ac.由余弦定理,得cos B=-.

又B为△ABC的内角,∴B=150°.故选D.

3.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(+1)∶2,则最大角为()

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A 为最小角,则A+C=120°,所以°-°-°

,解得tan A=1,所以A=45°,C=75°.

4.在△ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则△ABC是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,得sin2A sin 2B+sin2B sin 2A=2sin A sin B,即sin2A·2sin B cos B+sin2B·2sin A cos A=2sin A sin B,

所以sin A cos B+cos A sin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,故△ABC是直角三角形.

5在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是()

A. B.

C. D.

ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sin C=sin A.∵A∈(0,π),∴0c,∴角C是锐角,∴C∈.故选D.

6(2017·江苏南通中学)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.

3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理,得

cos C=-

=-,故C=120°.

7.(2017·山西运城中学月考)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

A=60°,c=3b,则=.

,得a2=b2+c2-2bc cos A=+c2-2×c×c×c2,所以.

8.在△ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则的取值范围

是.

=cos A.因为A+B+C=π,所以0

9.导学号04994007在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

b cos C=3a cos B-

c cos B.

(1)求cos B的值;

(2)若=2,且b=2,求a和c的值.

解(1)由正弦定理,得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,其中R为△ABC外接圆半径,

则2R sin B cos C=6R sin A cos B-2R sin C cos B,即sin B cos C=3sin A cos B-sin C cos B,可得sin B cos C+sin C cos B=3sin A cos B,即sin(B+C)=3sin A cos B,可得sin A=3sin A cos

B.又sin A≠0,因此cos B=.

(2)由=2,得ac cos B=2.由(1)知cos B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2ac cos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.

B组

1.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a tan B=5,b sin A=4,则a等于()

A. B.

C.5

D.

,得.

由正弦定理,得,所以cos B=,从而sin B=,tan B=,代入a tan B=5可得a=.

2.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()

A. B.5

C. D.5

ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC=--=-,所以∠ADC=120°,则∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=.

3设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形

,得sin A=(sin B+sin C)cos C,

即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,

所以sin B cos C+cos Bsin C=sin B cos C+sin C cos C,

所以cos B sin C=sin C cos C.因为sin C≠0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而△ABC是等腰三角形.

4.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2C=1-,则角B等于()

A. B. C. D.

cos 2C=1-结合正弦定理,得1-2sin2C=1-,于是sin2B=,从而sin B=.因为

△ABC是锐角三角形,所以B=.

5.(2017·云南昆明一中月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则

=.

,得,即a=2sin A,

=

==4.

6.(2017·天津一中模拟)在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若sin

A=2cos2,b cos C=3c cos B,则=.

sin A=22,得2sin cos =2cos2,即tan,所以A=.由b cos

C=3c cos B,得b·-=3c·-,整理,得a2=2b2-2c2.又a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+bc,所以2b2-2c2=b2+c2+bc,所以-3=0,解得或-(舍去),所以.

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=m sin A(m∈R),且a2-4bc=0.

(1)当a=2,m=时,求b,c的值;

(2)若角A为锐角,求m的取值范围.

,得b+c=ma,a2-4bc=0.

(1)当a=2,m=时,b+c=,bc=1.

解得或

(2)∵cos A=-----

=2m2-3∈(0,1),∴

由b+c=ma,得m>0,故

8.导学号04994008设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c,a=2b sin A.

(1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

∵a=2b sin A,根据正弦定理,得sin A=2sin B sin A,∴sin B=.又△ABC为锐角三角形,∴B=.

(2)∵B=,∴cos A+sin C=cos A+sin--=cos A+sin=cos A+cos A+sin

A=sin.由△ABC为锐角三角形,得A+B>,∴

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)

解三角形题型5:正、余弦定理判断三角形形状 1、(2013·陕西高考文科·T9)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、(2010上海文数)18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =, 则△ABC (A )一定是锐角三角形. (B )一定是直角三角形. (C )一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 4、在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中,若c C b B a A sin cos cos = =,则△ABC 是( ) A .有一内角为30°的直角三角形 B .等腰直角三角形 C .有一内角为30°的等腰三角形 D .等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c -a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 9、(2010辽宁文数17)在ABC ?中,a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边, 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)若sin sin 1B C +=,试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B).

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A

(完整版)正弦定理练习题经典

正弦定理练习题 1.在△ABC 中,A =45°,B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( ) A .1 B.12 C .2 D.14 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( ) A .45°或135° B .135° C .45° D .以上答案都不对 5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( ) A. 6 B .2 C. 3 D. 2 6.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A .1∶5∶6 B .6∶5∶1 C .6∶1∶5 D .不确定 7.在△ABC 中,若cos A cos B =b a ,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 8.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3 ,则A =________. 9.在△ABC 中,已知a =433 ,b =4,A =30°,则sin B =________. 10.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 11.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解. 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 (1)b=39,c=54,? =120C 有________组解 (2)a=20,b=11,?=30B 有________组解 (3)b=26,c=15,?=30C 有________组解 (4)a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D .2 6 解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6. 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( ) A .4 2 B .4 3 C .4 6 D.323 解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A =4 6. 3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )

2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ===2R,其中R 是三角形外接圆的半径. sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形:(1) a∶b ∶c=sin A∶sin B∶sin C;(2) a=2 Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 2 .余弦定理:a2=b 2+c2-2 bccos A,b 2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. b 2+c2-a2a2+c2-b2a2+b 2-c2 变形:cos A =,cos B=,cos C= 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S=a·h a(h a表示a边上的高).(2) S=absinC =acsinB =bcsinA = 2 2 2 2 4R

1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).应用举例: 类型一、利用正(余)弦定理解三角形 【例1】已知中,,点在边上,且.(1 )若,求; (2 )求的周长的取值范围. 【答案】(1 );(2 ). 所以: 中,利用正弦定理得:

由于: 则: ,, 由于:,则:, 得到:, 所以的周长的范围是:. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形,尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题,然后利用辅助角公式进行化简,求出范围,一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中,所对的边分别为,. (1 )求的大小; (2)若,求的值. 【答案】(1 )或(2)1

解三角形高考典型例题汇编

《解三角形》 一、 正弦定理:sin sin sin a b c A B C ===2R 推论:(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中,若,则= 2. 在△中,a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中,若满足,,,则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ,b=2,sinB+cosB ,则A=? 5.【2017全国文11】△ABC 中,sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c ,则C =? 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是? 二、余弦定理:222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,求cos C 的值 2. 在△ABC 中,若则A= 3. 【2012上海高考】在中,若,则的形状是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? (A )3π4 (B )π3 (C )π4 (D )π6

正余弦定理与解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理: 1. 直角三角形中各元素间的关系:如图,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理) A (2)锐角之间的关系:A+B=90°; c (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) b sin A=cos B=a c ,cos A=sin B= b c ,tan A= a b 。 C B 2. 2.斜三角形中各元素间的关系: a 如图6-29 ,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=_____ (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理: a b c 2R 。(R为外接圆半径)sin A sin B sin C a b c = ==2R的常见变形: sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c; (2) a b == sin A sin B c = sin C a+b+c =2R; sin A+sin B+sin C (3) a=2R sin_ A,b=2R sin_ B,c=2R sin_ C; a b c (4)sin A=,sin B=,sin C=. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式:S=1 2 ab sin C= 1 1 bc sin A=ca sin B. 2 2 5. 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式:. 6. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.

正弦定理余弦定理解三角形

第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 (1)在△ABC 中,A +B +C =π;a +b >c ,a -b b ?sin A >sin B ?A >B ; (2)三角形面积公式:S △ABC =12ah =12ab sin C =1 2ac sin B =1sin 2 bc A ; (3)在三角形中有:sin 2A =sin 2B ?A =B 或2 A B π += ?三角形为等腰或直角三角形; sin(A +B )=sin C ,()cos cos A B C +=-,sin A + B 2=cos C 2 . 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2sin sin sin a b c R A B C === 2222sin a b c bc A =+- 2222sin b a c ac B =+- 222 2sin c a b ab C =+- 变形 形式 ①2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =; ②sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2c C R =; ③::c sin :sin :sin a b A B C =; ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc +-=; 222cos 2a c b B ac +-= ; 222cos 2a b c C ab +-= 解决 的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三 边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型 (1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解; (2)已知两边及其一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下情况,在ABC ?中, A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形 关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b > 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 上表中,为锐角,时,无解;为钝角或直角时,或均无解.

《正弦定理和余弦定理》典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一:正弦定理的应用: 例1.已知在ABC ?中,10c =,45A =,30C =,解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a ,然后用三角形内角和求出角B ,最后用正弦定理求出边b . 解析:sin sin a c A C =, ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=, 又sin sin b c B C =, ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华: 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题; 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式. 举一反三: 【变式1】在?ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9a cm =,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中,已知075B =,0 60C =,5c =,求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=, 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =,∴56a =【变式3】在?ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2.在3,60,1ABC b B c ?= ==中,,求:a 和A ,C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C ,然后用三角形内角和求出角A ,最后用正弦定理求出边a .

利用正余弦定理解三角形资料

复习课: 解三角形 枣庄十八中 秦真 教学目标 重点:能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积,形状有关的问题。 难点:如何选择适当的定理,公式,方法解决有关三角形的综合问题. 能力点:定理公式方法的适当选取,培养学生自主解决问题的能力. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点:在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误 学法与教具 1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===,其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+- ,2 2 2 2cos c a b ac C =+- , 222cos 2b c a A bc +-=,222cos 2a c b B ac +-=,222 cos 2a b c C ab +-= 3.111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 4.在三角形中大边对大角,反之亦然. 5.射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+

6.三角形内角的诱导公式 (1)sin()sin A B C +=,cos()cos A B C +=-,tan tan()C A B =+,cos sin 22 c A B +=,sin cos 22 C A B +=,... 在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 sin sin sin a b c A B C == ,可求出角C ,再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ,由2 2 2 2cos a b c bc A =+-,求出a ,再由余弦定理,求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ,由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ,由正弦定理 sin sin a b A B = ,求出另一边b 的对角B ,由C=π-(A+B),求出c ,再由 sin sin a c A C =求出C ,而通过sin sin a b A B = 求B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: 8. 三、【范例导航】 题型(一):正、余弦定理 1正弦定理主要有两个方面的应用:(1)已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以 计算出三角形的第三个角,由正弦定理可以计算出三角形的另两边;(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角. 2余弦定理有两方面的应用:(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边,进而求出其他两角;(2)已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,进而求出其他两角. 例1.在?ABC 中,已知a =c = ,45B =o ,求b 及A ;

正弦定理典型例题与知识点

正弦定理 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论: A a sin = B b sin =C c sin =2R (R 为△ABC 外接圆半径) 4.正弦定理解三角形 1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角; 2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。 3)已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(多解情况) ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中,,,则角等于 ( D) A . B . C . D .

2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sin A=,b=sin B,则a等于 ( D ) A.3B.C. D.

1. 在ABC ?中,若sin 2sin 2A B =,则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中,C= 2 π ,则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中,C= 2 π ,∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ,∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时,B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中,10 10 3B cos ,21A tan == ,则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 解:由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得:sin 2a A R =,sin 2b B R =, sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得:2()222a b c R R R =?,即:2 a bc =。 又已知2a b c =+,所以224()a b c =+,所以24()bc b c =+,即2()0b c -=, 因而b c =。故由2a b c =+得:22a b b b =+=,a b =。所以a b c ==,△ABC 为等边三角形。 6.在ABC ?中, b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则 a 等于 ( ) A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 ( )

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60°等; (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有

时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1.(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积等于________. 解析 记三角形三边长为a -4,a ,a +4,则(a +4)2=(a -4)2+a 2-2a (a -4)cos 120°,解得a =10,故S =12×10×6×sin 120°=15 3. 答案 15 3 2.若海上有A ,B ,C 三个小岛,测得A ,B 两岛相距10海里,∠BAC =60°,∠ABC =75°,则B ,C 间的距离是________海里. 解析 由正弦定理,知BC sin 60°=AB sin (180°-60°-75°) .解得BC =56(海里). 答案 5 6 3.(2013·日照调研)如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为________海里/时. 解析 由正弦定理,得MN =68sin 120°sin 45°=346(海里),船的航行速度为3464= 176 2(海里/时). 答案 176 2 4.在△ABC 中,若23ab sin C =a 2+b 2+c 2,则△ABC 的形状是________. 解析 由23ab sin C =a 2+b 2+c 2,a 2+b 2-c 2=2ab cos C 相加,得a 2+b 2= 2ab sin ? ????C +π6.又a 2+b 2≥2ab ,所以 sin ? ????C +π6≥1,从而sin ? ????C +π6=1,且a =b ,C =π3时等号成立,所以△ABC 是等边三角形. 答案 等边三角形

2017年高考试题:正余弦定理解三角形

2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ,2=a ,2=c ,则=C ( ) A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答:0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到: 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ,C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 (Ⅰ)求C B sin sin ; (Ⅱ)若1cos cos 6=C B ,3=a ,求ABC ?的周长。 本题解答:(Ⅰ)ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 (Ⅱ)61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ,3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到:921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据(Ⅰ)得到:898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到:3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为:333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答:根据射影定理得到:b A c C a =+cos cos ,b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2

正弦定理和余弦定理(解三角形)

解三角形 1.内角和定理:在ABC ?中,A B C ++= π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C -,cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha =21bhb =2 1chc (ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高); ②ABC S ?=21absinC =21bcsinA =2 1acsinB ; ③ABC S ?=2R 2sinAsinBsinC.(R 为外接圆半径) ④ABC S ?=R abc 4; ⑤ABC S ?=))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ; ⑥ABC S ?=r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式: ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中,B A cos sin > 4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二:?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一:222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二:cos A =bc a c b 2222-+ ; cos B =ca b a c 2222-+ ; cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知:A.B.C 是ABC ?的内角,c b a ,,分别是其对边长,向量()()1cos ,3--=A m π,??? ? ????? ??-=1,2cos A n π,n m ⊥. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若,3 3cos ,2==B a 求b 的长.

正弦定理知识点与典型例题

正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式:A +B +C =π;S =21ab sin C =21bc sin A ==2 1ca sin B ; sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2.三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-bb 时有一解. 也可利用正弦定理a A b B sin sin =进行讨论. 如果sinB>1,则问题无解;如果sinB =1,则问题有一解; 如果求出sinB<1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 知识点清单 一. 正弦定理: 1. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半 径) sin A sinB sinC 2. 变 形:1) a b c a b c sin sin sinC sin sin sinC 2)化边为 角: a:b:c sin A:sin B: sinC ; a sin A; b sin B a sin A b sinB c sinC c sin C 3)化边为角:a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC 4)化角为边:sin A a;sin B b ; sin A a sin B b sinC c sinC c 5)化角为边:sin A a sinB b,sinC c 2R2R2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=18o0 ,求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A ; 求出 b 与c c sinC ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。例:已知边 a,b,A, 解法:由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C,再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边 c sinC 4. △ABC中,已知锐角A,边b,则 ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsin A 或 a b 时, B 有一个解;

正弦定理余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC △为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???. 由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336 A πππ <+<, 所以1sin 23A π??+< ???. 3A π??<+< ?? ? 所以,cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?,. 例2.已知ABC △1,且sin sin A B C +=. (I )求边AB 的长; (II )若ABC △的面积为1 sin 6 C ,求角C 的度数. 解:(I )由题意及正弦定理,得1AB BC AC ++=, BC AC +=, 两式相减,得1AB =. (II )由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ,得1 3 BC AC =g , 由余弦定理,得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g , 所以60C =o . 例3.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(1,3-),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n , 且a cos B +b cos A =c sin C ,则角B = 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且A =60o ,c =3b.求a c 的值; 解:由余弦定理得2222cos a b c b A =+-=2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中,三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若() C a A c b cos cos 3=-, 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中, C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ,则b =

高考数学专题--正余弦定理及解三角形

高考数学专题--正余弦定理及解三角形 高考考点:1、利用正、余弦定理解三角形 2、解三角形的实际应用 3、解三角形与其他知识的交汇问题 解三角形问题一直是近几年高考的重点,主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状,解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点. 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3 cos sin 3b a C a C =+ . (1)求A ; (2)若3a = ,2bc =,求ABC △的周长. 【解析】(1) 3cos sin 3b a C a C =+ ,3 ,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得, 3 sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+ ,tan 3A =即, ()0πA ∈又,,∴ π 3A = . (2) 22π,32cos 3b c bc =+-由余弦定理得, ()2 33b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=, 故33ABC +△的周长为. 调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C c B b = .

(1)求角B 的大小; (2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,2 5CD AD a θ<<=== ,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c B b =,得3sin sin cos sin C C B B =, 因为sin 0 C >,所以sin 3tan cos 3B B B == , 因为0πB <<,所以 π 6B = . (2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC a B BD C θ== ∠,所以 85 25sin sin B BDC = ∠,所以 25sin 5θ=, 因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以 ()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-= , 在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-?-=+-?? =, 所以5b = . ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化.即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化,还是“角”往“边”化. 若想“边”往“角”化,常利用“a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ”; 若想“角”往“边”化,常利用sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab 等. 题组二 与三角形面积有关的问题 调研3 如图,在ABC △中,点D 在边AB 上,CD ⊥BC ,AC =53,CD =5,BD =2AD . (1)求AD 的长;

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